熱力学的関数 と熱力学的関係式
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(2) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 178. §45付. 録. 熱 力 学 的 関数 と熱 力 学 的 関係 式. AO。 序. と看 倣 し得 る事 か ら微 分 量 で あ る。他 方 、{粗 と 躍 は 系 の状 態 量 で は無 く単な る微 少 量 で あ る。 普 通 、 熱 力. 統 計力 学 の書 物 を読 ん で い る と、 古典 的熱 力 学 の 状 態 関数 共 とそれ 等 を含 む 諸 関係 式 を、統 計 力学 の 立揚. 学 にお い て は 、系 が 外界 か ら受 け取 る仕 事 〃 と しては 、 系 の 全 体 と しての運 動 エネ ル ギー 、即 ち、 系 の い 全 体. か ら再現 してみせ る と言 う記 述 に 出会 う。 古典 的 な も. と して の 並進 運 動や 回転運 動 に伴 うエ ネ ル ギー は 考 え. の を 引 き継 い で新 しい分 野 が 展 開 され てい る ので あ る。. ない 事 とす る。 この とき に は、 系 の持 っ 全 エ ネ ル ギー. 統 計力 学 の基礎 に熱 力 学 が あ る。 この 節(§45)で は復. σ は 系 を構 成 す る分 子 共 の 微視 的(ミ ク ロ)な熱 運動 の. 習 のつ も りで、以 下 の表 題 の 要約 を こ こ ろみ た 。 1.熱 力 学 の基本 法則 と状 態 関 数 の σ. エ ネ ル ギ ー と分子 相 互 間 の位 置 エネ ル ギ ー とか ら成 る。. 2.そ. の他 の三つ の状 態 関数 の π とFとG. 3.熱. 力学 的 関係 式 の 計 算 例. 4.開. い た系:粒 子 数1Vが 変化 す る系. 5.特. 別 な熱 力 学 的 な 関数 の Ψ と Φ とg、 及 び 関係. 故 に 、この ときの σ をそ の系 の内部 エ ネ ル ギー と言 う。 系 に流 入 す る微 小 な熱 量 匁 に 関 し て は 、 熱 力 学 第 二 法則 か ら導 かれ る とこ ろの 式. 匁7. ろドーJ 乃 =. 一. 3ー. &. (3). 式 6.計. 算 例 の別 解. 7.1〜3の. が あ る。 上式 の 意 味 は 、系 は温 度rの 外 界(系. ま とめの 公 式集. に対 す. る熱 源 で あ る。)と熱 平衡 に あ り、そ の と き外界(熱 源) か ら系 へ 流 入 す る熱 量 が 匁 で あ る と して 、 温 度 の 無. A1.熱. 力 学 の 基 本 法 則 と 状 態 関 数 の σ{β,の. 限小 異 な る熱 源 を無 限 に取 替 え なが ら熱 源 と して の外. 古 典 的 熱 力 学 に お い て は 、 考 察 して い る 物 理 系 の 熱. 界 の温 度 を 碧 か ら う まで 、準静 的過 程 に沿 って 変 化 さ. 平 衡 状 態 の 議 論 に 関 し て 、 エ ネ ル ギ ー の 単 位(u血t)を. せ る。 そ の とき、右 辺 の 積 分 が物 理 量5の 始 状 態1と. 持 つ と こ ろ の 主 と し て4つ. 終 状 態2の 値 畠,3、で 定ま り、物 理 量(そ の 系 の エ ン ト. の状 態 関数 、即 ち 、 内部 エ. ネ ル ギ ー σ 、 エ ン タ ル ピーH、. ヘ ル ム ホル ツの 自由. エ ネ ル ギ ーF、 ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ーGと. 、そ し て 、. そ の 他 の 幾 つ か の 状 態 関 数 共(例 え ば 、エ ン ト ロ ピ ー3. ロ ピー と言 う。)は ひ と同 じ く状 態 関 数 で あ る事 を意 味 す る。(3)式を熱 平衡 状 態 間 の微 小 な 準 静 的 変 化 の過 程 に適 用す る と、 次式 を得 る。. も 熱 力 学 的 関 数 と 呼 ば れ る 事 が あ る 。)が用 い られ て い. dS一撃. る 。 こ れ 等 の 状 態 関 数 共 は 熱 力 学 的 関 数 (themodynamicfunction)、. 熱 力 学 的 特 性 関 数. (thermodynamicchara(艶risticfしm(尤ion)、. 或 い は、. ∴. 珍. 照. ω. 次 に 、特 に 系が 受 け 取 る仕 事 研 が 、静 止 した系 に作 用 す る静 水 圧Pに. よ る場合 を考 える と、平衡 状 態 の準. 熱 力 学 的 ポ テ ン シ ャ ル(thermodynamicpotentiaDと. 静 的過 程 に あ る系 の圧 力 はP、 系 の 体 積 増 加 を47と. 呼 ばれ てい る。. して 、. こ の 節(A1)で. は熱 力 学 の基 本 法 則 に 従 う内部エ ネ ル. ギ ー σ の 表 式 を 基 に し て 、そ れ を そ の 他 の 状 態 関 数 共. 研 一一IP〃. に 関 連 付 け る 事 を試 み る。今 、注 目す る 物 理 系 に 接 し、 これ を 取 り巻 く環 境 を 外 界 と呼 ぶ 事 に す る。 熱 力 学 第 一 法 則 と は 仕 事 と熱 の エ ネ ル ギ ー 収 支 関 係 を記 述 す る 法 則 であ る。 以 下 に 、 そ の表 式 を この 系 につ い て書 き 下 す 。 即 ち 、外 界 が 系 に 対 し て 為 す 仕 事 〃 と外 界 か ら そ の 系 に 流 れ 込 む 熱 量gの 加 分02一. 和 は 系 の エ ネ ル ギ ー の増. (5). K. で あ る。 故 に 、微 小 な 準静 的 変化 の過 程 に対 して は 、 δ〃F=‑Pげレ ア(6) を得 る。 本稿 で は専 ら この型 の仕 事 を取 り扱 う。 (4)式と(6)式を(2)式へ 代 入 す る と、 4疋ノ=騰. 一P4レ「(7). ひ1に 等 し い 。. で あ る。 と ころで 、熱 力 学 の 対象 と して 、今 考 察 して. σ2一σ1=ρ+研(1). い る系 は 、 実際 に は気 体 や 液 体や 固体 等 の物 質 か ら成. 但 し、 こ こ で 、 σ、及 び σ2は 熱 或 い は 仕 事 の 形 で エ ネ. り立 っ て い て 、微 視 的 に見 た とき には それ 等 は原 子 、. ル ギ ーが 加 え ら れ る 前 後 の 系 の 状 態1 ,2に お け る 、 そ. 分 子 な どの粒 子 共 の集 合 で あ る。 今 、 考察 して い る系. れ ぞ れ の 系1,2の 全 エ ネ ノkギー で あ る 。 そ して 、 これ. とそ れ に接 す る外界 とが同種 の粒 子共 か ら成 立 して い. 等 の 状 態 は 系 の 温 度r、. る場 合 を 考 え る。 今 、系 は外 界 に対 して 開 いて お り境. 態 関 数)の. 圧 力P等. の 少 数 の 物 理 量(状. 指 定 で定 ま る とこ ろ の熱 平衡 状態 にあ る。. (1)式 を 熱 平 衡 状 態 間 の 微 小 な 準 静 的 変 化 の 過 程 に 適 用 す る と 、 次 の 様 に な る。. に よ り、 系 の全 粒 子 数 が 万 か ら1V+姻. に 変 化 した と. し ょ う。 こ の と きの 系 の粒 子 数1Vの 増 加 姻 は 系 の 内. 4σ=δC+{砺7(2) こ こ で 、 左 辺 の げσ は ひ が 乳P等. 界 面 を通 っ て外 界 と系 との 間 で粒 子共 が 出入 りす る事. 部 エ ネル ギー σ の増 加4ひ に寄 与 す る ので 、 我 々 は 次 の状 態変 数 共 の 関数. 式 を 得 る。.
(3) 一 く量 子 統 計 力 学12>. 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 179. 付録. 4σ=7認. 一P47+μ. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. 脚(8). こ こで、 μ は比例 係 数 であ って化 学 ポテ ン シャル (chemicalpotential)と. 呼 ば れ る 。 粒 子 種 が2種. に 及 ぶ と き に は 、(8)式 の 右 辺 の 第3項. を μノ認1. 類以上 ノと し て. ノ にっ い て加 えた もので 置 き換 えれ ば 良い 。故 に 、 こ の とき に は 、 A2.そ. の 他 の 三 つ の 状 態 関 数 のHとFとG (閉 じた 系 の 場 合). で あ る。 一般 的 に 、注 目す る系 の全粒 子 数1Vの 変 動 は 系 の質. の 場 合 、即 ち 、系 中 の 粒 子 数1Vが. 量 の変 動 を伴 う。 我 々は 計 算す るに 当た って 、全 粒 子. て 議 論 を 進 め る。 前 節(Al)で. 数1V力 弐 不 変 で あ る 閉 じた 系 に対 して は(7)式 を、そ して、. 目す る 系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー σ の 表 式 ば 、系 の エ ン トロ. 全粒 子 数Nが. ピ ー8及. 変 動 す る 開 い た系 に対 して は(8)式 又 は. こ の 節(A2)に. お い て は 、 注 目す る 物 理 系 が 閉 じ た 系 一 定 不 変 であ る と し. 示 した様 に、 そ こで は注. び 体積 γ が そ の 状 態 変 数 と して 選 ば れ て い. (9)式を使 用 す る 、と言 う風 に 問題 に よっ て式 を使 い分. る。 こ れ は 熱 力 学 第 一 法 則 及 び 熱 力 学 第 二 法 則 の 表 現. け て行 く。 内部 エネ ル ギー σ は 状態 関数 で あ るの で 、. [即 ち 、(7)式)]を 反 映 した 結 果 で あ っ て 、 「自 然 な 状 態. σ は全 微 分 可 能 で あ る。 故 に、(7)式 と(8)式 と(9)式の. 変数 」 の選 択 で ある。. 各 式 は全 微 分 式 で あ る。 これ 等 の 式 を状 態 変数 ε と状. こ の 節(A2)で. 態変 数 共7,7,P,万 等 を付 け て書 く と、そ れ ぞ れ 次 の様 で あ る。. は 、(7)式. 4σ(瓦7)=7硲. 一P47[(7)式. 】(19). か ら出発 して、 右辺 の状 態 変 数[今 はS,7】 を順 次書 き 換 え て行 く事 に よ り、 いず れ もエネ ル ギー の 次元 を持≡ つ 全部 で 四 つ の 状 態 関数 σ,瓦F,Gが 得 られ る事 を示 す。 一 内部 エ ネル ギ ー σ(β ,7)一 内 部 エ ネ ル ギ ー の σ砥7)は 今 ま で の議 論 で 既 に 明 ら か で あ る。 一 エ ン タル ピ・‑H(δ「 ,.P)一 我 々 は(19)式[(7)式]の P〃=4(.P7)一. 右 辺 の 状 態 変 数7を. 書 換 える。. 廻P(20). で あ る の で 、(19)式 は 4σ=鷹. 一4(P7)+㎜(21). とな る。 故 に 、 4@・P7)一. ㎜+㎜(22). で あ る 。(22)式 は 関 数 σ+P7の. 状 態 変 数 が3とPで. あ. る 事 を 示 して い る 。 そ こで 、 我 々 は 改 め て 、 関 数 ∬ を 導入 して、 [(9)式 に 対 応 、(12)式 参 照](15) (7)式 と(13)式 を 比 較 し ょ う。 次 式 を 得 る。. 1鋤=ア,1鋤=‑P(、6). 郎,P)≡. σ￠,り+P7(23). と置 く。 σ(∫,7)に 代 わ っ て(23)式 に よ っ て 新 し く導 入 さ れ た 関 数H(β,P)は. 状 態 関 数 で あ っ て 、 そ の 系 の持. つ エ ン タル ピー(e疵halpyカ 或 い は 熱 関 数(heatfunctionギ. マ リ ン グ ・オ ネ ス の 命 名) ブ ス の 命 名)と 呼 ば れ. る 。(22)式 に 従 っ て 、 全 微 分 式 は 、. (24). 紐(β,P)=㎜+㎜ で あ る 。(24)式 よ り、 我 々 は 次 式 を得 る 。. (9)式 と(15)式 を 比 較 し ょ う。 次 式 を 得 る。. 園. 一7・(劉. 一7. (25). (24)式 を 眺 め よ う。我 々 は今 、外 界 と物 質 の 交 換 の な.
(4) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 180. い 閉 じた 系 を 考 え て い た 。 δg=7欝[(4)式. 参 照]で. あ. る の で、 盟=δg+砺P{(24)式 で あ る。 故 に 、圧 力P=一 変 化(等. 圧 変 化)で. 参 照](26) 定C4P=0)の. 準静 的 定圧. は、. 紐=《 粗(27) と な り、 定 圧 過 程(等 (enthalpy)或. 圧 過 程)に. お け るエ ン タ ル ピ ー. い は 熱 関 数(heatfun(元ion)の. 変化は、系. に 流 入 した 熱 量 に 等 しい 事 が 分 か る。 これ こ そ が π(5,P)が. 熱 関 数(he&tfunction)と. 呼 ばれ る所 以 で あ. る 。. 一 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ーF(延 の 一 次 に 、 再 び 、(7)式 を 考 え る 。 4σ;7認. 一P47[(7)式](28). そ し て 、 我 々 は 、 こ の 式 の 右 辺 の 状 態 変 数3を. 書 き換. え る。 鷹=4(37)‑847(29) で あ る の で 、(28)式. は、. 4σ=4(∫7)‑347‑P47(30). とな る。 故 に 、 4(ロ. ーS7)竺. 一5ヒ」2「1‑・Pヒ1レF(31). で あ る 。(31)式 は 関 数 σ 一37の. 状 態 変 数 が7とFで. る 事 を 示 し て い る。そ こ で 、我 々 は 改 め て 、関 数F(乳. あ の. を 導 入 して 、 F(1㌧レ7)≡ σ(3,7)‑57(32) =・厚(3,P)一 」P7‑3ア(33) [(23)式 を利 用 した 。] と置 く 。 σ 又 はHに. 代 わ っ て 、(32)式[(33)式. て 新 し く導 入 さ れ た 関 数F(7,7)は. 】に よ っ. 新 た な状 態 関 数 を. 定 義 し 、 そ の 系 の 持 っ ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー一 (Helmholtz'sfreeenergyヘ. ル ム ホ ル ツ の 命 名)、 或 い. は 定 積 自 由 エ ネ ル ギ ー(freeenergyatCOnStant volume)と. 呼 ば れ る 。次 に 、(31)式 に 従 っ て 、全 微 分 式 これ は(37)式 と 同 じで あ る 。 証 明 終 わ り。 次 に 、 再 び(34)式 を 眺 め よ う。 〃 ￠,7)一 一躍. 一P〃[(34)式1(47). 今 、 我 々 は 外 界 と物 質 の 交 換 の な い 閉 じた 系 を 考 察 し て い た 。 こ の と き 、 等 温 準 静 的 変 化(可 え る と、47=0で. 逆 変 化)を. 考. あ るの で 、. 認7=‑P4レ7=δ. 研(48). で あ る。 故 に 、 閉 じた 系 の 等 温 変 化 で 変 化 が 準 静 的 過 程(可 ーFの. 逆 変 化)な らば 、 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ 増 加 亦 は 外 部 か ら 系 に な され た 仕 事 躍 に 等. し い 。 故 に 、 逆 にFの 仕 事 狸(<0)に ネ ル ギ ーFと. 減 少 が(く0)は 系 が 外 部 へ す る. 等 しい。 即 ち、 ヘル ム ホル ツ の 自由エ は 系 の 持 つ 内 部 エ ネ ル ギ ー σ←F+3r). の 内 、 最 大 、 仕 事 に 変 わ り得 る 部 分 で あ る 。S7は. 束.
(5) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 一 く量 子 統 計 力 学12> 181. 付録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. 縛 され た エ ネ ル ギ ー で あ る。 一 ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ーG(延P)一 こ こ ま で の 話 で は 、 状 態 関 数 σ(3,F)の 4σ=㎜. 一P4Fの. 全微 分式. 状 態 変 数7、 又 は 状 態 変 数3を. 換 え る 事 に よ っ て 、全 微 分 式4σ=7欝. 一P〃. 書 き. を恒 等 的. に書 き換 え て 、変 数 の異 な る 二 つ の 新 た な 状 態 関 数 H(s,・P)とF(乙7)を. 導 入 し た 。 次 に 、7▼,Pの 対 を 状 態. 変 数 とす る 状 態 関 数 を 求 め よ う。 (34)式[(47)式1を 考 え る。 4F(忽7)=‑54T‑P4F[(34)式. 、(47)式 】(49). そ して、我 々 は この式 の右 辺 の状 態変 数 γ を書 き換 え る。 P4レ7=d「(P7)一. レ切)(50). で あ る の で 、(49)式. は、. 4F=一&才7‑61(Pレ. つ+レ 冠P(51). とな る。 故 に、 4(F+Pレ. 戸)=‑5冨r+㎜)(52). で あ る。(52)式 は 関 数F+P7の. 状 態 変 数 が7とPで. る 事 を示 して い る 。そ こ で 、我 々 は 改 め て 関 数Gを. あ 導. 入 して 、 G(『,P)≡三F(r,】7)÷P7(53) と 置 く。 ひ(3,グ)又 はH(旦P)又. はF(延7)に. 代 わって. (53)式 に よ っ て 、 こ こ で 新 し く 導 入 され た 第 四 番 目の 状 態 関数 を、我 々 はそ の系 の持 つ ギブ ス の 自由エネ ル ギ ー(Gibbsfreeenergy)と. 呼 ぶ 。(52)式. に従 っ て 、 全. 微 分 式 は、 4G(『,P)一 一躍. ・㎜(54). で あ る 。(54)式 よ り、 我 々 は 次 式 を 得 る。. 〔 器ド. ・ 〔 劉. 一7(55). 次 に 、 系 の エ ン タル ピー ∬(∫,P)は 、 今 、 こ こ で 導 入 し た ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ーG(r,P)を. これ は(57)式 と 同 じ で あ る 。. 用 い て 、次 式. 証 明 終 わ り。. に よ って 表 わす 事 が 出来 る。. 一 第 五 番 目の新 た な状 態 関数 は得 られ るだ ろ うか. 。答. は否 で あ る。 一 ギ ブ ス の 自 由エ ネ ル ギーG(忽P)の 持 っ性 質 に っ い て は後 ほ ど記 す 事 に す るが 、 こ こで は 、今 ま での仕 方 を踏 襲 して第 五番 目の新 た な 状態 関数 が得 られ る で あ ろ うか考 え てみ よ う。 答 えは否 であ る。 以 下 でそれ を 確 認 しょ う。 全 微 分 の式 の(54)式 4G(7P,)=‑847+囮P[(57)式](68) で 、 右 辺 の 二 っ の 状 態 変 数 丁 とPの. それ ぞれ の変 換. (二通 りの 変 換)、 即 ち 、 54r=4(∬)一. (69). ㎜. と (70). 廻P=4(四)‑P〃 は 既 出 の 状 態 関 数 のH(3,P)とF(r,の. へ 導 く。.
(6) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 182. 証 明す る。. D内. (69)式 を(68)式 へ 代 入 す る と 、. に 、 互 い に 接 近 す る2点(r,y)と(κ+△. κ,ア+Ay). を考 え 、. 4G=‑4(β77)+7認+曜. (71). 4(β+∫ ア)雪7認+囮P=盟. (72). ∫(‑+△ κ,y+Aソ)一プ(x,ア)≡オムx+、8Aγ. 故に、. 【(24)式を利 用 し た 。]. +ε(母,切4(位)2+㈲2(87) と置 い た と き 、 勘,Aソ. 故に、. に 依 存 し な い 定 数 漣,β. が. 定 ま り、 且 っ 、. (73). 」ノ(51,P)=G(11,P)+57. で あ る。. 1㎞ ・(駒L・(88)( 瓦 妙}→(o,o)(砒)2+両)2. 次 に 、(70)式 を(68)式 へ 代 入 す る と 、 4G‑&」7+ゴ(レP)‑P〃. (74). 4(G‑FP)=一&17‑P47=踊F. (75). 故に、. が 成 り立 っ な ら ば 、こ の と き 、こ の 関 数z=∫ 点@,ア)で. [(34)式. 全 微 分 可 能(微. 分 可 能)で. し て 、 こ の と き 、 関 数2=バ. 個 ア)は. あ る と言 う。 そ. κ.ア)は領 域D無. いのそ. の 点(x,ア)で 偏 微 分 可 能 で あ っ て 、. を 利 用 した 。 】. 故 に 、. F(才,7)=G(才,P)一. 〃. 礫. (76). で あ る。. アL翻. ・β=聖)一. ゐ色ン)侶9). で あ る。. 又 、 π(s,、P)の全 微 分 式 の(24)式. ②. 詔(3,.P)=鷹+㎜. [(24)式](77). で 、右 辺 の 二つ の 状 態変 数3とPの. それ ぞ れ の変 換(二. 通 りの変換)、 即 ち 、 照=4(碑)一&」7'. (78). 財P=4(P7)‑P〃. (79). と. 微 積 分 学 に よれ ば、2変 数 関数 で あ る偏 導 関数. ゐ(x,ン)と ル(κ,ア)が、 そ れ ぞ れ 領 域D中. の各点. 色 ア)で連 続 移 変 数 関数 の連続 性)で あ る とき 、関 数2;∫(x,ア)は そ の領 域Dで 全微 分 可能(微 分 可能) で あ る。 即 ち、 ② が満 た され れ ば① が成 り立っ ので. は 、 既 出 の 状 態 関 数 のG(r,P)と. σ(5,の を 導 く。. あ る。 ③. 次 に、関 数z=/(x,ア)が 領 域Dで. 全 微 分 可 能(微. 分 可能)な とき、. 証 明 す る。 (78)式 を(77)式 へ 代 入 す る と、 紐=4(∬)‑5冨7+㎜. (80). 4(厚 一∬)=‑5冨7;塑P=dG. (81). 故に、. 碗,ア)一 を 、D内. [(54)式 を 利 用 した 。1. の 点(κ,ア)か ら 点(κ+△x,ン+ム ン)へ の 微 小 な. 変 位 に 対 す る 、 関 数2=ブ(κ,ア)の 全 微 分 と言 う。 こ れ4(メ,ン)[(90)式]は1血1と1⑳1が. 故に、 G(ノ,P)=H(∫,.P)一. ゐ(・,y)旗+魚,胸(go). (82). ∫7. で あ る。. (87)式 の ∫(x+△. 次 に 、(79)式 を(77)式 へ 代 入 す る と、. 十 分 小 さい とき の. (91). κ,ア+Aγ)一 ブ(κ,ア). の 近似 を 与 え る式 で あ る。 そ して、 今 、 特 に 、. 盟=㎜+4(P7)‑P〃. (83). ゴ(κ一P7)一 踊LP〃‑4σ. (84). 故 に、. (92). ∫ α,y)=・ の と き に は 、 ゐ 個 ア)=0な. の で、. (93). 6ヴ(κ,ン)=五(r,ア)△ じ=1・ △雇. K7)式 を 利 用 した 。1 故 に、. とな る の で 、. (85). σ(β,り=五1(β,P)‑P7. で あ る。. △x=改. (94). で あ る。 同様 に して 、今 、 特 に、 証 明 終 わ り。. (95). ∫(κ,ン)=ア の とき を考 え る と、 同様 な議 論 に よ って 、. 一 四 つ の 状 態 関 数 び(鋤 般 的 にz=/(x,ア)と ①2次. ,H(3,P),F仰),確,P)を. 書 く。 一. 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で の2変 z=ブ(κ,y). 一. (96). Ay;の で あ る 。故 に 、関 数2=∫(κ,ア)の 全 微 分(微. 数関数. ぬ 一げ 一齢,ア)一. (86). を考 える。 微 積 分 学 に よれ ば 、 この 関数 の 定義 領 域. と書 き 表 せ る。. 魚,ア)伽. 礁. 分)は. γ)の(97). 、.
(7) 一 く量 子 統 計 力 学12>. 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 183. 付録. ④. 次 に 、微 積 分 学 に よれ ば 、領 域Dの. ・一癒. ア〉の2次 偏 導 関数 ん(切. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. 関数. と!垂(切. が共 に (106)式 【(109)式]が0で. 連続(多 変数 関数 の連続性)で あるな らば、. はP,μ,7の. ん(切 一ん ㈲(98). な い 事 は 状 態 変 数7とrの. 間. に 関 数 関係 が存 在 す る事 を意 味す る。 そ し て 、 そ の 事 間 に 関 数 関係 が あ る 事 を 意 味 し て い る 。 そ. し て 、そ の 所 以 は 系 の 相(phase)の. 微 視 的 構 造 に依 存 す. で 、 そ の 微 分 の 順 序 に 関係 な く互 い に 等 しい。 そ し. るP,7,7の. て 、 この 事 は 高 次 偏 導 関 数 に っ い て も成 り立 つ。. state)で あ る 。こ れ は 熱 力 学 で は 自然(nature)が. 間 に 成 り 立 つ 状 態 方 程 式(equationof 与 えた. も の と看 徹 す べ き も の で あ る 。 こ の 状 態 方 程 式 は 一 般 的 に、 ノ. じ. ツ. りゐ ノ. リ. へ. と書 かれ る。 この とき 状 態 変 数P,7,7は. ユ. ノ. 残 りの2個 で. 表 わ す 事 が 出来 る。 例 え ば 、 7=γ. ￠P),P=P(乙7),7=7(P7. ,)(111). で あ る。 これ 等 を全 微 分 式 で表 わす と、 そ れ ぞ れ 、. A3.熱. 力 学 的 関係 式 の 計 算 例. 前節(A1,A2)ま. で に得 られ た結 果 の 式 を 用 い. て 、 幾 つ か の 熱 力 学 の 計 算 を実 行 す る事 が 出 来 る 。. 例1熱. 容量. 外 界 か ら系 へ 流 入 した 熱 量{粗 に よ っ て 、 系 の 温度 が4Tだ. け上 昇 した とき、 両者 の 比 を そ の 系 の 熱 容 量. と言 い 、Cで 表 わす 。 熱 容 量C一. 謬(・. ・6). 特 に 、 準 静 的 過 程 で付 加 条 件 と して 系 の 体 積 を一 定 に 保 っ 場 合 を定 積 熱 容 量 と言 い 、(}で 記 す 。又 、系 の圧 力 を 一 定 に保 っ 場 合 を 定圧 熱 容 量 と言 い 、C,で. 記す。. !AA＼. (104)式[(107)式]の. 関係 式 は 状 態 関数 の ヘ ル ム ホ ル ツ. の 自 由 エ ネ ル ギ ーF(瓦7)の. 微分 ＼u「4/P. 4F=‑S47▽‑P〃1(34)式. 、(103)式 】(108). が 全 微 分 式 で あ る 条 件 で あ る が 、(104)式 が0で は 状 態 変 数Pと7の. 次 に 、 上 記 の2っ. の 式(117)式. と(118)式 は 系 の 状 態 関. な い事. 数 で あ る と こ ろの 系 の 内部 エ ネ ル ギー σ 及 び エ ン タ. 間 に或 る 関数 関係 が 存 在 す る事. ル ピ ー π を 用 い て 表 わ す 事 も 出 来 る 。即 ち 、(2)式 と(4). を 意 味 し て い る 。同 様 に 次 に 、(106)式 を 眺 め て み よ う。. 式 と(6)式 と か ら(7)式 を得 る が 、 4σ=匁+δ. 〃. 【(2)式](119).
(8) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 184. ＼ 、'」. 二. 、. と書 く事 が 出 来 る。. 【(135)式と(138)式 を代 入 した 。] こ う して 、我 々 は 状 態 関 数 σ(5ア)の 全 微 分 式 を 状 態 変. と こ ろ で 、今 ま で 導 入 した 四 っ の 状 態 関数 は 、 そ の 状 態変数 が. 「自 然 な 変 数(naturalvariables)の. 数(才,7)の 対 で 表 わす 事 が 出来 た。. 選択」. と言 う事 で 、. 例3内. σ(β,7),H(3,P》F(到7》G(乙P)(129). 部 エ ネ ル ギ ー こ7(S,のの 全 微 分 式 を状 態 変. 数 の対 ￠,P)で 表 現 し ょ う。. の様 に 選 ば れ た が 、 しか し、 例 え ば 状 態 変 数 の 対 を 但F)か. ＼v滋 ノ7ノ. ノ」 一. ら@,π)へ 、或 い は(乙P)へ と変 えた と き 、状. (53)式 は ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ーG(烈P)の. 態 関数 が ど う変 換 す る か が 実 際 上 必 要 とな る。そ こで 、 我 々 は 次 の 計 算 例 と して 、 そ の様 な 状 態 変 数 の 変 換 を. 定義 式. で あ っ た 。 そ れ を も う 一 度 書 こ う。 G(塗,P)藁F(77,)+〃 (142)式 へ(32)式. G(ちP)=σ(汐,の. 考 え る。. [(53)ヨ 弍コ(142). を代 入 す る と、 一3ア+ア7. (143). で あ る。 移 項 して 、. 例2内. 部 エ ネ ル ギ ー σ(箆7)の 全 微 分 式 を 状 態 変. 数 の 対 σ,7)で 表 現 し ょ う。. σ(∫,り 一G(ノ,P)+8ア. ーP7. と な る。 こ こで 、 系 の 圧 力Pを. (32)式 は ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネ ル ギ ーF(匁7)の. 辺 を温 度rで. (144) 一 定 に 保 ち 、上 式 の 両. 偏 微 分 す る。. 定 義 式 で あ っ た 。 そ れ を も う一 度 書 こ う。 F@7)≡. σ(旦F)̲∬[(32)式](130). 移項して、 σ(5,7)掌F㏄ で あ る 。 系 の 体 積7を. り+S7(131) 一 定 に 保 ち 、 両 辺 を 温 度7で. 偏. 微 分 す る と、. [(128)式 の 右 式 を 利 用 し た 。1 次 に 、再 び(144)式. に 戻 っ て 、今 度 は 系 の 温 度7を. 定 に 保 ち 、 式 の 両 辺 を 圧 力Pで r内.A/菌. 次 に 、再 び(131)式 へ 戻 って 、今 度 は系 の温 度rを 定 に保 っ て 、 両辺 を体 積7で. 偏 微 分 す る。. 一. 、A/角. 一. 偏微分 する。 、. 〆角. 、.
(9) 一 く量 子 統 計 力 学12>. 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 185. 付録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. 次に、改めて、. (151). σ 一σ(3,り 一σ@,P) と書 い て 、 σ の全 微 分 式 を作 る と、. 瑚. 一 〔 毒綱. 。47+〔 静. γ)妙. (164). (152) 【(158)式 と(161)式. を代 入 した。 】. こ う し て 、 我 々 は 状 態 関 数H(8P,)の 数(r,P)の. (153) [(147)式 と(150)式. こ う し て 、我 々 は 状 態 関 数 ひ(β,7)の 全 微 分 式 を 状 態 変 数{塗,P)の. 例5エ. 対 で表 わす 事 が 出来 た 。. 対 で表 わす 事 が 出来 た 。. ン タ ル ピ ーH(ε,P)の. の 対@,P)で. を 代 入 した 。 】. 全 微 分 を状 態変. 全微分 式 を状態変数. 表 現 し ょ う。. (59)式 か ら 出 発 す る 。 G(r,p)=1ノ(β 「,p)̲37[(59)式](165). である。移項 して、 例4エ. ン タ ル ピ ー 砥 ∫,P)の 全 微 分 式 を 状 態 変 数. の 対(r,7)で. 表 現 し ょ う。. で あ る 。 系 の 圧 力Pを. (33)式 か ら 出 発 す る 。 F(『,7)=H(β,P)‑P7一. 17(8,P)=G(r,1))+3ア(166) 一 定 に 保 ち 、 両 辺 を 温 度rで. 偏. 微 分 す る と、 εr[(33)式. 】(154). である。移 項 して、 H(3,P)=17(7▼,7)+Pレ7+ε7(155) で あ る 。 系 の 体 積 グ を 一 定 に 保 ち 、 両 辺 を 温 度7で. 偏. 微 分 す る と、. 一vp、. 」 ・.u!. [(128)式 の 右 式 を 利 用 し た 。1 次 に 、再 び(166)式. へ 戻 っ て 、今 度 は 系 の 温 度rを. 定 に 保 っ て 、 両 辺 を 圧 力jpで 〆A、. 一. 偏 微 分 す る。. 〆A、/轟. 1(170)式 と(173)式 こ う し て 、 我 々 は 状 態 関 数 ∬(S,P)の. 、. を 代 入 した 。] 全微分 を状態変.
(10) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 186. 数@,P)の A4.開. 対 で表 わす 事 が 出 来た 。. い た系:粒 子 数Nが. 全3項 のA1とA2とA3で 粒 子 数N)と. 変化 す る 系 は 、我 々 は注 目す る系(全. それ に接 す る外 界 との 間 で 、境 界 面 を横. 切 って の粒 子 共 の遣 り取 りが 無 い 場 合(如1=0)を 考 察 した。 この項A4で. は我 々 は境 界 面 を横 切 っ て、 系 と. 外 界 との 間 で粒子 共 の 出入 りが 有 る場 合@V≠0)を. 考. 察す る。 系 の全粒 子 数1Vが 変 化 す る とき、四 っ の 状態 関数 の 系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー σ(3F.亙,,)、エ ン タ ル ピ ー ∬(8,瑠)、 ヘル ムホル ツの 舳. エ ネ ル ギーF紳. ,N)、 ギ ブ ス の 自申エ ネ ル ギ ーG(込P,1V)は いず れ も系 の粒 子 数1Vに 依 存 す る。 故 に 、Nも. 状 態 変 数 の1っ にな. る。. で あ る 。(190)式. と(191)式 を 比 較 し て 、 我 々 は 、. 今 、 考察 して い る系 とそ れ に接 す る外 界 とが 共 に、 同一 種類 の一種 類 の粒 子 共 の み か ら成 立 してい る場 合 を考 察 す る。 状態 関数 σ,瓦F,Gは. そ れ ぞれ 次 の様 で. あ る。. 次 に 、 各 状 態 関 数 の 全 微 分 式 刀,盟,4F,4Gを す る 。(177)式 〆丙rハ. よ り、. 考察. となっ て い る。 次 に 、(180)式. /内1ハ. 〆内γハ. 4G=げ. よ り、. ひ ÷P417+雌)‑5冨7一. で あ る 。 こ れ に(182)式 の4σ 4G=鱗. を代 入 す る と 、. 一P〃+4v)+P〃. =‑5班+㎎)+メ. 鷲(194). 「+㎜. 一&∬ 一㎜. と な る 。 他 方 、(180)式. 姻(195) か ら直 接 に 、. と な っ て い る。 以 上 を ま と め る と 、 次 の 様 に な る。 各 状 態 関 数 の 全 微 分 式4σ,紐,4F,4Gは. 前 出 の 式 の(7)式 、(24)式 、(34). 式 、(54)式 の 各 式 の 右 辺 に 、 そ れ ぞ れ 、 μWを. 追加 し. た も ので あ る。 故 に 、 4σ=㎜. 一P〃+μ. 朋=㎜+珊}+躍. 研[(8)式 ゾ. 、(182)式](199) 【(185)式](200).
(11) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20)一 付 録 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. 4F=一&〃. 一一P〃+μ 姻[(190)式](201). 4Gコ ー&17+嗣P+μ. dG[J1で. あ る と して 、 μ は 一 粒 子 の 増 加 に 対 す る 系 の. ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 増 加 を表 わ して い る 。 粒 子 は 系 へ 入 っ た 後 は 、 他 の粒 子 と 区別 が っ か な い の で 、. 一 〔 乳 一 〔 乳 傲. μ は 、 系 が 外 界 と粒 子 の 遣 り取 り を し な が ら、 そ の 外 界 の τ,Pと 釣 り合 っ て 、系 の7,Pが. 【(183)式、(188)式 、(193)式 、(198)式](123) さ て 、 考 察 して い る 系 は 、 今 、 熱 平 衡 状 態 に 在 る と す る。 系 は 状 態 変 数 と し て 温 度7、 エ ン トロ ピ ー8 砲7,N)、. 、 粒 子 数1Vで. ∬(既. 圧 力P、. 一 定 に保 た れ て い. る とき の 、系 の 一粒 子 当 りの ギブ ス の 自由 エ ネル ギー と も考 え られ る 。. 体 積7、. 、 そ して 状 態 関 数 共 の. め 、F(乳 卿)、G(既. 187. 来 た と き 、 系 の ギ ブ ス の 自由 エ ネ ル ギ ー の 増 加 が. 副[(195)式](202). で あ る 。又 、化 学 ポ テ ン シ ャ ル μ に は 次 の 関 係 が あ る。. μ一 蹴. く量 子 統 計 力 学12>. (}(「,.p,、 κ)=μ ハ1(206) (206)式 は 粒 子 数Nで. 一 定 温 度r、. 一 定 圧 力Pの. 下で. め 等 で特. 熱 平衡 に あ る閉 じた系 の持 つ ギ ブ スの 自由 エネ ル ギー. 徴 付 け られ て い る も の と す る。 そ して 、 これ 等 の 諸 量. を 表 わ す 式 で あ る 。我 々 は こ う して 、(180)式 の 表 現 と. を我 々は熱 力 学 的諸 量 と呼ぶ 。 我 々 は 、 こ こで 、 これ. は 一 見 異 な る(206)式. 等 の熱 力 学的 諸 量 を、 それ 等 が持 っ 一般 的性 質 で、 即. ル ギ ーG(ちP,1V)の. ち 、 そ の 諸 量 が 相 加 性 を有 す る か 否 か に よ っ て 、 分 類. 式 は次 の 様 で あ る。. す る 事 に す る。 そ して 、 そ の 為 に は 我 々 は 熱 平 衡 に あ る こ の 系 を 部 分 系 α(α=12,・ ・)に分 け て 構 成 す る 。 こ の と き 、部 分 系 α の 体 積 ㌃ の 総 和 が 全 体 積7に 事 は 自 明 で あ る 。 体 積7は. あ る 。 系 の 状 態 関 数 で 各 種 エ ネ ル ギ ー の σ,瓦F,G、 エ ン ト ロ ピー3及. び 粒 子 数Nも. 7=Σ. ㌃ ・. ひ 一Σ σ、,H一. α. F一 Σ 凡,G一. 3罵 Σ5、. (204). 襯 μ=‑5∬+瑠P(209). =̲8017+v潔(210). 。≡」呈,。. ≡Z(2、. で あ る 。 こ こ で 、 部 分 系 α に お け る ひ,H,F,Gが ぞ れ σ。,π。,」 ㌦Gα で あ り 、3,1Vが3α. それ. ノ㌦ で あ る 。 他. 及 び 、化 学 ポ テ ン シ ャ ル μ は 熱. で あ り 、5及. びvは. 一 粒 子 当 り の エ ン ト ロ ピ ー と体 積. (比容)で あ る 。 こ こ で 、(206)式 を 使 っ た 例 を1つ. 平 衡 状 態 に あ る 系 を 構 成 す る 総 て の 部 分 系 α(α=L乳. ・ ・)に共 通 の 値 を 示 す 物 理 量 、 即 ち 、 示 強 変. 数 で あ る。 熱 力 学 的 諸量 の この 二つ の型 で あ る示 量 変 数 と示 強 変 数 を 定式 化す る事 に よ っ て、 我 々 は 、熱 力 学的 ポテ ンシ ャル(状 態 関数 、熱 力 学 的 関数 、熱 力 学 的特 性 関 数)の 新 しい性 質 が見 出 され る。 そ して、特 に 、G及 び1V,μ に 関す る新 しい表 式 が見 出 され る。この項(A4) の 以下 にお い て、 我 々 は こ の事 を 実行 す る。 ギ ブ ス の 自由エ ネ ル ギ ーGの. 式 で表 現 した化 学 ポ. テ ン シ ャル の式 の(198)式 を も う一度 眺 め よ う。. μ一〔 乳. 、). 1v2v. α. 方 、 温 度 丁 、圧 力P、. は 、 次 式 を得 る。. で あ る 。 但 し、 こ こ で 、. 万 一 Σ1v 、. σ. 【(202)式1(208). jv2V. α. ・. 姻. と(208)式 の 比 較 か ら 、 我 々. 4μ̲」 ㌦r。 ヱ 〃. α. ΣG 、. 醒. ♂G=一&が+殉P+μ. 故に、. ΣH.. α. の全微分. よ り、. で あ っ た 。 故 に 、(207)式. 系 の空間的容量に関. す る相 加性 の物 理 量 の示 量 変 数 で あ る。 故 に 、. 別 の 表 式 を 得 た 。(206)式. 4G=、 醐 μ+μ 姻(207) 他 方 、(202)式. 等 しい. 相 加性 物理 量の示 量変 数 で. で表 わ され た ギ ブ ス の 自 由エ ネ. 【(198)式、(203)式](205). この 式 の意 味 す る とこ ろは 、 次 の様 で あ る。 系 が それ と接 す る外 界 との 間で 、境 界 面 を横 切 っ て粒 子 共 の遣 り取 りを して い る場 合 、系 の温 度rと 圧 力Pを 外界 と 釣 り合 わせ て 一 定 に保 っ て、 系 へ 粒 子 が 姻 個 入 っ て. 温 度rの 恒 温 槽. 挙 げ て お こ う。.
(12) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 188. 図1. し く な る 事 が 分 か る。 (211)式 の 辺 りへ 話 を 戻 す 。 粒 子 数 却 が 変 化 す る 揚. 図 の 様 に 、 一 定 温 度7、. 一 定 圧 力Pの. 下で液 体. (Liquid)と そ の蒸 気(Gas)が 熱 平 衡 に あ る もの とす る。. 合 の 例 と し て 、 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ーFの (179)式 とそ の 全 微 分 式 〃 の(201)式. 液 体 とその蒸 気 の 単 位 質 量 当 た りの ギ ブ スの 自由エ ネ ル ギ ー をそれ ぞれ 、9L,9Gと す る。 粒 子 一個 の質 量. F￠. 耽1V)={1(3,耽1V)一. を 考 え る。. ∬[(179)式](228). 覆=一 ぶ4τ一P〃+岬. 【(201)式](229). を 初 、液 体 とそ の 蒸 気 中の粒 子 数 をそれ ぞ れ 凡,NG. 我 々 は 、今 、 こ こ で 、 こ れ 等 の 式 の 状 態 変 数7,7,万. とす る。 この とき、 液 体 とそ の蒸 気 それ ぞ れ の ギ ブス. 内NをNか. の 自由エ ネル ギー は 、. して、 そ の た め には 、式. G、(r,P,凡)=峨9。(r,P)(212)'. へ 代 入 す る 。 す る と 、4Fは. 次 の 様 に な る。. の 境 界 面 を横 切 っ て 粒. 子 共 の 遣 り取 りを し て い る 。 故 に 、. 既=一. μ(230). を(229)式 の 右 辺 の 第3項. と な る。 液 相 と気 相 の そ れ ぞ れ を 考 え る と 、 そ れ 等 は 各 々 開 か れ た 系 で あ っ て 、2相. ら化 学 ポ テ ン シ ャ ル の μ へ 変 更 す る 。 そ. 廻 π=4(酬)‑1昭. (}σ(ノ,p,ノV6)=〃11V6gσ(τ ▼,p)(213). 4F窩. 〜8冨τ 一P冨7+4(酬)ヨ. (214). 礁. G(廻P,2v)=(九(ノ,P,凡)+GG(r,P,ハ. 4F‑4(酬)=一&π. ガ. (215). ,P). ー4G=一&π. を代入 す る と 、 一P4r‑1㍑. 4(F‑G)=‑5冨7‑P〃‑1吻. (216). 系 の全 粒 子 数 は 、 N=ハ. μ. (233). μ. (234). で あ る。故 に、. 故に、 認 。9。(r,P). (232). 一P〃r‑1脚. で あ る 。 こ こ で 、(206)式. ㌧). =〃2ハ㌦9L(ちP)+〃2賜9G(字. 丑 」V)=鷹 亙。9。忽P)+肱. (231). 駒. 故 に、 移行 して、. で あ る。 系 全 体 の ギ ブ ス の 自由エネ ル ギ ー は、. 4G￠. と な る 。 こ こ で 、(76)式 を 使 お う。 我 々 は 、 結 局 、 次 式 を持 っ。. (217). ㌦+1vσ. 4(17‑G)2=61←Pレ7)(235) =・‑5冨7‑P4P「 一ハ吻(236). 系 は 閉 じて い る の で 、. (218). 凶V=職+職=0 故に、. こ こ で 、我 々 は 、(熱 力 学 特 性 関 数 の)大. き な特性 関数. と 呼 ば れ る 新 しい 変 換 関数 ノ@,7,μ)を 既;一. 賜. 【(214)式】. (219). ノ(r,7,μ)篇F(τ,7,N)一 =ノ7α,7. で あ る 。(54)式 を も う一 度 書 こ う。 4(}=嗣 甜7+吻)【(54)式] 或 い は 、(202)式[(195)式 4G=一&」7+配P+μ 一 定 温 度7@=0) (姻=0)熱. の. (220). 】を も う 一 度 書 こ う。 姻[(195)式. す る と 、(235)式. 閉 じた. (237). μ亙. (238). ,ハr)〜G(r,P,、 配). =‑P7. 、(202)式 】 (221). 、 一 定 圧 力P(4P霜0)の. 定 義 す る。. (239). と(236)を 参 照 して 、. み=4←P7)=一. 甜7‑P〃‑1財. (240). μ. で あ る。 故 に、 我 々は 次 式 を得 る。. 平衡 に あ る系 では 、 系 の 可能 な任 意 の変 化. に 対 して 、. 〔 銑=遭. 4G=0(222) で あ る 。 故 に 、(216)式. ・〔 乳=T・. 〔 乳=覗. よ り、. (241). ζ 乏 ム㌃8L(7,p)=̲0ワVl}9G(7㍉p)(223) こ こ で 、(219)式. 【(214)式]を 利 用 す る と、. 9L(r,P)=8G(ク. ここ で、 開 いた 系(粒 子 数1Vが 変 化 す る系)に つ い て の 計 算 例 を一 個 示 して 置 く。 例 題 番 号 は 以 前 の 項. 〜P)(224). とな る 。 と こ ろ で 、 液 相 と気 相 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル は. (A3)の 計算 例 に続 い て通 し番 号 に して あ る。. (212)式 と(213)式 を 使 っ て 、 そ れ ぞ れ 、 例6エ. 亀一〔 畿L一. ㎎ ￠P). (225). ン ト ロ ピ ー5「の 全 微 分 式 を 状 態 変 数 の 対. @,7)と(乙P)で. 表 現 し ょ う。. (199)式1(8)式 、(182)式]を 4σ=㎜. 総一〔 魁. 一臨 ￠P). で あ る 。 故 に 、(224)式. (226). 777. (227). とな り、 熱 平衡 状態 で は2相 で 化 学 ポテ ン シ ャル が 等. }. も う一一度 書 く。 脚[(199)式](242). これ を 認 に つ い て書 く と次 の様 であ る。 薦 篇⊥4σ+ヱ. よ り、. μL=μG. 一P〃+μ. 〃 一無(243). こ こで 、 右 辺 の4σ へ 前節(A3)の 例2の (141)式[4σ を状 態 変 数 の 対@,の. 結 果 の式 の. で 表 現 した 式]を 代.
(13) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 一 く量 子 統 計 力 学12> 189. 付録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. こ う して 、 我 々 は エ ン トロ ピ ー3の 数@,P,IV)の. 全 微 分 式 を状 態変. 対 で 表 わ す 事 が 出 来 た 。 尚 、(249)式. で、. と した 理 由 は 次 の 様 で あ る 。(4)式 と(7)式 か ら 、系 へ 入 っ た熱 量 匁 は δ0=4ひ+」P4レ7(256). こ う して 、 我 々は 初 め にエ ン トロ ピー ∫の全微 分 式 を 状態 変 数 ￠ 耽N)の 対 で表 わす 事 が 出来 た。 次 に、 エ ン トロ ピー3を 3‑3￠,P,N)(246). と書 い て 、. A5.特. 別 な熱 力学 的 関数 お よび 関係 式. 前 項 ま で の 所 で は 、内 部 エ ネ ル ギ ーU(3,グ)[(10)式1、 或 い は 、σ(5,F,N)[(11)式]、. 或 い は 、σ{箆7,瓦,」V》・ ・). [(12)式}の 全 微 分 式(7)式 、(8)式 、(9)式 か ら 出 発 して 、 独 立 変 数 の 異 な る 四 っ の 熱 力 学 的 関 数(熱 力 学 特 性 関 数)σ(瓦 耽1V)、 π(3,P,め. 、F(7㌧ 耽1V)、. θ(τ,P,N)を. 求 め た 。 これ 等 は い ず れ もエ ネ ル ギ ー の 次 元 を 持 つ 特 性 関数 で あ る。 以 後 の 数 行 は 、 岩 波 理 化 学 辞 典 第4版(岩 のpp955‑956の トロ ピー3も. 波 書 店). 熱 力 学 特 性 関 数 の 文 章 を借 り る 。エ ン 特性 関数 と して使 わ れ る が、 このエ ン ト. ロ ピー と 同 じ次 元 を 持 つ 特 別 な 熱 力 学 特 性 関 数 と し て は、. で あ る。 故 に 、(249)式 と(252)式 と(253)式 を(247)式 へ 代 入 し て 、 次 式 を得 る 。.
(14) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. [(269)式 を 代 入 し た 。 】. 等 が あ る 。 そ し て 、 これ 等 の 特 性 関 数 は そ れ ぞ れ 適 当 な 状 態 変 数 、 即 ち 、 自 然 な 変 数(naturalvariables)カ あ り、1つ. ミ. の 特 性 関 数 が 自 然 な 変 数 の 関 数 と して 与 え. られ れ ば 、 熱 力 学 的 一 般 的 関 係 式 に よ っ て 、 そ の 系 の 熱 力 学 的 性 質 は す べ て 導 か れ る 。自然 な 変 数 を 用 い 、' 種 分 子 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル を 角 と し 、そ の 物 質 量 を κ、 1、1、. 悼. 一,雨. ¶. 一方. 、 Ψ は 一互 と も 表 わ さ れ る 。 何 故 な ら 壱 激(27、). 式 よ り、 Ψ ≡3‑⊥ σ 一∬ 一σ=一 σ 一∬ 一』(274) 7777 K179)式. を 利 用 した 。]. (274)式 を(261)式 と 比 較 し ょ う。 Ψ は エ ン トロ ヒ゜ 一と 同 じ次 元 を 持 っ 特 別 な 熱 力 学 特 性 関 数 の1つ 、囁. ノ. ー 関 数(Massieufunction)で. 臨'＼^ノ. と書 け る。 熱 平衡 条 件 と特 性 関数 との関係 は 最小 仕 事. ある. 、マシュ. 。 改 め て 、(272)式 の. 熱 力 学 関係 式. に よ っ て規 定 され る。 また 、 特性 関数 は 統 計力 学 で は 分 配 関数 か ら計算 で きる。 階 波 理 化 学 辞 典第4版. か. らの文 章 借 用 終 わ り。] この 節(§)の この項(A5)で は 、 我 々 は、 これ 等 の 特 別 な熱 力 学 的 関数 共 とその 関係 式 共 を考 察 す る。. 史270, で あ る 。我 々 は 今 、S=S(U,Y,N)の 内 、 独 立 変 数 のUを. 独 立 変U,V,Nの. ⊥ へ 変 更 す る 。 ル ジ ャ ン ドル 変. 換(]Legendretransformation)の. 分 か り易 い 説 明 は 、物. 理 学 辞 典 縮 刷 版(培 風 館)のp2232に Legendre変. 換. 在 る 。我 々 は 今 、. 尚 、(275)式[(265)式1は. 直 接Fと. 姻. の 式 の(179)式. (190)式 を 用 い て 導 く事 も 出 来 る 。 即 ち 、. 鯉 一イー剰. と.
(15) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 一 く量 子 統 計 力 学12> 191. 付録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. で あ る。. 或 い は 、 全 く 同 じ 事 で あ る が 、(277)式. 一 プ ラ ン ク 関 数 Φ= 一旦 一 7 Legendre変 Φ. の βを用 いて. (285)式 は 次 の 様 に も な る 。. 換. P7 謹 Ψ 一一 一 7. を 考 え る。 Φ の 全 微 分 は 次 の 様 で あ る。. 踊̲押. 詔r」里 、. 臥1'6ノ. 故 に 、(281)式. λ. 乞 ↑1」 用. し'こo」. を眺 め て、 関数 Φ の 状 態変 数 の組 は. r1‑、,、,。.一. [(267)式](289). 」. [(53)式 を利 用 した 。 】 (281)式 を(262)式. と 比 較 し よ う。 Φ は エ ン ト ロ ピ ー と. 同 じ 次 元 を 持 っ 特 別 な 熱 力 学 特 性 関 数 の1つ ク 関 数(PlanckfUnction)で 力 学 関係 式. 故 に 、(289)式. 、 プ ラン. あ る 。 改 め て 、(281)式 の 熱. /1、. を 眺 め て 、 関 数gの. 状 態 変 数 の組 は.
(16) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. 。92. 、. ＼c砿 ノγ. ＼σ1ノγ. [(124)式 を 利 用 し た 。1 次 に 、(296)式 で 系 の 温 度7を を47で. 一 定 に 保 ち 、式 の 両 辺. 割 り算す る。 次式 を得 る。 !凸1.7＼. ノ. 轟A、. 」. [(239)式 を 利 用 し た 。] (292)式 を(263)式. と 比 較 し ょ う。gは. エ ン トロ ピー と. 同 じ 次 元 を 持 つ 特 別 な 熱 力 学 特 性 関 数 の1つ 、 ク ラ マ ー ス 関 数(KramersfunctiorDで ある 。 改 め て 、(289)式 の熱 力 学 関係 式. と な り、(141)式. 例3の. 別解. と一 致 ず る 。. 内 部 エ ネ ル ギ ー σ(β,の の 全 微 分 式 を. 状 態 変 数 の 対(℃P)で. 表 現 し ょ う。. (7)式 を も う一 度 書 く 。 4σ{3,7)=7認. 一、P〃[(7)式. こ こで 、系 の圧 力Pを. 】(303). 一 定 に保 ち 、式 の 両 辺 を4ア で. 割 り算 す る。 次 式 を得 る。 〆. 一 騨,、. ノ. 血餌. ＼!晶‑冒. 、. '. LuZδ ノ 底 を 利 用 した 。 」 或 い は 、全 く 同 じ事 あ る が 、(277)式 の β を 用 い て(294) 式 は 次 の 様 に な る。. 次 に 、(303)式 で 系 の 温 度rを. 〆 二rγ ＼/塾. 【▽＼/凸. 次 に 、 こ こで 改 めて 、 77̲77rQ1ノ. A6.前. 例2の. 、̲r7伽D、. 節(A3,A4>の 熱 力 学 的 関 係 式 の 計 算 例 の別 解. 別 解. 内 部 エ ネ ル ギ ー σ(5ア)の. 状 態 変 数 の 対(延7)で. 全微 分式 を. 表 現 し ょ う。. (7)式 を も う一 度 書 く 。 4σ(∫,7)=囮 こ こ で 、 系 の 体 積7を を47で. 一 定 に 保 ち、式 の 両 辺. を 〃 で 割 り 算 す る 。 次 式 を得 る 。. ∫̲p47[(7)式](296) 一 定 に 保 ち(47=0)、. 割 り算 す る 。 次 式 を 得 る 。. 式の両辺 と な り、(153)式. と一 致 す る 。. ▼1、.
(17) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20)一. 付録. 例4の. 別解. エ ン タ ル ピ ー17(3,P)の. 態 変 数 の 対(r,F)で. く量 子 統 計 力 学12> 19 3. 熱力学 的関数 と熱 力学 的関係 式. 全微分 式 を状. 表 現 し ょ う。. (24)式 を も う一 度 書 く 。. と な り 、(176)式. 例6の 別 解. と一 致 す る 。. エ ン トロピー8の. の 対(延F)と(匁P)で. 全微 分 式 を状 態変 数. 表 現 し ょ う。. (179)式 を も う一 度 書 こ う。. 例5の. 別 解. エ ン タ ル ピ ー ∬{5,P)の. 態 変 数 の 対(r,P)で. 全 微 分 式 を状. 表 現 し ょ う。. こ れ は(245)式 肱,,!噌. (24)式 を も う一 度 書 く。 朋(3,p)=賜. ヤ!噌AA、. 』,ハ. ∫+配P【(24)式](319). こ こ で 、 系 の 圧 力Pを. を47で. に 一 致す る。. 傅A、 ム. 一 定 に 保 ち(4P=0)、. 式の両辺. 割 り算 す る。 次 式 を得 る 。 !AIPIP＼!」. 亀A、. (323). (330)式 の 紐. へ(176)式. を代 入 す る。 次 式 を得 る。.
(18) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. こ れ は(254)式. と一 致 す る。. A7.A1〜A3の. ま とめ の公 式集. (d)義. ア(x,ア)刃㌃(r,γ)[(98)式]の. 関 係 よ り求 ま る. 偏微分 間の関係 式 (a)状 ①. !畠̲、. ノ̲̲、. 態 関数 共 間 の変 換 式. 内 部 エ ネ ル ギ ー σ砥7)で. 他 の 三 つ の 状 態 関数. 共を表わす。 7,〆̲り. 一、̲̲∠̲̲̲、. (e)特. 別 な熱力学特性 関数の定義. (f)特 別 な熱力 学特性 関数 の全微 分式. (c)状 分係 数. 態 関 数 共 の 状 態 変 数 ∫,7▼,P,μに 関 す る 偏 微. (g)特 別 な熱 力学特 性関数 の偏微分係数 !晶. サ 、!̲、.
(19) 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 一 く量 子 統 計 力 学12> 195. 付録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. こ の結 果 を[(285)式]の結 果 と比 較せ よ。 結 果 の違 い は. 伽)を 定数と蜘. 〔 詞. を蹴. して偏微分を. 取 るか の違 いに よる。 次 に 、. 1. と な る 。(401)式. の 結 果 と 上 の(c)の[(16)式. 式 、(35)式 、(55)式]と. (h)状. 態 関数 σ,鼠F,G間 「1吊. 次 に 、 上 の(f)の[(266)式. 、(281)式]の4Φ. も う一 度 書 き 、 式 を 更 に 変 形 し ょ う。. の式 を. 、(25). を比 較せ よ。. の 関係 図 と関係 式.
(20) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44 14)小 暮 陽 三 著:"基. 礎 と応 用. 統 計 力 学"(森 北 出. 版) 15)田 沼静 一 郎 著:"電 16)キ. 子 伝 導 の物 理"(裳. 華 房). ッテ ル 著 、宇 野 良 清 、津 屋 昇 、森 田章 、 山下 次. 郎 訳:"新. 版 固 体物 理 学 入 門上"(丸 善 株 式 会 社). こ の論 文 は拙 著原 稿"多 体 問題 と グ リー ン 関数 との 関係 の 研 究. 高 等 量子 力 学 入 門1",内. 容. 目次 は じめ に 第1章. フ ェル ミオ ン系 の 量 子 力学. §1.1序. 言. *§1.2状. 態 関 数 の 数表 示表 現 と生 成 ・ 消滅演算 子の. *§1.3ハ. 導 入,な らび に生 成 ・消滅 演 算 子 の 交 換 関係 ミル トニ ア ン を生 成 ・消滅 演 算 子 を用 い て 記 述 す る事. *§1.4ハ. ミル トニ ア ン の運 動 量 表 示,フ ェル ミ真 空, フ ェル ミ 自由電 子 ・正 孔 系 の記 述. *§1.5場. の演 算 子 の 導入 と交 換 関係. *§1.6ハ. ミル トニ ア ン を場 の 演 算 子 を 用 い て 記 述 す る事. *§1.7運. 動 量 表 示 で の場 の 演 算 子 とハ ミル トニ ア ン の記 述. *§1.8シ. 参 考文 献. ュ レデ ィ ンガ ー表 示 の 量 子 力 学. *§1.9ハ. 1)J.M.Ziman著:"ElementsofAdvancedQuan加m. イ ゼ ンベ ル グ表 示 の 量 子 力 学 とハ イ ゼ ン ベ ル グの 運 動 方 程 式. Theory"(CambrigdeUniversityPress} 2)高. 野 文 彦 著:GL新. 物 理 学 シ リ ー ズ18多. 体 問 題". *§1.10ハ. 場 の 演 算 子,そ. (培 風 館) 3)高. 橋 康 著:"新. 物 理 学 シ リ ー ズ16物. の た め の 場 の 量 子 論1,II"(培. 性 研 究者. 風 館). れ か ら、 ハ ミル トニ ア ン の表 現,第2量. 子化. 第2章. 高 等 量 子 力 学 に お け る摂 動 理 論. Wiley&Sons,Inc}fixsteditionandsecond. *§2.1ハ. イゼ ンベ ル グ表 示. edition. *§2.2相. 互作用表示. *§2.3相. 互 作 用 表 示 で の生 成 ・消滅 演 算 子 と場 の演. 5)A.M.Zagoskin著:"QuantumTheoryofMany‑Body Systems"(Spriger). 算子. ッ フ 著 、 井 上 健 訳:"新. 版. 量 子 力 学 上 、 下". *§2.4Brillouin‑Wignerの *§2.5時. (吉 岡 書 店) 7)西. 川 恭 治 、森 弘 之 著:"統. 8)ラ. ン ダ ウ ・リ フ シ ッ ツ 著 、 佐 々 木 健 、 好 村 滋 洋 訳: "量 子 力 学1(改. 9)ラ. して,そ れ らの交 換 関係,そ. 参 考文 献. 4)K.Huang著:̀̀StatisticalMechanics"(John. 6)シ. イゼ ンベ ル グ表 示 での 生 成 ・ 消滅演 算子 と. 計 物 理 学"(朝. 訂 新 版)13(東. 倉 書 店). 京 図 書). ン ダ ウ ・ リフ シ ッ ツ 著 、 小 林 秋 男 、 小 川 岩 雄 、 富 永 五 郎 、 浜 田 達 二 、 横 田 伊 佐 秋 訳:"統 理 学 第3版. 上"(岩. 計物. 波 書 店). 10)U.Fano:ReviewsofModernPhysics74vo129No1 (1955) 11)小. 田 恒 孝 著:"統. 12)桂. 重 俊 著:"統. 13)キ. ッ テ ル 著 、 山 下 次 郎 、 福 地 充 訳:"キ 熱 物 理 学"(丸. 計 力 学"(裳 計 力 学"(廣. 善 株 式 会 社). 華 房). 表 現 と、 そ の 時 間積 分 展 開級 数 間発 展 演 算 子 σ(幽)の 計算. *§2.6時 *§2.7時. 間発 展 演 算 子 ひ(幽)の 幾 っ か の性 質. *§2.8時. 間発 展 演 算 子 σ(幽)と そ の遷 移 確 率 耽 →。. *§2.9散. 乱 理 論 と3行. ッテル. 列. *§2.10時. 間 非 依 存 の 摂 動 理 論 と3行. 列. *§2.11フ. ェ ル ミ オ ン ・ボ ソ ン 相 互 作 用. *§a12ε. マ ト リ ッ ク ス 展 開;3謹. *§2.13相. 似 変 換 の公 式. *§2.145マ. 川 書 店). 摂動理論. 間 発 展 演 算 子 σ(幽)の 積 分 方 程 式 に よ る. *§2.15生. σ(規 一〇 〇). ト リ ッ ク ス 展 開 式 の 計 算 例3、 成 ・消 滅 演 算 子(正 準 備). 規 積(N積)へ. の.
(21) 一 く量 子 統 計 力 学12>. 多 体 問 題 と グ リー ン 関数 との 関 係 の研 究 一グ リー ン 関 数 と多 体 問題(20). 197. 付録. *§2.16『. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関係 式. フ ェル ミ真 空 』 又 は 『フ ェル ミ海 』 に 関. *§3.10場. の源 と場 間 の 相 互 作 用. し て の 電 子 と正 孔 の 新 し い 生 成 ・消 滅 の 場 の. *§3.11簡. 単 な 例1、. フ ォ ノ ン の レー リー 散 乱. 演 算 子 を使 っ て の3マ. *§3.12簡. 単 な 例2、. 核 力 と湯 川 の 中 間 子 理 論. *§3.13荷. 電 ボ ソ ン と荷 電 中 間 子. 算例. トリック ス展 開 式 の計. ∫2. *§2.17N積. 参 考文 献. *§2.18縮. 約 積(コ. *§2.19Wickの. ン ト ラ ク シ ョ ン). 第4章. 定理. グ リー ン 関 数 と多 体 問 題. *§4.1古. *§2.20∫. マ ト リ ッ ク ス のT積. *§2.21縮. 約 積 が0と. 表示. 典 物 理 学 の グ リー ン 関数 と そ の簡 単 な 例. *§4.21電. な る場 合. 子 グ リー ン 関 数(1). *§4.3密. 度行列. *§2.22Wickの. 定 理 の ダ イ ヤ グ ラム表 示. *§4。4統. 計行列. *§2.23Wickの. 定 理 の 計算 例. *§4.5量. 子 力 学 との関係. *§ 生6古. 典 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィル(Li。uville)の. *§2.24正. 規 形(N積. 亀 式 中 の1項. 形 式)とWickの. *§2.25Feynmandiagramを. 定理 の 関係. 眺 め た とき、逆 にそ れ. を式 に書 け る 事. 定理 *§4.7量. *§2.26グ. リー ン 関 数 の 定 義. *§2.27伝. 播 関 数 の 定義. *§2.28実. 変 数 関数 の 定積 分 の値 を複 素積 分 の 留数. 子 統 計 力 学 の リ ュ ウ ヴ ィ ル(L主ouville)の 定 理(密. *§4.8量. の 定 理 を応 用 し て 求 め る 事 *§2。29Feyn㎜ndiagramの. ル *§ 生9量. 式 を運 動 量表 示 す るた. め の準 備. 度 演 算 子 の 運 動 方 程 式). 子 統 計 力 学 の 小 正 準 集 団(ミ ク ロカ ノ ニ カ ア ン サ ン ブ ル) 子 統 計 力 学 の 正 準 集 団(カ ノニ カ ル. ア ン. サ ン ブ ル)、 *§4.10量. 子 統 計 力 学 の 大 正 準 集 団(グ. ラ ン ドカ ノ. *§2.30運. 動 量表 示. *§2.31ダ. イ ヤ グ ラ ム の寄 与 の 計算. *§4.11古. 典 統 計力 学 の 基本 原 理. *§2.32ダ. イ ヤ グ ラ ム の寄 与 の 計算 例. *§4.12小. 正準集団. *§2.33電. 子 ・フ ォ ノ ン 相 互 作 用. *§4.13古. 典 統 計力 学 の 小正 準 集 団 か らの 熱力 学 の. *§2,34修. 正伝 播 関数 の 計 算. *§2,35フ. ェ ル ミオ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. *§2,36ボ. ソ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. *§2.37修. 正 され た バ ー テ ッ ク ス(vertex,結. *§2.38修. 正 され た 真 空 部 分. *§2,39我. 々 は 今 何 を して 来 た の か を 振 り返 っ て み. ニカル. 導 出 方程式. 方程式 節 点). る。 *§2.40フ. ェル ミオ ン の ダ イ ソ ン(Dyson)の. 方程式. の別 の形 *§2.41ボ. ア ン サ ン ブ ル). ソンの ダイ ソ ンの方 程 式 の別 の形. *§ 生14エ. ネ ル ギー 等 分 配則. *§4,15古. 典 理 想気 体. *§ 生16ギ. ブ ス のパ ラ ドック ス. *§ 生17正. 準集団. *§4.18正. 準集 団 の熱 力 学. *§ 生19正. 準 集 団 に 於 け るエ ネ ル ギ ー の 揺 ら ぎ. *§4.20大. 正 準集 団. *§4.21大. 正 準集 団 にお け る密 度 の 揺 らぎ. *§4.22化. 学 ポ テ ン シ ャル と化 学 平 衡. 参 考文 献. *§ 生23正. 準 集 団 と大 正 準 集 団 の 等 価 性. 第3章. *§4.24曜(亙)の. ボ ソン系 の 量 子 力 学. *§3.1量. 子 力 学 的 単純 調 和 振 動 子. *§3.2ブ. ラベ ク トル,ケ. ッ トベ ク トル,生. 成 ・消 滅. 演 算子. 振 る舞 い. *§4.25マ. クス ウェル架 設 線 の意 味. *§4.26演. 習 問題 の訳. *§ 生27量. 子 統 計 力 学 の 以 前 の 議 論 の お さ らい. *§3.3量. 子力 学的 一 次元 原 子 鎖連 成 振 動子. *§ 生28熱. 力 学 第3法. *§3.4量. 子力学的三次元格子状配列原子連成振動. *§ 生29小. 正 準 集 団 で扱 か う理 想 気 体. *§4.30正. 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.31大. 正 準 集 団 で 扱 か う理 想 気 体. *§4.32理. 想 フ ェ ル ミ気 体 の 状 態 方 程 式. *§4.33黒. 体 放 射(空. *§4。34固. 体 中 の 音 子(フ. *§4.35磁. 化 と 正 準 集 団 と大 正 準 集 団 の 磁 化 率. *§4.36ラ. ン ダ ウ準 位. *§4.37ラ. ン ダ ウ の 反 磁 性 と磁 化 率. 子 *§3.5連. 続 体 媒 質 へ の 議 論 の 移 行 と、 場 の 演 算 子 ・伽(・). *§3.6古. 典場 の理 論. *§3.7揚. の 演 算 子 と第2量. *§3.8ボ. ー ス 統 計 に 従 う シ ュ レデ ィ ン ガ ー 波 動 場 の 量 子 化(第2量. *§3.9KleirGordonの. 子化. 子 化)と 方程式. ボソン. 則. 洞 放 射) ォ ノ ン).
(22) 近 畿 大 学 工 学 部 研 究 報 告No.44. *§4.37ラ *§4.38k空. ン ダ ウ の 反 磁 性 と磁 化 率 間 と実 空 間 で の 軌 道 面 積 の 量 子 化 と磁 束 の量子化. §4.45量 *§4.46付. 子 ホール効果 録. 熱 力 学 的 関 数 と熱 力 学 的 関 係 式. 以 下 続 く。. *§4.39パ. ウ リの 常 磁 性. 参考文 献. *§4.40不. 完 全 電子 気 体 の磁 気 的 性 質. の 内 、紙 面 の都 合 に よ り、第4章. *§4.41ボ. ー ス ・ア イ ン シ ュ タ イ ン 凝 縮. した も の で あ る。*印. *§4.42不. 完 全 ボ ー ス気 体. の で あ る。. §4.43超 §4.44ド. 流動 ・ハ ー ス ー フ ァ ン ・ア ル フ ェ ン 効 果. の節(§)は. 、飾(§)4.46を. 記述. 既 に掲 載 済 み の も.
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