茨城大学教育学部紀要（教育科学），28号（1979），1−11。 1
算数・数学教育における記号について（IV）
宮田龍雄・佐藤瑛一・稲見泰生
（1978年10月16日受理）
The Symbols， Terms and Operations in School Mathematics（W）
Tatsuo MIYATA，Ei ichi SAToH and Yasuo INAMI
（Received October 16，1978）
ま え が き
小学校・中学校・高等学校の算数・数学教育を通して，算数・数学科のかかげている目標を達成す るための1つとして，数学的な用語や記号を用いることの意義について理解させることが挙げられ，
この用語・記号を用いて数学的な性質や関係を表現したり，思考を進めたりすることができるように なることや，そのような態度を育てることが指導に際しては重要であるとされている。そこで，算数
・数学教育の中で，数学的な概念の規定，数学的な操作の表示，論理の基礎に用いられる用語・記号 について，これらがどのような意味をもって導入され，そして定義づけられるか，また，それらは学 習が進行していく過程で，その意味内容力・どのように変化していくかにつし、て先に数，等号．不等ぜ！
四則演算のうち加法減混小学校における乗法．除鎌っしπ述べてきたが，ここでは中学校．高 等学校における乗法・除法に限定して考察していくことにする。
本 論
中学校第1学年において，1以外の正の整数が素数の積として（一意的に）表わされること，これ を用いて整数の約数・倍数などの整数のもつ初等的性質が指導される。小学校においても一応分数指 導の前段階として約数・倍数については大まかな指導があるが（第5学年），それらを前提としなが
ら，ここでは整数のもつ性質として構造的な見方から扱うことになっている。整数のもつ性質を調べ るために基本的には素数の積を用いるという点で，小学校における整数間の単なる乗法とここでの整 数を構成するための素因数の間の乗法とは異なった意味と解釈される。このことについて指導書では
「素数の意味を理解させ，これをもとにして，整数が素数の積として表わされることを明らかにし，
4）約数・倍数など整数の性質についての理解を深める」として合成数が「素数の積として表わすことが
4）できることをわからせる」ことや，これをもとにして公約数・公倍数などを「能率的に求めたりする 4）ことができるようにする」と述べている。このことについての実際の取り扱いを教科書でみてみると，
奴整数aとbがあって，aがbの整数倍になっているとき， a−b×（整数）となる。このとき， b をaの約数，aをbの倍数という。 bが1のとき， a−1×aとなるから，1はすべての整数の約数 である．また，。が。のとき，。−b×。となるから，。はすべての整数の倍数である・？約数．倍 数についての定義を行ない，次にこれを用いて公約数・公倍数の定義があった後，賦公約数のうちで 最大のものを最大公緻という．8と、2の公約撫a4は，すべてその最大公約数4の緻である・5 P
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最大のもの撮大公約数という．8と12舩緻1，a4は，すべてその最大公約数4の緻である・？・公倍数はいくらでもあるが，それらのうち。をのぞ欧最小の数を，最小公緻と、、う・5主してい
の ●
る。他の教科書においてもほぼ同じような扱いになっているが，娘いくつかの整数に共通な約数を，
それらの数の公約数といい……・？・、、くつかの鹸数に共融緻を，それらの数の公緻といい
＿＿ H・bがどんな数であっても。−b×。だから，。はすべての轍の轍であるカ・，倍数・約 数については，。は除いて考えることにする≠いここでは陪数は自然数の集合で考えているので，
。は取り除かれるぞなどにみられるように，約数や倍数を轍の範囲で考焔か，自然数の範囲で 考えるかについては教科書間に相違が見られること，0の取り扱い方についてのくいちがい，最小公 倍数を考えさせるとき，0をはずして考える理由についての説明が見られないなどの問題点が残る。
また，整数の性質を学習するなかで，素因数に分解した結果を簡略に表わすため，累乗の考えが導 大される。たとえば， 同じ数を何回かかけあわせた数を累乗とよび，簡単に3×3−32，2×2×
Q−2・のように劾す・？・2乗，3乗などをまとめて累乗という・ ？・同じ数。を2個醐あわ せたものをa2，3個かけあわせたものをa3，4個かけあわせたものをa4，……と書き， a2，a3，
。・，……の形で表机たもの螺乗という傷ように説明されているが，累乗のために用いられる 乗法は，同じ数の間だけでの乗法であるという意味で以前とは異なった概念であり，それに伴う記号 が新たに必要となる。
中学校第1学年では，2進法や5進法の指導を通して，位取り記数法について学習する。数の表示 の仕方について10進法以外の表示の仕方もあることから，「位取り記数法の基本的な原理を一般的に 理解させ」）ることをねらいとしている．また，ここでは「二進法や五進激劾した数についての加 法や乗法については，これまでの十進法で表わした数の計算における原理や法則に基づいて計算して いけぽよいことを知らせる」4 して、、る．位取り記数灘ついての実際の取り扱いをみると，・たと えぽ，30435は10000×3＋1000×0＋100×4＋10×3十1×5を表わしたものである。……こ
のように，数字の位置によってその数字の表わす数の単位を示す数の表わし方を，位取り記数法とい う ，気璽たとえぽ，5472は10を基準にして，次のように表わせる。5472−103×5＋102×4＋
10×7＋1×2 10ずつまとめて上の位にあげ，それらをさらに10ずつまとめて上あ位にあげてい くようにして，おのおのの位の個数を並べて書く。このような整数の表わし方を10進法（十進記数法）
という・t°）・轍を表わすには，ふつう，＋倍ごと噺い、単位を作ってし・く方法を用いている．こ のような数の表わし方を十進法という。さらに，5307のように，各位の単位をはぶいて数字だけを ﾈらべて書き，それぞれの欝の位置で単位を示しているよう嬬数法雄取り謙法という・5差な っていて，いずれも10進位取り記数法は，10の異なった累乗を単位として数が表記されることを形 式的，機械的に説明している。したがって当然ながら2進法や5進法についても，2の累乗，5の累
欝髭賄二繭螺；瓢￡註輪論嫁蒲1こ
その単位（大きさ）のちがいを，数字のおかれている位置のちがいによって示すことによっているこ とが上から与える形で説明されているといえよう。また，2進法，5進法によって表示された数の間 の諸演算のなかで，代表的なものとしての加法・乗法の極めてかんたんな取り扱いが見られる。とく に乗法は，10進法表示による乗法とは形式の上で異なるので，ここではまず5進法や2進法での乗法 繼繧ﾌ表を作り，これを利用して計算は，・＋進法の場合瞼らってすればよい・8 P・数が五進法で 表わされているときも，十進法で表わされているときと同じようなしかたで，次のような計算ができ
る。
宮田・佐藤・稲見：算数・数学教育における記号について（W） 3
左の計算のしかたを考えよ。また，十進法になおし
×1×11×・∴聖讃謙累驚青徽難
11 30 41 110 いる。指導書のねらいのように10進法の場合と同じ
● ・ ■ ■ ● ●
110 考えでできることを知らせる程度という意味が，こ 10010 のような扱いに帰結させることになったのであろう が，10進法での計算の原理・法則をより確かなもの にし，数の基本である整数の表現を考えさせ，理解させるためには，もう少していねいな指導内容を もたせるべきであろう。
また，中学校第1学年では，負の数についての指導が行なわれる。負の数については小学校第6学 年において，それを考えさせる程度の指導はなされているが，負の数を含む計算は指導のねらいとさ れてはいないので，「負の数をはじめて取り扱うという立場を取っている」4）としている．負の数の導 入に伴なう実数（実際には有理数）の四則計算の取り扱いについては， 「これまでの数の四則の意味 をそのまま拡張して，四則の計算ができるという考え方力・た瞳つである」4）としま耐算法則セこつ いては，「これまでの数で成り立った演算の基本法則である交換・結合および分配の法則はともに，
そのまま肌形式で成り立つことを理解させる」4）として激学における形式不易の原則を尊重する立 場と解釈される。これらの実際の取り扱いをみると，まず乗法については次のようになっている。速
さ・道のり，時間の関係を用い，たとえばある車の進行方向を正の向きとしたとき，1時間後，2時 間後，1時間前，2時間前の地点をそれぞれ求めることを導入部として，賦正の数，負の数の乗法 国同符号の2数の積は，その絶対値の積に十をつける。圖異符号の2数の積は，その絶対値の積に一 をつける。2数のうち，どちらかが0のとき，その積は0になる と結論するもの，あるいは数直線 を用いて，服3×2−6は，3だけ右へ進む移動を2倍したものであることを示していると考えよう。
同じように考えると（−3）×（＋2）は，3だけ左へ進む移動を2倍したものと考えられるから，＋6 だけ左へ進む移動であることになる（−3）×（＋2）菖一6。どんな移動の0倍も動かないことを示し ていると考えられるから 3×0−O l−3）×0芦0。 ある数に正の数をかけた積は，符号はもと の数と同じで，絶対値は2数の絶対値の積に等しい。0をかけた積は，いつも0である。＋3の3倍，
2倍，1倍，0倍と，かける数を1ずつ小さくしたときの積は，創oaoと3ずつ小さくなる。
（＋3）×（−1）一一3 0を起点とし，−3を表わす移動をかけ。この移動の2倍，1倍，0 3（＋3）×（−2）一一6 倍，（−1）倍，（−2）倍，（−3）倍を表わす移動をかけ。また，
3
i＋3）×（−3）一一9 その乗法の結果を式で表わせ。ある数に負の数をかけたときの積は，
符号はもとの数と反対で，絶対値は，2数の絶対値の積に等しい・gI
《璽 i＋5）×（＋3）は5×3と同じであるから，積は＋15。かける数を1ずつ小さくしていくと，
1‡：糊：‡｝：！5驚聲乏1糠瓢姿繍黙轍鷲評
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（＋5）×（＋1）一＋5 5 正の数にある数をかけるには，各数の絶対値に，（正の数）×
i＋5）×。一。5@（正の数）のときにをま＋をつけ，（正の数）×（負の数）のとき i＋5）×（−1）一一55 @には一をつける．醐磁が・のときには，積は・である．（負
（＋5）×（−2）一一、。5の数を力鵬場合についても同様）ノ主して，・乗法の規則・と i＋5）×（−3）一一155 @して，・胴符号の2数の積は，絶対値の積に，正の符号をつけ
た数である。IL異符号の2数の積は，絶対値の積に，負の符号を つけた数である。皿．2数のうちに，1つでも0があれぽ，積は0である と結論づけている。ここで は従前の0以上の数（有理数）についての乗法の意味と異なり，数の拡張に伴なう，乗法の意味の拡 張も考慮されていると思われるが，上の例の場合，負の数についての乗法を考えることの必要性，負 の数を含む乗法の意味が論理的に明確になっているとは思えないので，実際の指導に当っては，教師 のとまどいや不安がみられる。したがってこの内容の取り扱いについてさらに注意深い配慮がなされ なけれぽならない。これは除法についても同様に言えることである。すなわち教科書における指導の 展開は，娘除法は乗法の逆の計算であるから，乗法をもとにして考えよう。
@ ●
@（＋2）×（＋3）一＋6から （＋6）÷（＋3）＝＋2 これから商の符号は，次のようになって
（十2）×（−3）一一6 から （−6）÷（−3）一十2 いることがわかる。
（−2）×（＋3）一一6 から （−6）÷（＋3）一一2
（−2）×（−3）一十6 から （十6）÷（−3）一一2
（正）÷（正）一（正） （負）÷（負）一（正） （同符号…正） 5）
i正）÷（負）一（負） （負）÷（正）一（負） （異符号一負） 有理数の集合でも，除法 a÷b（ただしb≒0）は乗法をもとにして考えれば，x×b−aまたはb×x−aのxにあてはま る数を求めることである。（−12）÷（＋4） x×（＋4）一一12のxにあてはまる数を求めるこ
，，7） のように，すべての数科とを考える。（−3）×（＋4）＝−12だから（−12）÷（＋4）一一3
書では一様に除法を乗法の逆演算というとらえ方をしての展開になっている。そして一q［コ同符号の ■
Q数の商では，その絶対値の商に＋をつける。囮異符号の2数の商では，その絶対値の商に一をつけ る鬼繍づけている．また，ここで，・除法の法則・として， ある数を，・でない数でわるには，
寛･の逆数をかげればよい・7 か，・逆数を使うと証，負の数の除法を乗法セこ変えることができ 驕D号÷（−5）一号×（一吉）一一号×告一一碧のように負の数を導入した段階での除法を乗 法とみさせる指導もなされているが，これらの意味は以前の乗法・除法の意味とは異なる。当然，乗 法の交換法則，結合法則，分配法則についても指導されるが，隻鳳乗法の交換法則が成り立つかどうかを，
次の各組の数について調べよ。……乗法の結合法則が成り立つかどうかを計算して調べよ。……分配 法則が成り立つかどうか次について調べよ ，叱曳正の数や負の数の乗法において，積の符号や絶対値 ﾍ洛数の川酌ご関係なくきまる畦して，・裡数の場合でも，カ・法，乗法のそれぞれについて交 ｷ法則，結合法則が成り立ち，また，カ。法と乗法との間に胴法則が成り立っη・正，負の数の乗 法では，もとの数と掛ける数を交換しても，積は等しい。これを乗法の交換法則という。また，掛け
る順序を換えても，積は等しい。これを乗法の結合法則という。……2つの数の和にもう1つの数を
￨けた積は，別々に鮒礪の和に等しし、．これを分配法則という・㌦うにわずかの例から繍づ け，しかも上から与える形で，計算法則が計算に先行する形の指導となっている。換言すれぽ公理論 的な構成の変形の指導といえる。小学校段階での数範囲よりさらに拡張された数範囲において・乗法 は交換，結合，分配法則を満たす演算として，その意味も形式上拡張されたことにはなるが，あらか
宮田・佐藤・稲見：算数・数学教育における記号にっいて（1V） 5
じめ諸法則を期待した演算の定義から指導する方法は，現在の数学における構成の方法に近く，数学 教育における数の自然な拡張につながらないのではあるまいか。
中学校第3学年において，正の数の平方根が導入される。これについて，「ここでは，正の有理数 aに対して，一元二次方程式x2−aの解が常に存在するように新らしい数を導入して，数の集合が さらに拡張されることを理解させる。これによって，数は四則以外に，平方に対する逆の演算につい ても閉じるように拡張されていくことを明らかにし，数を拡張していくときの考え方についての理解 4）
まとめる」として，計算については，「これまでの交換，結合および分配の法則を基にして計算が
器二難畿讐離寒鏡潭認撫儒鞭轡
と置いて，x2について考えてみると，下のようにx2−6（−2×3）となる。
x2−（fi×β）2「厄xβ×西×β一（西）2×（而）2−2×3−6
2つの正の数ρと而の積は，正の数だから，x2−6より，x「雁（一fiRlr）．……〆互・〆5
・「灰「となる。このように，根号のついた数の乗法においては，次の公式が成り立つ。ノΣ〆百一
価（・〉・・b＞・） 脳侮β礁のように・分数の形で書ける・（砦）2一浄馨一
鴇；÷こ⑩・・β〉・であるから・馨〉・である・したカ・つて傷序喫・a・bが正の数のとき・病緬×瓜曙魂このことは・次のようにして証明できる・
（直×vi5）2・「奄×而×西×〆石一（西）2×（而）2よって（而×西）2＝a×bだから 直×西は。×bの平耀のうちの正の方で，趣下に等しい・1㌦うに平方根につし・ての計算
の指導がなされ，これを用いての計算練習のみが主体となっている。しかし，これらの数についての 乗法，除法の定義はほとんどなされておらず，始めから乗除法が可能な数であり，暗黙のうちにそれ
● o ● ● ● o
が与えられているとの印象をうげる。さらに，今まで計算法則については極めて詳しく扱われてきて いたが，この段階では，これらの法則が成り立つか否かの吟味などもまったくなされていない。上記 のように，交換法則は成り立つものとして扱われていたり， 文字式の同類項と同じように考えて，
まとめることができる溜ように扱われている．その後は，こ纏用いてのありきたりの計算網と なっている。しかし，ここでの乗除法は，さらセと数範囲を拡張したa＋b西（c＞0）の形で表わ せる数の範囲での演算であるので，有理数の範囲における乗除法とは異なる意味をもつことに注意し たい。
さらに，高等学校第1学年において，複素数が導入される。これについては，「実係数の二次方程 式が常に解をもつようにするためには，数の範囲を複素数まで拡張しなければならない。……複素数 については，その四則まで扱う」14hれている．複轍についての乗除法指導をみてみると，二次方 程式の解法と関連させて，娘複素数の四則計算では，複素数をiについての整数として計算する。そ
して，i2があらわれたならば，これを一1でおきかえるものとする。たとえば，（3＋4i）（2
一i）−6＋（−3＋8）i−4i・一・・＋5i，雛L隔i））（隻≡ll一響
一≒7 遷一号i ・一二の例を示したあと・ 一般に二つの複轍・一・＋bi・β一・
＋diの和，差，積，商は次のように計算される。αβ一（a＋bi）（c＋di）一（ac−bd）＋
（・d＋b・）i・芳一藷一（1辛暑｝1（1≡謝一、鐸一錯Ci（β一・
＋di≒o） ，娘複素数の四則計算は，次のように行なえぽよい。（3−2i）（7＋5i）−21＋
（、5−、4）i−、。i・−2、＋i＋、。−3、＋i・1 Lう陳法，除法が指導され，こ紡の計算
σ
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について，賦 ｡素数の加法と乗法についても，次の関係が成り立つ。
交換法則 α＋β一β＋α αβ一βα 結合法則 （α＋β）＋γ一α＋（β＋γ） （αβ）γ 一。（βγ）分配法則。（β＋γ）一。β＋。γ・1？・加法謙法に関する交換法則，齢法則 および分配法則が成り立っている・1 ﾖするものと，これらについては，一切ふれていないものとがあ る。いずれにしても数範囲を複素数へと拡張したなかでの乗法，除法であるので中学校までのそれよ りはるかに拡張されている。また，この段階までくると演算の意味や，四則の諸法則についてそれら を重視しない立場は，この段階以前の立場と異なるもので，数学の教育から，数の取り扱い技術への 教育に変換してしまっていることを意味すると考えられる。
また，この高等学校第1学年において，数と式の両領域での指数法則も指導される。すでに述べた ように累乗の考えについては，中学校第1学年から導入され，文字を含んだ式も機械的に数を文字に おきかえて，その累乗の指導が行われるが，これらについて教科書では，たとえぽ，次のように取り ●
ｵわれている。般nを正の整数とするとき，数aのn個の積をaのn乗といい，これをanで表す。
al i−a），a2，a3，……， an，……を総称してaの累乗といい，累乗について次の公式が成 り立つ。m，nが正の整数のとき，am・an−am＋n，（am）n−amn，（ab）m−ambm。 a≒0 であるとき， 。… （m＞。のとき）・11） ・nが正の轍のとき，。の。個の積を。・
am÷an− 1 （m−nのとき） と書き，aのn乗と読む とし娘一般に，m，
・轟（mくnのとき）
@蒲禦器と募畿灘蕪
般化する。指数が正の整数のときの累乗の乗法，除法について，aを数に限定する場合と，何も限定 のない場合とが見られるが，いず杣こしても，この場合における乗法，除法の意味はこれまでの意味とは異な る。さ励こ，つづいて，指数関数についての指導が行われる。指導書においては，上記の場合の指数法則の取 り扱いから出発して，「ここでは，さらに拡張された指数に対する累乗の意味や指数法則を明らかに し詣数関数醗展させる毘している．この指数関数への拡張は詣数。が・頼の整数になる場 合，分数になった場合へと，つぎつぎに拡張されていくが，nが有理数を超えて実数の指数になる場 合についてはほとんどふれられていない。実例を教科書でみると，たとえぽu指数m，nが正，0，
負のどんな整数になっても，前の指数法則は，やはり成り立つことが確かめられる。たとえぽ，m一 5，・一一2のとき，・m…−a5・ガ2−a5×》一・3−a5＋（￡）−am＋・，（am）』（・5）−2
￨（ユ≠T）・一 ￨・→・一押｝，・・一一、数の指数についても賦鱗・セこ対して・・ mの意味を次のように定める。a＞0とする。 r一皿（m，nは整数， n＞0）のとき， a』aπ一
ﾄ艦して・有理数の指数の意味をこのようセニ定めておくと，有理数の指数につ、・ても，次の指 薄@則の成り立つことを確かめることができる・t7）・これまでみたように詣数の意味を，上のよう に定めると，指数法則は，指数が任意の有理数のときにも，そのままの形で成り立つ。a＞0，b＞
0で，r，sが任意の有理数のとき，a「・a8−a1＋s，（a「）s−a「s，（ab）「−alb「。（注意）
指数法則は詣数が任意の実数のときをこも，そのままの形で成り立つことが知られている甥ように 扱われる。ここでも，いずれも数少ない例での指数法則の確認にとどまっている。このあと，指数関 数と，そのグラフの特徴などについても指導されるが，ここでは変数の変域は実数全体とされている。
したがって，指数が無理数の場合の配慮が完全に脱落され，数学1［，皿での極限，連続の概念の不完 全な指導とともに残された問題となっている。このように指数が拡張された場合の，累乗におげる乗 法は，その意味が前よりも拡張されていることに注意したい。
宮田・佐藤・稲見：算数・数学教育における記号について（W） 7
文字を含む式の計算については，中学校第1学年から指導される。 「文字が数を表わしているなら ぽ，その文字を用いた式が，数と同じように操作できることを理解させる。このためには，式の操作 においても，数の操作で基本となった交換，結合，分配などの法則をもとにしてよいことを理解させ 驕v4ﾙた，「文字を用いた式に鮒る乗法の劾し方の規約ゴ）については，「文字を用いて関係，
法則などを式に表現するとき，乗法の記号「×」は，文字の間や，数と文字の間では，簡潔にするた めに省略するのが普通である。また，除法の記号「÷」は，特に必要な場合のほかは，これを用いな いで分数の形で表わす。これによって，いろいろな式の表現がいっそう簡潔になり，式の取り扱いを 能率的にすることができる」4）と述べられている．実際，教鰭で取り扱われている内容をみると，た
ﾆえぽ，・1辺9㎝の正方形の醸は何読か．立方体の蠣はいくらか♂！・1冊5・円の・一トを買 うとき，。冊では5。円の。倍で，5。×。円となる肥）・次の計算のしかたや，計算の獣を式で劾 せ．①xに5をかけて8を加える．②。を2で割って，bを引く．③xと5の積と8の和場ような 問題が導入として用いられ，文字を含む式における積や商の表わし方，その場合の注意が述べられて いる。すなわち，u文字と文字の積では，ふつうアルファベットの順に書く。たとえぽ， b×2×a
二1均舗妻：毒臨無二善鵡〔濫議臨潔讐次
式につ、、て，・6。や5x＋7や8。−3のような式を・次式という蹴・5xや一2。のように，文 字が1つだけからできている項を1次の項という。また，5x＋3yのように，1次の項だげからで きている式や，5x＋3のように，、次の項と数鮒からできている式を・獄とし・う％ように，
1次式を定義し，1次式と数の間の乗法，除法が指導される。たとえぽ，賦項が2つ以上の式に数を
ｩるときは，分配法則。（b＋，）一。b＋。，を使って，かっこをはずすことカ・できる≠1 ，ノo）璽璽6（5a＋220）−30a＋1320 となる。このように分配法則を利用して計算することができる
■ ■ o ● ．
などのように指導される。まだ，文字が数のかわりに用いられている段階ではあるが，そのねらいは，
数と文字の間の乗法や除法について考えていこうとしていると見られるので，ここでの演算は，数の 間の乗法や除法の意味からはなれたものであり，拡張されていることに注目したい。文字を含む式の 乗法，除法の指導は，中学校第2学年，第3学年へと引き継がれ，第2学年では「文字を用いた簡単
な式の四則計算ができるようにする」4）として，これは「公式の変形や連立耀式を解くのに腰な程 度を扱うものとする」4）とされ，「式の計鄭おいても，数の計算に繍る基本であった，交換，結合，
@ 4）
ｪ配の法則がそのまま用いられることの考え方がたいせつである」としている。また，第3学年にお いては，1次式と1次式の積について指導されるが，これについて，「一次式の乗法では，分配法則 や交換法則などを用いて，一次式の積を展開することができるようにする。……多項式と多項式の乗 法で，しぽしぽ利用される式が公式として示されている。これらの公式を理解させ，式を展開したり，
@ 4）
数分解するとき，これらを的確に，しかも能率よく活用できるようにする」ことがねらいとされて いる。これらについて教科書では，たとえば，三角形や長方形の面積を求めさせることを導入とし，
E（単獄）x（単獄）の乗法では，係数の積と因数の積を作って鮒ればよい岬・（単獄）
（多獄），（多獄）×（単獄）の乗法では，分配法則を用いれぽよい・1 P）・単獄の乗法は，
次のように計算して，積を簡単な形にまとめることができる。3x2×（−5x）＝3x（−5）×x2 x−一、5x・，4。b×3b−4×3×。×b×b−、2。b・剤・単獄の乗法は，乗法の交換法則 と結合法則を使って計算できる ，賦多項式と単項式の乗法は・多項式の各項と単項式の積の和を作
畿メ挙憾異）繭繍』2滋総蕪㌫訳；項
8 茨城大学教育学部紀要（教育科学），28号（1979）
式を単項式で割るには，分配法則を使って，次のように計算する。（a＋b）÷c−（a＋b）×⊥ C
齟phす妨ち，a＋b一専亙傷ようセこ，それぞれの場合の乗法，除法の計算の泌走の C C C C C
みが説明され，そのあと，例によっていくつかの練習問題を課すという段階をふんでいる。これは第 3学年の場合にもほとんど同様で，たとえば，u（x−2）（x＋3）を計算せよ。（x−2）を1つ の数と考え，（x−2）−mと置くと，
（x−2）（x十3）＝m（x十3）
（分配法則）
＝mx十3m （mをもとにもどす）
一（x−2）x＋3（x−2）
（分配法則）−x2−2琴＋3x−6
（同類項をまとめる）一ノ＋x−6
上のことからわかるように，多項式と頻式の乗法も，分配法則がもとになっている・1 P）・，＋dを 1つのものと考え，これをMとすると，（a＋b）（c＋d）一（a＋b）M−aM＋bM Mをc＋dに もどすと （a＋b）（c十d）−a（c＋d）＋b（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd。（a十b）（c十d）
のような積の形で書かれ斌を計算して，和の形蔽わすことを，もとの式蝦開するという喫ど からみられるように，これらの乗法の意味を考えさせることや，その必凄性などは指導されないまま，
曝 ●
やはり計算のしかたの説明に重点がおかれている。ここでの乗法，除法は，まだ文字は数のかわりと いう域を脱してはいないが，明らかに文字そのものの乗法を指向しているので，以前のそれとは異っ た概念である。かかる指導の展開は高等学校においてもやはり同様であるが，中学校におけるそれよ りは，いくぶん数と文字を区別し，本来の文字（変数）の意味をふまえた取り扱いになっている。す なわち，娘いくつかの文字と数を掛け合わせてできる式を，それらの文字についての単項式といい，
その数の部分を係数という。……2つの整数の積を計算するには，一方の整式の各項に，他方の整式 の額を順に鮒て，そ紡の和を作れぽよい岬・整式鰹式で割る計算は，整数の場合と同様の 方法で行い滴と余りを求めることができるノ1）・多獄の乗法は款のようにすれをまよ馬
（2x−3 ）（4x十5）＝2x噌（4x十5 ）−3（4x十5）＝8x2十10x−12x−15富・8x2−2x一
、5♂1）・整式の除法は，轍の除法にならって款のようにすれぽよい押・整式の間では，加法，
減法，乗法は自由にできるが，除法はいつもできるとは限らない，たとえば，2x＋3はx＋1で割り 切れないが，2x＋3をx＋1で割った結果を1つの式と考え，これを次のように書く。（2x＋3）
2x十3
V∵う）誌襲縫礎三鴇繍獣撫二異灘欝姦1需稼
うに行う招ように扱われている．いままで述べたように，文字を含む式につし、ての乗法，除法は中 学校第1学年から指導されているが，この間における乗法，除法の意味は，数についての場合から次 第に発展して，つぎつぎとその意味内容を深めつつ変化している。
文字を含む式についての演算と関連して指導される内容に，等式の性質，不等式の性質と方程式の 解法，不等式の解法とがある。まず等式の性質については，「まず，等式の両辺に同じ数をかけても，
両辺を0でない同じ数で割っても，その等式は成り立つ という等式の性質についての理解をまとめ る。次に，一元一次方程式の解を求める場合に，等式の性質を根拠にして筋道を立てて考えることに よって，文字にあてはまる値を求め」4）ることが指導される．・施式を解くには，その解を獄なし、
ように，等式の形を変えて，「x−（数）」の形にすればよい。そのためには，次の等式の性質を用 いる♂／4つの等式の性質が挙げられてし、る）．あるいは，・耀式2x＋9−3を解げ。両辺
〃5）から9を引いて，2x＋9−9−3−9 2x＝−6 両辺を2で割って x−−3答｛−3｝ と
宮田・佐藤・稲見：算数・数学教育における記号について（V） 9
されている。他の多くの教科書においても同様の扱いがみられる。恒等式の両辺に同じ数をかけるこ とと，変数を用いてできている方程式の両辺に同じ数をかけることとは同一の概念ではない。したが って，等式の変形，方程式の解法に用いられる乗法，除法は，これまでのそれとは，また異った意味 をもつ。このことは，不等式の性質，不等式の解法についても同様である。まずu不等式の性質a⊇≧
bかつ・〉・ならぽ・・≧b・｛鷲，・≧bかつ・く・ならぽ・・≦b・」怨ノ1お・述べ一
られ・これを利肌て 一｝x≧−3を解け・両辺に一4を醐れぽ，（ 1一TX）×（−4）≦（−3）×（−4）（不等式の性質）x≦、2／2指導される．この耀式や不等式の中ひごでてくる
変数（x）と数との間の積は，数のかわりとしての文字（すなわち定数文字）と数との間の積と区別 することが望ましい。
中学校第1学年においても，関数の指導がみられるが，そこでは，小学校に引き続いて正比例，反 比例についての指導が導入される。たとえば，賦2つの変数x，yがあって，yがxに比例するとき は，xとyの間に y＝（定数）×x の形の式が成り立つ。この定数を比例定数という。比例定数 をkで表わすと，y−k。（kは・でな碇数）と、、う式戯り立っ評1・2つの獄x，yカ・あ
って，yがxに反比例するとき，次の形の関係式が成り立っ。 y一上 すなわちxy−k（kは0で X
ない定数） この定数を比例定数という ，娘xの関数yが，y−ax（aは0でない定数）で表わ
されているとき，yは。砒例するという．。を比例定数という岬・Xの蹴yが，y一報たは X
xy−a（aは0でない定数）で表わされているとき，yはxに反比例するといい， aを比例定数と
｢う・1Hう縮導が行繍る．ここで臆すべき砒例の定隷用いられる乗法，除灘，それ以
前のものとは異なる意味をもつことである。
これら以外に，中学校で指導される内容のうち，乗法，除法を用いて，種々の概念を規定すること が多い。たとえぽ，U円周率を記号πで表わす。πは（円周）÷（直径）の値を示し，小数で表わす
と，一兜・（一定燗につく禾璽創÷（元金）の値を，その鯛内の（禾U率、という凸た，統 計の学習にでてくる代表値としての平均，相対度数の定義にも除法が用いられている。
さらに，近似値の指導において，「近似値について理解させ，それぞれの場面に応じて，近似値を 適切に扱うことができるようにする∫）とされ，たとえば，・長方形のたて，よこの長さを測ったら，
それぞれ337㎝，72。。あった．面積は3a7×72−24264圃としてよいのだろうか鬼して 娘測定値3a7伽，7．2㎝ は四捨五入したものであるから，その誤差の限界は，それぞれ0．05㎝で
あると考えられる。したがって，3a65×7．15≦（面積）く33．75×7．25すなわち 240．5975≦ 一
（面積）く2446875 測定値をそのまま掛けて，242．64と計算しても，末位の方の数字a64は 意味がない瑞ような説明が見らゼ近似値の乗法，除法では洛近似値の有燃字のけた数を少し、
方にそろえて計算し答えの有轍字もそのけた数だげとる鬼指導されている．ここでの有轍字，
測定値に関する乗法，除法も通常の数の乗法，除法と区別して扱わなければならない。たとえぽ，結 合法則などを単純には適用することができない場合が起りうる。
また，高等学校で指導される内容のうち，今までの乗法と異なるものに，ベクトルにおけるスカラ 一乗法がある。ベクトルの演算については，一部ではベクトルを成分を用いて導入しているが，大部 分では矢線ベクトルを用いて導入する。このもとで，たとえば，叱璽ベクトルの加法，減法，実数倍は，
成分ごとに加法，減法，実数倍を行えぽよい ，U実数倍については，次の法則が成り立つ。結合法
則（m。）毒m（諮）分配法則（m＋。ぼ一m許。瓦mぼ宙）−m斎mτ・11）
一ﾊに，実数mと零ベクトルでないベクトル了との積m才を次のように定める。（1）m＞0のとき：
m了は，ずと同じ向きで，長さが了の長さのm倍のベクトル。（2）m〈0のとき：m書は，ずと反対向
10 茨城大学教育学部紀要（教育科学），28号（1979）
きで，長さヵ励長さのlml倍のベクト，レ．（3）m−。のとき，m訟零ベクト，レ場ようにベクト ルと実数の積（すなわちベクトルのスカラー積）を定義しているが，矢線による場合は，この乗法は，
論理的にはベクトルのなすある集合である類に対する演算であるので，その意味は前の乗法の意味と はまったく異なるものである。
さらに，数学皿Bで扱われる行列に関しての乗法がある。行列のスカラー積はベクトルの成分表示 におげるそれと同じである。一方行列の間の乗法は，たとえぽ，眼（2，2）行列までの，行列の乗法
の規則を次のように定めることとする・（エ2）行列×（a・）行列一（U）行 叫〔ガb 〕〔き〕一〔a a十b c〕・（L2）行列×（22）行一2）行列囲〔謝一〔一・
a b＋b d〕，……，（2，2）行列×（2，2）行列一（2，2）行列
圏〔謝一〔欝1き1‡劉・ … ∵総1繍雀轡欝
列において，。−kのときに限呵能で，結果は（m，1）行列となるのである謂）A，Bを行列と するときq璽行列の乗法では，ABが可能であっても，BAが可能とは限らない。また，AB，BAが ともに可能であっても，この両者が等しいとは限らない。すなわち，行列の乗法では，交換法則AB 一BAは必ずしも成り立たない聖して行 晒の間の積を定義し，または解説されてし、る．また漣立 一次方程式を解くことを媒介に，ある行列の逆行列が指導されるが，定義について更璽与えられた正方 行列Aに対して，PA−AP−1（1は単位行列）となるような行列Pのことを，Aの逆行列といい，
A−1で劾す．す姉ち，A己A−AA4−1礎指導されることカ・多い．明らかセこ行列間の乗法の概 念はこれまでに見られぬものである。
その他，乗法の意味が以上の何れとも異なるものとして，確率の指導に際して扱われる集合の直積 がある。これはq2つの集合A， Bがあるとき， Aの元とBの元を1つずつとって作った組（a，b）
の全体の集合をAとBの直積といい，A×Bで表わす。すなわち，A×B−｛（a，b）laεA，
b、B｝・12臓されている．ここでは乗法記号の「×」が，2つの集合の直積を示すのに用いられ る。また，確率の乗法定理では，娘事象Aが起ったときに，事象Bが起こる確率を，Aが起ったとき にBが起こる条件付き確率という。2つの事象A，Bがともに起こる確率は，条件付き確率を使うと 次のように劾せる．P（A（B）−P（A）．PA（B）・1H指導される。
また，数学皿で扱われる内容のうち，無限数列の極限値，あるいは関数の極限値に関する公式で，
賦 4瀞απ一α， 疹留砺一β のとき， 紹肱π一左α（kは定数）， 轟詔απ砺一 Eβ，継評趣β≒・認どにみられるような極限値と実数の積・極限値の間の乗法・
除法などがそれらの例である。
あ と が き
以上，中学校・高等学校数学教育における四則演算のうち，乗法，除法について，学年の進行段階 3）
ｲとにどのように拡張され，あるいは変化していくかを考察した。前著でも指摘したように，乗法，
除法の指導でも論理性の不備が著しく，さらに内容の進行にともなって，学習指導要領自体の姿勢が 形式的なものに変化し，次第に論理性を失ってゆくことは教育現場での指導に不透明さを誘発するこ とは否めない。新学習指導要領による算数・数学教育がすでに発足している現状ではあるがジ今回の 改正においても内容の撰択に重点がおかれ，算数・数学教育における論理性，あるいは算数・数学教
宮田・佐藤・稲見：算数・数学教育における記号にっいて（W） 11
育そのもののあるべき姿の探究がいささか後退している事実を指摘しておかなければならない。
注
1）宮田龍雄，佐藤瑛一，稲見泰生，鈴木禎介； 算数・数学教育における記号について1； 茨城大学教 育学部教育研究所紀要第8号；1975・
2）同上；算数・数学教育における記号にっいて皿； 同上第9号；1g76．
3）宮田龍雄，佐藤瑛一，稲見泰圭； 算数・数学教育における記号について皿； 同上第10号；1977・
4）中学校指導書 教学編； 文部省； 昭和45年・
5）中学校数学1 学校図書LK．昭和53年・
6）新編新しい数学1 東京書i籍K．K．同上．
7）新数学1 大日本図書K．K．同上・
8）新訂数学1 新興出版社啓林館 同上．
9）中学数学1 大阪書籍KK．同上．
10）新版中学数学1 教育出版KJ（．同上．
11）中学校数学3 学校図書K．K． 同上．
12）新版中学数学3 教育出版KJく．同上．
13）新版数学3 新興出版社啓林館 同上．
14）高等学校学習指導要領解説 数学編 文部省 1972．
15）数学1 帝国書院昭和53年．
16）新編数学1 旺文社 同上．
17）新編数学1 学校図書K武．同上．
18）新訂数学1 新興出版社啓林館 同上．
19）中学校数学2 学校図書KJ（． 同上．
20）中学数学2 大阪書籍K．K． 同上．
21）新版中学数学2 教育出版KJ（． 同上．
22）新編新しい数学2 東京書籍KiK．同上．
23）高等学校数学1 数研出版KK． 同上．
24）高等学校数学皿B 学校図書K．K．同上．
25）新編数学皿 旺文社 同上．
