非対称回転軸系に生ずる係数励振型横振動（第2報）
相
羽
三
良
On a parametric excitation in an asymmetrical rotating shaft
(Second report)
SaburoAiba
SynOP8is
When the bending rigidity of an rotating shaft fitted with a rotor is asymmetrical or non−uniform and at the same time the lateral rigidity of the bearings is non−uniform，1ateral vibratioll due to parametric excitation is induced at certain definite rotating speeds of the shaft・ This phenomenon is discussed theoretically as a parametric excitation of a system of two degrees of freedom， and the unstable regions of rotating speed are calculated・ Moreover， results of verification by an analog＿computor are reported．1緒 言
前報（1）において、曲げ剛性が非対称の回転軸に振り 振動が加わる場合、特定の回転速度において係数励振 型の横振動が誘起されることを述べた。本報では非対 称曲げ剛性を有する回転軸系が非対称弾性を有する軸 受に支えられている場合、いはば回転する非対称性と 静止する非対称性の相乗効果により、一様な回転速度 の下に、或る特定の回転速度において、やはり係数励 振型の横振動が誘起されることを理論的に導き、更に アナコンによる結果を述べる。 回転軸の曲げ剛性の非対称性は1つ又は2つのキー ウェーを有する軸等に見られ、又軸受の弾性の非対称 性は支持台に支えられた軸受等に見られる。 軸受が1面内にのみ擁みうると仮定した場合の1自 由度の理論はDen Hartogの著書（2）に述べられている が、本報では軸受が任意の方向に挽みうるとし、2自 由度系として取扱う。2運動方程式
1つの回転子を有する回転軸を考える。簡単のため にヂャイロ作用はないものとする。回転軸に垂直な面 内に静止直交座標軸系Oxyをとる。いま軸受の弾性 が非対称でOx方向のバネ常数が最大でK1，0N方向 のバネ常数が最小で、K2で表わされるものとする。 また回転軸の断面の主軸をOXI，Oor 1とし、 OXI，O．yt の方向の軸のバネ常数を夫々k， ＝k＋△k，ね＝k−△k とする。ここにK1とK2は任意の値をとつても差支 えないが、馬とムとは僅かしか違わないものとす る。即ち△k／kは微小量とし、△k／k＝μとおく。いま OxとOx1とのなす角即ち軸の回転角をqとすると、 回転子に作用する外力のx，y成分Fz，Fyと回転子の 変位成分エ，．yとの間には次の関係がある。但しμの 2次以上の項を省略する。：1鰺：㌻1｛：1：：：｝①
これらを瓦，Fyについて解けば、やはりμの2次 以上の項を省略して次式をうる。當1㌶隠：芸冤竃｝（2）
ここに1ζ1＝ k X2＝
・＋去’ k k 十 ・＋毒鴫一意）
al＝ （1＋K）（1＋K）（1＋瓦）2（1＋K）k k k k k（k kj2 Kl）
k a2＝i k1＋石）（・＋壼）（・＋意）（・＋毒）・ （3）昭和36年12月
山梨大学工学部研究報告
第12号
k ろ＝ （・＋量）（・＋蓋） 従つて静止座標系Oxツによる回転子の運動方程式 は次のようになる。但し回転子の質量をM，回転軸の 一様な角速度をωとする。又回転子の不釣合はないも とし、減衰力も無視する。隠1驚：：嚇‡㍑1：：1：：：1｝（4）
これは週期π／ωの週期係数を有する2自由度の線 型系であり、且つ減衰項を含まない。従つて次の関係 の成立つ回転速度ωoの近くで係数励振型の振動が誘 起されうる（3）。 カi＝NCOo （5） および クi士ク2＝ 2Nωo （6） （i＝1，2；N＝・ 1，2，…） ここにPi，P2はμ＝0の軸系の固有振動数即ち主 危険速度で♪12 ・ K1／M， P22＝K2／Mである。3 不安定速度帯
次に（4）の系の係数励振による不安定速度領域を μに関する摂動法（3）により求めよう。λ＝−，t＝λ． ω とおけば（4）は次のように書ける。 芸＋・2（P・2＋μ緩…2・）x＋・権i・2T・Pt・＝＝・／農＋・・（P22・一・糖鋤＋・・密一一・∫
（7） 最初（5）において‘＝1，N＝1とおいた条件即ち P1＝ω0を満足するω0の近くの不安定速度領域を求め よう。 求める不安定領域の端においては一般理論（3）により （7）は週期2πの週期解をもつ。 この不安定領域の端におけるλの値をλ＊とおき、 λ＊及びλ＝ぱにおける（7）の週期2πの週期解をμ のべき級数に展開して次のようにおく。 λ＊2一オ・o・・＋……… （8） 1二驚；：1：‡：：：：：：：：：｝（9） ここにx（o），x（1），…；ツ（o），ツ（1），…は週期2πのT の未知の週期函数である。 （8）及び（9）を（7）に代入してμの0次の項の和 を0とおけば 4篇穿）＋x…一・・4篇：）＋穿・…一・（・・） をうる。この方程式の週期2πの週期解は次のように 書かれる。2
x（o）＝Mocosア十No sinア， 5ノ（o）＝＝0 （11） ここにMo，1Voは任意常数である。 次にμの1次の項の和を0とおけば、x（1）， y（1）に 関する次の方程式をうる。 4芸：’＋X・D＋（・・P・・＋識…2T）（M…ST ＋NosinT）＝0 4i碧》＋窪ツ・・）＋㍊・i・2T・（M・・… 十Nosinrr）＝＝0 （12） これらの方程式の中、第2のツ（1）に対する方程式は 何らの条件なしに週期2πの週期解を与えるが、第1 のx《1）に対する方程式が週期解を有するためには、こ の方程式の非斉次項の中sinT及びcosτの項が消える ことが必要である。これより次式をうる。：：二1：：li欝ll｝（・3）
これより求める不安定速度帯の1端では・・一一†☆緩・N・＝・
他端では・・一丁☆緩・M・一・
従つて求める不安定速度帯は第1次近似として次式 で表わされる。☆＋赫鵠〉・・〉☆一赫譜（・4）
これをωで表わせばP・＋捻酷〉・〉力仁晶鵠（・5）
同様にしてi＝2，N＝一・1に対する不安定速度帯は （15）において添字1を2に代えた不等式で表わされ る。 1V≠1に対応する不安定速度帯は△k／kの2次以上 の微小な幅を有することが同様にして証明される。 数値例として、k／K：＝0．5， k／K2＝1の場合には （15）の不安定速度帯は （・＋…56砦〉・〉（・一…56讐）P・ となる。 次に（6）においてN＝＝ 1とおいた条件を満足する ωの近傍の不安定速度領域を求めよう。 この場合には カi十1》2＝2ωo （16）とP1−1）2＝2ωo （17）
の2つの場合がある。これらはλo＝・．！を用いて書き ω0 変えると非対称回転軸系に生ずる係数励振型横振動（第2報） λoP、・ 一？t・P2＋2 （18） 及び ）L oP 1 一＝ Ao lb2＋2 （19） となる。 不安定速度領域を求めるために λ2＝λ02十μK （20） x＿．（λ0」ρii十μα1十…）㌃ or、。， e（・・Pli＋・…＋・・汚（但しi−vZ、）∫（21） とおく。ここに逐，㌃は週期2πのアの未知の週期函 数である。するとα1の実数部が正となるようなK の範囲を求めれば、それが不安定領域になる。（20）， （21）を（7）に代入してμの2次以上の項を省略すれ ば次の方程式をうる。 膿＋・i・・P・監＋・｛（…緩…2・＋KP・2＋ ＋2i・・Pl・1）三＋2・亭＋…k・i・2・・み一・ 袈＋…（P・・−P・・）y＋2i・・P・嘉＋ ＋・｛（・・2箭…2・＋KP22＋2i入・P・…）ツ＋ ＋2・・暑＋…必・i・2・・IE’｝一・ （22） この方程式の週期2πの週期解をμのべき級数 籔ll‡㌻1；工1：：：：1｝（23） で表わそう。ここにる（0），x（1），…∴，ツ（0）・ツ（1）・…… は週期2πの〔の未知の週期函数である。（23）を（22） に代入してμを含まない項の和を0とおくと・x（o）・ rv（o）に対する次の方程式をうる。
4鷲・＋剛瑠旦一・ ／
翌＋、。・（P，・−P、2）卿嚥嬬竺一・／
（24） この方程式の週期2πの週期解は 元《o）＝Mo， y（o）＝Noe−2ττ （25） と書かれる。ここにMo，Noは任意常数である。 次にμの1次の項の和を0とおけば、x（1）， or（1）に 対する次の方程式をうる。 麗1＋2i・・P・−9（i’：｝；1）＋（…緩…2・＋KP・2＋ ＋2‘励・、）ヌ・・＋2・・弩ln）＋ ＋…必・i・…戸・一・ 4謬・＋…（P・・−P、・）・Y（1）＋2i・・ク・誓＋（26） ＼ ＋（・・2緩…2・＋Kρ22＋2i・・P…）ツ（°）＋ ＋2・・撃＋…島i・2・・ヌ・）一・ この方程式が週期解を有するためには、（25）を（26） に代入した時、第1の方程式の非斉次項の中、常数項 が0となり、第2の方程式の非斉次項の中e−2itの項 が0となることが必要である。これより次式をうる。：二：：1：1：：lll：慧：㌶＿｝
（27）Me，Noに関すろ方程式（27）がMo＝No＝0以外
の根を有するためには、 16rtoPl（λ01）1−2）αi2−8iKPI（λop22十p1（λoPI− −2）｝・・−4K・P・・P・・＋…蓋一・ （28） が成立つことが必要である。さて（18）が成立つ場合に は（28）は 16λo・クψ，α・2−8iKPiP・（Pi−P2）λ・α1＋＋4K・P・・P・・一…姦一・ （29）
となる。このα1に関する2次方程式の根はK・＜瓢嬬，）・M2 （3・）
の場合にのみ正の実数部を有する。従つて（18）に対応 する不安定速度領域は第1次近似として次式で表わさ れる。 ・・2＋G監，）諜〉・2＞・・2一
ω0十2γ品（Pi十P2）Mk
bco o △克 2レ／輌（カi＋P2）Mk となる。 （但しPl十P2 ＝2ωo） 次に（19）が成立つ場合には（28）は λ02b 4Lk レ／ｴ（Pli ＋P2）M k これをωで表わせば bωe △ゐ 一一rω〉ω0一 （31） （32） ⊥6入02ノ）iP2αi2−8iK（Pi十」ρ2）λocv1−4K21り12カ22十＋…告・ （33）
となる。この方程式はKの任意の値に対し純虚根を 有する。従つてカt一力2＝2ωを満足するωの近くに は不安定速度領域は存在しないことが判る。 数値例としてk／Kl＝0．5，k／K2＝1の場合には（32） で表わされる不安定領域は （・＋・．・44莞）・・〉ω〉（・一…44￥）・・ となる。 （但し 久＋P2＝2ω④）3
昭和36年12月
山梨大学工学部研究報告
第12号
4 アナコンによる検討
上述の理論を確め、更に減衰力の効果を検討するた めに・アナコンによる実験を行つた。原方程式（4）に おいてrl r 2wtとおき、 Tlをアナコンの演算時間にと る。するとアナコンを第1図のように接続すれば（4）第1図アナコン回路
の系を摸擬することが出来る。週期係数に現われる sinTl及びCOSTIは方程式を摸擬する回路の他に独立 の回路（Σ7，Js，J6）を用いて発生させ、これらを3 連のサーボ乗算機2台に入れる。各ポテンシヨメータ t・一一ﾌ読みは古一器・九＝☆㌶・P・−P6−☆姦
芦一盈P・一晶器（但し加算係数器の倍
率を1として）とおく。 また・一r（サーボ＝の難電圧は…V）
となるように、」6の初期値Eoを与える。 例として第2図∼第6図にk／K，＝0．5，k／K2＝1， μ＝O．1の場合の結果を示す。第2図は週期係数に現第2図
第3図ω＝Plc＝0
第4図ω＝P2 c＝0
第5図2ca＝P1＋P2 c＝O
第6図tO＝Pl c！2♪tM＝0．02われるCOSTを表わす。（第3図∼第6図に対し共通）。 第3図はlb 1＝・ωなるωにおけるx方向及びy方向の 振動波形を示す。この場合にはX方向にのみパラメー ター共振が生じていることが判る。第4図はP・2＝ω なるωにおける振動波形を示す。この場合にはッ方 向にのみパラメー‘7 ・一共振が生じている。第5図は か＋勉＝2ωの成立つωにおける振動波形を示す。こ の場合にはX方向及びPt方向に同時にパラメータF・一・共 振が生じていることが判る。 次に軸受に粘性減衰が作用する場合には、運動方程 式では（4）の第1、第2の方程式の左辺に夫々cth， 妙なる項を加えればよく、アナコンでは破線で示さ れた回路を附加すればよい（第1図）。ここにcは減衰 c係数、第1図においてP7＝Ps＝i菰ア 第6図にlb1＝ wなるωにおけるC／2PIM ・O．02の 場合の振動波形を示す。粘性減衰によりパラメーター 共振が押えられ、系が安定化されることが判る。
