< 重積分の変数変換 2 >

「数学5」(2変数関数の微分積分)

−48−

< ^{重積分の変数変換} 2 >

例題 領域

が図

の場合に

D

e^−x2−y2dxdy

を求めよ。

(

解

極座標変換

⎧⎨

⎩

x=rcosθ

y=rsinθ

によって

平面の長方形領域

Ω=n

(r,θ) : 05r 51 , 05θ 5 π 4

o

⎛

⎜⎝

半径

は

から

まで 角θは

から

4

まで

⎞

⎟⎠

は

平面上の領域

に移される。46 ページより極座標変換の面積比は

∂(x, y)

∂(r,θ) =r

であるから

ZZ

De^−x2−y2dxdy = ZZ

Ω

e^{−(rcosθ)2−(rsinθ)2}

¯¯

¯¯

∂(x, y)

∂(r,θ)

¯¯

¯¯drdθ

= ZZ

Ω

e^{−r2(cos2θ+sin2θ)}rdrdθ = Z ^π₄

0

½Z 1 0

e^−r2rdr

¾ dθ=

Z ^π₄

0

(∙

−1 2e^−r2

¸r=1 r=0

) dθ

= Z ^π₄

0

½

−1

2e⁻¹ +1 2e⁰

¾

dθ = 1

2(−e⁻¹+ 1) Z ^π₄

0

dθ = 1

2(1−e⁻¹)×π 4 = π

8(1−e⁻¹)

問 ^領域

が図

の場合に

De^−x2−y2dxdy

を求めよ。