１次不等式の解き方

(1)

名前 ( ）

1

例

例題

(1) (2)

不等号意味図

x < a

１次不等式の解き方

１ １次不等式の解き方とその意味

１次方程式と同様に解いて，

( ）のかたちに整理する。

x ≧ a, x < a

はより小さい

x a

x a x

x > a x a

^{はより大きい}

a x x ≦ a x a

^{は以下}

_a _x

x ≧ a x a

^{は以上}

_a _x

x ≧ 5

5

3x + 5 < x − 1 ^x₃ + 16 ≦ x 2 − 1

3

より，未満…「」以上，以下…「」

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

(1) 3x + 5 < x−1 3x −x < −1 −5

2x < − 6 x < −3

移項

両辺を2で割る

ax = b

(2) 6×(x

3 + 16) ≦ 6×(x 2 − 1

3) 2x + 1 ≦ 3x −2

−x ≦ −3

x ≧ 3

両辺をで割る

負の数で割るので, 不等号を反対にする

−1

分母の数の

最小公倍数の６をかける

ax = b

−3 x

3 x

(2)

2

名前 ( ）

練習問題１練習問題２

名前 ( ）

１次不等式の解き方

１

(1) 2(3 −2x) ≧ x − 4 (2) ¹₃^x ^{+ 1 < 3}₄ ^x ⁻ ¹₂ (1) 7x + 5 < 4x + 11 (2) ¹₂ x −1 ≦ 2

7 x + 12

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

解

(1) 6−4x ≧ x −4

−4x −x ≧ −4− 6

−5x ≧ −10 x ≦ 2

移項

両辺を

−５で割る

ax = b

(2) 12×(1

3x + 1) < (3

4 x− 1

2)×12 4x + 12 < 9x −6

−5x < −18 x > 185

分母の数の

最小公倍数の

12

をかける

ax = b

解

(1) 7x + 5 < 4x + 11 7x −4x < 11−5

3x < 6 x < 2

移項

両辺を３で割る

ax = b

(2) 14×(1

2x−1) ≦ (2

7x + 12)×14

7x − 14 ≦ 4x + 7 3x ≦ 21

x ≦ 7

分母の数の

最小公倍数の14をかける

ax = b

2 x

両辺を3で割る

7 x

( )をはずす

2 x

両辺を

−５で割る 18 x

5

(3)

名前 ( ）

3

例

例題

次の連立不等式を解きなさい。

不等号図

a < x < b

連立不等式 ①

２ 連立不等式の解き方とその意味

x の範囲が重なったところ

a b x

x < b a < x

a ≦ x, b ≦ x

a b x

（Step１）それぞれの（）を解く

（Step２）数直線を利用して，( )を求める不等式

共通範囲

(a < b)

a ≦ x b ≦ x

x ≧ −5 x < 2

①

②

x

共通範囲は，

−5 ≦ x < 2

② ①

x ≧ −4 x ≧ 3

①

②

−5 2 x

①

②

−4 3

共通範囲は，

x ≧ 3

{3x + 1 ≦ 5x + 7 2x + 4 > 3x + 4

(1)

{3x + 1 ≦ 5x + 7 2x + 4 < 3x + 4

解

①

②

①から,

−2x ≦ 6

よって,

x ≧ −3

②から,

−x > 0

よって,

x < 0

①’

②’

①

x

’

②’

−3 0

したがって,

−

3

≦ x

< 0

(4)

4

名前 ( ）

連立不等式 ①

２ 次の連立不等式を解きなさい。

{

16(x + 3) ≦ ¹₃ x + ¹₆ 5x + 7 < 6x + 4

次の連立不等式を解きなさい。

{5(2x + 1) ≦ 7x + 8 3x − 5 < 5x − 1

解

①

②

①から,

3x ≦ 3

よって,

x ≦ 1

②から,

−2x < 4

よって,

x > − 2

①’

②’

x

①’

②’

−2 1

したがって,

−

2 <

x ≦

1 解

①

②

①から,

−x ≦ −2

よって,

x ≧ 2

②から,

−x < − 3

よって,

x > 3

①’

②’

したがって,

x

> 3

{

16(x + 3) ≦ ¹₃ x + ¹₆ 5x + 7 < 6x + 4

x

①’

②’

2 3

(5)

名前 ( ）

5

例

例題

次の不等式を解きなさい。

連立不等式 ②

３ 連立不等式（）

（Step１）（）を解く

（Step３）数直線を利用して，( )を求める共通範囲

−4 < x < 3

A < B < C A < B

（Step２）（）を解く

B < C

2x − 7 < x − 4 < 2x x < 3 x > − 4

−4 3 x

−5 < 2x − 3 ≦ 3

{−5 < 2x − 3 2x − 3 ≦ 3

解

①

②

①から,

−2x < 2

よって,

x > − 1

②から,

2x ≦ 6

よって,

x ≦ 3

①’

②’

①

x

’

②’

−1 3

したがって,

−

1 <

x ≦

3

(6)

6

名前 ( ）

連立不等式 ②

３ 次の不等式を解きなさい。

6− 2x < x < 18− 5x

次の不等式を解きなさい。

0 ≦ 3(2− x) < 6

{ 6 − 2x < x x < 18 − 5x

解

①

②

①から,

−3x < − 6

よって,

x > 2

②から,

6x < 18

よって,

x < 3

①’

②’

①’

②’

したがって,

2 <

x

< 3

解

①

②

①から,

3x ≦ 6

よって,

x ≦ 2

②から,

−3x < 0

よって,

x > 0

①’

②’

①’

x

②’

0 2

したがって,

0 <

x ≦

2 { 0 ≦ 3(2 − x)

3(2 − x) < 6

2 3 x

(7)

7

名前 ( ）

例題１例題２

300 + 11(n − 20) ≦ 20n

1

^本

40

^{円の鉛筆と}

1

^個

100

円の消しゴムを合わせて

50

^個買い，

200

円のプレゼント袋に包んでもらった。

合計を

3000

円以下にするとき，消しゴムは最大で何

個買えるか求めなさい。

不等式の応用

４ 次の不等式を満たす最小の自然数を求めなさい。

n

不等式を整理すると, 解

解

よって,

80 ≦ 9n n ≧ 80

9 = 8.88 . . .

8 8.88 9 10

n

したがって,

n = 9

{

50 個 50 − x

x

本 40円個 100円

200円

鉛筆を本買うとすると, 消しゴムは個買うことになる。

このときの合計金額は,

50 −x x

40(50 − x) + 100x + 200

^(円)

これが

3000

円以下であるから

40(50 − x) + 100x + 200 ≦ 3000

よって,

x ≦ 40

3 = 13.33...

したがって, 13 個

¹² ¹³ ^13.33 ¹⁴ ⁿ

(8)

8

名前 ( ）

４

1

^本

80

^{円の鉛筆と}

1

^個

120

円の消しゴムを合わせて

30

^個買い，

400

円の筆箱も買った。合計を

3500

^円以下にするとき，消しゴムは最大で何個買えるか求めなさい。

700−15(2n + 40) ≦ 0

次の不等式を満たす最小の自然数を求めなさい。

n

(1)

不等式の応用

(2) 10 + 15(n− 3) > 13n

解

(1) 不等式を解くと,

n ≧ 10

3 = 3.33...

よって,

3 3.33 4 5

n

したがって,

n = 4

(2) 不等式を解くと,

n < 1412 = 70.5

よって,

69 70 70.5 71

x

したがって,

n = 70

解 ³⁰ ^個 { ³⁰ ⁻ ^x ^x ^本 80円 ^個 120円 ^400円

鉛筆を本買うとすると, 消しゴムは個買うことになる。

このときの合計金額は,

30 −x x

80(30 − x) + 120x + 400

^(円)

これが

3000

円以下であるから

80(30 − x) + 120x + 400 ≦ 3500

よって,

x ≦ 35

2 = 17.5

したがって, 17 個

₁₆ ₁₇ _{17.5 18}

x

(9)

(1) (2)

２

３

9

名前 ( ）

確認テスト

１

Tー１確認テスト

(1) 3x + 5 < x − 1 (2) ₃^x ^{+ 1}₆ ^≧ ^x₂ ⁻ ¹₃

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

次の連立不等式を解きなさい。

{3x + 1 ≦ 5x + 7 2x + 4 < 3x + 4

300 + 11(n − 20) ≦ 20n

次の不等式を満たす最小の自然数を求めなさい。

n

(2)

(1)

−5 < 2x − 3 ≦ 3

x < − 3 x ≦ 3

−3 x 3 x

①

x

’

②’

−3 0

①

②

x ≧ − 3

x < 0

①’

②’

共通範囲は，

−3 ≦ x < 0

{−

5 < 2x

−

3 2x

−

3

≦

3

①

②

①から,

−2x < 2

よって,

x > − 1

②から,

2x ≦ 6

よって,

x ≦ 3

①’

②’

①’ x②’

−1 3

共通範囲は,

−1 < x ≦ 3 −1 < x ≦ 3

不等式を整理すると,

80 ≦ 9n

よって,

n ≧ 80

9 = 8.88...

8 8.88 9 10

n

したがって,

n = 9

(10)

(1) (2)

7x + 5 < 4x + 11 ¹₂ ^x ⁻¹ ^≦ ²₇ ^x ^{+ 1}₂

２

３

10

名前 ( ）

確認テスト

１

Tー２確認テスト

(1) (2)

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

次の連立不等式を解きなさい。

次の不等式を満たす最小の自然数を求めなさい。

n

(2)

(1)

{x − 1 > 3(x − 1)

0.5x + 1.9 ≧ 0.2x + 3.4

6− 2x < x < 18 − 5x

700 − 15(2n + 40) ≦ 0

x < 2 x ≦ 7

−5 ≦ x < 2

2 < x < 3

n = 4

2 x 7 x

①

x

’

②’

−5 2

①

②

x ≧ − 5

x < 2

①’

②’

共通範囲は，

−5 ≦ x < 2

{

6

−

2x <

x x

< 18

−

5x

①

②

①から,

−3x < −6

よって,

x > 2

②から,

6x < 18

よって,

x < 3

①’

②’

①’

②’

2 3 x

したがって,

2 < x < 3

不等式を整理すると,

n ≧ 10

3 = 3.33...

3 3.33 4 5

n

したがって,

n = 4

よって,

(11)

(1) (2)

２

３

11

名前 ( ）

確認テスト

１

Tー３確認テスト

(1) (2)

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

2(3− 2x) ≧ x −4 ¹₃ ^x ^{+ 1 < 3}₄ ^x ⁻ ¹₂

0 ≦ 3(2− x) < 6

^{を解きなさい。}

1

^本

80

^{円の鉛筆と}

1

^個

120

円の消しゴムを合わせて

30

^個買い，

400

円の筆箱も買った。合計を

3500

^円以下にするとき，消しゴムは最大で何個買えるか求めな

x ≦ 2

^x ^{> 18}₅

さい。

7 x 18 x

5

{ 0 ≦ 3(2 − x)

3(2 − x) < 6 ^よって, { x ≦ 2 x > 0

①

②

① x②

0 2

したがって,

0 < x ≦ 2 0 < x ≦ 2

{

30 個 30 − x

x

本 80円

個 120円 400円鉛筆を本買うとすると,

消しゴムは個買うことになる。

このときの合計金額は,

30

− x x

80(30 − x) + 120x + 400

^(円)

これが 3000 円以下であるから

80(30 − x) + 120x + 400 ≦ 3500

よって,

x ≦ 35

2 = 17.5

したがって, 17 個

16 17 17.5 18 x

１次不等式の解き方

例

１次不等式の解き方

１

１次不等式の解き方とその意味

( ）のかたちに整理する。

は より小さい

は より大きい

は 以下

は 以上

x ≧ 5

5

より，未満…「 」 以上，以下…「 」

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

移項

両辺を2で割る

両辺を で割る

負の数で割るので, 不等号を反対にする

分母の数の

最小公倍数の６をかける

１次不等式の解き方

１

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

次の１次不等式を解き，その不等式を図で表しなさい。

解

移項

両辺を

分母の数の

最小公倍数の

を かける

解

移項

両辺を３で割る

分母の数の

最小公倍数の14を かける

両辺を3で割る

( )をはずす

両辺を

例

次の連立不等式を解きなさい。

連立不等式 ①

２

連立不等式の解き方とその意味

（Step１） それぞれの（ ）を解く

（Step２） 数直線を利用して，( )を求める 不等式

共通範囲

共通範囲は，

共通範囲は，

解

①から,

よって,

②から,

よって,

x

したがって,

3

< 0

連立不等式 ①

２

次の連立不等式を解きなさい。

次の連立不等式を解きなさい。

解

①から,

よって,

②から,

よって,

x

したがって,

2 <

1

解

①から,

よって,

②から,

よって,

したがって,

> 3

x

例

次の不等式を解きなさい。

はより小さい

^{はより大きい}

^{は以下}

^{は以上}

より，未満…「」以上，以下…「」

両辺をで割る

をかける

最小公倍数の14をかける

（Step１）それぞれの（）を解く

（Step２）数直線を利用して，( )を求める不等式

連立不等式（）

（Step１）（）を解く

（Step３）数直線を利用して，( )を求める共通範囲

（Step２）（）を解く

^本

^{円の鉛筆と}

^個

^個買い，

次の不等式を満たす最小の自然数を求めなさい。

本 40円個 100円

鉛筆を本買うとすると, 消しゴムは個買うことになる。

^(円)