第2章　多数決原理

第 2 章 多数決原理

単純多数決原理を中心として

直接民主制

１．単純多数決ルール

 N={1,2,…,n}:社会構成員全体の集合 2≦n<+∞

 X={x,y,z,…}：選択肢の集合

3≦♯X<+∞ （♯X は集合X の要素の個数）

 S,T,…⊂X：実行可能な選択肢の集合

 X上の個人i∈Nの二項関係（選好関係）R_i

xR_iy ⇔xはyより厳密に望ましいか両者は無差別

⇔xはyより悪くはない

 完備性: xR_iyあるいはyR_ix

 反射性: xR_ix

 推移性: xR yかつyR zならばxR z

 xP_iy⇔xR_iyかつ￢yR_ix （￢は否定，not）

 xI_iy⇔_xRiyかつyR_ix

 社会的選択ルールR=f(R)

R=(R₁,R₂,…,R_n) ：プロファイル R：社会的選好

定義2.1（単純多数決ルール）：R^MD=f^MD(R) xR^MDy⇔N(xPy)≧N(yPx)

 15

人のうち，

人が

，

人が

，

人が

の とき，

 15

人のうち，

人が

，

人が

，

人が

の とき，

 15

人のうち，

人が

，

人が

，

人が

の とき，



まとめて書くと

xR^MDy⇔N(xPy)≧N(yPx)



公理

広範性

 社会的選択ルールの定義域は個人的選好順序の 論理的に可能なあらゆるプロファイルを含む



公理

匿名性

 Rの個人的選好順序を並び替えてR’が得られるな ら，R=R’



公理

中立性

⇔ ’wかつ ⇔ ’zが全ての に対して成立

 公理PR(正の感応性)

 ２つのプロファイルR，_R’に対して，

∀i∈N：｛（xP_iy⇒xP_i’y）＆（xI_iy⇒xR_i’y）｝

∃k∈N：｛（xI_ky⇒xP_k’y）∨（yP_kx ⇒xR_k’y）｝

 ならば，(xRy⇒xP’y)

 記号の注意

 ∀：任意の ∃：存在する

 ＆：かつ ∨：または

 単純多数決ルールの公理化

 定理2.1 （メイの定理）

 単純多数決ルールは，公理U,A,N,PRを全部満たす 唯一の社会的選択ルールである

（証明）

 定義より，単純多数決ルールが４つの公理を満たす のは明らか．

 逆を示す．

 公理Nで，x=z, y=w とおく．x と y の社会的選好判断 には個人的選好を知れば十分．

 公理Aより，N(xPy), N(yPx), N(xIy)のみで決まる．

 公理Nより，N(xPy)=N(yPx) ならば，xIy．

 公理PRより， N(xPy)>N(yPx) ならば，xPy．

 よって，多数決ルールに一致する．



公理

社会的合理性

 任意のプロファイルR =(R₁,R₂,…,R_n)に対して，

社会的選好R=f(R)は完備性，反射性，推移性 を満たす

定理

公理

をすべて満たす

社会的選択ルールは存在しない

２．定義域の制限 単峰型選好

個人3

個人2

個人1 効

用

非単峰型選好

個人3

個人2

個人1

x y z 選択肢

効 用

単谷型選好

個人3

個人2

個人1 効

用

３．ブキャナ＝タロック 合意の計算



意思決定の費用

 決定に必要な人数が多くなると高くなる



外部費用

 自分の意見と合わない社会的決定に従わなけれ ばならないことから生じるコスト

 決定に必要な人数が多くなると低くなる



最適な意思決定ルール

 合計を最小化するルール

⇒

ある多数決ルール

外 部 費 用

意 思 決 定 費 用 総費用

４．レイの定理



自分の賛成する提案が否決される確率



自分の反対する提案が可決される確率



最適なル－ル＝

つの確率の合計を最小化する ルール

⇒

単純多数決ルール

1 2ⁿ 

n

人の社会

さまざまな規模の集団の数：

f

人で構成される集団の数

可決に必要な最小支持者数＝

否決される集団の数

)!

(

!

! f n

f C

n

n

 







1

)!

(

!

k

!

f n

f

n

1 2ⁿ 

注：

人の社会

可能な集団の数を考える

全員が集団に入るか否かを決める

→

の可能性

を除く さまざまな規模の集団の数は

)!

(

!

! f n

f C

n

n

 

2n

1 2

...

) 1 (

!  n  n     n

f

人で構成される集団の数は、

人からなる組合せ

人の並べ方＝順列

)!

(

!

...

...

!

f n

f

n



△

〇△△

○○

よって

①自分の支持する提案が否決されるケース 自分を入れて

人，かつ

)!

( )!

1 (

)!

1

1 (

1  







 k

f f n f

n P

)!

( )!

1 (

)!

1 (

)!

1 1

( )!

1 (

)!

1 (

1 1

f n

f

n

f n

f C

n

n





 









 





よって，確率は

②自分の反対する提案が可決されるケース 自分を除いて

人，かつ

≧

)!

1 (

!

)!

1 (

1

 

 



f n f

C

n

n

1 2

)!

1 (

!

)!

1

1

(

2









 



n n

k

f

f n f

n P

よって，確率は

期 待 確 率

.5

.4

.3

.2

.1

期 待 確 率

.5

.4

.3

.2

.1

.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

５．トーナメント方式



あらかじめ決められた順番で二項比較を行う

単純多数決による二項比較



循環が生じない

→

決定できる



問題点

 経路独立性を満たさない

 劣位勝者のパラドックス

①直線型 ②樹形型

③混合型

x y

z

w

x y z w

v

a, b, c ３人の個人

x, y, z ３つの選択対象 ３人の選好(価値判断)：

R_a; x f y f z R_b; y f z f x R_c; z f x f y

経路依存性

x y

z

y z

x

劣位勝者のパラドックス（１）

a

,

,

3人の個人

x

,

,

,

4つの選択対象 3人の選好(価値判断)：

R_a

;

;

;

③’の勝者である

は全員一致で

よ

り望ましくない

① ①’

x y

z

w w

y

w

z

x

z

② ②’

w w

③ ③’

x w

y

z z

w

z

y

x

y

④ ④’

w

x w

w w

⑤ ⑤’

y w

x

z z

w

z

x

y

x

⑥ ⑥’

x x

劣位勝者のパラドックス（２）



同じ選好でも，樹形型で は劣位勝者のパラドック スは生じない

 y

は

に勝つが，

と

には負ける

 1

度だけ最終段階で

と 対戦するという状況での みパラドックスが生じる

x y z w

x

x z y w

w

６．シュワルツ方式



頂上循環

 上位の選択肢間で循環が生じる



シュワルツ方式



勝者集合

（普遍集合）

（１）

，∀

＼

：

（２）

：最小

 x ^～ y ^～ z f w f t f u ^～ v

 S₁^＝{x^,y^,z^}, S₂^＝{x^,y^,z^,w^}, S₃^＝{x^,y^,z^,w^,t^}

 S₁^, S₂^, S₃のいずれも（１）を満たす

 （２）を満たすのは S₁ ^のみ

 S₁ がシュワルツ方式の勝者集合

x

y

z w

u

x y

z

w u

一部の選択肢からなる循環

x←y

^⇔

頂上循環 top cycle

７．循環の発生頻度



仮定

 あらゆる個人的順序（完備性・推移性）は等確率で生 じる



投票者

人で選択肢

個

→ 3

回に

回頂上循環が生じる



投票者

人で選択肢

個

→ 2

回に

回頂上循環が生じる

1414 450 489 319 318 173 83 413 329 104 270 146 114 31 28

リ リ ダ ダ ダ ダ ダ ブ ブ ブ べ ベ ベ ベ ベ ベ ダ ブ ベ リ ブ リ ベ ダ ダ リ ブ ダ ブ ダ ダ ベ ベ リ ベ リ ブ ダ ベ リ ダ ダ リ リ ブ ブ ブ リ ブ ブ ベ ベ リ リ ベ ブ リ ブ ダ リ

1860 年アメリカ大統領選挙

リンカーン，ベル，ブレキンリッジ，ダグラス

選好分布の推定（単位：1000人）

1864 1382 846 589

1860年アメリカ大統領選挙での循環 （単位：1000人）

リンカーン ベル ブレキン リッジ

ダグラス リンカーン * 2,542 * 2,968 2,165

ベル 2,139 * 3,090 * 2,416

ブレキン リッジ

1,713 1,591 1,023

ダグラス * 2,516 2,265 * 3,658

は二項比較での勝者



リンカーン・ベル・ダグラスが頂上循環をなしてい た



最多数投票で選挙に勝ったリンカーンは，二項

比較ではダグラスに敗れていた

８．多次元空間での多数決



空間モデル

 至福点（理想点，飽和点）

：I_i

 xR_iy ⇔ |x-I_i| ≦ |y-I_i|

 至福点に近いほど望ましい

 単峰型選好



単峰型選好でも投票のパラ ドックス

u

x₂

2 次元空間内の単峰型選好 (1)

政 策 ２

I ^*

• 1

次元から

次元へ

•

クレマーの研究

– 1次元が本質的で あることを示した

•

右図

• I *

が個人

にとって 最善の組み合わせ

• I*

から遠ざかるほど

効用水準が低下

2 次元空間内の単峰型選好 (2)

• 3

人の選好 １：

２：

３：

•

この選好ではサイク ルが生じる

政 策 ２

x I1*

y z

I2*

I3*

政策1

I2

I1

契約曲線（パレート最適点の集まり）

=

接点の奇跡

a b c

I3

I2

I1

3

人の契約曲線：均衡の非存在

均衡の存在条件



均衡の存在条件（十分条件）

 3

人の至福点（理想点）が一直線上にある

→ 3

人の契約曲線が１点で交わる

→

均衡点（コンドルセ勝者）

a b I₃

I₂

I₁

3

人の契約曲線：均衡の存在

I₂^{がコンドルセ勝者} a^にも，b^にも勝つ

プロットの対称性条件



プロットの一般化条件

(1) 無差別の個人は棄権する

(2-1) 投票者数が奇数である場合には，1人またはより

多くの奇数人が特定のe^{点を理想点とする}

(2-2) 偶数の場合は誰もe点を理想点としないか，偶数

の人が理想点とする

(3) 残りの投票者はe^{点を挟んで対極にある2つの点を}

それぞれ理想点とするペアを作る

2 つの選択肢のどちらが勝つ？

 a，b を通る垂直二等分線 を引く

 個人1は b に投票

 個人2，3は a に投票

 垂直二等分線上に至福 点のある個人4は無差別

→ 棄権する

a b

I₃ I₂

I₁ I₄

多数決の勝者は？

 e：e を通る任意の直線が、

e を至福点とする人々を 除いて残りの人の至福点 を均等に分割する点

 e は任意の x ≠ e に多数 決で負けることはない。

なぜなら、 e に賛成する する人の数は常に過半 数を超えるから。

a e

人いる：奇数 2

1 n

少なくとも

I₆ I₄

I₂

I₃ I₁

I’₁

I₅

I₇⁼e

プロットの対称性条件

マッケルヴィの定理



いかなる選択肢のペアについても，それらを含 んだ包括循環を引き起こすトーナメント方式の決 定順序が存在する



次の図

 3人とも，aP_i b ^→ aPb

 bPa ^{となる手順がある}

 aI₁a^{’ かつ} aI₃a’

（無差別）

 αP₁a’ ^かつ αP₃a’

 推移性より αP₁a，_{αP3a → αPa (}トーナメント)

 αI₁α’ かつ αI₂α’

多数決

 βP₁α’ ^かつ βP₂α’

 推移性より βP₁α，_{βP3α → βPα}

 βI₂β^{’ かつ} βI₃β’

 bP₂β’ ^かつ bP₃β’

 推移性より bP₂β ^かつ bP₃β → bPβ

 aPb ^かつ αPa ^かつ βPα ^かつ bPβ

→ bPa

a

・b α

I3

I2

I1

・

・

・

・

a’

l2

I2

I3

I1

l1

l3

α a^’

a α^’

β

b

垂直二等分線による対称点

β’