奈良教育大学学術リポジトリNEAR
循環小数餘論
著者 久保田 勇夫
雑誌名 奈良学芸大学紀要
巻 4
号 2
ページ 17‑18
発行年 1954‑12‑25
その他のタイトル An Addition to the Theory of Recurring Decimals
URL http://hdl.handle.net/10105/5035
（17）
循 環 小 数 鎗 論
久 保 田 勇 夫 （数字教窒）
（1954年9月1日受理）
I軸O KIT丑nTA：An Ad（1ition to the TlleOry
Or Recllrri噂f加inllll8．
10と互に素なる素数pを分母とする既約分数を小数に化したる場合に於ては、その桁数（1は 10 1−ユ三0（｝1…11−）ならしめる衷′付旨教rlでありしかもP即matの碇輝によってp（P）をPの Elll印南数とすると10〆p）−1…0（mt）dp）であるから（lはp（p）の約数でなければならない ことは昔から良く知られている0叉それは乎組の循環部CJrCleにまとめられることも証明 されているところである。
そこで循環節の桁数が1桁から10桁までの分数で分母が2、5以外の素数からなる既約分数を しらべてみると案外に少いものである。
1桁のものはP＝3、2桁のものはpニニ11、3桁のものはp＝37、4桁のものはP＝101とそれ ぞれ唯一つ宛しかない。5桁になってはじめてp＝41とp＝271の二つが存在する。従って例え ば11なる分母を有する分数は ￠（41）＝4040÷5＝只即8純の循環部Cycl（・が存在し、また271
を分母とする分数は〆271）＝270 270÷う＝射即射組の循環部Cyclf！が存在する。次いで6桁 で循環するものは P＝711＝13の二つの場合だけである。またT桁で循環するのは1研一1＝0
（1nO（lp）の成立する素数Pを：しらべてみると急に大きくなってp＝23リ p＝都49の二つの場 合である。
今p＝239について実際に循頭部Cyel？を計算してまとめてみると最初の一組は
● ● ● ● ● ● ●
去＝0・0041841品＝0・0418410 芸＝0・ユ捌10る品＝0・184100ユ 蒙古＝0・8410041
● ● ●
品‥0・4−00現 品魂100船まである0各組を傭単のために次の様にまとめることがで
きる。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 10 2 20 3 3〕
4 40 5 〉0 6 60 7 70 8 80 9 90 13 130 14 140 1ラ 150
分 子（分母は常に239）
100 44 201 200 88 163 61 132 125 161 176 87 22 220 49 122 25 11 222 69 212 83 113 174 183 157 136 10ラ 94 223 205 133 185 66 182 147
16 150 166 226 10ヲ
98 195 55 153 12 110 208 67 16う 79 177 36 134
奈良学芸大学紀要 第．4巻第2号 昭和29年2月20日
l 礪 項 師
1
‡打 3：霊霊2
72： 0．0125523
1
96； 0・0167364
霊！ 3：；芸霊
168i O・02ヲ2887 192： 0．0334728
1
216； 0．0376569 73； 0．0ラ43933
97； 0．節85774
121j o・0627615
145！ 0．0569456
（18）
粗番号l
14 15 1い 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
久 保 田 勇 夫
分 子（分母は骨に239）
17 170 27 31 18 180 127 75 1（） 190 22／ 119 21 210 133 207 23 230 149 ラ6 28 41 171 37 29 51 32 81 34 101 54 62 35 111 154 106 38 141 21ラ 233 39 151 76 43 42 181 137 175 45 211 193 63 46 221 59 112 47 231 159 156 57 92 2（）3 118 58 102 64 162 63 1う2 86 143 85 133 135 155 95 233 179 117 114 184 167 235
71 232 33 91 234 189 158 146 82 103 131 115 93 213 142 225 104 84 229 13フ 191 237 77 う3 202 103 164 206 126 65 224 89 186 187 235 199 116 204 214 228 209 179
Q ノ ウ ノ 7 6 4
． 4 8 9 t ノ F フ 9 2 4 8 2 号 ノ 7 8 8 9 7 1 6
1 9
2 1 2
7
9 1 9
2
9 1
5 2
4 7
7
9 7
2 2
0
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
ュ
l
環 節
0．0711297 0．0753133 0．0794979 0．0378661 0．0962343 0．1171543 0．1213339 0．1422594 0．1464435 0．15899ラ3 0．1631799 0．17ラ7322 0．1882345 0．1924686 0．1966527 0．2384937 0．2426778 0．2635933 0．35ラ6485 0．3974日95 0．4769874
次にp＝4649を分母とする分数については7筒づつ郁4組の循環部Cycle別にわけることが できる訳である。
更に循環節が8桁、9桁、10桁になるものは叉一つ宛しか存在せすそれらは夫♪ P＝10001、
P＝1001001及p＝9091が存在するに過ぎない。何故にこの様になるかについては稿を硬めて次 の機会に明らかにするつもりである。
