物価指数と需要分析の若干の問題 : 函数論的指数 理論の最近の傾向

物価指数と需要分析の若干の問題 : 函数論的指数 理論の最近の傾向

その他のタイトル Some Problems on the Index Number of Prices and Demand Analysis

著者 高木 秀玄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 6

号 8

ページ 675‑709

発行年 1956‑12‑01

URL http://hdl.handle.net/10112/15679

67.5 

経済統計学の体系中︑指数︑特に此処では物価指数の占める重要さは衆知のところである︒われわれは既にこの

問題について若千の考察を行ってきた︒本紙の前号で発表したヒックスの指数理論についての研究とともに︑この

稿は

指数

︑

であ

り︑

物 債 指 敷 と 需 要 分 析 の

ー ー 函 数 論 的 指 数 理 論 の 最 近 の 傾 向 ー ー

この場合には生計費指数による消資者行動の分析の理論についての筆者の総括的研究を内容とするもの

この際に以下の三つの問題をとりあげることにする︒

問題の一︑消費者行動の経験的分析では︑個々の商品へ対する需要の分析ではなく︑その商品の集団への需要が

(1

) 

問題となるのである︒すなわち︑市場需要が分析の対象となるのである︒物価指数の算出の前提としての商品集団

の調査結果は︑当該の商品の銘柄︑等級等によってグループ分けされるとともに︑基準時点と比較時点のそれぞれ

の期間の購入数量が完全に代替的なものであるとみなされるような短い時間の単位を用いられねばならないのであ

る︒かかるオペレーションによってはじめて経験的な資料よりのパラメターの数値と理論式である函数式のパラメ

ターとのアイデンティフイケーションが可能となるのである︒商品グループに関する確率的需要方程式のパラメタ

物価指数と需要分析の若千の問題︵高木︶ 高

木

若 干 の 問 題

秀

玄

676 

ーの推計を行うという場合︑われわれは何を測定し︑または測定しなければならないのか︒このことを明確にして

おかなければならない︒経済の理論より導かれる方程式中の一定の常数の値が推計の対象となるのか︑あるいは︑

何等の実体的意味をも有しない形式的な数学的操作に終る運命にあるものなのか︒このことを規定してみなければ

一種の商品とそれと類似の他の諸商品の集団との対応より︑たとえば︑ミルクの単位価格と他の諸

食糧品の価格との関係について︑ミルクの需要条件の経験的分析に於て︑他の諸食糧品の価格を指数に総合するこ

ロースバースによれば︑個々の他の食糧品の価格の比例的変動とこれらの他の食糧品の価格につ

いてのミルクヘ対する需要の弾力性との間に何等の相関関係がなければ︑他の諸食糧品の価格の一個の価格へ統一

( 2 )  

することが可能となる︒これだけのことの吟味を行うことが︑われわれの第二の問題である︒

第三の問題︑従来いわゆる函数論的指数論のエンゲル曲線の知識を想定して︑ラス︒ハイレス型指数とバーシェ型

指数が真の指数の上限︑下限をなすという主観価値理論を根底におく態度をしばらく離れて可測的な現象の組合せ

より︑くわしくいえば︑観察可能な価格及び需要函数のもつ諸特性により真の生計費指数の誘導の理論を展開する

ことを第三の目的とするものである︒

qi ll f( P1 (t ),  P 2C t)

⁝  ̀

⁝J P̀

｀ ｀ ₍

t) sp

｀̀

H,   1 C t ) ,   ⁝

⁝9 p̀ i( t) 9m (i )9  

この

式で

︑ q i( t

．)

Pi (t )

および

m( t)

は期間t

にお

ける

・

1番目の商品の数量︑価格および当該の消費者の貨幣所得 いま︑次のようなn個の需要式を考えることにする︒ とが必要である︒ 第二の問題︑ な

らな

い︒ 物

価指

数と

需要

分析

の若

干の

問題

︵高

木︶

F111

︑⁝

⁝

1t

( l )  

677 

であ

る︒

P(t)は同一の比例で変動するとき︑これらの価格に比例して変動するm個の商品の物価指数であり︑

Q(t)はP(t)Q(t)が常にグループヘの支出に比例して変動するように規定された数量指数であるとする︒

8Q(t)p(t)A0p(i) Q(t)は個々の商品の価格の変動に依存することは明白である︒これより︑

価水準ですら︑確定不変であるとはいい難い︒しかるに︑もし

.

個の商品の全体が同一の比例で変動すると想定m

この第③式の右辺の頃は︑価格についてのグループの各構成項についての需要の弾力性の加重平掏であり︑その商

品への支出のグループヘ対する支出中︑占めたる比率である各価格についてのある構成項へ対する需要の弾力性の

( 3 )  

合計に附けられたウエートである︒このようなグループの弾力性の概念は必ずしも明確ではない︒しかし︑われわ

れは需要の経験的分析に当つて︑その目的はかかる需要の弾力性の推計を行うことであると想定するとしよう︒な

ぉ︑これに続いていかなる形態の指数を選ぶかについての規準を規定しなければならない︒けだし︑弾力性の最尤

の推計値を与えると期待されるものが最適の指数であるからである︒ここでわれわれは︑この規準によって各指数

をテストする︒

(Q

1C

t)

ーQ1(0)),

(q

2(

t)

‑q

2(

0)

),

‑・

・ 9(qn(t)1qA(O)⁝

︶ ︾ ︵ ゞ

(t)1h(O)

︶9(P2(t)

ー吝

(O)

︶ ︑ ⁝ ・

⁝

(PA(t)̲pA(O)および

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶ さ

( t ) p ( t ) I t 1 1

1 m ー O,dl}心9

心 ロ ニ

翌t)Q(t)III︵

度 ︵

言

(t))

記 竺

苫 ︵

t)

︵ ビ

登

( t ) q

‑︵ t) するならば︑第山式と第②式とを微分して次式を得る︒ とき次式が成立する︒

p(t) Q(t) 

11

｀ 涛 蒋

xピ

Pi

(t

)q

;(

t)

( 3 )  

一般にある特定の物

( 2 )  

しかる

ない︒この場合にはQ(t)とP(t)とは次の第④式によって結合される︒

第⑤式の竺

(t) logQ(t)ーblogP(t)

第④式に代入し観察値の組よりbの値を決定することが可能である︒観察値の相違に相対価格をとる故に︑第④式

は残差項であり︑通常︑残差項について考えられるように︑

はなく︑この場合には︑き

(t

)9

き

(t

)9

⁝⁝こS(t) 一定の変数の脱漏より附加されるので

の依存関係を示す方程式の使用より生ずるものであ

るが︑実際には上述の約束︵一︶の条件は充されないし︑又ミ

( t )

は部分的には消費者の需要には影響する一定の変 を確率方程式でとりかえることが必要である︒

への

Q(t) IogQ(t) 

11  

biogP(t) ＋u(t) 

b ll

︵ 暫

A︵O)2(O))

-1[~;(0)q

̀︵O)

︵ 認 琵 ] [ 毒 ) ] よ 翌 翌

第④式のbの値は次のとおりである︒

もし

︑

これだけのことより︑次の理論が導びかれる︒ 物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

(m(t)ー

m ( O ) )

のそれぞれの値は小であるが︑m番目までの商品の諸価格が同一の比例で変動しないとき(Q1(t),

を推 さ

( t ) p ( t )

箆

( t )旦

q2

(t

)9

⁝⁝

9字

(t

｀ ゞ )

(t

)．

苓

(t

︑ )

⁝⁝

︑

Pd(t)︑

m ( t

︑︑⁝⁝︑ )︶t"̲01

1の観察値の連続より弾力性

計する問題を考察しよう︒理論を簡単化するために次のような約束をする︒すなわち︑(‑)人口︑嗜好および実質

所得の分布は確定不変である︒︵二︶貨幣所得とき．︵t︶, P2(t), 

⁝⁝

︑

Pm(t)

( 5 )  

( 4 )  

以外のあらゆる価格は確定不変である︒

m番目までの商品の諸価格が︑すべて同一の比例で変動すると想定するときは︑上述の推計の問題は生じ

四

679 

数の方程式より欠如することより生ずるものと考えなければならない︒

第固式よりbを推計する操作について考察しよう︒いま︑推計値をb*

分散度に依存し

なお

u(t)は

Q ( t )

とP(t)をあらわすために使用される指数の算式の組合せに依存する︒ここで︑

理想式の組合せ︑ラスパイレス式指数と︒ハーシェ式指数の組合せの使用のミ

( t

)の分散度に及ぷ影響を比較しよう︒

明確な結論へ到達するため︑次の附加的な想定を行うことにする︒

の変動は︵貨幣所得と他のあらゆる価格は確定不変とする︒このことはとりもなおさず実質所得を不変ならしめる︶

の総支出を不変ならしめる︒この第三の想定を満足するための充分条件は︑実質所得の水準に対応する無差別曲面

は次の形態をとるところである︒

上式でgは同次性を示し︑ g(q1(t), q2(t), ••…

·"qm(t)x(t)

k

= C  

CとKは常数であり︑

幣支出を示すものである︒このことは︑効用函数が二函数︑すなわち︑その︱つは番目までの商品を︑他はすべ

ての他の商品をふくむ二函数の和として示され得るような放用の変換が行われることを意味する︒

のそれぞれの組に対応して、次の第⑥式の如き吝(t、)こ~2(t、)9……9pm(t、)

仮構的な組を規定しよう︒

き(t︑₎

I ) 2 (

t︑)

⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝ 1

・ : I P m (

t︑ )

( t ) )  

ゞ(t)苓

( t ) P m

なお︑実質所得はf

なる仮構的な状態に於ては基準時点の状態①と同じである︒第一図に於て①︑①および

C n

は

物価指数と需要分析の雌干の問題︵高木︶ 価格

p k t

︑)

吝

( i

︑ )

⁝⁝

︑

Pm(t) 竺

( t )

であ

らわ

す︒

五

（三）価格き(t)こ~2

(t

),

 ⁝

Jゞ⁝(t)

( 6 )  

なる

グループ の全部

はその価格が不変的であるとされ

n ￨ n 2

個の商品への貨 しかるとき︑これは竺

( t )の

あらわすことにしようC すなわち → 

n

‑ m  

ピ

P i( t ︑

) qi (

t ︑

) I I

A ピ

P i( t

︑ ) 令

( O ) f i 1 i , 1 1  

これよりb

北ー

1なるときは︑竺

( t )

の分散度は

Q( t︑ )

の分散度に比例的である︒

の分散度を比較する問題へ換元されるのでこの事実より︑われわれの問題は︑指数の各算式について

Io gQ (t

︑ )

ある

︒ Q1

(t

︑ ) ﹂

Qミ︑︶およびQら︑︶をもつてそれぞれラス︒ハイレス式指数︑パーシェ式指数および理想式指数を

( 5 ) '  

サミユェルソンに従って次の不等式が求められる︒しかるとき︑想定︵三︶より︑

2 t ( t )   1 1( 1+ b)   Io gQ (t

︑ )

Q( i︑ ) P

U1 ︑)

1l

j 2 

工J  

｀ F 第三の想定より 叉

t ) 1 1 lo gQ (t

︑ ) ー

bi og P( t︑ )

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

lo gQ (t

ー)

lo gQ

(t ︑

)1 1b (l og P( t)

ーl

og P(

t ︑ ) ︶

既述の第⑤式と比較すると であることより次式が成立する︒

r , ‑

﹂ ︑

( 1 1

)   ( 1 0 )   ^{(9)  (8)} 

( 7 )  

それぞれA︑C︑Bで示され︑それは対応する価格はそれぞれ

F A ︑

L C お

‑％

よび

なる直線で示される︒なおN B

1 1 と

1 2 とは無差別曲線である︒

︑ ＼ノ

のなる状態に於ける諸価格は︑ばなる状態に於ける諸価格に比例的

681 

変動点BがAより移動するにつれて︑

Q1 (f

︑ )

は増加し︑他方

Qp (t

︑)は減少する︒このことは第一図より明白で．

ある︒故に二つの指数は逆の関係にある︒さらに︑

lo

d(t)gQ ︑

術平均の二分の一よりも小である︒これより既述の第

u O l

式より商品からグループの需要式に理想式による指数を用

いることより得られる残差項の分散度は︑ラス︒ハイレス式と︒ハーシェ式による指数の二つの対立的な組合せを用い

( 6 )  

ることによって得られる残差項の分散度の算術車＇均の二分の一よりも小である︒すなわち次式はこのことを示すも

ので

ある

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶ ︒ および これより

OG 

O N   Q 1 ( t

' )   11̲およびQ

込 ︑ ︶

1 1

︐

̲ ー

￨

O F O M

  ^Qp

(t

︑ ) 肌

1

Q1 Ct

︑ )e ; ; ; l  

無差別曲線が原点に凸であるという特性より︑tに於ける価格が基準時点の価格に比例的であるときのみ右辺が等

しくなる︒しかるに︑のに於ける相対価格が⑨における相対価格と異るとき︑

Q1 (t

︑ )

Q込︑︶は減少する︒上掲の第一図は

m 1 1 2

なる

とき

︑

七

これらの指数がどのように変化するかを示すものである︒

なお

︑ BGと

A M

とはそれぞれAFと

BN

とに平行であり︑次式が成立することになる︒ 叩

( O ) q i (

t︑

) I I A

疫

( O ) q

; ( O

の )

分散

度は

︑ lo gQ {

(t)と lo

gQ ︑

P ( t )

の分散度の算 が増加するにもかかわらず (14)  (13)  (12) 

物価

指数

と需

要分

析の

若干

の問

題︵

高木

︶

1 

va

,r

.u

d(

t)

＾ ー

(v

ar

.u

1(

t)

＋ var.up(t)) 4 

この式でud(t)

こ

｀

1(

t)

, 

t ̀

p(

t)

はそれぞれ第

u O l

式に

Qd

(t

),

Q︑

1(

t)

,

Q ︑p(t)を代入して求められるC

第四式を支えるものは︑既述の想定︵一︶︑︵二︶︑︵三︶および消費者が常に同一の選択を行うように行動するという

想定である︒なお︑第

u l l

︑四式はこれらの想定の最後のものに依存するのである︒︵一︶︵二︶は常数にあらざる需要

方程式にとり入れられてはならないという条件によってとりはずされる︒事実︑需要の経験的分析に於ては需要に

影響する変量のみが需要方程式にとり入れられねばならないし︑残差項又は確率論的要素の部分は︑とり入れられ

るべくしてとり入れられなかった変量の省略によるものと考えねばならないのである︒このことより︑需要方程式

より一定の変量を省略することより生ずる確率論的要素

e(

t)

を き

(t

) , 

U 1

) (t

および

s ( t )

を附加することによ

つて得られる変量の分散

u

d︑

(t

︑S) ︑

(t

)

およびS︑

(t

)

は必ずしも既述の第⑮式を満足しない︒併し次のような余

り窮屈でない次の方程式は満足されるのであり︑この場合は

e(

i)

は き

(t

),

U 1

) (t

および

S ( t )

に独立して分布

するということがその必要条件である︒

( l t l )  

1 

Var.ud ︑(t)^T(Var.up ︑

(t

Var.ui ＋)︑

(t

)︶

この第⑯式から︑もし︑需要方程式に於て︑ラス︒ハイレス式指数を︒ハーシェ式指数の二者択一的な組合せの使用よ

り生ずる残差額の分散度が近似的に等しいならば︑理想式による指数の使用より生ずる残差項の分散度はそのいず

れよりも小となるのである︒併るに無差別曲線の形態により︑ラスパイレス指数とパーシェ指数の諸組合せのうち

︱つを使用することで得られる残差項の分散度は他の組合せを使用して得られる残差項の分散度よりも︑

小であり︑なおこの場合には︑それは理想式による指数を使用して得られる残差項の分散度よりも小さくなり得る

八

はるかに (15) 

683 

年

する需要の弾力性が一よりはるかに小であることを示す︒

格 格

価価売 売

小

︑ 38 32 31 29 27 31 36 35 33 33 38 44 45 47 47 39 30 42 41

ーj

0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  

の 8の,1, 

表 ン

l夕 リ

一 ガ

． 第 マ

次

1920  1921  1922  1923  1924  1925  1926  1927  1928  1929  1930  1931  1932  1933  1934  1935  1936  1937  1938 

( 7 )  

のである︒この際に︑これまでの結論は構造方程式の残差項の分散度に関するものであって︑通常行われる最小自

乗法による回帰線によって求められる推計された残差項の分散度に関するものではない︒このことは注意しなけれ

ばならないのである︒併るに︑かりに使用された統計方法が方程式の︒ハラメータの偏歪のない推計値へ導くと仮定

して︑第⑱式はこれらの統計方法で求められた推計残差項の分散度へも適用されることを期待してもよい︒

バーグストロームの見解によれば︑この結論の実際の重要さは︑u(t)とe(t)

相対的な大きさに依存する︒すなわち︑グループの相異る構成商品の相対価格の変動が大である低ど︑又︑グルー

プのパラメター

[ 1 + b

が大であればあるほど︑竺]

( t

)は大である︒これより諸商品のグループの各構成商品の相対

価格が可成りの変化を示す場合︑および︑グループヘ対する需要の弾力性が1より︑はるかに大なる場合︑又はは

るかに小なる場合に︑いかなる指数を選ぶかは重要となる︒

かかる相対価格が時系列で表現して︑

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

九

のバターとマガリンの消費数量指数の対数 この式で

Qb m( t)

は等価的な成人一人当り'

+ s ( t

)＋ 

十 a s

竺

(t

)

Qb m( t)   =a 1A m( t)

 + 

a2 Y( t)

 ＋

a8 や

( t )

(17)  の二つの確率論的要素の分散度の

どのように変動するかを示すものが第一表である︒この表はグループヘ対

ストロームによれば次のようなものである︒ ここで推計さるべき需要方程式はバーグ

第二表 第閻式の推計値（イギリスのパターとマガリンヘ対する需要） (9) 

使用される指数 の組合せ

弾 力 性

価格 所得 他の

諸価格 2

) 5 )   1 4 1 8   1 . o  

〇

. 0

゜

‑ (  

゜

‑ (  

~,.,•

彙 数 ス 数 式 数 式

工 数

数 レ ス 式 ィ 指 レ 指 指 工

． ィ ッ ッ ノ 格

︒ ハ 童 ー 格 一 ス ス パ 指 ラ 価 ラ 数 パ 価

理数理価 指

指 想

盤 想

格

0.27 

0.27 

7 2 n 5  

1 0

詢． ︑0

゜

‑ (  

﹄

＇

︐

式数式数

~ ~1常数 ~1 炉...

i~I

,  I 

‑ 0 .  , ,  

r ・ 0 8 6 3  0   .

(0.21)(0.0016) 

I  I  : 

‑0.10.0056 i02470.000145 

. o o o f >  . . . .   ~...

(0.12) (0. 0011) 

I  r  ; 

;  ゜ ; 1 ( : ・ロ『゜7゜.oom9o.~•r·1-~

物価指数と需要分析の若千の問題全高木︶

表によって知り得ることは︑どの指数を選ぷかによって残差項の分

さら

に︑

5 2

は残差項の分散度を︑ の分散 小自乗法による回帰線により求められる︒なお︑炉は回帰式で示され でありPbm(t)はバターとマガリンの小売物価指数の対数であり︑Y(t)

は等価的な成人一人当りの貨幣所得の対数︑P8(t)

品の

価格

︑

tは時間である︒ は他のすべての商

第問式のパラメターの推計値は︑既述の指数の三通りの組合のいず

れかによりて得られるのである︒その得られた推計値を︒ハーグストロ

ームより借りたものが第二表である︒ストーンによれば所得の弾力性

の推計値(0.27)

は ︑

バターとマガリンに対する需要の所得弾力性の

家計収支計画より得られた推計値の加重平均を求めて得られた︒この

場合の加重係数として一九二0年1一九三八年にわたるイギリスの消

費者によってバターとマガリンヘ投ぜられた平均金額がとられる︒他

のすべての推計値は

(Qb

曇

( t )

o .   1

27Y(t))を独立変数としてとった最

る((Qb這

(t

)

ー

0.

27Y(t})の分数度の部分を

R * 2

はQbm(t) 

度の部分をあらわすものである︒

(10) はノイマンの比率を示すものである︒なお︑表中︑カッコ内の数 唸5 

値は推計値の標準誤差である︒

10  

685 

散度および推計値の標準誤差へ重要な影響を及ぼし得ることを示す︒すなわち︑ラス︒ハイレス式による数量指数と

︒ハーシェ式による数量指数とラスパイレス式による価格指数を用いての残差項の分散度の三分の一より僅か小であ り︑理想式による指数を用いることで求められる残差項の分散度ば︑他の残差項の分散度の唯一っよりも小である﹃

V

すなわち︑理想式による指数を用いることで求められる残差項の分散度

(O .0 02 19 )は

ラス

︒ハ

イレ

ス式

と︒

ハー

シェ

式 による指数の二組合せを用いることによって得られる残差項の分散度の算術平均

(0 .0 02 63

)よりも小である︒さら

ノイマン比率よりも︑ に進んで理想式による指数を用いることによるノイマン比率は︑指数の他の組合せを用いることによって得られる

( 1 1 )  

一九の観察値の確率系列より期待される値である

(2 .

05) 

! a l

より接近する︒

以上述べたように︑どの指数を選ぷかそれによって推計値の分散度に重要な影響を与えると期待される場合には︑

推計値の三つの異る組を求め︑最善なりとされるのをとるようようになるが︑第⑯式が示すように︑この組合せが

他のものの︑すくなくとも一っよりも︑

よりよき推計値を規定する故に理想式による指数の組合せがとられるので 故に結論として︑諸価格のある組に対応して︑価格の変動が僅であり︑かつ比例的であるとき︑物価指数の変動

に対する需要量の指数の反応を測定する商品のグルー︒フの弾力性が存在しなければならないのである︒

に︑事実上︑このグループ間の各商品の諸価格が全く同じ割合で変動しなくても︑上述の︒ハラメターの値を推計す

るこ

と︑

これこそ統計的需要分析の目的とするとこうである︒第三により小なる分散度を有することがよりよい推 計値であるとすれば︑理想式による指数の組合せを用いることによって求められるグループの弾力性の推計値は︑

ラス︒ハイレス式による指数とパーシェ式による指数の組合せを用いることによって求められる推計値のすくなくと あ

る︒

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

なお第二

686 

しか

ると

き︑

食

1 1 誓

n1 1砂

︵ 寄 ぎ ＋ 鍔

'd

吝 十

⁝ ⁝

＋ 究 戸 ︶

ふの変動は 物価指数と需要分析の若千の問題0高

木︶

需要の弾力性を支柱とする第二の問題へと進む︒

品︑われわれの例ではミルクヘ対する需要の弾力性との間に何等の相関関係もないとき︑それが︱つの価格へ統一

する︑すなわち︑︱つの物価指数へ統一されうることと明らかにする︑

x︑⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝ミルクヘ対する需要量

pr……·………•••……•9・・・ミルクの価格

•V1:rs……3A→m………•••他の食糧品へ対する需要量 きJざ……9p`‘-……•…••他の食糧品の価格

さ………••••…•••1番目の個人によって需要されふの数量

N

⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝⁝個人の数

ある︒これより

d p i

,   d

P2 , 

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・:

‑d Pm

の独立的変動に依るとする︒なお︑他のすべての価格は確定不変で 理論の展開に於て次の記号をとることにする︒ 特に此処ではロースバースの所論を中心にして展開する︒

( 1 )  

このことがわれわれの当面の課題であるC すなわち︑個々の食糧品のグループの価格についてのある商 も一っよりも︑より適したものといわなければならない︒

e87 

しかるとき すなわち

N m N m 

dx

r=

J.

 ビ ピ

Er

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Er

si

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Xr

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,

x , ;  

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m

ラグランヂュの未定係数である

Aは次式で規定されるように選ぶ︒

入は物価指数の変動であることは明らかである︒第①式は次のように書きかえることが出来る︒

食

11

恥 ︷ 鍔

P1().

+ e  

1 )  

＋ 鍔 吝

︵ 芋

0

2 )  

+

⁝ ．

＋ 鍔

︵ ご 笙

m )

︸

次式を導入する︒

物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶ 次の第②式を導入する︒

げ

d t ,

Ps

Xs

  S1 11 p"

m ピp&s

s"

"

1 

m ピ

Ws Ps Xs

=O s = 1  

ーA +

W s ,  

食P

s 

(2

︑ )

( 2 )  

688 

し得

る︒

rへ対する需要の変化︑

念1

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︑

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︑き

︑

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NriTり1•=:1、＋日Ws~ErsiflriI   ︑dx

i = ] .  

さ

11

pi

r

とすると︑第③式にこの定義式を導入し︑両辺を出で割ると︑次式をうる︒ N

這 這

NdN︑₁

1A

MM

Ers;•X,;

＋Mwsピ

E r s i

0 X r i

i i s 0  

1'"~

上式の総計の順序をかえると次式をうる︒ 物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

W 1 1 1

2 1 1 さ 勺

⁝

⁝

"

.W

這1 1 0

なるとき︑箪面式より

これより第④式は次の如き価格変動の炊果を︑囮もしあらゆるm個の価格が同一の割合で謄貴するならば生ずる

以下に於て︑第④式の右辺の第二の項に焦点をしぼって理論を進めることにする︒

次の約束をたてる︒ ⑮m個の商品の相対価格の変化に依るrへ対する需要の残差項の変化の二部分に区別

Z 翌

d 1

記ぎさ

． ．  

は価格Sについての商品rへ対する需要の個々の弾力性の加重平均又は同様にSについてrへ対する市豆

一四

( 4 )  

( 3 )  

689 

m 吾s•

V,1,1,•Pws•M,.

1

ー 一

ード

ws 11

ー

ms

1 11  

す︒これより︑第⑦式は次のように述べることが出来る︒ 廂品 で変形する︒定義により積

P s X s

を

M S

であらわすと︑相関係数

pg .•M,

の定義によって︑次の第⑥式が成立する︒

第⑥式の

d w s

は標準偏差である︒︐第⑥式を用いると次の第切式をうる︒ 品s 

s  潟の需要の弾力性である︒なお︑第二項は相関係数の定義を用いて次のように述べることが出来るC

この第固式の合

s

は さ

Sの標準偏差であり︑

dE ざは市場需要の弾力性の標準偏差であり︑さらに

P s ざは商,•E

の価格の比例的な変化とその市場需要の弾力性との間の相関係数である︒第固式の右辺の初項をさらに進ん

の消費価格の標準偏差を︑

物価指数と需要分析の若干の問題︵古回木︶ l m 

ma

w,

M  a

, 

Pw,•M.

a w ,  

aM

, Pw,•M,

M ,  

ー じ ぎ ー ー

￨

￨

￨ m 1 1

￨

＇

m

ビ

M

1 1 

記さ

,M

,1 1

針︵ 記 l v l ,

+m

5s

  s a

M,

 Pws•M,

11 0 

m ピ

さ

s P

s X

" ー ︒

S 11 1  

誓 翌 こ

i︵ 誓

． 誓

＋ i s

思

g．₆

E}

s i i P

w s   E

t s  

一五

(1

3)

平均価格で割ったミ

Lこ 1 1 s

は支出の変異係数である︒これを

(7

︑ )

VM , 

であらわ

( 7 )  

( 6 )  

( 5 )  

690 

は小

とな

る︒

第⑧式と第④式とを使って次式を得る︒ ピ艮乾

s ;

11

︵ ピ

EもS

, {  

V E / ,

;   _•P~0S•E

を1

VM,P11•s•M.,

しかるとき︑第⑥式は次のようになる︒

為 ざ

︐

i1 1

1 m 

T S O  

ー ピ E i

m s  

1 11  

同様に次式を導入する︒

の 代 り に

くざを使用する︒E 物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶

＜拘ざ•Pe

,•E/,;

‑V 

M,•Pws•M,

咋11ミ璧も｛1＋舟

[<g.p3.g

M, ]}  

この第⑨式の中に︑われわれの求める答がふくまれているのである︒われわれにとつて︑他の諸食糧品の価格を一

つの価格へ統一的に結合することが可能であるには︑次の三条件の一っが満足されねばならないし︑又︑それで充

需要の弾力性の変異係数および個々の食糧 分である︒すなわち

一価格変動の標準偏差は︑平均価格変動と比較して小である︒ニ

品への支出分は小である︒三相対価格変動と需要の弾力性との間の相関関係︑相対価格変動と支出額との相関

( U )  

関係は︑両者ともに小である︒相対価格の変動と個々の商品へ支出された額との間に相関関係があるというだけで︑

相対価格の変動と個々の商品の需要の弾力性との間に︑相関関係があるならば

これだけのことより︑商品のグループ分けについての諸条件が︑需要の弾力性と相対価格の変動との間の相関関

一六

( 9 )  

(OO)