奈良教育大学学術リポジトリNEAR
收盆曲線
著者 寺川 末治郎
雑誌名 奈良学芸大学紀要
巻 1
号 2
ページ 104‑107
発行年 1952‑03‑01
その他のタイトル Product（−Revenue）Curve
URL http://hdl.handle.net/10105/5215
収 益
−104−
寺 川
Suejir・O TERAKAWA：
1
農業接術法則としての脾星酢頓才ノ法則は TlげgOtに より或はRicユrdoによってまとめ上げれた。この法則 そのものはシンボリックには rC≠（A，B，（1，……）
一足慣ム0以後は 蒜く1−
又増分形式では
声（A＋△A，B，し1，……）一声（Jl，R，（1，……）＞
≠（A十2△A，B，（1，・‥‥・）一声（A＋△A，B，C，…）
として表現されえるものであるが当初古典学派による 生産期費郡の概念は上掲の数式の君味する様な限界性 を深化することなく問題となったのは平均費周のみで あった。其の樽柿がhIlrS1−nllをこえ1鵬6年βIarraの 劃期的な論文のあらわれるまで繹いた。新しい意味の 限界費用は平均賓邦と関連しつ㌢崇拝琵論の科学性を 高め、それが今日の経濱分析として経済学の骨稀とな ってゐる。その適用の節匹は利潤（㌢匝大化損失の極小 化を求める企業経営の画しつみでなく Wel払re の蹄大 化を前面に押し出してゐる昨今の 8ccialistecollnmy
に於いても其の客圃合理性のゆえに紅濱詳論的自然 法則としての一般承認を得やうとしてゐる0 これが塀 情である。従って限罪草間と平均契印の二曲細の叙述 と共にIluInel−iual ぐmn】pje を記載しない近代鬱済学書 はあり碍ないと言はれる。殊に米国では此の傾向は決 定的でさへある○進んで之にJlL較的簡単な解析数式を 与へることによって両曲際相互の歩みを精確化するこ
とも既に可能になってゐる。（（4）参酵）
2
近代経済学の内包をする脾益分楯、費貯分析は詳し く言へは経溶学と紆嚢学との共迂猟域をなすも（つであ るが前者の斑按の態度は徒者の契証的態度にJILべてカ ナリ単純でゐる。この点は芭琵出蒋ない。然し問題
の核心に差別はない。所て摂苛手指呂（r㈲大化を拝訂す る規準とみなされるものにも若干の種別がある。其（つ うちの二つ。一つは末共時宕糀と未来壁間流とを現行 利子率で資本化して某に′静観 ヽ」（1を極大化する
11iLksの方法、今一つはV／（1＝1を托る −llien
曲 線
末 治 郎
Product（−Revenue）Curve
利子率に等しいときに極太である。Cを投下貸本額と した場合の聴益菌数は
r＝f（C）
赦益の現在値はⅤ＝f（C）C二rt但しtは投資期問、
Ⅴ−rコの差額Gの樫大条件は
G＝f（C）e−rt−C…………（1）
篇＝f（C）e・rt一丁＝0
即ちf（C）e−rt＝1………＿‥（2）
然るに式 C＝frC）e−Pat………（3）
ここのPユは平均収益率（卸erageinter−1乱lrate）で 資本の平均効率ともよばれえるもの。
文武I＝f（C）e−pmt ………（4）
（4）は（3）を細分したものでなく琵凱こよって其の値 単位lと与へられたもの。PInは限界収益率又は資本 の限界効率とよばれるもの。
次ぎにPa兼び1−1−−について解く。
l）n＝十eg（等）………（5）
p ＝十ogp（Cト‥・‥・・（6）
依って（2）と（ノ1）から限界収益率が利子率に等しいな らばⅤ−Cは極大である0これと同一の教具に別途で 封丁達することも可能であるc
P＝C（ePa（U）t−Crり・・・・・・・．．・．．（7）
緻分LてPの醇大化の穿件を見比す。
pa（CトトIlog（tCpa，（C）＋I）＝r・・・（8）
この左辺は限界埴益率に等しい。
又（6）の限界式とは別個に構成して
ぐPmt岩音（Cepa（C）t）………・‥（9）
この鼓F左迄の問罪勝者，率は資金の1停単位が期間 t の終りまで一定率です断に成長するとして其の値が 投下資金の附加単位 alladditiol一礼lu一雨もに帰すべき、
同期間末の終資本額の倍加分に等しくなるやうな利子 率を意味する。（9）の右辺を微分して両辺に対数をつ けると
ニ慧慧霊豊ar如i．、t。r。allat。）が 。Inニ舶＋÷1cg（tCpa，仰1ト（10）
茶良学芸大学紀要 第1巻夢2号・】95g年（昭和酢年）3月1日
収 益 曲 線
（8）の左辺と（10）の右辺とほ等しい。依って
Plll＝こr
pmとPa との関連素式から限界収益と平均収益と の均衡条件も得られる。Pa （U）＝0とおけば
（10）から puユ（U）＝Pa（C）………（11）
右辺がその極大点にあるとき其の値は左辺に等しい0 これで証明せられた0
（b）差引額でなくⅤ！Cの割合を極大化するには生産 量乃至は脾益の摺加百分享が費汗酵加のそれに等しい こと即ち平均取入率が限界脾益軋一等しいことが其の 条件となる0
v qc）eイt
でF㌢…℃−………（12）
（1について緻分し結果を0とをくと
f（U）e−TLしけ（U）e−Tt）ニ0…（l：〜）
等）ニ王，（（−）……・………‥（‖）
両辺に現数をつけ、且つ期間で割ると
÷log（寧）尋logP（C）………（15）
これで平均埴益率とと限界収益率との均衡が証明せ られた。次ぎに（＝l）と（b）との匿係をグラフであら わす
0￣￣ Cl C′2
図1資本投下単位数
（礼）では限界埴益率と市場利子率との均等をふくむ意 味からここに与へられたと仮定した利子率rを噂lect一 することは不可。（b）は限界収益率と平瑚吏益率との
埠等を指元するから差し当り利子率1蘭は間置になら ない。この事から ヽ −（）の極大化を求める投資は投 下資本単位を002まで、又V／Cを極大化する場合は 0（11までの投下酎百の正シサが教へら九そ0其のため
（n）では市場利率の高低によっC直接に左右せられる
（1であるが（b）では PmとPa との均衡点を拝へれ ばよいから其の限りでは市場利率は問題に入らない0 次ぎにrの利子率直結が月と一致する様な最後的均 衡では（a）（b）が一致する。だから企業者にとっては何 れの極大化按準を採るか注無差別である0 乍然か様 な最紋的埠衝に達する前後においては（a）式を揺るか
（b）式をとるかに依って当の企業運営の現頂内容は自 ら異らざるを得ない。上の数式は勿論、投資金融の部 門において看過することの許されないものであるが、
これと問題点を変更する一敏の生産企業でも借入岸本
ー105＿＿
を以て経営やられるものにあってはその間の事情はか あらない。市場利子率及びその利子率による貸本化還 元か絶対に必要であるから。費用の構成項目は企業の 性質から程々に変化すべきは当然である。そして何れ の経済新嘗でも刊澤の棒大を追求するとの前掛こ立つ 限り一定数の曲線群の指し手，に柁うことになる。その場 合に最も重要視すべきは限界費用と限界収益の二曲裸 であり、この事は梶管の種類、内容の区別を絶して妥 当する。F・lJLItろの「企業投資Lr理許」では利子率を 一冠とみなさない場含についても説明してゐるが′J、諭 では引用しなかった。
3
第1図は「今日は万人周知日と呼ばれてゐる拙物繹 却曲線、U 字型曲韓の平均費用、限界費用の両曲細 を上方へひっくり返したものであることは何人も気付
ぐであらう0然し等1図の様式躇今日まで本邦で広く 採用されてきたものではない。例へは京大青山教授は
「独占の経済理論」の中で費宵曲緑のグラフに軌、て第 1回の生産貴曲韓を描いてはゐるが、それについて別 段の説明はあたい、ていない。或は生産量は費円の逆関 係だから聴音曲線は自明と考へたからかも知れない。
叉同じ天壌助教理の「企業の生産量に関する研究」も 多数のグラフを載せてゐるが例の曲輝に関する限りは RobiniOll 女史の及び其の後一般的になった直線形式 を紹介してゐるのみ。直様形式の看同性、匪刺性はさる ことながら、ともかく事情は進展してこないそれ等に 比して戦後舶敢せられたBaellやHouldillgの経済分 析（−経済原論）では部門によっては面目一新とい うほどに進んできてゐる。そしてこれら米国学者 に共通の長所は極めて満足すべき numerical examPle の外に二つの生産量薗糠を新しく措いたelabDration
にある0 この点に間違はないと恩ほれるが彼等ほま た等しくシンボリックな黄濁肘与を意識的に差しひか へたo jioLIldi唱 の如きは目的のす近くまで来てゐ るが遂に遺憾を残した。 然るに弟近 Colulllbid 大 学のS軸1erはその「慣稚諭」で今日まで感知せ られてきた賂点の一部を除去してくれた。
その方法ほ米匡流にまづ、Ilt−lnerlCRlCⅩ11nPIu を与 へ他に、数式とグラフ即ち≡環のillStrLlnlellt を用い て問題たる曲裸の解硯にあたってゐる。殊に角度を利 用しての説明は何人にも理解せしめないで措かねとい う程のものである。当の曲線群が経済分析に対して持 つ墓要享にかへりみるならは鑑の親切は決して排すべ
きでない。
4
（LJ）S痺Ierの数式を借用する。
ー106− 寺 川 末 治 郎
今Ⅳ 単位の票田が Pの生産者を生むと仮定すれば P／Nは平均生産量とみることが田変る0更に崇用をn 単位追督して其のため際生産量にp だけの楷加をみ たとするならば新しい平均生産量は
P＋p
『蒜………（1）
仮酢よって宗吾一昔＞0………（2−
竿蒜欝＞0……（3）
即ち Ⅳp−Pn＞0
÷＞芯………（4）
Kを1より大として
キ＝貰謀＞宗E・・…・（5）
ここでp／11は給生産量における摺分を費用の憎分で割 った値であって限界生産値を意堕すZo P＋p／Ⅳ＋n
は明かに平均生産値である0 日tiglerの数式引用は以 上で終るがこれでわかる様に平均年産量が即口の状勢 にあるときほ限界生産量は平均生産量よりも大きい0 第1図でいい、ぼUlの前田ロち点もまでは1）n噛緑は pa曲線の上方を乗ることが証明せられる0次ぎに（2）
を反矧こして減少の式をつくってみると上同様の推理
￣ご
宗吾一昔＜0………（2）
kをlより小さくすれば
÷＝蒜等＜韻…（6）
仮定によって今度は限界生産量は平均生産量より小で あるから平均曲隈が滅小の状態にあるときは限界曲線 に平均曲線の下方を葬る。しかも限界曲緑は平均曲線 よりも早くから下降に転んじてゐる、この劃ま費用値 の場合に限界曲隈が平均融泉よりも早くから上昇に転 んじる事とシソメトリカルに解し得る等柄である0
収益曲線を描く場合常にモデルとなってゐる費用曲 線の数式を参考までに示す。
K（ズ）総生産費、誓）平均生産費、
品（寧）＝（寧一等巧÷…（1）
左辺の正、負は右辺の括コ内の数値できまる。
限界生産費＜平均生産置ならば 品（空夢）く0………‥＝…………‥（2）
限界生産費＞平均生産費ならば 浣（寧）＞0…………・・・‥…‥‥……（：−）
限界生産費＝平均生産費ならば
鳥（掌）＝0日………（ヰ）
平均生産費曲隈の糎′1、点て限界生産費曲纏と交わる。
図 2
要するにStiglpl・の表式は費用解析の示す曲糎を丁 度上方へひっくり返した形を与へるから曲線の、▼isua細 liz′ltion の目的には直裁簡明である。然し其の蓑式が 解析的でないためにまた欠点がつきまとう。安易にす ぎるとの批難もあらう。物聾的生産物を対象とする生 産量匝数ならばAlle−1がやってゐる様に「偏微分の腰 間」が心要になる。又販売収益個数に限るならば−限 界収差＝平瑚蟻（ト去）（但しEは需要の弾力度ト の形に整式出来ることが望ましい。日比野教授の生産
￣力曲輝はAllenと同様である。そこでは当の両曲線交叉1 の事実はわかるがそれい．外で曲線の歩みを捕詳するに は多大の緊韻が必要する〇これが欠点といへば欠点で あって費同曲顆をそのまま逆に返してさてどうしてそ
うなるかの説明を省略する様な等が起る。
（（1）米国学者に共通する巧妙な角度を以っての説明 は都合によってここには解介しない。
r5）蛇足の誹を受けるが収益曲韓から田て来る三つ のPropositiollをまとめてをく。
（1）平均生産量が増加してゐるときは限界値は平均 値よりも大。
（2）平均生産量が減少してゐるときは限界値は平均 値よりも／j、。
（3）だから、平均生産量が極大点にあるときほ限界 値と平均値とは相等しいeここで両曲線が交わる。
そして与へられた此の収益（−生産量）曲線のProposi−
tinを例の二項の費用曲線相互の関連様式と対解する ならば、そこで始めて収益と費用との一蝦的関連を妥 当に会得することにならう。ヨ理論経済学の故扱ふ均衡 慣椎の理解はかくしてまず可能になる。
この程度に到達するならばヨリ複雑な構成を持つ独占 慣柿、国際偶緒を克服するにも困難を感じないであら う。要は限界費、収両曲線の歩みをみきわめることに 外ならない。今流行の「径路分析」Ee01−OlhicA11alysisは かつての経済原論に代る名称であるが、それは同時に 限界分析とも称せられるものであって静態慈済を考鮭 する限りは既に言及した一群の曲線になは若干の限界 曲線を加味するならば、それで理静的コスモスの大部
収 益 歯 線
分ほ内包せられることになるe所謂近代紆活学は笑は 一個の限界隊理に立脚してゐると言へる。従って平均 原理は理論経済学に関する限りどこまでも限界原理の 侍女としての地位においてその存事が許される0再言 すれば一群の限界概念を巧に塔解し應用することが掟 清学での「近代的」である。26．9．26
参寄書
G．（L V．Lutz，TheoryorInl・eStnlentOr Firm
1951 G．Stigler，the Theory crPriee 1950 Jjouldi−1g．Ec虜10mie AllalysiS l911
おowman＆Baぐh，Economic AllユけSis and PublicPolicy 1647
R，G，D，Allen，MathematicalAnalybis for Economist5 1950 日比野勇夫 経済理論の数学基礎 1949
最後にあげた著賓は秀れた邦書である。
＿・．107＿
