インド式算術の教材作成について

インド式算術の教材作成について

平井 剛和

∗

_{，菅田 慶}

∗

_{，川崎 雄貴}

∗

On the Preparation of Teaching Materials of Indian Arithmetic

Yoshikazu HIRAI, Kei SUGATA and Yuki KAWASAKI

　 India’s mathematics education has attracted attention because it has been featured in numerous media. In this paper, we introduce the teaching materials of Indian arithmetic that we have created. It makes calculation and mental arithmetic surprisingly fast, and makes it difficult to make mistakes in mental arithmetic by using a method that is as easy as possible.

KEYWORDS： basic mathematics, arithmetics, multiplication, mental arithmetic, Indian arithmetic

1

はじめに

　インド式算術はインドで発祥し発達した計算手法 である。本稿は小学生から大人まで（特に学生や受 験を控えた受験生）を対象とするが，読者は主に中 学生以上を想定して執筆した。 　インド式算術の特徴としては，日本の計算が万能 な筆算のみが使用されるのに対して，インド式では 掛け算そのものをグループに分類してパターン化し てしまう。これによりで掛け算が短い計算手順で行 える。この結果，計算量の圧縮，暗算がしやすくな る，という２つの効果が得られる。そして，この２ つの効果の最大のメリットとして計算ミスを劇的に 減らすことができる。これがインド式算術の最も重 要な特徴である。 　本稿ではインド式算術について次の順序で解説す る。 　 1. 条件（パターン分け）の説明 　 2. 計算方法の説明 　 3. なぜそうなるかの仕組みの説明 　　（この部分は，数式が小学生の学習範囲外のた 　　　め中学生以上が対象） 　 4. 練習問題 ∗ _一般教科

2

整式の乗法

2.1 ab

× 11

型

例題 1 ２ケタの数と 11 のかけ算 36× 11 = ? [解答] 396 　 [インド式算術] 36× 11 = 3 9 6 36の十の位 36 の十の位と一の位の和 36 の一の位 a a + b b [考え方] a× b = (10 × a + b) × (10 + 1) = 100× a + 10 × a + 10 × b + b = 100× a + 10 × (a + b) + b = 　百の位　　十の位　一の位 練習 1 (1) 24× 11 = 264 (2) 42× 11 = 462 (3) 54× 11 = 594 (4) 11× 33 = 363 (5) 11× 62 = 682 (6) 11× 71 = 781 (7) 11× 27 = 297 (8) 81× 11 = 891 (9) 76× 11 = 836 (10) 11× 83 = 913

2.2 ab

× ac (b + c = 10)

型

例題 2 十の位が同じで一の位が足して 10 になる 2 桁の数 のかけ算 81× 89 = ? [解答] 7209 　 [インド式算術] 81× 89 = (8 + 1) × 8 ... 1× 9 72 ... 09 a× (a + 1) ... b× c [考え方] ab× ac = (10× a + b) × (10 × a + c) = 100× a2_{+ 10× a × b + 10 × a × c + b × c} = 100× a2_{+ 10× a × (b + c) + b × c} = 100× a2_{+ 100× a + b × c ⇐= b + c = 10 だから} = 100× a × (a + 1) + b × c 　　百千の位　　一十の位 練習 2 (1) 27× 23 = 621 (2) 54× 56 = 3024 (3) 71× 79 = 5609 (4) 32× 38 = 1216 (5) 66× 64 = 4224 (6) 98× 92 = 9016 (7) 13× 17 = 221 (8) 45× 45 = 2025 (9) 39× 31 = 1209 (10) 82× 88 = 7216

2.3 ab

× cb (a + c = 10)

型

例題 3 一の位が同じで十の位が足して１０になる 2 桁の 数のかけ算 43× 63 = ? [解答] 2709 　 [インド式算術] 43× 63 = 4 × 6 + 3 ... 3× 3 = 27 ... 09 a× c + b ... b2 [考え方] ab× cb = (10× a + b) × (10 × c + b) = 100× a × c + 10 × a × b + 10 × b × c + b2 = 100× a × c + 10 × b × (a + c) + c2 = 100× a × c + 100 × b + c2_{⇐= a + c = 10 だから} = 100× (a × c + b) + c2 　百千の位　　一十の位 練習 3 (1) 24× 84 = 2016 (2) 37× 77 = 2849 (3) 92× 12 = 1104 (4) 53× 53 = 2809 (5) 61× 41 = 2501 (6) 76× 36 = 2736 (7) 85× 25 = 2125 (8) 19× 99 = 1881 (9) 56× 56 = 3136 (10) 74× 34 = 2516

2.4 (100

− a) × (100 − b)

型

例題 4 2つの数が 100 に近い時の２桁のかけ算 98× 97 = ? [解答] 2709 　 [インド式算術] 2 3 98 × 97 = 97 − 2（または 98 − 3） ... 2× 3 = 95 ... 06 100− a − b ... a× b [考え方] (100− a) × (100 − b) = 10000− 100 × a − 100 × b + a × b = 100× (100 − a − b) + a × b 　　百千の位　　　一十の位 練習 4 (1) 94× 92 = 8648 (2) 95× 97 = 9215 (3) 91× 93 = 8463 (4) 96× 95 = 9120 (5) 90× 93 = 8370 (6) 85× 97 = 8245 (7) 96× 89 = 8544 (8) 94× 87 = 8178 (9) 71× 99 = 7029 (10) 75× 96 = 7200

2.5 a5

_{× b5}

型

例題 5 2つの数の一の位が共に「5」の時の２桁のかけ算 35× 75 = ? [解答] 2625 　 [インド式算術] 35 × 75 = 3 × 7 +3 + 7 2 .. . 5× 5 = 21 + 5 ... 25 = 26 ... 25 a× b +a + b 2 .. . 25 [考え方] a5× b5 = (10× a + 5) × (10 × b + 5) = 100× a × b + 50 × a + 50 × b + 25 = 100× a × b + 100 ×a + b₂ + 25 = 100× ( a× b +a + b 2 ) + 25 　　百千の位　　　　一十の位 練習 5 (1) 15× 35 = 525 (2) 45× 85 = 3825 (3) 75× 55 = 4125 (4) 25× 25 = 625 (5) 65× 45 = 2925 (6) 95× 15 = 1425 (7) 35× 75 = 2625 (8) 25× 45 = 1125 (9) 55× 65 = 3575 (10) 85× 15 = 1275

2.6 1a

_{× 1b}

型

例題 6 2つの数が 11～19 までの時の２桁のかけ算 13× 12 = ? [解答] 156 　 [インド式算術] 13 × 12 = 13 + 2 ... 2× 3 = 15 ... 6 1a + b ... a× b [考え方] 1a× 1b = (10 + a) × (10 + b) = 100 + 10× a + 10 × b + a × b = 100 + 10× (a + b) + a × b = 10× (10 + a + b) + a × b = 10× (1a + b) + a × b 　　十百の位　　　一の位 練習 6 (1) 14× 12 = 168 (2) 13× 13 = 169 (3) 15× 16 = 240 (4) 19× 13 = 247 (5) 18× 15 = 270 (6) 12× 16 = 192 (7) 13× 17 = 221 (8) 18× 19 = 342 (9) 17× 12 = 204 (10) 15× 15 = 225

2.7 2a

_{× 2b}

型

例題 7 2つの数が 21～29 までの時の２桁のかけ算 23× 21 = ? [解答] 483 　 [インド式算術] 23 × 21 = (23 + 1) × 2 ... 3× 1 = 48 ... 3 (2a + b)× 2 ... a× b [考え方] 2a× 2b = (20 + a) × (20 + b) = 400 + 20× a + 20 × b + a × b = 400 + 20× (a + b) + a × b = 10× {2 × (20 + a + b)} + a × b = 10× {2 × (2a + b)} + a × b 　　十百の位　　　一の位 練習 7 (1) 24× 22 = 528 (2) 21× 25 = 525 (3) 22× 22 = 484 (4) 27× 24 = 648 (5) 25× 26 = 650 (6) 29× 23 = 667 (7) 21× 28 = 588 (8) 26× 27 = 702 (9) 28× 23 = 644 (10) 29× 29 = 841

2.8 2

桁のクロス筆算

例題 8 次の 2 桁のかけ算を筆算でやってみよう！ (1)42× 34 = ?　　　　 (2)76 × 49 =? [解答] (1) 1428　　　 (2) 3724 　 [インド式算術] (1)　　　　　　　 (2) 4 ... 2 × 3 ... 4 12 ... 08 1 ... 6 + ... 6 14 ... 28 　　　　 7 ... 6 × 4 ... 9 28 ... 54 6 ... 3 + 2 ... 4 37 ... 24 [考え方] ab× cd 　　 = (10a + b) × (10c + d) 　　 = 100 × a × b + 10 × (a × d + b × d) + b × d 　　　　上 2 桁　　　　クロス積の和　　下 2 桁 練習 8 (1) 27× 35 = 945 (2) 56× 48 = 2688 (3) 73× 82 = 5986 (4) 69× 13 = 897 (5) 97× 26 = 2522 (6) 83× 36 = 2988

2.9 3

桁のクロス筆算

例題 9 次の 3 桁のかけ算を筆算でやってみよう！ (1)121× 123 = ?　　　　 (2)976 × 174 =? [解答] (1) 14883　　　 (2) 169824 　 [インド式算術] (1)　　　　　　　 (2) 12 ... 1 × 12 ... 3 144 ... 03 3 ... 6 .. 　　　 97 ... 6 × 17 ... 4 1649 ... 24 38 ... 8 .. [別解] (1)　　　　　　　 (2) 1 ... 21 × 1 ... 23 1 ... 0483 .. . 23 + ... 21 1 ... 4883 　　　 9 ... 76 × 1 ... 74 9 ... 5624 6 ... 66 + ... 76 16 ... 9824 ab× cd 　　 = (10a + b) × (10c + d) 　　 = 100 × a × b + 10 × (a × d + b × d) + b × d 　　　　上 2 桁　　　　クロス積の和　　下 2 桁 練習 9 (1) 417× 115 = 47955 (2) 326× 381 = 124206 (3) 677× 473 = 320221 (4) 985× 992 = 977120 (5) 356× 557 = 198292 (6) 134× 142 = 19028 (7) 276× 225 = 62100 (8) 746× 244 = 182024 (9) 299× 192 = 57408 (10) 814× 315 = 256410

2.10 4

桁のクロス筆算

例題 10 次の 4 桁のかけ算を筆算でやってみよう！ (1)1112× 1314 = ?　　　　 (2)9789 × 8193 =? [解答] (1) 1461168　　　 (2) 80201277 　 [インド式算術] (1)　　　　　　　 (2) 11 ... 12 × 13 ... 14 143 ... 0168 1 ... 54 + 1 ... 56 146 ... 1168 　　　 97 ... 89 × 81 ... 93 7857 ... 8277 90 ... 21 + 72 ... 09 8020 ... 1277

3

おわりに

一般に我々が知りたいのは，どうすれば計算が速 くなるかという具体的な方法とその成果である。本 稿の効用は以下の 2 つである。 　 （Ａ）計算が速くなり，計算ミスが減少する。 （Ｂ）各種入学試験の受験対策としても有効である。 　 　実際に，本校入学を希望する中学生とその保護者 を対象に，本稿の内容にしたがって 1 日で計 4 時間 の講義を実施したことがある。このとき，受講前と 受講後に，各 1 回ずつ合計 2 回小テストを実施し た。その結果、詳細な記録は残っていないが，受講 者 4 名全員が 1 回目の小テストの結果より，2 回目 の小テストの結果の方が，問題をとき終えるまでの 時間は短縮し，正解率も向上していた。なお、実施 した小テストは下記の通りで、完答までの時間と得 点を記録した。

小テスト

　名前（　　　　　　）　時間（　　分　　　秒） (1) 36× 11 (2) 81× 89 (3) 43× 63 (4) 98× 97 (5) 35× 75 (6) 13× 12 (7) 23× 21 (8) 42× 34 (9) 76× 49 (10) 121× 123 参考図書 『インド式計算ドリル：九九を卒業した人みんなに 贈る魔法の計算トレーニング』中村享 著，加々美 勝久 監修，マニッシュ・プラネ 編，晋遊舎，2007.3 ＜ MA51-H91 ＞