Title
Barrier Reef による波の変形
Author(s)
津嘉山, 正光
Citation
琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &
Engineering Division, University of the Ryukyus.
Engineering(12): 189-198
Issue Date
1976-09-28
URL
http://hdl.handle.net/20.500.12000/26754
琉 球 大学理工 学 部 紀 要 (工学籍)
B
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に よ る 波 の 変 形
津
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山
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光*
Wave Reflection and Transrnission on the Barrier Reef
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TSUKAYAMA
SUMMARY
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paper p
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study
on wave damping
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q
l
・ 189 緒 言 砕波や越波状の打込現象、あるいは渦の形成などきわ 沖縄諸島の海岸の特徴といわれるリーフによる波の めて複雑な水理現象を呈レ、理論的取扱いは頗る困難 変形の問題については、これまで河野ら1).2)にょっ と思われるが、実験的にも上述の諸現象をよく見きわ て研究されているが、それらは理論的にはポテンシヤ めてエネルギー減衰機構等につき解明することは容易 Jレ接続法によって領域境界面に対する積分方程式を導 ではない。筆者は、リーフ頂部におげる波の減衰Ir.関 き、それを数値計算により解いて波の反射率KRと通 する一つの試みとして、 図1-1の壁礁部領域内の流 過率KTを求めたのであり、実験的Ir.得られたKR，
KT 体運動に対して水粒子速度に比例するような流体抵抗 と比較して、 健礁部水深があまり小さくない場合 (リ を仮定した場合 Ir.っき、前述の積分方程式を数値計算 ーフ前面水深の0.
3
倍以上の水深の場合)はKR、KTの によって解く手法によって、波の反射率・通過卒、を求 理論{直と実験値はよく合うという結果を得ている。 めたので本報ではそのことについて述べる。 壁際s部水深が小さくなると、リーフ頂部でたとえば 受 付 :1976年4月3
0
日 *琉球大学理工学部土木工学科1 基礎方程式および境界条件
1.1) 基礎方程式 流体は理想流体とし、 微小振幅波を考えるととにすX 4
・
一
一
一
-WAVE
Region ( 1 )h
Barrier Reef による波の変形 Xニsh/2 -ー守--) YEA YEA(
φ2 z sh :h'=
q
，
h )-I -I
( 190 Definition sketch.[
竺
N j N = 1I
= 0 ; N = 2…
1/ zb=b=-h什
(jzJ
z=zb N=3 1/ zb=-h" (1.4) Fig. 1-1 る。図1-1のように座標系をとれば、連続の式およ び運動方程式は ouow _ (
)
ox
o
z
また水表面 (z=りでは出力一定でかつ大気圧に等 しいことより、 (1.2)式から恒一二一
1_
D
E
_
_
_
11" ot (! ox . _ -) 川 引=0
V J i ' Z、
l a l -4 1 J z σ。
+
品 v ， ，，
J 1﹁ φ 一 t ︽ H υ 一 ︽ A υ 〆 t h E 4 1 I l l i --、 となる。自由水面の形をF=z--'7とすると、運動学的 条件DFJDt=0より、微小項を無視すれば2
=
w
=
(
z
l
Z
「 (口) となるので、刷、(ロ)両式よりキを消去することに上っ て次の水面条件式を得る。 となる。ただし、 u、wは各領域での流体の x、z万向 の流速、P
は圧力、ρ
は流体密度である。 μは流体抵 抗の関数であるが、領域E
においてのみ存在するもの とし、他のI
、E
領域においてはμ=0
とする。この 場合流体はポテンシャル運動をなすので、速度ポテン シャJレを φ(x，z; t)とすれば (1.1) OW _ 1 OP τ 一一τ τ 一一巴--f-lw 汁t 日n
Z
[与十以づ一子]
Z
=
1
，
0 ニ 0 したがって、 (1.4)、 (1.5)の条件を満すラプラス 方程式 (1.3)の解として各領域におげる速度ポテン シャル刷、 φ2、φsが求まることになるが、領域I
、E
ではμ=0
とするので、境界条件をまとめて具体的 に書くと次のようになる。 領域I
、
E
応対し[
引
OZ ) z=-h[
坦
ト
日Z 'g1m]
a t2j
zご ーO (1.5) (1.2)w
=
.
l
φ -OZト
(
-
5
子
ト
/(φト
gz) u一日φ δx ， (1.2)より 〉む(1.1)、
[
笠
L
ニγ = 0
; N二1，3 (1.6)=0
(1.3) 1.2) 境界条件 各領域の水底において、底面IC直交する万向の流速 はゼロでなければならないから、水底条件は次のよう になる。。
2 φ 32φ --{¥ OX2o
z
2 となりφはラプラスの式を満足する。琉球大学理工学部紀要(工学籍) 191 領域"1!1:対して
2
速度ポテンシャル(
ザ
lz=-h zo(
争
)
十
;
炉
2
-
手
]z=o=o (1.7
)
2-1)ポテンシャルφ1，
φa 領I
、E
におけるポテンシャルφ1およびφsは境界 条 件 (1.6) を満すラプラスの式(1.3) の解として各 々求められる。ポテンシャルφ=〆
(x，Z)，e
l仇 ; ( iは虚数単位)とおき、変数分離法によって (1.3) を解くと一般解は次のようになる。の
=〆
(x，z)・eiCTt=I
A旦
5hk主 並
Leikx十Bmhh(z世
Le-ikx1
.
'
c05h kh 一三示 h 1h十
三
3 C J虫 記 己 主
Lektx十
ヨ
D1..<:~5kt
(z+h)_e-k tx1 eiCTt (;;-'1 -. C05 k t h V ' i~'t ~ • - cos k t h '"'~ ---I
ただし、 A、B、Cl、Dtは任意定数、 σは角周波数、 h、ktは波数である。 いま、図1ー1の記号を用い、またx=土∞においてφは有界であるべきという条件を考慮すれば、刷、 φsは 次のように示される。 φ1 = ，0 1 (x， 加i<Tt=I
A
.~
竺生主皇十主主_
e (ikx一
千
)
1'. coshkh∞
C05k t (Z十h)-hf(xJh)lト
:
L
:
i
D t一ー す7 7e
2 1em
t = 1 cosR t nI
i -B ._<:_O5hk (z十hLe-ik(x一
手
)
cosh kh ~ φ3 ニ"内 (x，り ei(Tt=I
F coshν(z十ho)eiY(x+芋)
￨ 一三函hk-;;-V一
ト
三
Cn"<:osha(z+TL ek;'(叶子)
1
ei(Tt n"";;"'l-.. cos k;
.
hh ~I
(2.1) (2.2) ここでA、B、Dt、F、Cnは任意、定数(複素数)で ある。また (k、k1)、w
、 k;;) は波数を示すも のであるが、水市条件により次式で決まる固有値であ ただしA'、B'は任意定数、 k'は波数があるが上式を (1.7
)
の第2
式!1:代入して得られる次式によって決ま る複素閲有償である。 る。 kh吋 品 = 字 = 一
kth叫 thν
ν
tanh k" h"ニ竺1!
=
一
ν
nh"tankh官.h・
g (2.3) 2-2) ポテンシャルφ2 境界条件(1.7) のもとでψ2=〆
2(X，
z) ei<Ttと おき、ラプラス式を解げば次の一般解を得る。 φ2 ==fiI2 (X， z) eiσt = C(A〆eik'x十B'e-ik'x) cosh k' (z十h')Je!σt k' h' tanh k' h'=
竺 叫
g 1 -i.
.
.
.
t
:
.
.
.
)
¥ σ i (2.4) いま(
2
.
4
)式の左辺で
k'=日ト is
とおき、両辺の笑 部と虚部を等鐙すると次の関係式が得られる。。
h'sinh2川h'-sh'sin2sh' 一σ2h'一一
示
h-Zah'+ COS 2sh' 一 g 刊}γsin2，8h'十sh'sinh2αh'一一
μ σ2 h'τ
示h2
a
-
h
'
+
c
o
辺高/
...;:
.
-
-
g
-
-(2.5) (2.5)の第1式はαh'，sh' 11:関して偶関数で、かっ 左辺はah'，sh'のすべての{直11:対して正値をIJ-¥し、192 Barrier Reef による波の変形 原点11:対して対称な曲線群をなす。第2式は
a
h
'
、sh' K隠して奇関数で、第1・第3象限で正、第2・第4 象限で負の値をとり、原点11:対して反対称の曲線群を 表わす。故 11:両式を同時f(満足する (ah'、sh')の値 をもっ点は第 2・第 4象限にあり、しかも原点 l乙関し て対称な位置に無限個Ff-在する3)。そこで kr'=的ーisrお よ び ー(ar-isr); rは整数 (2.6) と示すことにし、前出のφz式でk'をkr'で お き か えればφsはEr'、Hr'を定数として (x) 1， : ， _ _ ， 旬 、 l φ2 = ~I
(E;e
'
R.<友+H;e-1kr'x) coshk
;
(z+h')I
e1a't と書きなおされるが、領域E
はxが有限であるからつぎの式形にする。式中Er、Hrは任意定数である。∞ ￨ ∞
skr'x 1 U _ ~kr' 文 I coshkr' (z十h') φ2=21E宮 石 両 万 四
了
十
HZIET日
h/2)一
￨
∞
shkr' h'3
境界x=土s
h
/
2
ての接続条件 図1-1f1:示す x =土sh/2の境界でも運動は連続 であり、ポテンシャル向、 φ2、φaは同境界線上で mass fluxとenergyfluxの連続条件を満足するよ うなものでなければ注らない。 すなわち、 x=sh/2で。
〆
1_ iJO2ox
ox
ニ O (O>z>-h')l
(ーν>z>-h)J
x = -sh/2で。
〆
3 _ OO2ox
ox
=0 内 =(
1
ーi
f
)
〆
2 なる関係を満す必要がある。 (2.7) (O>z>-h')I
(-h'> z>-h#) ) (3.3) (O>z>--h) (3.4) (3.1)4
未知定数を決める連立方程式 れ = (1.-.子 ) れ ; (O>z>-hつ
式 (3.1)~ (3.4)に式 (2.1)、 (2.2)、(2.7)で 与えられた〆1、〆z、〆aを代入すると次のようにな (3.2) る。 ik(A.-B)
.
~
叫 k
(z十h)一
三
3KrDt coskt (z十h) coshkh l';;;'l ..• -. cos kt h∞
，
I
1<'. +0_ kr'sh U' __+ kr' shI
coshkr" (z+h')-
-
•
-
。
戸
L
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k~I
I
_
Er t.
.
-
a.
.
n"'<r2一一-
-Hr -.cot~一一!一-_. 2I
coshkr' h'一
=0(A 十 B)
旦並
~_i吐き
L 十
三 Dt
∞
s kt(z+
h)一 osh khi
"
'
;
;
;
'
¥
-
， coskt h = ( 1，-i斗呈
(Er十九 )..!:oshkr' (z十h') 1 σ I r~ ，_
.
•
-
-
.
，
coshkr' h' ik"F
-
~os
h
ν(z十グ )ー十 33hxJCn osh k" h" ~l ωs kn砂 (z+h") cos kn"h" (O>z>-h') (-h'>z>-h) (0 >z>-h)∞
I
~.
.
.
k
r
'
sh. TT •.• kr' shI
= 2hr'lErtan-T トHrcot-f l 玄=0 I ，:， ，:， I cosh kr'(z←h') coshkr' h' (4.1) (4.2) (4.3)琉球大学理工学部紀要(工学第)
=
0
F-~沼sh kh (z+h") cosh kh hh∞
cos kn砂 (z+h")十
n~l:
:
8
Cn _.. cos kn" h" { 1 l' ¥∞
，
γ ( z +h') = ( \σl 玄~ ，~1ーi
~):
:
8
(Er-Hr.-
-
.
，
)旦 一cosh k一一一r一 一 一' h'(
O
>
z
>
ーν) (-h'> z>-h") (O>z>-h') 193(
4
.
4
)
これらの式 (4.1)"-' (4.4)より A、B……の定数を 決定しなければならないが、その場合cosh、cos関数 の直交性を利用する。 すなわち、 (cosh k (h+z)、 cos kt (z+h)Jは医間O>z>-hにおいて、 (cosh kr' (z+h')Jは O>z>-h'において、 (cosh k" (z+h")、coskn" (z十ν)J
は O>z>-h"におい てそれぞれ完全直交関数系をなすので、式 (4.1)の両
辺
I(_coshk
(z十h
)
およびcosk
t (z十h
)
をか けて区間O>z>-hで各々積分し、同様に式(
4
.
2
)
にはcoshkr'(z十h')をかけて区間O>z>-h'で、 式 (4.3)には coshk" (z+hh)とcosknh (z+h') ぞかけて区間 O>z>-h"で、さらに式(
4
.
4
)
には cosh kr' (z+h')をかけて区間 O>z>-h'でそれ ぞれ積分する。とれらの積分により次の各式が得られ る。(A
-
B
)
ao=
さ
3 1￨Ertan(kr'sh/2) τ;
;
0
-
I
~ cosh kr' h' -Hr~ot (kr' sh/2LI
kr' do・r cosh kr' h'I‘-，
‘。
。
Dt bt=
豆
コ
r= 0 [E宮
山
cos口
h kr' h金
'-
Hr自--. cosh kE二
r三
' h世
']
kr' Or， t (/=，12，
3，
.
.
.
.
.
・H ・)∞
;h kh _ Or， t _ ( 1 μ ¥ t-c- ，=， cosh kh sr AトB←J
E
I
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五
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二
一
い
一
i; ) (Er十Hr)ヰロ
w
-
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7
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， a2 =-:
:
8
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宜 的 ) ωsh kr' h' ( r=
0
， ，12
，3
，…-一) 十Hr側 (kr'sh/2LI・
kr'd cosh kr〆hI
C泊 Cn • b
n
=:
:
8
r= 0(ト
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一_!
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川
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c∞沼sぬhkιτ~- γu←-王E亙「瓦7百， “ (n=，12
，3
，...) F S 1訪日
ー
;
を
?-cn=(1ー if)・
(Er-Hr)器芸名
-
E
f
F
( r=
0
， ，12
，3
，…-一) ?とだし、式中の記号は以下のように定義されるものである。 ao-sinh 2hh十2kh υ 一-
4
石 高
k
h
-(
4
.
5
)
(
4
.
6
)
(
4
.
7
)
(
4
.
8
)
(4.9) (4.10)I
_!_'-L1. ___'-L / L / ・I
kr' r=k一
2一
-kr一
一
'21
I
-
s'
i-
n'
"
h kh.
.
.
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coshkr-
_
.
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.
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.
.
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，
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I
一k2-kr7' 2 (cosh kh • sinh kr' k')Barrier Reef による波の変形
1
9
4
bt-
=~in 2kt h+2kt h 4 cos kh Or. 1=
品?2
[
ω
'h"sinkth-s川
-h')]+で主
L-E(sinhkJh'・coskth) 鳥ょ +kr sinh 2k，
'
h'+2kr' h' 4kr' βr= sinh 2k" h"十2k"h"4
cosh k' h" L"，
，
r =一k"一2-三一一k，
'2I
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.
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h" . c-
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" (，.h. " -h') ，I
I
a
2
= kr' ~ (coshP
h" • sinhkr' h〆)F
工-kr'2一 ﹁
、
I l i -J ) ， ， L Hh
〆 ， . 、 h w n L κ n ・ 1 s e ' h H o n t R n ・1 s -F ' A ， ， r -R ' h Q M o c r i -a E E ' h E E E 、 -R 句&一
，
tν
一判 i'2 一い 均一
一
n r a u ) -q -h n z R S O F L ' n，
r -R ' h n s ( 一 の L M 一 F -Z Y R ' b 一 十一 。
“
一 命 -n一
h '﹁ る。解くべき連立方程式をまとめて欝けば次の(4.11) 式となる。同式では記述の便宜のためsh=2mとおい であるが、記 号旬、d
o，r、bt、…-・・などは前述のと おりである。なお (4.11)式は無限連立方程式になっ ているが、実際11:数値計算によって解くときはム n、 rを適当11:選んで有限の連立方程式として解くことに なる。 式 (4.5)""(4.10)を連立して解けばA、B、Cn'・ …の未知定数が決められる。ほおこれらの式において 未知定数の数は 3十t十n十2r=Nであるか方程式 の数はN-1である。そこで定数Aを任意にとることにして他の係数をAで除した値、 B/A、F/A、CjA、
・
・を改めて未知定数とすれば、未知数と方程式の数
が一致してこれらの値を一義的 i己決定することができ
(
主
-
∞
￨ Ey u n u m H r - a 1 ' ￨1
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十
，~~i ，
.
I
一
A cosh kr' h'一
一
A」
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cosh kr〆1
h'1
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12t cosh k_
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Or， t -'( 1 ._ ; ''-¥ {..!-!_.，-_
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ν ￨琉球大学l!IlT.学部紀要 (工学篇) 195 ∞
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T ~ (4.11)式の解として未知定数B/A、F/A、……が 求まれば、これらを式 (2.1)、 (2.2)、 (2.7)に代 入してポテンシャル φhφz、φ3がきまり、所要 の 物理監が求められる。波の反射率KRと通過率KTは 次式で求まる。 KR =I
i
-
I
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(4.12)5
数値計算結界と考察 連立方程式 (4.11)を、 t=n=r=3の場合につ いて、電算機による数値計算で解いた結果が図5-1 ~ 5 _-511:示されている。なお図中11:示されている実 q，
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0.1 q2=0.5S
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験僚は文献のにおいて報告されている結果を引用した ものである。 図5 ー 1- 1~5-1-3 には Ql=O.l、 Q2=0.5 の同一値に対して、 sを0.2、0.5、0.8の3種かえた 場合の結果が示しである。全体的に線形抵抗を示す係 数μ/σの効果はKTI1:対して顕著であり、 KRI1:対し てはあまり効かない。 s=0.8の場合は理論値と実験 値の傾向が一致し、実験億はμ/σ=0.211:対応する理 論曲線上にのっているが、 sが0.2と0.5のケースで は両者の傾向は異なっている。 sが小さい場合、qlが小であればリ{フ頂部では越 波状の打込みゃ渦の形成等による効果の万が線形抵抗 に比してE主越するものと考えられるが、 Sが大のとき -A p b F b ハ り ハ U ハ リ 一 一 一 一 一q
q
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2.0 3.0 Fig.5ー1-2 Computed KR，
KT; compared1
9
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0.5 KR E。
3.0Fig.5-1-3 Computed KR
，
KT; compared with experimental ones by Kono eta1
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K
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=0.3 q2 =0.5 S =0.2 0.1 0.3 0.5 O.K
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1.0 2.0 3.0 Fig. 5-2-1 Computed KR，
KT; compared with experimental ones by Kono et a1
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K
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0.1 0.5 q，
=0.3 q2二 0.5 S =0.5 0.:1 0.5 g。
1.0 2.0 3.0 Fig. 5-2-2 Computed KR，
KT; compared with experimental ones by Kono eta1
.
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0.1 '11二 0.3 0.5ト 山ニ0.5S
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O.i
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Fig.5ー2-3 Computed KR
，
KT; compared琉球大学理工学部紀要(工学篇)
