平成
22
年度 京都大学大学院理学研究科(
数学・数理解析専攻)
数学系 入学試験問題 基礎数学
⊗ 1
から4
までの全問を解答せよ.
⊗
解答時間は2
時間 である．⊗
参考書·
ノート類の持ち込みは 禁止 する．［注意］
1.
指示のあるまで開かぬこと．2.
解答用紙·
計算用紙のすべてに，受験番号·
氏名を記入せよ．3.
解答は各問ごとに別の解答用紙を用い，問題番号を各解答用紙の枠内に記入 せよ．4.
１問を２枚以上にわたって解答するときは，つづきのあることを用紙下端に 明示して次の用紙に移ること．5.
提出の際は，解答用紙を問題番号順に重ね，計算用紙をその下に揃え，記入 した面を外にして一括して二つ折にして提出すること．6.
この問題用紙は持ち帰ってよい．［記号］
以下の問題で
N , Z , Q , R , C
はそれぞれ,
自然数の全体（0
は含まない）,
整数 の全体,
有理数の全体，実数の全体,
複素数の全体を表す.
1
1
実４次正方行列A, B
を次のように定める．A =
3 2 − 1 − 1
6 3 4 1
5 1 5 1
1 − 1 3 1
, B =
1 − 1 − 1 1 2 − 1 − 1 3
− 1 2 3 3
− 1 2 1 − 2
.
A
の行列式| A |
と，B
の逆行列B
−1 を求めよ．2 n行m
列の実行列 A
の階数がm
であるとする．このとき，m
行!
列の実
行列 B, C
が
AB = AC
を満たせばB = C
であることを示せ．3
次の重積分を求めよ．''
D
dx dy 1 + (x + y)
4,
ただし，
D = { (x, y) ∈ R
2| x ! 0, y ! 0, x + y " 1 }
とする．4 (1) ある定数C
が存在し，− 1 " x " 1
のとき，
| e
x− 1 − x | " Cx
2,
となることを示せ．(2)
級数(
∞ n=1) e
x/n− 1 − x n
*
はx
が[ − 1, 1]
を動くとき一様収束することを示せ．
