P 1
J P i p i
[臣 (P` 〗ミニ
11s i j
̀
u = c o n .
ピ
Pi Xi ll
ビ ピ
a i
さ
＋ ふ い
Pi ll
︑r
i i ] i
次の二組の条件を考えることにする︒
ピ ピ ぎ
pj 11 0
ピ
Pi 11 1
スルーッキイ方程式の相対的特性は次の第
U l l
式によって示される︒ T
= l ,
2,
⁝
⁝
9
︑
2二九
( 1 1
) ( 1 0 )
スルーッキイ方程式が成立する場合の積分可能条件であり︑第切式は生計費指数を示す分数式の分子につ
いて所得の確定不変の炊用水準を規定する式である︒もし︑需要函数がわかつているとともに︑
式が成立するならば第⑥式を積分して求める真の生計費指数を求めることが出来るのである︒次に述べるのは第⑦
式についてのその一例である︒前提としての需要方程式を次のように立てることにする︒
a
︑B
については何等の制限はないものとする︒いま︑P i
で第⑨式の両辺を乗じ︑．1の全体を通じて
( 9 )
スルーッキイ方程
故に
すな
わち
︑
C﹁
1 1
ー
Ti
ビ ピ
P
さき＋ビピ
8i je ip j1 10 ij ij
および
M] Pi 11 1
i
0i j1 1P iT j+
I J ; ;
e ;
一般的な場合︑すなわち
il lj
をもふくむ場合は次式で規定される︒
i 1 1 j なるときは︑ぎ
1 1 1
であり︑加
" j
なる
とき
は︑
8 i j 1 1 0
である︒第⑪式より次の関係が成立する︒
もし︑第⑨式へ第閥式及び第⑯式を代入すると︑次式が成立する︒ みちびくことが出来る︒
r .
・ー・、2111、2、·…••、1l
P i
ー・・・芯︑ーさ＋
P t
ゞ
iさ ー ビ PJ .
i
ai j1 1P iT j
i北j
Pi aj KI IP Ha jk
i北j北k 物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶
( 2 4 )
スルーッキイの﹁残差項の変動の転換の法則﹂を示すものである︒第⑨式へ代入すると︑次の第⑫式を
Pj ai j+ Pi
ピ
aj kD 11 Pi aj i+ Pj
ピ
ai km
もし第⑫式の左右両辺の
P k
の係数がひとしくなるには︑次式が必要となる︒
これより︑既述の第⑨式の価格比の係数は次式で示されるようなものとなるのである︒
Pj
+ x r ￨
Pj
i f
十さ栖
l l i f
P i p i p j
i北j
i北j
。
( 1 7 )
(16) (15) (14) (13) (12)
705
較時点で適用されうること︑ この第閻式による需要函数は既述の
ピ
pさ←︑なる収支計画式とスルーッキイ方程式を満足するように組立て
られる︒もし︑これらの函数が第
U s l
式で示されるような微分方程式へ代入されるときは出︶についての積分は次のようになる︒
ここ
で
C
r 1 1
C
I I
p ; / 3
ー
;
M m p i
は積分常数であり︑求める生計費指数は次のようになる︒
︵一︶基準時点の無差別図表が比
r
で示される所得︵総支CI
T
p ,
f i , ‑ M ‑ T i p i
I I r 0C
I T ( p
︒
; )P
r ̲ M r i ( B )
︒
r o
とは基準時点の観察された価格と所得である︒この式の各項を統計的にとらえることが必要となるの
であるが︑価格︑数量および所得の実際の統計的推計は必ずしも確実なものではない︒たとえ︑サンプリング・メ
ソドによるとしても︑それはそれで標本誤差がつきまとう︒この場合には母集団の︒ハラメターの点推計の代りに反
ラメクーの領域は 覆的なサンプルで推計さるべき真の値を被う諸値の領域を求める︒これが︑すなわち﹁信頼領域﹂であり︑この︒ハ
グの特定の領域を意味する︒いい代えれば︑この領域はラス︒ハイレス式による指数の上限を︑
パーシェ式による指数の下限を規定するのである︒すなわち基準のとり方によってその規定する限界が異るのであ
る︒しかるに︑この節で述べて来たクライン・ルビン式では︑
限を規定することが出来︑さらに指数の真の値が反覆的なサンプルに於ける信頼領域で被われる確率を計算出来る
という長所を有しているのである︒勿論︑
物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶
( P i )︒と
いずれの基準による指数についても︑その上限・下
クライン・ルビン式が成立するには︑
︵二︶個人の資料より市場の資料を導きうることを前提とする︒故に︑分析の基礎は
( 2 5 )
(19) (18)
7oi
￨11kPi
a ̀
き~i なりとする︒この炊用函数は双曲線の形態を示すという特性によ
m p j r
P i
り︑すなわち︑炊用の極大の特性により︑すなわち︑？
pI I ピ
きにより︑スルーッキイ方程式
X i 1 1
ピ
a i j ー
＋ Pi
ー ー
P i
i1
11
の形態の需要方程式を導き出すことが可能である︒すなわち なお︑此処で一般性を失うことなく︑ビ
Pi 11 1
u =
I T ( x
＋ ;
T i) p i
i この式を積分すると次の放用函数がみちびかれる︒ 第⑮式︑⑯式より
゜
dさぶ •II
＋ Ti
ピ
p g
貸
1 10
であり︑ピ
p; dX
; 1 1 0
とな
る︒
0ミきさが・1番目の商品の価格に比例的であるから︑次式が求められる︒
j i l l
,
T心
︑ ︑ P i Xi +]
︑
S r︑11 r
＋ ピ
Ti pi
物価指数と需要分析の若千の問題︵高木︶
準を確定不変ならしめるよう行動する平均的な個人の生計費を計算するため︑
を推計する操作がとられるのである︒
( 2 6 )
ゲェーリーは炊用函数
u(
N1,
X2 ,
⁝
⁝
︾
S )
を導くことに問題の焦点をしぼり︑次式を立てる︒
(2 4)
(2 3)
(2 2)
(21) (
20 )
一人当りの需要方程式の︒ハラメター 典型とみなされる経済的地域内の平均賃銀の取得者の個人的な需要︑又は消費者行動の理論である︒その妓用の水
707
(3) (2) (註1)
は需要方程式より確定しうる故に︑所得
r
常数k
ーッキイ方程式によらなくてもよいようになる︒ゲェリーによれば︑
数が双曲線の形態をとるという想定よりも︑
（さ｀がき…••••さ）の称呼での所得
変数との回帰線より決定される需要方程式より確定される︒この手続は独立変数が誤差を伴わないで測定されると
の想定がとられるときのみ︑サンプリングの立場より有奴であるが︑価格は数量と同じように観察誤差を伴う故に︑
この想定は現実に反するのである︒
格と所得とは需要方程式より数量の形態で導かれ得る︒最小自乗法による回帰線の見地より︑価格を従属変数︑数
鼠を独立変数とみなすことは︑
る場
合に
は︑
スルーッキイ方程式が成立する条件が炊用函
( 2 7 )
より適切であるかどうかを検討することが残るのである︒
の函数式の︒ハラメターは従属変数として︑数量を独立変数としての他の諸
一方では数量︑他方では価格と所得との間の代替性が想定される︒すなわち価
ひとしく論理的に正しい︒この場合には︑
︒ハ
ラメ
タ
1
の推計値は変数がニケ存在す回帰線も二本存在しなければならない︑このことより異るのである︒これより残された最善の道は不
偏歪推計法である︒すなわち︑
f( X1
`X29·…•Jさ）
E[
f(
X1
"
R2
̀⁝
⁝
9X
n)
]1
10
この場合の
X1
,X
2,
·…••しさはサン。フルの値の集合である。
R . S to n e , Th e Analysis
f o Ma rk et De ma nd , J ou rn al f oRo ya l S t a t i s t i c a l
Society•
V ol . 1 0 8 , 1 95 4 P . , 28 6
1
E .
Rothbarth•
No te on n I de x N um be r Problem,
e R vi ew of Ec on om ic St u d ie s V o , l . XI•
N o. 2 , 1 9 4 41 P . 9 1
H .
Wo ld , D em an d A n al y s is , 1 9 5 3, P. 10 0
物価
指数
と需
要分
析の
若干
の問
題︵
高木
︶
歪の伴わない推計値である︒
r
︵ 未 完 ︶
が
0
の推計値であるとき︑次式が成立するときは︑それは偏は．
t番目の商品の価格
p i
の称呼だけで求められる︒
スル
・ u
11
1 1 6 i u s i u U l 4 3 l U 2 l ( 1 l l
(10) (9) 18) (7i (6) (5) (4) 物価指数と需要分析の若干の問題︵高木︶R . Berg
st ro m, h T e U se of In de x N um be r i n D em an d A n al y s is , e R vi ew of Ec on om ic St u d ie s . V o l . X X I I I ( l ) , , 1 95
5 1
5 6 , No . 6 0 P . 2 0 , P . Sa mu el so n. Fo ud at io ns of Ec on om ic An a l ys i s , Ca mb ri dg e, 9 4 1 8 . C ha p t .5 , P . 10 8 R . Be
rg st ro m, b i i d . a . a . o . P . 2 1
R .
Be rg st ro m. b i i d . a . a . o . P . 2 1
この表は
R . S to n e , Th e M ea su re me nt pf Co ns um er s' Ex pe nd it uc e a nd B eh av io ur i n t he U ni te d K in gd om 9 1 20
‑ 1 93 8 V o , l . l , Ca mb ri dg e U ni ve rs it y P re s s , P . 9
5 (
パタ ー︶ P. 10
2 (マガリン︶より算出したものである︒
この表は
R . St on e
と
A. R. Pr e s t, Na ti on al In co me of th e U•
K. 18 70
‑1 94 6
より
R .
Be rg st ro m
が計算したもので
ある
︒ R. Be rg st ro m, b i i d . a . a . o . P . 2 5
,
． J•
vo n
Neumann•
D is t r ib u t io n o f t he ra t i o o f th e me an square
s uc c e ss i v e d if f e re n c e t o th e v ar i a nc e A, nn al s o f Ma th em at ic al St a t i s t c s , V ol . X I I , 1 94 1 P, P. 36 99 5 すなわちノイマン比率とは
1) 2/ S2 11 md l( mーで示されるものであって︑dはもしd1)
の 観 察 値 が 炉 な る 規 準 値 よ り小なるときは︑正の系列相関が適用された有意性の水準で設定されると考えられるものである︒
Jを一階差︑
U t
を
回帰式よりの残差項を示すとすれば︑次の式になるものである︒
Ba rg st ro m, b i i d . a . a . o . P .
2 3
E . Rothbarth,
A
No te on an n I de x N um be r problem,
e R vi ew o f E co no mi c S t ud i e s, V ol .
XI•
No
. 2
1 94 4 P, P. 91
ー8
R.G•
D. Al le n a nd A. Bow le y, Fam il y E xp en di tu re , 1 95 3 P . , 68 7 2 E . Rothbarth,
b i i d . a . a . o . P . 9 3 D it t o , i b i d . a . a . o . p . 9 4
J•
H ic k s ,
A
Re vi si on o f D em an d Theo
ry , 1 95 6 P, .1 83 E . Rothbarth,
b i i d . a . a . o . P . 9 1
d 11
ピ
(4
︑
U‑
︶2 /r :, u, 2
1 = 2 1 = 1
四