第５学年○組 算数科学習指導案
指導者 ○○ ○○ １ 単元 「面積」 ２ 指導観 本学級の子供たちは、正方形や長方形、直角三角形の色板やカードを並べたり、敷き詰めたりする具 体的な操作活動を通して、図形の倍積変形の素地となる経験をしてきている。また、長方形を組み合わ せた複合図形の面積の求め方を、具体物を用いたり、言葉、数、式、図を用いたりして、等積変形や倍 積変形して考える学習を積み上げてきている。本単元「面積」の事前調査においては、約９割の児童が 長方形と正方形の求積公式「縦×横」「１辺×１辺」を正確に理解することができている。しかし、そ の求積公式を活用して解決する問題では、「周りの長さの和が同じ長方形や正方形であっても面積は違 う」ということを、求積して面積を比べ、根拠をもって説明できた児童は半数であった。その原因とし て、面積は周りの長さの和に関係しないことを理解できていないことや、言葉と式を使って根拠を説 明する力が十分身に付いていないという課題が考えられる。そこで、具体物の操作活動を取り入れた 学習を展開しながら、図形の構成要素に着目し、関係を適切に捉えて既習の図形に帰着させて統合的 に考えるとともに、条件を変えながら図形を変形していくような発展的に考える力も育んでいきたい。 本単元に関しては、第４学年で、長方形や正方形の面積を求めるには、単位の正方形を敷き詰めてそ の個数を求めればよいことを使って、長方形や正方形の面積公式を導き出す学習をしてきている。ま た、長方形や正方形を組み合わせた複合図形の面積を、分割や補完の考えを使いながら既習の図形に 変形して求積する学習もしてきている。そして、第５学年では、三角形や四角形の辺や角の構成要素と それらの関係を基に対応する辺の長さや対応する角の大きさを使って、合同な図形を作図したり、内 角の和を求めたりする学習もしてきている。本単元では、これらの上に立って、三角形や平行四辺形、 台形、ひし形などを求積するために必要な辺に着目し、既習の長方形や正方形に変形する操作活動を 通して、求積公式を導き出すことができるようにさせる。このことは、第６学年の「概形とおよその面 積」や「円の面積」の学習へと発展していくものである。 本単元の指導にあたっては、三角形や平行四辺形、台形及びひし形の求積の仕方を、既習の求積可能 な図形の求積方法を基に考えたり、説明したり、公式を導き出したりすることができるようにする。そ のために、前時までの学習で身につけた内容を基に、既習の図形に帰着することができるような操作 活動を多く取り入れ、主体的に学習活動ができるような教材を工夫していく必要がある。 まず、方眼のある直角三角形と一般三角形、平行四辺形の面積を、図形の周りの長さとの関係性の有 無を考えながら、既習の長方形や正方形に変形して求積させる。その際、「図形の一部を移動して、既 習の図形に等積変形する考え」や「既習の図形の半分の面積となる倍積変形の考え」を使って求積する ことを、具体物の操作を通して理解させていく。単元を通して、図形の求積に必要な「底辺と高さ」に 着目できるようにするために、変形した長方形の縦には青色を、横には赤色を付ける作業を設定する。 ここでは、図形の周りの長さと面積には関係がないことだけでなく、「既習である長方形や正方形に変 形できれば、未知の図形の面積も求めることができる」という統合的に考察することのよさにも気付 くことができるようにする。 次に、方眼のない三角形を求積する方法を考え、求積公式を導き出させる。前時に使った具体物（図 形カード）を操作しながら、変形した長方形の縦と横になる辺が元の三角形のどの辺にあたるかを見 つける活動を取り入れる。そして、底辺には赤色を、高さには青色を付けさせて、互いに垂直になって いる関係に着目させる。そこから、三角定規を使って高さを見つけることによって、求積公式を導き出 せるようにする。さらに、周りの長さが 24 ㎝、底辺が８㎝のときの最大、半分面積になる三角形をつ くる活動を仕組み、高さが底辺上にない場合でも三角形の求積公式が使えることを見いださせる。こうして、三角形の求積公式の適用範囲を広げることができるようにする。また、平行四辺形についても 三角形と同じような学習活動を仕組み、求積公式とその適用範囲を広げることができるようにする。 さらに、台形とひし形の面積を、既習の三角形や平行四辺形、長方形を基に考え、求積公式を導き出 させる。既習の図形に等積変形したり、倍積変形したりする考えを用いながら、これまでと同じように 底辺には赤色を、高さには青色をつけて着目させる。多様な解決方法を基に求積に必要な「底辺と高 さ」の共通点を見いだし、そこから求積公式をつくっていく。その後、台形においては上底の長さを変 えたり、ひし形においては対角線を移動させたりした条件を変えた学習問題に取り組み、解決するこ とを通して、適用範囲を広げていけるようにする。 特に、本時の指導にあたっては、１単位時間を３段階（導入・展開・終末）に分けて設定し、各段階 で学習活動を仕組んでいく。導入では、ひし形の対角線を動かしてできた図形（凧型四角形）を求積 し、元のひし形の面積と比較するという本時の学習課題をつかむ。その後、学習ノートを基に振り返っ て、ひし形を変形した図形を三角形に分けたり、移動して長方形に変形したりして求積するという見 通しをもつ。展開では、対角線で分けた三角形の底辺と高さや長方形の横と縦を見つけ、そこから三角 形や長方形の求積公式を使いながら図形の面積を調べていくことで、ひし形の面積と等しいことを見 いだす。さらに、図形を変形させて二等辺三角形や凹型四角形になっても、面積は変わらないことから ひし形の求積公式「対角線×対角線÷２」が使えることを交流を通して見つけ出す。終末では、本時学 習を振り返るとともに、これらの図形はひし形の求積公式と同じ「対角線×対角線÷２」で求積できる ことを理解できるようにする。 ３ 単元の目標 ・三角形や平行四辺形、ひし形、台形などの求積方法や公式を導き出すために、既習の長方形や正方 形に変形するという考えに帰着して、見通しをもつことができる。【主体的に学習に取り組む態度】 ・既習の長方形や正方形の求積方法を基にして、倍積変形や等積変形、分割等の考えを用いて、三角 形や平行四辺形、台形、ひし形の面積の求め方を、具体物や図、式、言葉などを用いて説明し、求 積公式をつくりだすことができる。 【知識・技能】 ・三角形や平行四辺形、台形、ひし形は、底辺と高さを見つければ求められることを基に統合し、ひ し形の対角線を垂直に動かしてできる図形を求積する式を発展的に考察することができる。 【思考力・判断力・表現力】 ４ 単元計画（全 10 時間） 段階 配時 主な学習活動 一連の問題解決過程の学習問題 生 成 ② ○ 方眼の入った直角三角形、一般三 角形、平行四辺形を切ったり、動か したり、組み合わせたりして、既習 の長方形に変形する。 ○ それぞれの図形を既習の長方形 に変形したときの「縦と横」に色を 付けて着目し、それを基に求積し、 面積を比較する。 深 化 （ 傾 き を 変 ② ○ 三角形を変形した長方形を基に、 その横（底辺）と縦（高さ）に着目 し、求積公式をつくる。 ○ 高さが底辺上になくても三角形 の求積公式が使えることを捉える ために、変形カードを使って鈍角三 周りが 24 ㎝の五つの図形を広い順に並べてみると… 問い１ 長方形に変形して、面積比べが できるかな？ 問い２ どの辺の長さが分かれば面積 が計算で求められるかな？ ※方眼なし 周りが 24 ㎝、底辺が８㎝の三角形の頂点を動かすと…
② ○ 平行四辺形を変形した長方形（正 方形）や三角形を基に、その横（底 辺）と縦（高さ）に着目し、求積公 式をつくる。 ○ 高さが底辺上になくても平行四 辺形の求積公式が使えることを捉 えるために、変形カードを使って高 さを底辺上に移し、面積が変わらな いことを調べる。 活 用 （ 対 象 を 変 え て ） ② ○ 三角形分割や平行四辺形にする 倍積変形を使って台形の面積を求 め、求積公式をつくる。 ○ 台形の上底を０㎝にして三角形 に、上底と下底を同じ長さにして平 行四辺形に変形した台形を基に、台 形の求積公式が使えるかどうかを 調べる。 ② 本 時 ○ 三角形分割や長方形にする等積 変形、倍積変形を使ってひし形の面 積を求め、求積公式をつくる。 ○ ひし形を変形した凧型四角形や 凹型四角形、二等辺三角形の面積を 既習の考えを使って求積し、それを 基に公式をつくり、ひし形の求積公 式と比較する。 ５ 本時（10/10 時） 平成○年○月○日（○曜日） 第○校時 第５学年○組教室において ○主眼 ・ひし形を基に変形した凧型四角形や凹型四角形、二等辺三角形もひし形と同じ求積公式「対角 線×対角線÷２」で求積できることを捉えることができる。 ・ひし形と凧型四角形の求積を通して面積を比較し、さらに対角線を動かしてできる凹型四角 形、二等辺三角形の求積の仕方を説明することができる。 ○準備 三角定規、学習ノート、提示用図形、ひし形変形教具 学習活動 教師の支援と評価規準 導 入 5 １ 本時の学習課題を話し合う。 ・形が変わったし、面積も変わるんじゃな いかな。 ・対角線がずれているだけだから、面積は 等しいと思うな。 ○ 前時学習を振り返りやすいように、既習図 を掲示しておく。 ○ 四角形（平行四辺形や台形を含む）は、 既習の図形に変形すれば求積できたことを 全体で確認し、学習ノートを基に、変形し て求積するという見通しをもてるようにす る。 ○ ひし形の縦の対角線を垂直に動かしなが ら頂点の位置を変え、凧型四角形に変形で きる具体物（ひし形変形マシーン）を準備 し、様々な凧型四角形をつくらせる。 ひし形の１本の対角線を動かして、たこ型 四角形をつくりました。もとのひし形と面 積は同じでしょうか。 台形の上の底辺の位置や長さを変えてみると… 問い２ 面積が半分になる場合の高さ はどこを測ればいいかな？ 問い１ 台形の場合は、どこの辺の長さを取 り出して求積公式をつくるのかな？ 問い２ もし、台形の上底の長さが、０㎝や下底と同じになっても台形公式が使えるのかな？ 問い２ もし、対角線を動かして凧型や凹型四角形 になっても同じ公式が使えるのかな？ 問い１ 方眼なしでも、求積公式がつ くれるかな？ ※方眼なし 周りが 24 ㎝、底辺が５㎝の平行四辺形の傾きを変えてみると… 問い１ ひし形の場合は、どこの辺の長さ を取り出して求積公式をつくるのかな？ ひし形の対角線の長さや位置を変えてみると…
5 展 開 15 15 ２ 凧型四角形を求積する方法を見通し、本 時学習のめあてを話し合う。 ・三角形に分ければ求められそうだな。 ・長方形に変形したら求められそう。 ・ひし形の求積公式が使えるのではないか な。 ３ 凧型四角形の面積の求め方を調べ、交流 する。 ４ ひし形の対角線を垂直に動かしてできる 二等辺三角形や凹型四角形の面積について も、ひし形の面積公式が使えるか調べる。 ○ 凧型四角形を、既習図形に変形して調べ た面積と、ひし形の求積公式を用いて調べ た面積を比較することを全体確認する。 ○ 変形した図形の求積に必要な辺の長さに 色を付けながら、凧型四角形を求積させる ようにする。 ○ 自力追求が困難な児童には、切ったり、 組み合わせたりしながら考察できる図形カ ードを準備する。 ○ 早く解決できた児童には、別の方法にも チャレンジさせる。 ○ ひし形変形マシーンを使って、さらに対 角線を動かして二等辺三角形や凹型四角形 に変形して考えられるようにする。 ○ 変形した図形の求積に必要な辺の長さに 色を付けながら、二等辺三角形や凹型四角 形を求積させるようにする。 ○ 全体交流の際、考察した図や式が全体で 確認しやすいように、テレビモニターに映 し出す。 ○ 底辺を固定したとき、高さを変えなけれ ば面積も変わらないことを想起させるため に、既習を振り返る活動の場を設定する。 ひし形の対角線を動かして変形した図形の面積の求め方を調べ、公式をつくろう もっと形を変えてみても、ひし形の 公式が使えるのかな？ 合同な三角形が２つある から、 １０×３÷２×２＝３０ ひし形の面積は １０×６÷２＝３０ だから、たこ型四角形の 面積も同じになるよ。 囲み長方形で考えると、 １０×６÷２＝３０ ひし形の面積は １０×６÷２＝３０ だから、たこ型四角形の 面積も同じだよ。 式も同じになっているか ら、たこ型四角形も 「対角線×対角線÷２」 で求められるね。 （評価規準） 学習ノートの「ひし形求積公式」や「変形」 に着目して、見通しをもつことができる。 （評価規準） 既習の図形に変形した考えを使って、たこ型 四角形の面積を求め、解決方法や考えを説明 することができる。 ひし形の対角線を動かして変形した図形の面積も「対角線×対角線÷２」が使える。 三角形 の面積公式を 使うと、 ６×10÷２＝30 ひし形 の公式にあて はめてみても ６×10÷２＝30 とやっ ぱり同じにな るよ。 三角形 の面積公式を 使うと、 10×３÷２×２＝30 ３×２＝６だから、そ う考え るとひし形の 公式と同じになるね。
終 末 5 ５ 学習を振り返り、本時学習をまとめる。 ○ ひし形の対角線を垂直に動かしてできた 図形であっても、ひし形の求積公式と同じ仕 組みになっていることを学習ノートに振り 返るよう助言する。 どの図形でも、ひし形と同じ公 式で求められたね。 （評価規準） 対角線の長さを変えずに頂点を変えていく ことで、ひし形を別の形の四角形に変形し てもひし形の求積公式と同じになることを 振り返ることができる。
