小学校算数科における比例の式に用いられる乗法についての量に対する操作による意味づけ
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(2) 北海道教育大学紀要（教育科学編）第69巻 第２号 Journal of Hokkaido University of Education（Education）Vol. 69, No.2. 平 成 31 年 ２ 月 February, 2019. 小学校算数科における比例の式に用いられる乗法についての 量に対する操作による意味づけ※1 渡 会 陽 平 北海道教育大学札幌校数学教育学研究室. Defining the Meaning of Multiplication in Equations of Proportional Relationships by Operations on Quantities in Elementary School Mathematics WATARAI Yohei Department of Mathematics Education, Sapporo Campus, Hokkaido University of Education. 概 要 本稿の目的は，比例の式に用いられる乗法が量に対する操作によってどのように意味づけら れるのかを明らかにすることである。そのために，Vergnaudの概念野理論を枠組みとして， 比例の式に用いられる乗法を問題場面の構造を観点として数学的に特徴づけ，その特徴に対応 した量に対する操作を検討した。その結果，単位変換の問題場面の解決で用いられる乗法・除 法について，まず除法を再測定する演算から単位変換する演算へと包含除の意味を拡張させ， そして乗法を単位変換する除法によって単位変換する乗法として意味づけることで，比例の式 に用いられる乗法を単位変換する乗法によって説明できることを示した。さらに，比例の式に 用いられる乗法を単位変換する乗法によって意味づけるために，第6学年の単位の仕組みの学 習内容に単位変換の乗法・除法を取り入れることを提案し，その学習内容及びその学習内容に 基づいた比例の式の意味づけの学習内容を示した。. １．研究意図. で意味づけていく傾向があり，比例の式を問題解 決において効果的に使えるようになるためには変. ｢関数の考え｣ による問題解決は学校数学にお. 化の関係で用いられる内比を超えた比を認識する. いて重要な学習内容の1つであり，小学校算数科. こと、即ち外比を認識することが必要であること. 第6学年には比例を利用した問題解決が学習内容. が指摘されている（日野，1997）。. に位置づけられている。しかしながら，比例を利. この問題点に対して大谷・中村（2004）は，知. 用した問題解決で用いられる比例の式は数学的に. りたいものYを測りやすい別のものXで求めるこ. は比例関係にある2つの集合間の対応の関係を表. とをX⇒Yと表し，その考えを強調した指導をす. したものであるが，児童は比例の式を変化の関係. ることで外比の使用を避けようとする児童の傾向. 155.
(3) 渡 会 陽 平. 性が緩和されたと述べている。このように外比に. 味づける必要は無いという理由もあったであろ. 着目させるための指導が提案される一方で，そも. う。また，数学的には比例関係は量と量の対応関. そもなぜ児童は内比を用いる傾向があるのか。そ. 係であるのに対して，比例の式は数と数の対応関. の要因の仮説として，算数科では内比を用いる乗. 係であるから（宮下，2014），そもそも量と関連. 法・等分除と内比を求める包含除が量に対する操. づけて意味づけること自体が筋違いであるという. 作として意味づけられて指導されているために，. 理由もあったであろう。しかしながら，算数科の. 児童は内比に着目する傾向があるのだと考える。. 比例の学習内容では量対応を数対応に表現するこ. 例えば，比例の関係を式で表すために表を手がか. とを扱っていないため，量対応と数対応が同列に. りとした場合には，変化の関係（図1）ならば比. 並ぶ（宮下，2014）。従って，比例の式も量と量. 例 y＝k×xを ｢y＝（x＝1ときの y の大きさ）×（割. の対応関係として捉えられることになるから，比. 合） ｣ というように既習の乗法の意味で説明する. 例の式を量の対応関係としてみることは現在の学. ことができるが，一方で対応の関係（図2）につ. 習内容の体系においては不整合なことではない。. いては比例 y＝x×kの意味を既習の乗法の意味で. また，実際に児童は比例の式を量と関連づけて意. は説明することができない。それ故に，児童は演. 味づけようとするから（日野，1997；大谷・中. 算の意味を説明することができない外比を用いた. 村，2004），比例の式の指導に先立って比例の式. 操作ではなく，演算の意味を説明することができ. に用いられる乗法の意味を量と関連づけて指導す. る内比を用いた操作を既習の知識としてより積極. ること，即ち量に対する操作によって意味づける. 的に問題解決に用いるのである。従って，量に対. 指導をしておくことには，児童による意味の構成. する操作として外比を用いたり求めたりする演算. という立場からみて価値がある。. が意味づけられて指導されていれば，児童は外比. そこで本稿は，比例の式に用いられる乗法の意. にも着目するようになると考えるのである。ま. 味を既習として比例の式を意味づけることができ. た，そのような意味づけが比例の式の指導に先. る学習内容について検討するために，比例の式に. 立ってなされていれば，その演算の意味に基づい. 用いられる乗法が量に対する操作によってどのよ. て比例の式を意味づけることにもつなげることが. うに意味づけられるのかを明らかにすることを目. できる。. 的とする。. ２．研究方法 【図１】. １．で述べた目的を達成するために，本稿は， 【図２】. 初等数学における数学的な概念の発達を議論する ためにVergnaud（1983）が提案した概念野理論. 一般に，比例の式に用いられる乗法，即ち外比. を枠組みとした理論的考察を行う。. である比例定数と変数をかける乗法は量と関連づ. 概念野理論では，乗法・除法に関わる概念は比. けて意味づけされていない。その理由の1つには. 例関係にある2つの測度空間M1，M2で構成され. 量と関連づけて意味づけることが困難であったこ. る単比例の構造（図3）によって特徴づけられる。. ともあるであろうが，関数のきまりを見つけ，そ. 図3において， c ， a ， b が未知数の場合にそれ. れによる一定の計算で未知数を求められるように. ぞれ乗法，等分除，包含除の問題場面に内在する. するという ｢関数の考え｣（中島，1981）の立場. 構造になり，それぞれ次のような操作として説明. から，比例の式は量の関係から数値の関係を抽出. される。. して式で表したものであるから量と関連づけて意. 図4は乗法を表わしている。｢×b｣ はM1にお. 156.
(4) 比例の式の乗法についての量に対する操作による意味づけ. 数学的に特徴づけることを通して，その構造的特 徴に対応した量に対する操作について検討する。. 【図３】. 【図４】. いて1を b に対応させるスカラー演算子であり，. ３．比例の式に用いられる乗法についての量 に対する操作による意味づけの検討. この｢×b｣をM2の a に適用することでa×bとなる。. ⑴ 比例の式に用いられる乗法の特徴づけ. 図5は等分除を表わしている。｢÷b｣ はM1に. ① 比例の式に用いられる乗法の構造的特徴づけ. おいて b を1に対応させるスカラー演算子であ. 比例の式 y＝ax（ a は比例定数）に用いられる. り，この ｢÷b｣ をM2の c に適用することでc÷b. 乗法を単比例の構造において特徴づける。y＝ax. となる。. をy＝a×xとみると， a に演算子 ｢×x｣ を適用し. 図6は包含除を表わしている。｢÷a｣ は上行に. ているから図7のように表せる。つまり，a×xは. おいて a を1に対応させる関数演算子であり，こ. M1において1を x に対応させるスカラー演算子. の｢÷a｣を下行の c に適用することでc÷aとなる。. ｢×x｣ をM2の a に適用することから成り立つ。 従って，a×xを意味づけるならば，量 a に ｢×x｣ という操作をすることになる。. 【図５】. 【図６】. 乗法及び等分除のスカラー演算子 ｢×b｣ 及び ｢÷b｣ の b はM1における b の1に対する割合で ある。そして，包含除の関数演算子 ｢÷a｣ の a は正比例 f ：M1→M2， f (x）＝axの比例定数であ る。 上記のように乗法・除法は単比例の構造におい て測度空間内の要素に演算子を適用することとし て説明される。一方で，算数科では乗法・除法は 量に対する操作で意味づけられており，その意味 づけは量が測度空間内の要素，操作が演算子に対 応している。従って，概念野理論を枠組みとする ことで，構造図における要素と演算子の適用の関 係から比例の式で用いられる乗法に対応した量に 対する操作を検討することができるのである。ま た，その検討の際には既習の乗法・除法の意味と の関係も明確にできるので，既習の数学をもとに して児童によって構成することができる意味づけ という点についても考慮することができる。以上 の理由から，本稿では概念野理論を分析枠組みと して比例の式に用いられる乗法を構造の観点から. 【図７】. 【図８】. 一方で，y＝axをy＝x×aとみると， x に演算子 ｢×a｣ を適用しているから図8のように表せる。 つまり，x×aは上行において1を a に対応させる 関数演算子 ｢×a｣ を下行の x に適用することか ら成り立つ。従って，x×aを意味づけるならば， 量 x に ｢×a｣ という操作をすることになる。 上記のように，y＝axに用いられる乗法の構造 的特徴づけには2通りの可能性がある。しかしな がら，a×xの ｢×x｣ は測度空間内の変化の操作で あるから，a×xの意味づけをしたとしても2量の 対応関係への着目にはつながらない。また，比例 の式 y＝axは量 x と量 y の対応関係を表したもの であるから，量 x に何かしらの操作をすることで 量 y が求められるという意味づけのほうが量に対 する操作としては適切であると考える。その観点 からみても，a×xは量 a に何かしらの操作をする ことになるから意味づける対象として適切ではな い。一方で，x×aの ｢×a｣ は2つの測度空間の. 157.
(5) 渡 会 陽 平. 間の対応の操作であり，また量 x に何かしらの操. かを求める｣ であり，小数倍を求める場合の割り. 作をすることになるから，本稿の問題意識からみ. 進みに対応するために ｢量 q を量 p を単位として. て，x×aは意味づけを検討する対象として適切で. 再測定した測定数を求める｣（渡会，2011）へと. ある。以上の理由から，本稿ではy＝axをy＝x×a. 拡張される。よって，これらの意味づけの逆の操. とみた場合の乗法の意味づけについて検討する。. 作が関数乗法に対応することになる。しかしなが. ② 比例の式に用いられる乗法と既習の乗法・除. ら，既習の包含除の意味の逆の操作では，本稿の. 法との関係. 目的とする関数乗法の意味づけにはならない。な. 単比例の構造における操作によって乗法・除法. ぜなら，既習の包含除の意味によって求められる. を説明する場合には，適用する演算子の種類に. 結果は量ではなく数だからである。例えば，「12. よって4種類の演算として区別される。つまり，. 本の鉛筆を3本ずつ分けると何人に分けられる. スカラー演算子を適用する乗法と除法，関数演算. か。」という問題場面において包含除を用いて「12. 子を適用する乗法と除法である。算数科で同数累. ÷3＝4で4人に分けられる。」と答えたとする。. 加や ｢ （基準量）×（割合）｣ として意味づけられて. この場合の包含除12÷3によって人数が求められ. いる乗法はスカラー演算子を適用する乗法（“ス. ているならば図9の構造図で表される。Vergnaud. カラー乗法”と略記する）に対応し，等分除はス. （1983）は関数演算子について「その次元は異な. カラー演算子を適用する除法，包含除は関数演算. る2つの次元の商である。」と述べているから，. 子を適用する除法に対応するが，比例の式 y＝ax. この場合の関数演算子 ｢÷3｣ の次元は鉛筆の本. をy＝x×aとみた場合の乗法に対応する関数演算. 数の次元（本）と人数の次元（人）の商，即ち. 子を適用する乗法（ “関数乗法”と略記する）の. ｢本÷人＝本/人｣ である。つまり，包含除12÷3. 意味づけはなされていない。故に，本稿では関数. は鉛筆の本数に ｢本/人｣ という次元を持った操作. 乗法の意味づけについて検討することになる。. を適用していることになり，｢１人あたりの本数｣. スカラー乗法 p×λの意味づけは ｢量 p の λ 倍の. という単位量あたりの大きさが関わる操作をする. 大きさを求める｣ であり，等分除q÷λの意味づけ. ことになる。しかしながら，包含除の意味は再測. は｢量 q を λ 等分した1つ分の大きさを求める（も. 定であり，この測定は ｢単位とする大きさによっ. しくは，量 q の1/λの大きさを求める）｣ である。. て，もう一方の大きさを測定する｣ という同種の. λ が整数の場合，量 p の λ 倍の大きさは量 p の λ. 量による直接測定を意味しているから，測定の操. 個分の大きさであり，それを λ 等分した1つ分の. 作に関わるのは同種の2つの量であって，単位量. 大きさは p である。よって，｢ λ 倍の大きさを求. あたりの大きさは関係しない。. める｣ ことと ｢ λ 等分した1つ分の大きさを求め る｣ことは逆の操作をしていると言える。つまり， スカラー乗法と等分除は逆の操作をする関係にあ. . る。この関係は構造図においてスカラー演算子の 適用のさせ方（1に対する矢印の向き）の違いと. 【図９】. 【図10】. して表される。このことに基づけば，関数乗法と 包含除は構造図においてともに関数演算子を適用. 一方で，包含除12÷3によって測定数が求めら. していて，適用のさせ方（1に対する矢印の向き）. れているならば問題解決は図10の構造図で表され. が逆になっているから，関数乗法は包含除の逆の. る。図10において数の測度空間は次元を持たない. 操作として意味づけることができることになる。. ので，この場合の関数演算子 ｢÷3｣ の次元は鉛. 包含除 q÷pの意味づけは ｢量 q に量 p がいくつ. 筆の本数の次元（本）と数の次元⑴の商，即ち. 分含まれているかを求める｣，｢量 q が量 p の何倍. ｢本÷1＝本｣ である。つまり，包含除12÷3は鉛. 158.
(6) 比例の式の乗法についての量に対する操作による意味づけ. 筆の本数に ｢本｣ という次元を持った操作を適用. げるための学習内容や指導改善についての検討が. していることになるから，鉛筆の本数に対して鉛. なされる。. 筆の本数の関わる操作をすることになり，同種の. そこで，本稿では，関数乗法が用いられうる問. 2量が関わる測定の操作と合致する。そして，問. 題場面において想定される児童の解決の思考を問. 題解決においては，包含除によって測定数が求め. 題場面の構造に基づいてTIAとして特徴づける。. られた後に，｢測定数が4倍になれば，人数も4. そして，関数乗法を用いるTIAが問題場面におけ. 倍になる｣ という比例関係が暗黙的に用いられる. るどのような量に対する操作に対応しているのか. ことで人数を求めているのである。. を検討することを通して，関数乗法をどのように. スカラー乗法や等分除の意味づけでは，量に操. 意味づければよいのかを明らかにする。. 作を適用して求められた結果も量であるから，そ. ② 単位変換の問題場面における問題解決の思考. れらの演算は逆の操作でありながら，ともに量に. の特徴づけ. 対する操作である。しかしながら，既習の包含除. 関数乗法が用いられうる問題場面として，本稿. で求められた結果は測定数，つまり数であるか. では「1.7kmは何mか。」という長さの単位変換. ら，既習の包含除の逆の操作は数を量に対応させ. の問題場面に着目する。この問題場面において. る操作，つまり数に対する操作である。従って，. 「1000×1.7＝1700だから1700mである。」と乗法. その操作は本稿の目的とする量に対する操作では. を用いて解決したとする。1km＝1000mで，km. ない。さらに言えば，そもそも演算の意味づけは. を単位とした測定数の測度空間とmを単位とした. 現実世界の量を伴う問題場面において演算決定を. 測定数の測度空間は比例するから，この問題場面. するためになされているから，演算決定の際の考. の構造は図11のように表される註2。. 察対象は数ではなく量である。よって，数を量に 対応させる操作は現実世界には存在しないし，仮 に意味づけたとしても演算決定に用いることがで. . きない。 ⑵ 単位変換に着目した意味づけの検討. 【図11】. 【図12】. ① 概念野理論における問題解決の思考を特徴づ ける枠組み. よ っ て， 乗 法1000×1.7は 図12の よ う に 長 さ. 構造的には関数乗法は包含除の逆の操作であっ. （km）の測度空間において1kmを1.7kmに対応さ. たが，既習の包含除の逆の操作は量に対する操作. せるスカラー演算子 ｢×1.7｣ を長さ（m）の測. ではなかった。そこで，次は，概念野理論を枠組. 度空間における1000mに適用することで成り立つ. みとして関数乗法が用いられる問題場面における. から，この問題解決におけるTIAは次のように表. 問題解決の思考を特徴づけることで，関数乗法の. される（渡会，2011）。. 意味づけを検討する。 概念野理論では子どもの問題解決における思考 を ｢子どもが問題を解決するために“操作”また は“一連の操作”を選ぶときに，子どもによって 考慮される数学的な関係｣（Vergnaud，1988）と. 従って，この問題解決における乗法1000×1.7. 定義されるtheorems-in-action（以下，TIAと略. は，｢長さ（km）が1.7倍になれば，長さ（m）も. 記する）によって特徴づける。そして，記述され. 1.7倍になる｣ という比例関係に基づいた何倍か. たTIAと目標となる数学の内容との関係に基づい. の大きさを求めるスカラー乗法とみることができ. て，子どものTIAを目標となる数学の内容につな. る。. 159.
(7) 渡 会 陽 平. 一 方 で， 「1.7×1000＝1700だ か ら1700mで あ. ×1000 ｛（1.7÷1000）×1000 ｝. る。 」という乗法を用いた解決も想定される。既. となる。上式において左から順に，1.7km，等分. 習 の 乗 法 の 意 味 で1.7×1000＝1700を よ め ば. 除 ｢÷1000｣，関数乗法 ｢×1000｣，スカラー乗法. 「1.7kmの1000倍は1700km。」であるが，それで. ｢×1000｣ である。そして，等分除 ｢÷1000｣ と. は正答である1700mと一致しないから，この乗法. スカラー乗法 ｢×1000｣ は逆の操作で打ち消し合. は既習の乗法の意味では解釈することができな. うから，結果として1.7×1000となり，1.7×1000. い。実際，この乗法は構造図で表せば図13のよう. は1.7kmに関数演算子 ｢×1000｣ を適用している. に上行における関数演算子 ｢×1000｣ を下行にお. ことになる。従って，長さの単位計算尺の考えに. ける1.7kmに適用することで成り立つから関数乗. 基づく乗法1.7×1000は表面的には1.7mの1000倍. 法である。. というスカラー乗法であるが，本質的には関数乗 法である。そして，その関数乗法はM1における 1/1000をM2の1に対応させる操作に基づくもの である。. 【図13】. 【図14】. そこで，この関数乗法がどのようなTIAの働き によって用いられているのかを検討する。この問 題解決の根拠となる学習内容として，図14のよう. 【図15】. な長さの単位計算尺の考えがある。つまり，1km は1mの1000倍の大きさであるから，kmを単位と. ③ 単位変換する演算への包含除の意味の拡張. した測定数の小数点を右に3桁移動させれば，m. M1からM2への関数乗法の意味づけを明らかに. を単位とした測定数になるという考えである。小. するために，「1700mは何kmか。」という長さの. n. 数点を移動させるということは，10 倍（ n ∈ℤ）. 単位変換の問題場面に着目する。この問題場面に. することだから，1.7×1000の ｢×1000｣ はスカ. お い て「1700÷1000＝1.7だ か ら1.7kmで あ る。」. ラー演算子ということになる。それならば，1.7. と除法を用いて解決したとすると，構造図は図16. ×1000の1.7は1.7kmではなく1.7mということにな. のように表せる。つまり，包含除の問題場面であ. る。よって，この問題解決においては暗黙的に. る。. 1.7kmを1.7mに 対 応 さ せ て い る こ と に な る。 1.7kmと1.7mの関係は，1kmは1mの1000倍の大き さであることに基づけば，1.7kmの1/1000の大き. . さ が1.7mで あ る。1.7kmの1/1000の 大 き さ は （1.7/1000）kmであり，これが1.7mに対応する。. 【図16】. 【図17】. そして，1000mは1mの1000倍の大きさだから， 1.7mを1000倍することで1700mが求められる。以. この解決について，長さの単位計算尺の考えを. 上の手続きをまとめると図15のように表される。. 用いても説明できるが，既習の包含除の意味でも. 図15は本来は右図を左図の上につなげて表すが，. 説明することができる。つまり，1km＝1000mで. 矢印の重なりを避けるために並列で表す。図15よ. あるから，1700mを1000mを単位として再測定す. り上記の1.7kmが何mであるのかを求める操作を. るのである。すると，再測定した測定数とkmを. 式表示すると，. 単位とした測定数の数値が一致することから，暗. 160.
(8) 比例の式の乗法についての量に対する操作による意味づけ. 黙的な比例関係によって1.7kmが求められる（図. が，単位変換の除法は2つの操作の複合であるか. 17） 。従って，単位変換をする場合の除法は既習. ら1700（m）÷1000（m/km）を1（km）×（1700（m）÷. の包含除の意味に基づくから，単位変換の問題場. 1000（m））と解釈するのである。. 面における除法のTIAは既習の包含除のTIAと同. ④ 関数乗法についての単位変換による意味づけ. 様に次のように表される（図18，既習の包含除の. 包含除の意味を単位変換する演算へと拡張した. TIAについては渡会（2011）を参照）。. 上で，改めて「1.7kmは何mか。」という問題場 面における関数乗法1.7×1000について検討する。 この乗法は，図15においてM1における1/1000を M2の1に対応させる操作であった。言い換えれ ば，M1における1/1000をM2の単位量に対応させ ているから，この操作は単位変換とみることがで きる。つまり，関数演算子の ｢×1000｣ を ｢÷ （1/1000） ｣ とみるのである。そうすれば，M1に お け る1/1000をM2の 1 に 対 応 さ せ る 操 作 は，. 【図18】. ｢（1/1000）km＝1mだから，（1/1000）kmを単位 として再測定して，mを単位とする大きさに単位. 上記のように，単位変換をする場合には包含除. 変換する操作｣ と説明することができる。. を用いることができる。しかし，既習の包含除の. 一方で，包含除の意味を単位変換する演算へと. 意味では商は数であって変換後の量ではない。商. 拡張したことにより，包含除が量を量に対応させ. の数値と変換後の量の数値は一致するのだから，. る操作になったから，その逆の操作として関数乗. 包含除の商が単位変換後の量を表すようにした. 法が意味づけられるという可能性もある。つま. い。そこで，その欲求に基づいて包含除の意味を. り，単位変換する演算としての乗法である。しか. ｢再測定する演算｣ から ｢単位変換する演算｣ へ. しながら，本稿で示した単位変換の除法は，量を. と意味を拡張する。即ち，｢ある量に対して，変. 数に対応させる再測定の操作を含んでいるため，. 換後の単位量に対応する大きさを単位として再測. その逆の操作には数を量に対応させるという測定. 定して，その測定数を変換後の量に対応させるこ. の逆の操作が含まれることになるが，先に述べた. とで単位変換する演算｣ である。例えば， 「1700m. 通り数を量に対応させる操作は現実世界には存在. は 何kmか。 」 と い う 問 題 場 面 な ら ば「1700mを. しないから，関数乗法を再測定による単位変換の. 1000m＝1kmとして単位変換すると，1700÷1000. 除法の逆の操作として説明することはできない。. ＝1.7で1.7kmである。」と解決することができる。. 以上より，本稿では関数乗法を単位変換する除. この意味づけにおける要点は，単位変換の除法. 法と捉え直すことを関数乗法の意味づけとする。. は再測定の操作と比例関係に基づいた倍の操作を. この意味づけは関数乗法そのものの操作の説明と. 1つにまとめたものとして解釈することである。. いうよりは，除法による解釈の仕方の説明にすぎ. つ ま り，TIA.2に お け るg(x）＝x÷aをg(x）＝1×. ないが，関数乗法を量に対する操作によって解釈. （x÷a）に基づくものとしてみる必要がある。例. することができたことと既習の演算である包含除. えば上記の場合，図18においてM1が長さ（km）. の意味に基づいて解釈することができたことの2. の測度空間，M2が長さ（m）の測度空間になる. 点において本稿の目的に合致した意味づけである。. から関数演算子 ｢÷1000｣ の次元は ｢m/km｣ に. 関数乗法が単位変換の除法に基づく演算とみる. なる。関数演算子 ｢÷1000｣ の操作を ｢m/km｣. と，関数乗法を用いる場合に働くTIAは，TIA.2. の伴う単独の操作として説明することはできない. を前提として次のように表される（図19）。 . 161.
(9) 渡 会 陽 平. ⑶ 単位変換の乗法・除法の意味指導 第6学年の単位の仕組みの学習内容に単位変換 の乗法・除法を取り入れる。まず，例えば「2700m は何kmか。 」という長さの単位変換の問題場面を 扱い，「2700÷1000＝2.7だから2.7km。」という解. . 決に着目する。この解決は「1000m＝1kmだから， 2700mは1000mの何倍かを求めればよい。」とい. 【図19】. 【図20】. う考えに基づいているから，除法は包含除であ り，その意味は再測定する演算である。単位変換. 関数乗法を用いる問題場面は図20においてf(p）. は再測定に基づいていることを確認した上で，除. を求める乗法の問題場面である。この問題場面に. 法で求めた結果と単位変換後の数値が一致するこ. はM1とM2の比例関係があるから，1∈M1とそれ. とから，単位変換する場合には除法で単位変換後. に対応した a ∈M2をそれぞれ1/ a した大きさで. の大きさを求められるとする。ただし，既習の包. ある1/ a ∈M1と1∈M2も対応する。そして，図17. 含除の意味では何倍かを求めていたから，単位変. においてf(p）を求める操作には2通りある。1つ. 換の除法p÷aは単位変換後の単位量の何倍かの大. は1∈M1を a ∈M2に 対 応させる関 数 演 算 子 ｢×. きさを求める計算1×（p÷a）を簡略化したものと. a｣ を p ∈M1に適用してf(p）＝p×aで求める方法. して用いることにする。. である。もう1つは1/ a ∈M1を1∈M2に対応さ. 次に，例えば「3.6kmは何mか。」という乗法. せる関数演算子 ｢÷ （1/ a ） ｣ を p ∈M1に適用し. で 単 位 変 換 す る 問 題 場 面 を 扱 う。「1000×3.6＝. てf(p） ＝p÷ （1/ a ）で求める方法である。よって，. 3600だから3600m。」という解決で用いられる乗. p÷ （1/ a ）＝p×aが成り立ち，関数乗法を包含除. 法については小数倍の大きさを求める乗法として. と同等な操作とみなすことができるのである。. 説明できるが， 「3.6×1000＝3600だから3600m。」 という解決で用いられる乗法の意味を既習の知識. ４． 比例の式に用いられる乗法の意味の構成 を目指した学習内容の体系. では説明することができない。前者と同じ結果に なっているのだから，後者の乗法も用いることが できるようにしたいという欲求に基づいて，次の. 比例の式に用いられる乗法を単位変換の除法に. 3つの課題の解決を通して3.6×1000の意味を明. よって意味づけるための学習内容の体系として，. らかにする。. 次の⑴～⑷の4段階を提案する。⑴は先行研究（渡. 第一の課題は，「前時の単位変換の問題場面で. 会，2011）で提案されている学習内容，⑵は従来. は除法で解決したが本時の問題場面では乗法で解. からの学習内容，⑶⑷は本稿が提案する学習内容. 決した。同じ単位変換の問題場面なのに用いられ. である。. る演算が異なるのはなぜか。そして，乗法を用い. ⑴ 再測定する演算への包含除の意味の拡張. るのか除法を用いるのかの判断はどうしたらいい. 第4学年の小数倍を求める学習内容において倍. のか。」ということである。この課題については，. の意味を拡張するとともに，包含除の意味を再測. 長さの他の単位変換（km，m，cm，mm）の問. 定する演算へと拡張する。. 題場面も併せて扱うことで，乗法を使う場合と除. ⑵ 分数の除法. 法を使う場合それぞれに共通する規則がみえてく. 第6学年の分数の除法の学習内容において，分 1 数の除法p÷ を乗法p×aに式変形できるように a する。. る。例えば，「単位量から単位変換する場合には. 162. 乗法で，単位量に単位変換する場合は除法を用い る。」という規則を見い出せば， 「0.8kmは何mか。」.
(10) 比例の式の乗法についての量に対する操作による意味づけ. を求める場合には「1kmを1000mに単位変換する. ば，図23で表される関係について，従来の学習内. から単位量からの単位変換である。よって乗法0.8. 容を既習の知識とした場合には，表を縦に見る対. ×1000によって単位変換できる。」と解決するこ. 応の関係に着目し，x×6＝yの関係を見い出した. とができる。また，図21のように比例数直線図を. としても，その乗法の意味を説明することができ. 描いて，さらに図22のように対応の矢印を描き加. ないため，結局は説明することのできる表を横に. えることで乗法・除法の演算決定をするという方. 見る変化の関係に基づいたy＝6×xを表すことに. 法も見い出すことができる。この方法は，既習の. なる。つまり，y＝6×xとは， x 分後の水の深さ. 乗法・除法の演算決定を比例数直線図を用いて. ycmは，1分後の時の深さ6cmの x 倍の大きさで. 行ったことと方法の統合ができるだけでなく，矢. あることを意味している。しかしながら，y＝6×x. 印の向きの違いにより既習の乗法と単位変換の乗. における y は量であるが x は数であるから，この. 法の意味の違いが明確に表現されるという利点が. 式は2量 x ， y の関係を表しているとは言えない。. ある。. 【図23】. 【図21】. 【図22】. 一方で，単位変換の乗法・除法が既習の場合に は，対応の関係に着目したx×6＝yにおける乗法. 第二の課題は， 「同じ単位変換の問題場面なの. を既習の知識に基づいて説明することができる。. だから，乗法と除法という2つの考え方ではなく. まず乗法の意味を説明することができなかった単. 1つの考え方に統合することはできないか。」と. 位変換の乗法の問題場面を振り返ることで，乗法. いうことである。この課題については，分数の除. を除法x÷（1/6）＝yに変形する。この式を単位変. 法 の 計 算 規 則 に 基 づ い て，3.6×1000を3.6÷. 換の意味で解釈すると，｢ x 分を（1/6）分を単位. （1/1000）と捉え直すことで，測定による単位変. とした再測定によって単位変換するとycm。｣ と. 換の除法の意味で解釈することができる。. なる。すると，既習の単位変換は同種の2量で単. 第三の課題は， 「単位変換に用いられる乗法の. 位が異なる場合であったが，この解釈では異種の. 意味は何か。 」ということである。この課題につ. 2量の単位変換をしており，異種の2量の場合も. いては，第二の課題の解釈に基づいて，演算とし. 単位変換の除法を用いてよいのかという課題が生. ては乗法が用いられているが，それは除法の式変. じる。そこで，単位変換の除法をどのように意味. 形したものとみなして，再測定により単位変換す. づけたのかを振り返ると，再測定による何倍かを. る操作として単位変換に用いる乗法を意味づける。. 求める操作と，その測定結果を適用して何倍かの. そして，上記の学習後の適用場面としては，時. 大きさを求める操作の複合であった。その一連の. 間の単位変換（1分＝60秒）や外貨両替（1ドル. 操作においては，問題場面が異種の2量の場合で. ＝124円）といった小数点の移動では単位変換が. あっても再測定によって何倍かを求め，その結果. できず，かつ現実世界で直面しうる問題場面があ. をもう一方の量に適用するという操作を同様に行. る。. うことができるから，異種の2量の場合について. ⑷ 単位変換の乗法に基づいた比例の式の意味づ. も単位変換の除法を用いることができることを認. け. める。これにより，x×6＝yは異種の2量の場合. 第6学年の比例の学習内容では，比例関係にあ. の単位変換の乗法としてその意味を説明すること. る2つの量の関係を表に基づいて式で表す。例え. ができるのである。. 163.
(11) 渡 会 陽 平. そして，単位変換の乗法によって式化された. きる意味づけである。. x×6＝yにおいて， x と y はともに量である。つ. 今後の課題は，本稿で提案した比例の式で用い. まり，比例関係にある2つの量の関係を量と量の. られる乗法の意味づけ及びそれに伴う比例定数の. 対応として表している。加えて，その対応関係は. 意味と，異種の2量の割合の学習内容との整合に. 量に対する操作によって説明することができるの. ついて検討し，それらを関連させて意味を構成す. で，数と数の形式的な対応関係としてではなく，. ることができる学習内容について検討することで. 具体的な操作を伴った対応関係として比例の式の. ある。. 意味を構成することができるのである。. 註 ５．まとめと今後の課題 本稿では，Vergnaudの概念野理論を枠組みと した理論的考察を通して，比例の式に用いられる 乗法についての量に対する操作による意味づけを 検討した。その結果，再測定する演算から単位変 換する演算へと拡張した包含除の意味によって比 例の式に用いられる乗法の意味づけをすること で，具体的な操作を伴った対応関係として比例の. １．本稿は平成27年11月に開催された日本数学教育学会 第48回秋期研究大会において口頭発表した内容につい て 詳 説 及 び 加 筆・ 修 正 し た も の で あ る。（ 渡 会 陽 平 （2015）．算数科における比例の式に用いられる乗法に ついての量に対する操作による意味づけ．日本数学教 育学会 第48回秋期研究大会発表集録，213-216.） ２．日本数学教育学会第48回秋期研究大会の口頭発表に おいて本論文の ｢単位変換の問題場面における問題解 決 の 思 考 の 特 徴 づ け ｣ に つ い て 発 表 し た 際 に， 「Vergnaudの単比例の枠組みにおいてM1とM2に同じ. 式の意味を構成することができることを示した。. 種類の量を設定してもよいのか。Vergnaudはそういう. 上述したように，本稿で提案した学習内容にお. 用い方を認めているのか。」という質問をいただいた。. いて比例の式に用いられる乗法は単位変換によっ. Vergnaud（1983）の定義する単比例の構造とは，｢2 つの測度空間M1とM2の間に正比例の関係のある構造｣. て意味づけられる。単位変換によって乗法を意味. である。Vergnaud（1983）は「測度空間は半ベクトル. づけることは日本の算数教育では馴染みがない. 空間（量は正値）」，即ち測度空間とは集合の要素が正. が，海外のElkonyn-Davydovカリキュラム（E-D. 値に限定されたベクトル空間であると述べており，本. カリキュラム）では乗法を単位変換として導入す る試みがなされている（Simon & Place，2012）。. 稿の図11で示した単位をkmとする長さの集合も単位を mとする長さの集合もともに測度空間の条件を満たし， それらの間には比例関係がある。従って，Vergnaudの. しかしながら，本稿で提案した単位変換による乗. 定義に従えば，単位系の異なる同じ種類の量をM1とM2. 法とE-Dカリキュラムにおける単位変換の乗法と. に設定することに何も問題点は無い。実際，Vergnaud. では意味が異なるっているという点を強調してお きたい。即ち，E-Dカリキュラムにおける単位変. （1983） 自身も，スカラー比と関数比の議論の中で， 「あ る単位系をもう一方の単位系に変換する問題の場合の ように，M1とM2が異なる単位で表された同種の大きさ. 換の乗法はSchwartz（1988）による乗法の分類. のときでさえも…（以下，本稿の筆者による略）」とい. における ｢ （内包量）×（外延量）｣ を意味するの. うように，単比例の構造においてM1とM2に同種の量を. に 対 し て， 本 稿 で 提 案 し た 単 位 変 換 の 乗 法 は. 設定した場合について言及している。. Vergnaud（1983）の単比例の構造における ｢（量）. 引用・参考文献. × （関数比） ｣ を意味するという違いがある。そし て，本稿で提案した単位変換による乗法の意味づ けは，日本の算数教育において既習である ｢（基. Schwartz, J. (1988). Intensive quantity and referent transforming arithmetic operations. In J. Hiebert & M.. 準量）×(割合） ｣ と同様に量に対する操作の意味. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the. づけであり，｢ （基準量）×（割合）｣ と合わせて乗. middle grades, Hillsdale: Lawrence Erlbaun Associates,. 法の意味を ｢ （量）×（割合）｣ で統合することがで. 164. 41-52..
(12) 比例の式の乗法についての量に対する操作による意味づけ. Simon, M. A. & Place, N. (2012). Reasoning about intensive quantities in whole-number multiplication? A possible basis for ratio understanding. For the Learning of Mathematics, 32⑵, 35-41. Vergnaud, G. (1983). Multiplicative structures. In R. Lesh & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes, New York; Tokyo: Academic Press, 127-175. Vergnaud, G. (1988). Multiplicative structures. In J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle grades, Hillsdale: Lawrence Erlbaun Associates, 141-161. 大谷実，中村雅恵（2004）．比例の指導における数表・グ ラフ・式のシンボル化過程 －教授実験における教師と 児童の談話の質的分析－．日本数学教育学会誌 第86巻． 第4号．3-13. 中島健三（1981） ．算数・数学教育と数学的な考え方：そ の進展のための考察．金子書房． 日野圭子（1997） ．一人の児童を通してみた数学的表記の 内化の過程の分析 －比例的推論との関わりにおいて－ （Ⅱ）．日本数学教育学会誌 第79巻 第4号．2-10. 宮下英明（2014）．｢比例｣ の数学と現行指導内容の対照 － ｢比例｣ がどのような主題なのかの確認のために－． 日本数学教育学会誌 第96巻 第6号．4-11. 渡会陽平（2011） ．小学校算数科における乗除法の意味に 関する学習過程の分析 －G.Vergnaudの概念野理論を 枠組みとして－．日本数学教育学会誌 第93巻 Vol.97・ 98．3-16.. . （札幌校特任講師）. 165.
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