7－3. フーリエ級数と波の重ね合わせ

§8 . フーリエ級数と波の重ね合わせ

•

•

• 弦楽器の弦をはじくと、 ” 音 ” が出る

–

/



(

)

• “ 音 ” を ( 人間の耳で ) 聞くとはどういうことか？

–

• “ 雑音 ” と “ 音楽 ” の違いは何か？

–

• 楽音の 3 つの特性

–

,

,

–

•

(

)

–

•

(あー)

8 msec

～125 Hz

あー (低い音)

あー (高い音)

•

(

)

•

(100

300 Hz)

9 msec (110 Hz)

濁音 (あ”ー)

(口笛)

•

𝑡

𝑓(𝑡)

• 𝑓(𝑡)

cos 𝜔𝑡

(

)

•

𝜔 (

) =

𝑇

•

2𝜔, 3𝜔, 4𝜔

•

cos 𝜔𝑡 + 𝜙

cos 𝜔𝑡 + 𝜙 = cos 𝜙 cos 𝜔𝑡 − sin 𝜙 sin 𝜔𝑡

とかけるので

𝑎

, 𝑎

, 𝑎

, ⋯ , 𝑏

, 𝑏

, 𝑏

, ⋯

,

𝑓 𝑡 = 𝑎

+𝑎

cos 𝜔𝑡 + 𝑏

sin 𝜔𝑡 +𝑎

cos 2𝜔𝑡 + 𝑏

sin 2𝜔𝑡 +𝑎

cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 3𝜔𝑡

+𝑎

cos 4𝜔𝑡 + 𝑏

sin 4𝜔𝑡 + ⋯

とあらすことができる

(

….)

“

”

定数 定数

テキストp118

𝑎₁

𝑎₂

𝑎₃ 図で表現すると….

𝑎₀ 𝑓 𝑡

+

+

+

+

+

+

=

𝑏₁

𝑏₂

𝑏₃ 𝑇

※ 基本の角振動数 ( 𝜔 = ^2𝜋

𝑇 ) が同じとき、音の 高さは同じ。 𝑓(𝑡) が音質を決める

※ 係数 𝑎, 𝑏 は楽器によって異なるので、逆に対

応する 𝑎, 𝑏 を与えるとその音 ( 音質 ) を作ること

ができる (  電子楽器 )

• まず 𝑎 ₀ は平均値そのものなので 𝑎 ₀ = 1

𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 である。

• 他の係数については、どのようにもとめれば

よいのだろうか？

• それでは 𝑓(𝑡) が与えられているとき ( ある楽 音で良い ) 係数 𝑎 ₁ , 𝑎 ₂ , 𝑎 ₃ , ⋯ , 𝑏 ₁ , 𝑏 ₂ , 𝑏 ₃ , ⋯ は どのように決めればよいか？

• 実は簡単に見つけることができる ( フーリエ

(Fourier) が発見！ )

𝑓 𝑡 = 𝑎

+𝑎

cos 𝜔𝑡 + 𝑏

sin 𝜔𝑡 +𝑎

cos 2𝜔𝑡 + 𝑏

sin 2𝜔𝑡 +𝑎

cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 3𝜔𝑡

+𝑎

cos 4𝜔𝑡 + 𝑏

sin 4𝜔𝑡 + ⋯

の両辺に、 たとえば

cos 3𝜔𝑡

𝑓 𝑡 cos 3𝜔𝑡 = 𝑎

cos 3𝜔𝑡

+𝑎

cos 𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 +𝑎

cos 2𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 2𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 +𝑎

cos 3𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 3𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 +𝑎

cos 4𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡 + 𝑏

sin 4𝜔𝑡 cos 3𝜔𝑡

+ ⋯

•

•

1

𝑇

׬

sin(𝑛𝜔𝑡) sin 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡

1

𝑇

׬

cos(𝑛𝜔𝑡) cos 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡

1

𝑇

׬

sin(𝑛𝜔𝑡) cos 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0

の関係式を使う

(

)

= 0 𝑚 ≠ 𝑛 .

= 1

2 𝑚 = 𝑛 .

この関係式を用いると、

1 𝑇න

0 𝑇

𝑓 𝑡 cos 3𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎₃ 2 となり、

𝑎₃ = ²

𝑇׬₀^𝑇𝑓 𝑡 cos 3𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑎₃が求まる。

同じように両辺に、 sin 3𝜔𝑡 をかけることで 𝑏₃ = 1

𝑇න

0 𝑇

𝑓 𝑡 sin 3𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑏₃が求まる。

したがって𝑎_𝑛, 𝑏_𝑛 は次のように求めることができる。

𝑎_𝑛 = 2 𝑇න

0 𝑇

𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

2 ^𝑇

𝑎 ₀ = 1 𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎 _𝑛 = 2 𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

𝑏 _𝑛 = 2 𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

※ ここでは積分区間を 0 から 𝑇 としているが、一周期分であれば どこでも良い (たとえば −^𝑇

2 から^𝑇

2 )

(

)

𝑇

׬

sin(𝜔𝑡) sin 𝜔

𝑡 𝑑𝑡 =

2

𝛿

cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 = cos(𝜔𝑡) cos 𝜔^′𝑡 + sin 𝜔𝑡 sin(𝜔^′𝑡)

sin 𝜔𝑡 sin 𝜔^′𝑡 = 1

2(cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 − cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡)

න

𝑇

sin(𝜔𝑡) sin 𝜔^′𝑡 𝑑𝑡 = 1 න

𝑇

(cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 − cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡) 𝑑𝑡 三角関数の公式より

よって,

ゆえに

cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡 = cos(𝜔𝑡) cos 𝜔^′𝑡 − sin 𝜔𝑡 sin(𝜔^′𝑡)

( 𝜔 ≠ 𝜔′

1 2න

0 𝑇

(cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 − cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡) 𝑑𝑡 = 1 2

sin 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡

𝜔 − 𝜔′ − sin 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡 𝜔 + 𝜔′

𝑇 0

ここで 𝜔 = 𝜋

𝑇𝑗 (𝑗 = 0, 1, 2, 3, … . ) なので 𝜔 − 𝜔^′ = 𝜋

𝑇 × (整数) 𝜔 + 𝜔^′ = 𝜋

𝑇 × (整数)

sin 𝜔 ± 𝜔^′ 𝑡 = 0 ゆえに,

1 2න

0 𝑇

(cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 − cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡) 𝑑𝑡 = 0

( 𝜔 = 𝜔′

= 1

2 𝑡 − sin(2𝜔𝑡) 2𝜔

𝑇 0

= 𝑇 2 1

2න

0 𝑇

(cos 𝜔 − 𝜔^′ 𝑡 − cos 𝜔 + 𝜔^′ 𝑡) 𝑑𝑡 = 1 2න

0 𝑇

(1 − cos 2𝜔𝑡) 𝑑𝑡

1 𝑇 න

0 𝑇

sin(𝑛𝜔𝑡) sin 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 1

2 𝛿 _𝑛𝑚 1

𝑇 න

0 𝑇

cos(𝑛𝜔𝑡) cos 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 1

2 𝛿 _𝑛𝑚 1

𝑇 න

0 𝑇

sin(𝑛𝜔𝑡) cos 𝑚𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 0

cos 𝑛𝜔𝑡 ∙ cos 𝑚𝜔𝑡

以下の関係が成り立つ

積分区間を

−

2 から ^𝑇

2 に変更して

𝑓 𝑡 = 𝑎

+ ෍

𝑛=1

∞

𝑎

cos 𝑛𝜔𝑡 + ෍

𝑛=1

∞

𝑏

sin 𝑛𝜔𝑡

𝑎

= 1 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑎

= 2 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

2

※テキスト P119 の例題をといてみよう。

• 展開する関数が、偶関数 (𝑦軸に対して対象) か奇関数(原点に対して対象) かに注意しよう。

偶関数の場合は 𝑏_𝑛 = 0 , 奇関数では𝑎_𝑛 = 0 となる。なぜそうなるのかについて考えてみ よう。

奇関数×偶関数 =奇関数 奇関数×奇関数 =偶関数

𝑎₀ = 0, 𝑎_𝑛 = 0 𝑏_𝑛 = 2

𝑇න

−𝑇 2 𝑇 2 2𝑡

𝑇 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑇න

−𝑇 2 𝑇 2 2𝑡

𝑇 −cos 𝑛𝜔𝑡 𝑛𝜔

′

𝑑𝑡

= 4

𝑇² −𝑡cos 𝑛𝜔𝑡 𝑛𝜔 ₋^𝑇

2 𝑇

2 − න

−𝑇 2 𝑇

2 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑛𝜔 𝑑𝑡

= 4

𝑇² −𝑡cos 𝑛𝜔𝑡 𝑛𝜔 ₋^𝑇

2 𝑇

2 + 4 𝑇² න

−𝑇 2 𝑇

2 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑛𝜔 𝑑𝑡

= 4

𝑛𝜔𝑇² −𝑇

2cos 𝑛𝜔𝑇 2 −𝑇

2cos −𝑛𝜔𝑇

2 + 0

= − 4

𝑛𝜔cos 𝑛𝜔 𝑇

2 = − 2

𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋

 部分積分

𝜔 = 2𝜋 𝑇

−^𝑇

2 < t < ^𝑇

2 において 𝑓 𝑡 = ^2𝑡

𝑇

(例題)

•

•

: 7

3

(

) 20

512

ギブス (Gibbs) 現象

フーリエ変換

• オイラーの公式から

𝑒^𝑖𝑥=cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 𝑒^−𝑖𝑥=cos 𝑥 − 𝑖 sin 𝑥

したがって

cos 𝑥 = 𝑒^𝑖𝑥 + 𝑒^−𝑖𝑥 2

sin 𝑥 = 𝑒^𝑖𝑥 − 𝑒^−𝑖𝑥

• ゆえにフーリエ級数の式は 2𝑖

𝑓 𝑡 = 𝑎₀ + ෍

𝑛=1

∞

𝑎_𝑛 cos 𝑛𝜔𝑡 + ෍

𝑛=1

∞

𝑏_𝑛 sin 𝑛𝜔𝑡

= 𝑎₀ + ෍

𝑛=1

∞ 𝑎_𝑛

2 + 𝑏_𝑛

2𝑖 𝑒^{𝑖𝑛𝜔𝑡} + 𝑎_𝑛

2 − 𝑏_𝑛

2𝑖 𝑒^{−𝑖𝑛𝜔𝑡}

= 𝑎₀ + ෍

𝑛=1

∞ 𝑎_𝑛 − 𝑖𝑏_𝑛

2 𝑒^{𝑖𝑛𝜔𝑡} + 𝑎_𝑛 + 𝑖𝑏_𝑛

2 𝑒^{−𝑖𝑛𝜔𝑡}

• 𝐶

= 𝑎

, 𝐶

=

2

, 𝐶

=

2 とおき

, −∞

∞

まとめて書くと

𝑓 𝑡 = ෍

𝑛=−∞

∞

𝐶

𝑒

𝐶

= 𝑎

− 𝑖𝑏

2

= 1 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 − 𝑖 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

= 1 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 − 𝑖 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 𝑒

𝑑𝑡

•

, 𝑇 → ∞

ここで

𝜈

=

𝑇

, ∆𝜈 =

𝑇 とおくと

, 𝑓 𝑡 = lim

𝑇→∞

෍

𝑛=−∞

∞

1

𝑇 න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 𝑒

𝑑𝑡 ∙ 𝑒

= lim

𝑇→∞

෍

𝑛=−∞

∞

න

−𝑇 2 𝑇

2

𝑓 𝑡 𝑒

𝑑𝑡 ∙ 𝑒

∆𝜈

= න

−∞

∞

𝐶(𝜈)𝑒

𝑑𝜈

ここで

𝐶 𝜈 = ׬

𝑓 𝑡 𝑒

𝑑𝑡

フーリエ変換 (Fourier transform)

※ 𝑇 → ∞ のとき∆𝜈 → 0

※ 𝜔 = 2𝜋𝜈

𝐶 𝜈 を𝑓 𝑡 の という。

振動数/周波数 𝜈

• 𝜔 = 2𝜋𝜈 の関係から 𝑓 𝑡 = න

−∞

∞

𝐶(𝜈)𝑒 ^𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜈 𝐶 𝜈 = න

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒 ^{−𝑖𝜔𝑡} 𝑑𝑡

ともかける。

パワースペクトル

• 𝐶 𝜈 は振幅であり , 𝐶 𝜈 ² はエネルギー に相当する (§6 で振動のエネルギーは振幅 の 2 乗に比例することを学んだ ) 。

• パワースペクトル密度 𝑃(𝜈) ≡ lim

𝑇→∞

1

𝑇 𝐶 𝜈 ²

参考文献

レポート解答

• 0 から^𝑇

2 と ^𝑇

2 から 𝑇 までを分けて積分。𝑎₀ = 0, 𝑎_𝑛 = 0 (奇関数). 𝑏_𝑛 = 2

𝑇 න

0 𝑇

𝑓 𝑡 sin 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑇 න

0 𝑇

2 sin 𝑛𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 + න

𝑇 2 𝑇

(− sin 𝑛𝜔𝑡) ∙ 𝑑𝑡

= 2 2 𝑇න

0 𝑇

2sin 𝑛𝜔𝑡 ∙ 𝑑𝑡 = − 4

𝑇𝑛𝜔 cos 𝑛𝜔𝑡 ₀

𝑇

2 = 2

𝑛𝜋 cos 𝑛𝜔𝑡 _𝑇

2

0 = 2

𝑛𝜋(1 − (−1)^𝑛)

※ここで𝜔 = ^2𝜋

𝑇

ゆえに 𝑓 𝑡 = σ_𝑛=1^{∞ 2}

𝑛𝜋(1 − (−1)^𝑛) ∙ sin 𝑛𝜔𝑡

◎ちなみに、この式に適当な値を代入する。たとえば 𝑡 = ^𝑇

4 (あるいは𝜔𝑡 = ^𝜋

2) 𝑓 𝑡 = 4

𝜋 1 −1 3 +1

5 −1

7 + ⋯ = 1

∵ tan⁻¹𝑥 = 𝑥 −^𝑥3

3 +^𝑥5

5 − ^𝑥7

7 + ⋯ より tan⁻¹1 = 𝜋

= 1 − 1 + 1

− 1

+ ⋯ ₃₂