轡曲梁の自由振動（面内）井　　上　　順　　吉

23

轡曲梁の自由振動（面内）

井  上  順  吉 日  高  照  晃

Free vibrations of Paエtia】Ring9．

Junkichi IN（：）UE

Teruaki HIDAKA

 Free Vibrations of partial rings江re investigated on the bas｛s of ］Kircl1110ffうs differential equations． The freguency equations are obtailled for part｛al rings with both ends freely supPorted in the similar manner as Waltking．

 It is found that the lowe3t frequellcy givell by the fre（1、：enc）アequation is identical with the resl11t of experiment．

1ま え が き       2運動方程式と境界状件  電動機や発電機の固定子・スクーターのフレー

ムならびにピストンリング等聾曲した軸をもち、

曲げに対して抵抗力を有する棒は、工学の種々の 部門に対して、重要な構造要素となつて居るが、

H．Larnb（Dが指摘した如く、一般の場合には此の 振動問題の厳密解は極めて複雑であるために、単 にDm Hartog②がRayleigh−Ritzの方法を応用

       1   珍

が中心角145°以下の場合である。      ． ＼  佐野一森谷（4）はスクーターのフレームの振動を

而端自由の部分輪の振動問題として取扱い、

T

・  N

θ    u  x  ＋《細

M＋dM

け

Rayleighの方法で最低次の振動数を求めて居る       第 1 図 が、中心角180°を越すと理論値と実験値にかな   x・z・θ 座標系

りの相違をきたしている。       U．W   X抽・Z抽方向の変位

 内燃機関のgas洩れが周期的に最大になる一つ   M・T． N 曲げモーメント・断面垂直力・号断力 の理由は、ピストンリングの振動に起因している   伊    中心角

のではないかと云う疑問をいだき中心角340°の   r    工径

部分輪の両端自由な場合を例題として解き、同時    1    断面の慣性能率 に部分輪の振動問題を系に忠実な運動方程式なら   E    ヤング率 びに境界状件より出発して系統的に研究し、実験    p    角振動数 値と比較する。       α    断面積

24      −一一井上順吉・rl高照晃一一

論内の運諜式は（伸びは考えぬ） 勇断力 N一響（彊劃

叙嘉、＋・）㌦一畷竃、（ω一誓￡）（・）断面垂直力r一釈護＋勤

いまz〃＝ωcos ptとおき（1）に代入し初に就ての常   考えて居る系の固有振動数を得るためには上の 微分方程式の解は、次の様になる。        境界状件より、6つの積分常数C に対して、6つ  一 6  ．       の方程式を作らねばならない。これらは線型で同 ω＝ﾛc・e捌但し∫声＝エ （2） 次である識動が生ずるためには、そオ、らの行列

 上述のη】，〃2……陶は、次の特性方程式の解で   式が零に等しくならなければならぬ。この条件か ある。       ら振動決定式が出来、それを解くことによって、

 7zL 2アz4十（1一え）7z2−〃＝0     （3）   固有振動数を知ることが山来る。根本的な考えに         A      於てはその解き方は、直線棒と異らない。

  刷〃一」登ア     旺L。mbが輪識づけに聯を感じたのは、最

 （2）が満足しなければならぬ境界状件は、次式に  初特性方程式を解く川合に始まる。これらの方程 依って表わされる。即ち、       式の根は虚数で複素数であるかも知れぬ。いま（3）

 切線方向の変位 元      のη2を未知数と考えた場合の三次方程式に於て

耀方噸伽瑠   謬欝慧三￡：㌶慾㍍㌶

ll鵬・ント弓暢劉（4）繊漂塩隠㍑蕊慧1三

       第1表 両端固定（Hartog）

＿k

＿一［2・・°1竺・°⊥24・ヨ26・…   1 i

一k

両端支持（Hartog）

ψ口1°…2°°」4°−6°i8°° …°、・2・°、・4・°1・6・°1・8・°

！  。  「     1   。  1   。  「     1     「     1   『        『

＿㌔［上三．⊥・・3・4・16・62・251・・28・96｛3・6・84「王・3・42L46・24・12・・7・5 9・8596i4．84・・

＿∋12・431∋・・23211・・6336｛・・3・5811…49・1…65・i…2・・1・…3961・「

＿三⊥2・・°122・°124・・｛26・・128・・｝3・・叶32・・134・・｛36・・「

両端自由（佐野一森谷）

k（実験）L』・史8・・8・L7・・3812・・2・6乳847｛3・449｛・・9387・・37・・ ・．・766

・ll・叶3・°i竺L9・・r・2・・1・5・・1・8・・124・・「扁：：一］三6・・

≡算）、∋；675・7L398・8・j」≡L≡651τ・29「3・3681・・37841・・85841

一一一

ﾝ曲梁の自由振動（而内）一一一        25

謬1鷲驚ぎ饗蕊：堵一…＋一＋ノβ毒一α弔（8）

の円鋤数を含んでいるからである・それに関し但四一2〆「…碍・輌一7告

ての一つの結論は、両端支持、両端固定の場合に

三森曝㌶蕊鷲鷲ら《き P一丁（3〃＋・）〉・・一瀞一1）〉°

鯉し直すと第、表の様になる。    従って雛方程式の6つの根は・・1冷〃・を実数

1．k＞17．637の場合  両端固定 ψ＜180。    とすれば・次の形式に書き改めることができる。

       両端支持ψ＜14・…  1−・1・・一一・1   （9）

       両端自由 ψ＜150°     η3＝り2＋プレ3  η4＝一り2＋∫り3

2．k＜0．11340の場合 両端支持 ψ＞300°      725＝り2一ノレ3  η6＝一レ2一ノレ3

3α1134°＜k＜17637 c⇔、6㏄ 但い一／誓協

上砿2の場合は工学璽㌶に㌫㌫的 沽÷（1／α2一トβ2＋α）ド

艦碧惣蓼三運警樫㌘讐  ｛；一（レ／α科β2一α）｝4

グ等の振動問題になる。      （9）の根を（2）に代入して、

      Z6＝＝BI Sεπり1θ」−B2CO5レ2θ5 πんり3θ

 両端支持・固定ならびに自由の場合には、振動    十易S6πレ2θCOSんレ3θ十∠41COSレ】θ

は対称振動と逆対称振動に分離して求めた方が便    十∠2co5レ2θcosんレ3θ十4sW2θs》励レ3θ（10）

利である。対称、逆対称とは、半径方向の変位に   従って対称・逆対称振動型に分けると、

対して云うのである。即ち半径方向の変位uがw  対称振動型

の奇数導関数であるから対称振動の場合は、切線    ％＝B、S6πり10＋jB2cosり2θs 茄レ3θ

方向の変位wが逆対称であり、逆対称振動の場合    十β35rπレ2θcosカリ3θ         （11）

には対称に分布する。      逆対称振動型

 k≦0．11340の場合      元＝4co5り1θ十．42co3レ2θco 5カレ3θ

 振動型は一般に       十43s 7zり205 功り3θ        （12）

㌍克（ノ4 cosηiθ十Bi 3 7zη θ）（5） （6）（7）・⑳関係を（・）に代入し得られる行列式を    ‥1       零とおけば、振動数決定式f（k）＝0が得られる。

となり％zは正の実数である。従って        kに種々の値を与えてf（k）の値を求め、それを  対称振動の場合      kに対してPlotしf（k）の曲線を求め、これより

づ鋤砺θ  （6）㌶耀ξするkを定めそれより噛数P

 逆対称振動の場合       4 両端自由な轡曲梁＠＞150°）

元晶」」，酬θ   （7） 雌耀式（3）の根畝の様躍く・

α、、㍍k＜、7637嚇   ・1号＋（α 十6 ）

26      ・一一井上順吉・日高照晃一

爵一一（α 十ろ／）＋ノ望（・ 一の  ：

 ＝α十1β      （13）

・1…一丁（α 十b ）一∫隅（・ −6 ） 〃

  ＝α＋ノβ       ∂

但し α！＝レ4十1／万） 6 ＝》シ．4一レ／1ワ

      ロイロ         サぢ      クユリ      リ ゴ      ジオク      おロ         クィロ

   4−一；上才   （・4）   ん鏡㌔  4

   B−一芸（ん・コ1ん＋2   4）  ち

いまkの種々の値に対して、（9）よりレ1レ2レ3を求め

       ！・∫

 梁は両端自rhであるから、端では断面モーメン

ト・断面勇断力ならびに垂直力は何れも苓である   、、      も 従って境界状件は（4）より次のようになる。

θ一

       爵＋護一・ （・5）

      幕＋」謬一・   2°づ25㌶略3−

  5−1対 称 振 動

w朴｛

巧

ぬ

 考

O、

／

塔

2

20       2・5      3ρ       3、5

@     づ     〆イ 3 逐一必、め4

40

㈹を㈲に代入して振動決定式を作れば

1ぱ・・弓α噌・ ・・苧α・C・・ど習…んレZ一α碍ω・樗＋α・・雌励幻

＋β・号α・c・學づ＋α・・苧哩α・・呼・・勢α・c・・レ穿づ1−・

1㎞・㌢㊨望誠望＋卿ど㍗望一⑭・㌢励字＋卿望皿当

すなわち         α、−4・；・，−4・、・1−2・、・3  （17）

｛β・（α・α・一一α・α・）＋β・（α・α・一α・α・）｝・輪ア α，一一・1−5・、・9＋10。；。1＋。］−3。，。3

−｛β・（α・α・＋α・α・）一β・（α・α・＋α・α・）｝・』  α，一・1斗5・1・、−10。1＋。1−3。1。3

一β・（α・午α1α・）・・1・り ﾃ（ω鋤・《…ψ） β・＝レ1−〃・β・＋・1β・一・i−i

−・

@   （・6）対璽舞麗麓》いては・

但し      ．

∵』㌔    半径芳麟㍑3θ  （18）

二二㌫竃ス㌻一嚇     ・一筈一c』鋤矧一輌輌，θ

轡曲梁の自由振動（面内）一一・      27

     隠冤勤＋e3（レ2C°Sレ2θC窒θC−一αIC・諸㌘…ん㌘＋α・・苧・憎

仙         ^DF融穿

 B1＝e、C B、＝θ2C β、＝e3C

・、一隅一隅・・一鋼一CIぴ   易一α・…㍗ん〃習＋α概ゼ穿…ん㍗

      5−2逆対称振動

C・一α1・Z ￨』翌＋α・C・・じ叉…ん望  （1臓（］。に代入して願綻式を作れば

｜β1・弓α・8⊇・・ん警＋α・C・・写・碍一α1C・苧；・功レr＋⑭じ穿C°Sん望

l

lβ・c・・翌α・…と多…んと誓＋α・・曙f・・ん㌶α・・カ・翌疏り穿一α・c・・レ穿…ん翌一：一・

；β・・ ・・写α・・Z・・翌…力警一＋α・C・路11・／・穿一α・C・苧η・ん竺多＋α・・か・㌘…力芸一1

すi㌶、＿α，）＋β，（α1α，一α、α、）｝〈ψぴ 一α・C・・り穿…苧α・・〜惨Z・・々

＋｛β・（α・α・⊥α・α・）一β・（α・α・＋α・α・）｝・； ・￠ ぴノーα・・6櫻励弓一α・C・・レ㌶…カレざ

＋β・（α・α・一α1α・）…望（…卿一・・…の  6数値計算

＝0       （21）   kの値は第3節振動型のところで示した方法で 逆対称振動型の切線方向の変位は         求める。即ち㈹⑳の右辺をそれぞれf．（k），fG（k）

 加＝4cosレ1θ十4φ03レ2θco或レ3θ         とおき、先ず第一に試みに代入されたkの値に対   十4sれレ2θsZ渤レ3θ        （22）   してレzG＝1．2．3）を求める。 （第2図及び第3 半径方向の変位は      図参照）次に㈹よりαz（1，2〜6）βz（i＝1，2，3）

一筈一C｛−e1・・1⊇  （23）を求□らの噛（k）fG）k）に代入して f

  十e2！（一レ2S 7Zレ2θCOSんレ3θ十レ3COSレ2θsZ7Zカリ3θ）        力羅）

  十e3ノ（り2COSり2θS》πんり3θ」一レ3Sε7Zレ2θCO8んレ3θ）｝      10

但し

 4＝e1 C 4、＝e2／C 4一θ3 C

 e1 ＝C2 ぴ −C3／1）2 e， ＝C3 D1 −C／jD3   …  ・3ノ＝Cl DI L（ンDI

c1ノーβ1・》・醤    （24） ．      兎

G α1・6苧・曙＋α・C・苧η2弓  一

C3ノー一α・C・浴t・・櫻＋α・・づ…ん呈￠一

       ぺぽづ ムエ トむぷ

D！一β・c・讐        第4； 

雄）

@♂0

@久∫

@ o

 −1

432s

 〒

O，400

一42S

、365

       』ド

Q毎＿』．ニム幽銀

28      一井上順吉・日高照晃一

求まる。       ／         上述の方法で中心角340°の数値計算結果を示      

せば       ＼    ／

      ビ      

逆対称振動 k＿3．66        ＼、 ＼

対称ならびに逆対称の振動型をそれぞれ第6図・         ＼〜〜

第7図に示す。

  7実    験

 第8図ならびに写真第1図に測定装置配線図及 び測定装置を示す。

 ピストンリングを中心角340°になる様に端面を けずり取る （ピストンリングの中心角はほぼ34

 44）

 づ 0

 30■

賜婿麟㌶癬㌶誓鶯 逆テ当ζ＼

とき伽（』エ23）を⑱緬ヒ入して働型が  ／  ｛＼、．

2 θ

クρ

ρ

ヴρρ

．200

令300

11

P

1   1

一一

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 12 ；  5°

@し 並」二

   一 ｝        l P

@      ！ Il  l       l

    1丘一妙ノ」・級

1かい 々・・

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「       

     ノ      〆     ！

゜       榊置一覆鷲；緯蕊・

      第7図

！

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／ ノ

〆

／

Aご／00γ

      ズトし  ンメーゲ用         

・々       電 三原、      電・原、

     ヒ㌻ζトンリンク

      ストヒンケニジ

         F

      ブリソジ  ストトンメーター  電磁大シログラフ

      第5図       ；則定装置配線図

知滴掘鋤型晦脳5）       第8図

       写真第1図

       0°である。）リングの外周にストレンゲージをは        り、写真第1図に示すように柔軟なゴム紐で吊し        その頂部を面内方向に軽く瞬間的に打ち、リング        にに生ずる歪みをストレンメーターを通し、その

鞠湊蕊鑑欝   出力を電磁オシ・グラフに入れてその踊数碍

   第6図       真に記録した。 （写真第2図参照）なお、面内振

一一 O曲梁の自由振動（而内）一一一        29

半  径 rcm 断面横長 hcm 断面縦長 bcm 中心角 ψ 1

比体積×〃9／〃τ 弾性率 E〃9／cηz2

材    質 備    考

No．1

6．45 0．5 0．4 340°

7．86×10−3

特殊鋳鉄

No．2

11．0 0．7

＿9こ7

340°

7．86×10−3

コンプレソ

サー用

（400r．p．m）

No．3

12．725 0．75 1．27 340°  1 7．86×10−3

焼玉機関用

（395r．P．m）

一No二「一 解いた理論値は実験値よりかなり高く 16．6  出ている。本実験で理論の妥当性を確 旦旦． 認した。

0・75−一一．  リンクNo．2No．3及びNo．41の機関

7．8厄10−，の回転数はそれぞれ400・pm・395・pm 0．9〜1×1厄 ならびに300rpmである。従ってNo・2 の機関では8次No．3では7次No．4 ヂP

f用では4次のハーモニ・クスの但‖圧と共

（300「・P・m） 鳴する可能性がある。

第  3 表       運転中のガス洩れと回転数との関係

リンク 番号

理論値（厳密解）1佐野森谷の理謝直

E＝° ﾁ耀E＝1蹴、IE＝°・9膿、卜E＝1蹴、

L （R・yleelgh藍）

     c・P・s 1    111．8

一＿旦＿

3

4

53．8 43．1 26．3

 c・P・s 117．8

56．7

27．7

c・P・s 125．7

60．4 42・3．

29．6

 c・P・s 132．4

63．7 52．0

≡『

一…@ は実験を行っていない。

実験値 8結 語

11言P SH・L・mbが解を意義づ1ナるのに困難 53．3 を感じたのは任意のkに対してである 43．7 が・kの領域を分けることによって真 27．3 直ぐな棒の振動（膨大な数値計算は要       するが）と同様に取扱かうことができ

       写真第 2図         でのべていることを附記して置く。本稿を終るに 動を取扱かっているから、面外振動が生じないよ  あたりこの問題を提出され常に懇得な御教示を賜

う＋分臆をした．即ち、リングの側面にもゲー る九州大学清水鞭ならびに河烏教授に深勘感

験を行った。これを示したのが写真第2図である         文   献

又ゴム紐は理論上算出した節の位置に吊って測定  （］）H．Lamb． pr。， L。n，1。n math S。，1g（1888）p365 したが、その位置を変えても振動数は殆んど影響  （2）Den Hartog． The Lowest Natural Frequency of はなく・ゴム紐の張力の影響は十分ゴムが柔軟で    Circular Arc． Phil May V。1．5（1928）

影響はないと考えられた。      （3）Waltking． Schwipgungszahlen und Schwingungs一  第2表に寸法を示す4種のピストンリングに於    fTmen von Kreis bogentrヨgern． Ingenieur Archive

て実験を行った。その計測結果を第3表に示す。    （1944）

ピストンリングのヤング率は、 E＝（0．9〜1）   （4）佐野一森谷 スクーターの振動乗心地に就いて

×106kg／cm （実測値ではない。）であるのでE    自動車技術VoL ll No・9（1957）P338 の値を2通りとって理論値は計算した。       （5）井上一日高 轡曲梁の自由振動（面外）

 厳密解による理論値は実験と殆んど相異がない     機械学会九州支部総会前刷 昭33・3月