ディラック記法による線形代数

ディラック記法による線形代数

平成21 年6 月13 日

i

目 次

第1章 ベクトル空間 1

1.1 ベクトル空間 . . . . 1 1.2 線形写像 . . . . 3 1.3 双対基底 . . . . 6

第2章 完全性関係 9

2.1 完全性関係 . . . . 9 2.2 直和分解 . . . . 12 2.3 基底変換 . . . . 15

第3章 内積 21

3.1 内積 . . . . 21 3.2 エルミート共役 . . . . 24 3.3 正規直交基底 . . . . 28

第4章 固有値問題 33

4.1 固有値問題 . . . . 33 4.2 正規変換の固有値問題 . . . . 37

第5章 関数空間 39

5.1 関数空間 . . . . 39 5.2 デルタ関数と位置演算子 . . . . 40 5.3 フーリエ級数とフーリエ変換 . . . . 46

第6章 直交多項式 51

6.1 シュツルム-リウビル型固有値問題. . . . 51

付 録A 行列記法 53

A.1 ベクトル空間 . . . . 53 A.2 内積 . . . . 55

1

第 1 _{章 ベクトル空間}

1.1 ベクトル空間

ベクトル空間

集合V の要素|u⟩,|v⟩と複素数の全体Cの要素cについて, 和|u⟩+|v⟩と スカラー倍|u⟩cが定められているとする. これらが

|u⟩+|v⟩ ∈V

|u⟩c ∈V (1.1)

を満たすとき,V をC上のベクトル空間といい,V の要素をベクトルとい う. V の部分集合V_♣がそれ自身ベクトル空間となるときV_♣をV の部分 ベクトル空間 という. 任意のベクトル|u⟩に対して

0+|u⟩=|u⟩ (1.2)

を満たす特別なベクトル0を零ベクトルという. また, k個のベクトル

|a₁⟩,· · ·,|a_k⟩ について,

|a₁⟩c₁+· · ·+|a_k⟩c_k (1.3) の形の和を|a₁⟩,· · · ,|a_k⟩の一次結合という. さらに, この一次結合が

|a₁⟩c₁+· · ·+|a_k⟩c_k =0 (1.4) を満たすのが

c₁ = 0,· · · , c_k = 0 (1.5)

である場合に限るとき, |a₁⟩,· · · ,|a_k⟩は一次独立であるという. そうでな いとき|a₁⟩,· · · ,|a_k⟩は一次従属であるという.

基底と次元

V において一次独立なベクトルとして選べるそれらの最大個数nをV の

次元といいdimV で表す. これら一次独立なn個のベクトル|a₁⟩,· · · ,|a_n⟩ を用いると, V の任意のベクトル|u⟩は

|u⟩=|a₁⟩u^a₁ +· · ·+|a_n⟩u^a_n =

∑n i=1

|a_i⟩u^a_i (1.6)

と一意的に展開できる. このとき

a={||a₁⟩,· · · ,|a_n⟩|} (1.7) をV の基底という. 逆に, 一次独立なn個のベクトル|a₁⟩,· · · ,|a_n⟩が与 えられたとき, |a1⟩,· · · ,|an⟩の一次結合(1.6)の全体V はベクトル空間と

なる. このとき|a₁⟩,· · · ,|a_n⟩はV の1つの基底である. 基底としては一

次独立なn個のベクトルであれば何を選んでもよいが, 基底の選び方に よっては便利であるかないかの差が生じ得る.

ベクトルの列ベクトル表示

基底aによって(1.6)のように展開されたベクトル|u⟩を

|u⟩=^a



 u^a₁

... u^a_n



 (1.8)

と表したものを, ベクトル|u⟩の基底aによる列ベクトル表示という. 特 に, i番目の基底ベクトル|ai⟩の基底a自身による列ベクトル表示は

|a_i⟩=^a













 0

... 0 1 0 ... 0















←i番目 (1.9)

である. ベクトル|u⟩の列ベクトル表示は基底の選び方によってまったく 変わってしまう. これは大変重要であるので注意しよう.

ベクトル空間としての複素数の全体

複素数の全体Cはそれ自身一つのベクトル空間と考えられる. つまり, c,

1.2. 線形写像 3 d ∈Cについて

c+d ∈C

c·d ∈C (1.10)

が成り立つ. ベクトル空間としてのCの次元dimCは1である. Cをベ クトル空間とみなすときは, Cの基底として常に1を選ぶことにする. こ のとき, cの列ベクトル表示はc自身である.

1.2 線形写像

線形写像

ベクトル空間V からベクトル空間Λへの写像X :V →Λがベクトル|u⟩,

|v⟩ ∈V と複素数c∈Cに対し,

X(|u⟩+|v⟩) = X|u⟩+X|v⟩

X(|u⟩c) = (X|u⟩)c (1.11) を満たすとき, Xを線形写像という. このときX|u⟩, X|v⟩ ∈Λであり,ま た,Xは|u⟩,|v⟩に左から作用するという. 2つの線形写像X,Y の和とス カラー倍はそれぞれ

(X+Y)|u⟩=X|u⟩+Y|u⟩

(cX)|u⟩ = (X|u⟩)c (1.12) によって定義される. この和とスカラー倍により線形写像の全体もベクト ル空間となる. X|u⟩の全体はΛの部分ベクトル空間であり, これをXに よるV のΛにおける像といいX(V)で表す. X(V)の次元をXの階数と いいrankXで表す. また, X|u⟩= 0となる|u⟩の全体はV の部分ベクト ル空間であり, これをXの核といいKerXで表す. このとき

dim (KerX) + rankX = dimV (1.13) である. なお, 2つの線形写像Y :Ω →V, X :V →Λの積XY :Ω →Λ を

(XY)|ω⟩=X(Y|ω⟩) (1.14)

によって定義する. ここで|ω⟩はΩの任意のベクトルである.

線形変換

V からV 自身への線形写像を特にV の線形変換という. また, 線形変換 Xはベクトル|u⟩をベクトルX|u⟩に変換するという. このとき, V の2 つの線形変換X,Y の積XY もV の線形変換である. 任意のベクトル|u⟩ に対して

I|u⟩=|u⟩ (1.15)

を満たす線形変換を恒等変換という. つまり, 恒等変換Iは|u⟩に何もし ない線形変換である. さらに,

X⁻¹X =XX⁻¹ =I (1.16)

を満たす線形変換X⁻¹が存在するとき, これをXの逆変換という. 逆変 換X⁻¹が存在する線形変換Xは正則であるという. 最後に重要な線形変 換として射影について述べる. 射影とは

I_♣² =I_♣ (1.17)

を満たす線形変換をいう. I_♣|u⟩の全体

V_♣ =I_♣(V) (1.18)

はV の部分ベクトル空間となる. これを強調してI_♣をV からV_♣への射 影という. I_♣が与えられればV_♣は一意的に決まる. これに対し,V_♣が与 えられただけではI_♣は一意的には決まらないという点に注意しよう. こ れについては2.1節で詳しく説明する. なお,

dimV_♣ = rankI_♣ (1.19)

である.

線形写像の行列表示

V(n次元)に基底a,Λ(m次元)に基底αをとる. このとき, X|a_j⟩=|α₁⟩X_1j^αa+· · ·+|α_m⟩X_mj^αa =

∑m i=1

|α_i⟩X_ij^αa (1.20)

1.2. 線形写像 5 により定まるX_ij^αaの集まりを線形写像Xの基底a, α による行列表示と いい,

X ^αa=





X₁₁^αa · · · X_1n^αa ... ... X_m1^αa · · · X_mn^αa



 (1.21)

と表す. また, これを[X]^αa_m×nと略記する. (1.21)はm行n列の行列であ る. 特に, 線形変換の場合はΛ=V であるからα=aと選ぶならば,

X|aj⟩=|a1⟩X_1j^a +· · ·+|an⟩X_nj^a =

∑n i=1

|ai⟩X_ij^a (1.22)

である. つまり, [X]^a_n×nは

X =^a





X₁₁^a · · · X_1n^a ... ... X_n1^a · · · X_nn^a



 (1.23)

となる. (1.23)はn次正方行列である. 特に, 恒等変換の行列表示 は

I =^a





1 O

. ..

O 1



 (1.24)

であり, n次単位行列で与えられる. また, Xの逆変換の行列表示は

X⁻¹ =^a





X₁₁^−1a · · · X_1n^−1a ... ... X_n1^−1a · · · X_nn^−1a



 (1.25)

であり, [X]^a_n×nの逆行列[X⁻¹]^a_n×nで与えられる. 最後に, 線形変換Xの トレースtrXを

trX =X₁₁^a +· · ·+X_nn^a =

∑n i=1

X_ii^a (1.26)

によって定義する. このとき

tr (X+Y) = trX+ trY

tr (cX) =ctrX (1.27)

である. 以上が線形写像の行列表示についての基本であるが,ベクトルの 列ベクトル表示の場合と同じく, 線形写像の行列表示は基底の選び方に よってまったく変わってしまう. これは大変重要であるので注意しよう.

線形写像としてのベクトル

ベクトル|u⟩は,複素数c∈Cに対して

|u⟩:c7→ |u⟩c∈V (1.28) と作用するとみることにより, CからV への線形写像とみなせる. この とき|u⟩の行列表示は,

|u⟩ ·1 = |u⟩=|a₁⟩u^a₁ +· · ·+|a_n⟩u^a_n=^a



 u^a₁

... u^a_n



 (1.29)

である. これは[u]^a_n×1というn行1列の行列, つまり, n次元縦ベクトル である. したがって, |u⟩の列ベクトル表示(1.8)は|u⟩をCからV への線 形写像とみなすときのその行列表示であるともいえる.

1.3 双対基底

線形形式と双対空間

V からCへの線形写像fを考える. f の行列表示は,

f|a_j⟩= 1·f_1j^1a= ¯f_j^a (1.30) である. これは[f]^a_1×nという1行n列の行列,つまり,n次元横ベクトルで ある. したがって, fの全体はV と同じくn 次元のベクトル空間となる.

これを強調するためf を特に⟨f|と表し, これを線形形式という. この記 法によると(1.30)は

⟨f|a_j⟩= ¯f_j^a (1.31) と表される. また,線形形式⟨f|の行列表示

⟨f|=^a

[ f¯₁^a · · · f¯_n^a ]

(1.32)

1.3. 双対基底 7 を⟨f|の行ベクトル表示とよぶ. 線形形式⟨f|全体のつくるベクトル空間 をV^⋆で表す. V^⋆をV の双対空間という. 一般のベクトル|u⟩に対する

⟨f|の左からの作用は,

⟨f|u⟩= ¯f₁^au^a₁+· · ·+ ¯f_n^au^a_n =

[ f¯₁^a · · · f¯_n^a ]

 u^a₁

... u^a_n



 (1.33)

である. ⟨f|u⟩を⟨f|と|u⟩のスカラー積という. スカラー積⟨f|u⟩は1つ の複素数である. 次に,線形写像の線形形式に対する右からの作用を定義 する. 線形写像X : V →Λが与えられたとき, 線形形式⟨ϕ| ∈Λ^⋆に対す るXの右からの作用を

(⟨ϕ|X)|u⟩=⟨ϕ|(X|u⟩) (1.34) によって定義する. 線形形式への右からの作用としてみたXは, Λ^⋆から V^⋆への線形写像である. 特に, Xが線形変換のとき, つまり,Λ =V のと きは

(⟨f|X)|u⟩=⟨f|(X|u⟩) (1.35) である. このとき, 線形形式に対する右からの作用としてみたXはV^⋆の 線形変換である. なお, 線形形式⟨ϕ|と線形写像Xの積⟨ϕ|Xは2つの線 形写像の積(1.14)の特別な場合とみなせる.

双対基底

ベクトル|u⟩を基底a={||a₁⟩,· · · ,|a_n⟩|}で展開したとき, そのi番目の成 分をとりだす線形形式を⟨¯a_i|と表すことにする. つまり,

⟨¯a_i|u⟩=⟨a¯_i|a₁⟩u^a₁ +· · ·+⟨¯a_i|a_n⟩u^a_n=

∑n j=1

⟨¯a_i|a_j⟩u^a_j =u^a_i (1.36)

である. これは,

⟨¯a_i|a_j⟩=δ_ij (1.37) であることと同等である. したがって, ⟨¯a_i|の基底aによる行ベクトル表 示はi番目の成分が1で他はすべて0のn次元横ベクトル

⟨¯a_i|=^a [

0 · · · 0 1 0 · · · 0 ]

↑i番目

(1.38)

である. このことから,

¯

a^⋆ ={|⟨¯a₁|,· · · ,⟨a¯_n||} (1.39) をV^⋆の基底として選べることがわかる. このV^⋆の基底¯a^⋆をV の基底a の双対基底という. V^⋆の任意の線形形式⟨f|は基底¯a^⋆によって

⟨f|= ¯f₁^a⟨¯a₁|+· · ·+ ¯f_n^a⟨¯a_n|=

∑n i=1

f¯_i^a⟨a¯_i| (1.40)

と一意的に展開される. 次に, 線形写像X :V →Λ を考えよう. Λ^⋆の双 対基底をα¯^⋆とすると,

⟨α¯_i|α_j⟩=δ_ij (1.41) である. したがって, 線形写像の行列表示の(i, j)成分は(1.20)から

X_ij^αa =⟨α¯_i|X|a_j⟩ (1.42) と表される. 特に,線形変換の行列表示の(i, j)成分は(1.22) から

X_ij^a =⟨¯a_i|X|a_j⟩ (1.43) と表される. 最後に双対基底a¯^⋆についての注意点を述べておく. i 番目の 基底線形形式⟨¯a_i|はi番目の基底ベクトル|a_i⟩ が与えられただけでは決 まらないという点が重要である. つまり, ⟨¯ai|はすべての基底ベクトルに

対して(1.37)を満たさなければならないため, |a_i⟩だけでなく残りすべて

の基底ベクトルが与えられてはじめて決まるのである.

9

第 2 _{章 完全性関係}

2.1 完全性関係

基底ベクトルへの射影

はじめに,ベクトル|λ⟩ ∈Λと線形形式⟨f| ∈V^⋆のテンソル積|λ⟩⟨f|を導 入しよう. V の任意のベクトル|u⟩に対する|λ⟩⟨f|の左からの作用を

(|λ⟩⟨f|)|u⟩=|λ⟩(⟨f|u⟩) (2.1) によって定義する. |λ⟩⟨f|は,まず|u⟩に対し⟨f|:|u⟩ 7→ ⟨f|u⟩を行い, 続 いて|λ⟩:⟨f|u⟩ 7→ |λ⟩⟨f|u⟩を行うという2つの線形写像|λ⟩と⟨f|の積で ある. したがって, |λ⟩⟨f|はV からΛへの線形写像である. 特にΛ=V の とき, これはV の線形変換となる. V の基底をa = {||a₁⟩,· · ·,|a_n⟩|}とす るとき線形変換

|a_i⟩⟨a¯_i| (2.2)

を基底ベクトル|a_i⟩への射影という. 以下にみるように,|a_i⟩⟨a¯_i|は射影の 定義(1.17)を満たす. |a_i⟩⟨¯a_i|を|u⟩に作用させると

|a_i⟩⟨¯a_i|u⟩=|a_i⟩u^a_i (2.3) となることから,|a_i⟩⟨¯a_i|は|u⟩からi番目の基底ベクトルの部分をとりだ す操作であることがわかる. つまり,|a_i⟩⟨¯a_i|はV から|a_i⟩を基底とする1 次元部分ベクトル空間への射影である. 基底ベクトルへの射影は

|ai⟩⟨¯ai| · |aj⟩⟨¯aj|=|ai⟩⟨¯ai|δij (2.4) を満たす. つまり, i=jのとき(1.17)を満たし,

(|a_i⟩⟨¯a_i|)² =|a_i⟩⟨¯a_i| (2.5)

が成り立つ. 一方,i̸=jのとき

|ai⟩⟨¯ai| · |aj⟩⟨¯aj|= 0 (2.6) である. さらに, 2つの射影の和

|a_i⟩⟨¯a_i|+|a_j⟩⟨¯a_j| (2.7) は, i ̸=j のとき, |u⟩からi番目とj番目の基底ベクトルの部分をとりだ す操作である. つまり, |a_i⟩⟨¯a_i|+|a_j⟩⟨¯a_j|はV から|a_i⟩,|a_j⟩を基底とする 2次元部分ベクトル空間への射影である. 実際, (2.5)と同様に射影の定義 (1.17)

(|a_i⟩⟨a¯_i|+|a_j⟩⟨¯a_j|)² =|a_i⟩⟨¯a_i|+|a_j⟩⟨¯a_j| (2.8) を満たす. 3つ以上の異なる|ai⟩⟨a¯i|の和についても同様であり, これらも 射影となる. 任意のベクトルからi∈ ♠の基底ベクトルの部分をとりだす 操作は

I_♠ =∑

i∈♠

|a_i⟩⟨¯a_i| (2.9)

で与えられ, これは射影の定義(1.17)

I_♠² =I_♠ (2.10)

を満たす. つまり, I_♠はV から{||a_i⟩ |i∈ ♠|}を基底とする部分ベクトル 空間V_♠ =I_♠(V)への射影である. 最後に射影についての注意点を述べて おく. 基底ベクトルのうち{||a_i⟩ |i∈ ♠|}が与えられればV_♠は一意的に決 まる. これに対し, {||ai⟩ |i ∈ ♠|}が与えられただけではI_♠は一意的には 決まらないという点が重要である. (2.9)からわかるように, I_♠を決める

には{|⟨¯a_i| | i∈ ♠|}が必要である. ところが1.3節の最後で述べたように,

i番目の基底線形形式⟨a¯i|を決めるには,i番目の基底ベクトル|ai⟩だけで なく残りすべての基底ベクトルが必要である. したがって,{|⟨¯a_i| |i∈ ♠|}

は{||a_i⟩ |i ∈ ♠|}だけでは決まらない. これが, {||a_i⟩ |i ∈ ♠|}が与えられ ただけではI_♠は一意的には決まらないことの理由である.

完全性関係

ここで完全性関係とよばれる重要な関係式 I =|a₁⟩⟨¯a₁|+· · ·+|a_n⟩⟨a¯_n|=

∑n i=1

|a_i⟩⟨¯a_i| (2.11)