日本包装学会誌VblL3ﾉVbL4ag94）
一ﾉ職論文
衝撃モデルによる倒立剛体の転倒限界
西原主計＊横山孝之率＊
OverturnThreshoIdsforTheInvertedRigidBody
toShockModels
ＫａｚｕｅＮＩＳＨＩＨＡＲＡ.，ＴａｋａｙｕｋｉＹＯＫＯＹＡＭＡ｡。
Tomaintainthesafetyofpr℃ducts，ｉｔｉｓｉｍｐｏＵｔａｎｔｔｏｕｎｄｅ応tandthecimumstanceln whichtheligidbodytumove■andwiththisknowledge，todesignthecontainerhardto upsetevenintheshoCkenvlronment,Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｎａｔｆｉｌ石tusmgsometypicalshockmodels，
computersimulationswerCachievedtogiveovelturnth1℃sholdaccelelationsonthemverted
ngidbody，ｇｅｔｔｍｇｔｗｏｓｉｍｐｌｅｅｑｕａｔｉｏｎｓｆＯｒｔｈｅｔｈ妃sholdaccelelRationsThetwoequations
werechamctelizedinthecaseoｆｔｈｅｔｉｍｅｍｔｅｇｌｎｌａ1℃ａｏｆｓｈｏｃｋｗａｖｅ，ｔｈａｔｉｓｂｃａｓｅｏｆｔｈｅａｒｅａ≧１ａｎｄｃａｓｅｏｆｔｈｅａｒｅａ＜１，bothofwhichgavegoodappmximationｓｔｏｔｈｅｏriginal
diffe定ntialequationinawiderlangeofnon-dimensionalfi℃quencyQ・Secondly，theshockexpelimentiscamiedoutfOrasteelbaUovertumingapplatuswith vanouscushioningpads・Ｉｔｗａｓｅｖｉｄｅｎｔｔｈａｔｔｈｅｔｅｎｄｅｎｃｙｏｆｔheexpe㎡mentalth1℃shold accelerationscomcidedwiththatofaboveequati０，s・SooverturnmgthTesholdswillbe presumedwidelyifthedurationtimeaｎｄｉｔｓｉｎｔｅｇｍｌａ1℃ａｏｆａｃｔｕｍｌｓｈｏｃｋａ尼partly
assumed．
Keywords：Overturnofrigidbody,Ovel･tumofcontainer,OverturnthlCshold,TurnoverbFall，
UpseLShockmodel
製品の安全性を確保するためには、物体の転倒はどういう場合に起るかを知ることと、その知見により 転倒しにくい容器を設計していくことが重要である。
そこで本研究では、まず、各種衝撃波形のモデルを用い、剛体の転倒限界を与える計算機シミュレーシ ョンを行い､二つの簡便な転倒限界式を導いた。その簡易転倒限界式は､衝撃面積≧１又はく１の場合に分 けられ、無次元化振動数Ｑの広範囲にわたって、元の転倒微分方程式に対しよい近似を与えた。
次に、鋼球の転勤装置と各種緩衝材による衝撃実験を行った。その実験による衝撃転倒限界加速度の特 性は､上に求めた簡易転倒限界式の特性傾向に合致した。よって､衝撃持続時間･衝撃面liKiが幾つ力､推測で
きれば、上の簡易転倒限界式から転倒限界が推定できることが分かった。キーワード：容器の転倒、倒立剛体、転勤、倒れ、衝撃転倒
。神奈川工科大学（〒243-02神奈川県厚木市下荻野1030)：KanagawalnstituteofTechnology,1030,Shimo-Ogino，
Atsugi-shi,Kanagawa,243-02.．二国機械工業（株）（〒213神奈川県川崎市高津区久地843-5）：Nikuni-Kikai
KogyoCo.,843-5,Kuji,Takatsu-ku,Kawasaki-shi,Kanagawa,２１３
－２４９－
衝浄ピモ完ルによる釘、;W汝の転倒限界
1．まえがき 2.運動方程式
包装物輸送において、これまで輸送振動、
落下衝撃､回転衝撃など､主として大振動･大 衝撃に関する動力学的研究がなされ、緩衝包 装技術は進展してきた。しかし、輸送過程・
消費者環境において、個々の製品の倒れ、躍 り・衝突などの動力学的研究は地味で数が少 ないように思われる。
製品の中には瓶類、缶類のごとく脊の高い ものがあり、また、積み重ねたとき倒れ易す ぐなるものがある。加わる振動・衝撃が小さ くても製品は躍り、他と衝突し、転倒する場 合が見受けられる。転倒自体が直ちに製品の 品質を損うものではないが、容器を傷付けた り、場合によっては破損し安全性にかかわる ことが予想される。したがって、流通過程に おいても消費者環境においても、製品の安全 性を最低限確保するためには、少なくとも物 体の転倒はどういう場合に起るかを知ること と、その知見により転倒しにくい容器を設計 していくことが重要である。
本研究では、大局的な転倒特性を得るた め、まず製品及び床を剛体と考え、先に著者 らが導いた転倒近似方程式Ｕ２)のうちすべり・
躍りのない状態式に対し、計算機シミュレー ションにより、各種衝撃波形のモデルを印加 して物体の転倒限界を調べ、簡便な転倒限界 式を導びいた。併せて各種緩衝材による鋼球 の衝撃転勤実験と比較し検討した。
物体の転倒問題は、包装輸送面では今後の 容器設計、陳列・積み重ねなど、家庭では収 納、取り扱いなど、また安全面ではプロパン ガスボンベ、それらの転倒検知センサなど3M》
多くの分野にまたがる基本問題である。
水平方向の加速度を受けるＦｉｇ．１のような 転倒系を考える。同図の（a）と（b）は同一 方程式系であるが､以下Fig.１（a)すなわち、
倒立剛体の質量を、､重心高さをh､上面幅を 2a､底面幅を2ｄとし、水平方向の加速度ｕに より転倒する系について調べる。重心Ｏから 底面端Ｐまでの距離をr､重心を通る鉛直軸と OPとの傾き角を０、その静止状態での傾き角 を０．、重心回りの回転角をａ（すべり回転成 分を含む)、重心の相対速度をｖ、Ｐ点での剛 体のすべり速度をv`、抗力をＲ、摩擦力をＦ、
動摩擦係数を似とし、図の矢印の方向を正に とる。０点、Ｐ点での慣性モーメントをそれ ぞれL､ＩＤとする。Ｐ点において剛体の傾きが 静止状態から増加する方向に①をとる。重心 Ｏが床点Ｐと垂直になるときを転倒限界とす
る。
Ｒ
Ｖｙ
Ｆ
。ＩｒＴＩｂ
（a）container （b）Steelball Figllnvertedrigidbodies
運動方程式を簡単ｲﾋするため次の仮定を設 ける。
（１）Ｐ点で剛体の飛び跳ねはない
（２）運動は左右半面で対称である
－２５０－
日本包鍵学会誌ＶｂＬ３Ⅳ０．‘α994）
（３）０，００，９などの２乗オーダは省略できる
（４）摩擦は乾性摩擦則に従い、かつ,LA＜＜
００とする
（５）端点Ｐでの曲率半径は考えない
ここで、すべり速度はvb＝ｖ－ｒａであり、
vs≠Ｏで動摩擦、ｖｂ＝Ｏで静摩擦である。
０＝（汀／2）_β－の、ｔａｎβ＝ｈ／d、ｒ＝
､/~TIzT~５万である。また、の、０，００、似は
小さいとして、転倒方程式は換算時間領域T において以下のように表される2)。
。i鋪P洲｝① ど'+＝ｅ駐
ただし、添字の正負は０．に到達した直後及 び直前の値を表す。ｅは弾性変形､熱､音伝播 等による減衰を含んだ変軸速度係数で定義さ れら)、回転軸が他端に移ることによる速度変 化が主体をなす。時間尺度をＴ＝〃t､′を丁
に関する微分、①イーｇ／r、Ｑ＝し／①｡と置 いて、ど＝①／００、初期荷重定数ｂ＝１－’
／００，ｐ＝ｕｏ／goo、ｕ･を加速度振幅、ｊ (「）を最大１及び持続時間兀なる外力関数、
例えば､半正弦波ではしを加振振動数として、
‘（て）＝sｉｎ丁である。変位の最大ｌｆｌｍ
＝ｂのときを転倒限界とする。システムは振 動数比Ｑと転倒感度p／ｂで特徴付けられる。
なお、式展開は［付録］を参照。
ピックアップを台車に載せ、衝突面に各種形 状・厚さの発泡ウレタンフォーム（以下スポ ンジと略す)、発泡スチロール、エアキャヅ プ、ゴムシート、丸めたチリ紙及びそれらの 組み合わせによる緩衝材を置き、台車をゴム 紐で引っ張り衝突させる。鋼球の転がり上が り点を見ながら、加速度波形とそのピーク値 をオシロスコープで読み取りＦｉｇ．２を得た。
２８４０１（□）ロ．［①８ｍ己一・二ｍ①亘］Ｅロゼｇｏ
0５０１００１５０２００ Durationtime,Ｔ［ｍｓ］
Fig2Expe｢imentonshockove『turning
Fig.２から、衝撃加速度Ｇ(Ｇは重力加速度 を1単位とする）は､実時間領域での衝撃持続 時間Ｔが小さいときは緩衝材の材質、形状に より１Ｇ程度ばらつくが、Ｔが大きくなるにつ れて緩衝材に依存せず、ばらつきは小さくな っている。全体の傾向として、転倒限界が－
つの単調な曲線の回りにばらついているよう に見られるし、また、剛体の転倒限界が衝撃 持続時間又はその時間積分など、材質による 衝撃関数に依存しているようにも見られる。
材質的にはａはスポンジをちぎったものか 又はそれとエアキャヅプの重ね合わせ、ｂは スポンジ単体又はチリ紙を丸めたもの、ｃは エアキャップ単体、又は発泡スチロールとス ポンジの重ね合わせ、ｄはゴムシート又はそ 3.実験
Ｆｉｇ．１（b）において、鋼球、＝２８１９、そ の半径ｒ＝0.951ｃｍ、アルミ台の溝半径。＝
0.34ｃｍ、摩擦係数（鉄・アルミ）α＝0.0016）
とし、静止状態の傾き角０｡＝0365rad、ｂ＝
0.997,⑩｡＝32.1である。この装置と加速度
－２５１－
－８●
●●●．
」●
ｌか
」篭|:鏡
●●、ａ．
●溺薄gぞ完ルによるβym5V）敏の転倒腹深
め、第２章に得られているころがり.転倒方程 式!）を整備し、設計などに応用するため、よ り見通しのよい簡易転倒限界式を導くことと する。まず、換算時間領域の式（１）におい て、倒れ限界は、
ど＝ｂ、ｒ’＝0 て＝て、 (2)
ただし、実時間領域のＴは換算時間領域にお いてて、＝汀である。このときの式（１）を以 下のような範囲に分ける。すなわち、
(1)Ｑ＜＜１のとき：
式（1）は－ど±ｂ＝Ｐ⑩（て）となりど＝
ｂのオーダであるから、ｐはＯに近づく。
(2)Ｑ＜１でＱど"＝どの範囲：
このときはＰ＝ｂとなる。数値計算でもこ のような範囲がある。
(3)Ｑが１の近傍ないしそれ以上で十分大 きい範囲：
式（１）を直接積分し、
ｗｌｉ鰄十I罪±b川
一prm(r)…。（３）
ここに、式（３）の右辺の積分値、すなわちＰ の係数を衝撃面積ｓと定義する。左辺第１項 は零、したがって､左辺第２項は倒れ限界にお いてＱとｓの関数Ｃ（Ｑ,ｓ）となっていると考 えられる。そこで、
(a）shockwave
O5G／div,２０，s／div（exp・No.1）
symbol▼：ｓｔａｒｔａｎｄｓｔｏｐｏｆｉｍｐａｃｔ
(b）apparatus
l：polyurethanefoamcushion
２：SteelbaUandaccelerometerinthebox
３：triggerequipment４：guide
Fig3Shockwaveandapparatus
れと発泡スチロールの重ね合わせ、ｅは発泡 スチロール単体などである。
なお、Fig.３は衝撃値2.6G、持続時間Ｔ＝
54,sのときの加速度波形と緩衝材である。
その加速度波形は正弦波ｎ乗型のように見え るが、実際に衝突している時間はこれより２ 倍程度長い。
ps＝Ｃ（Ｑ，ｓ） (4)
と置く。上の範囲(1)、（2）は特定できない ので、（３）によって式（４）に従う簡易転倒限 界式を求める。
Ｆｉｇ．４に今回シミュレーションに用いた衝 撃波形のモデル、ＴａｂＩｅｌにそれらの衝撃面 4.数値シミュレーション
ここでは、剛体の転倒限界を数式化するた
－２５２－
日本包装学会誌
VbL3jVb． ４口994)
100 1２
０１３４５６７８９１１
5０
Ｃ、□旨冒吾目①⑪日ゴゼロシ。
Ｓ
2０
０５２１５０１
０
ｑ て２
Ｔ３ Ｔｍ＝汀
ｒｏ て１
shortｊｅｒｋｗｉｔｈｓｍａｎａｎｄｌｏｎｇｏｆｆｓｅｔ
ｆｏｒＮｏ､１ｔｏ７ａｎｄ３１ｔｏ３３
(a）
１
２
0．５１２５１０２０Non-dimensionalfrequency,Ｑ Fig.５ove｢turnth『eshoIdaccelerationscalculatedp
simulatedandexperimented so1idune：calculatedfromeq.(1)
●：egmerimentedand
▽：ｓｉｍｕｌａｔｅｄｂｙｅｑｓ（５）ａｎｄ（６）
Ｏ７ｚ
(b）largeimplusewithshortrisetimeｆｏｒＮｏＢｔｏｌｌ TabIelNormalizedshockmcdeI
Ｎｏ．ｓて】西ｑｎｃｏｍｍｅｎｔｓ
Fig.４ＭｏｄｅＩｓｏｆｎｏ｢maIizedshockacceleration刎幻呵れれれが００００汀兀兀
ノノノ１９７５３３３
７７７５４３２３３３
ｕ９７５３３３
７７７幻れれれれれれ兀兀兀兀れれ幻
６５４３２２２５６７唖鈍感型”趣”加珂０噸卿到樒
００００００１１１２３０００ ●●■ひ●●●■●●■●の■１２３４５６７８９ｍｎｍ犯鋼
0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.05
積sを示す。まず、その衝撃くり（て）を式（１）
に印加し、Runge-Kutta-Gill法で計算し た結果がFig.５である。図中の番号はＴａｂＩｅ ｌに対応している。なお、番号３１，３２，３３の 特性はそれぞれ番号５，６，７に近いので作図 を省略した。
次に、Fig.５からps、ｓ、Ｑの関係を取り出 したところFig.６となった。Ｆｉｇ．６から大ま かに、ｓ＜１では（Ｑ／s）の因子が支配的であ り、ｓ≧１ではその因子に（s／Ｑ）の因子が加 算されていることを見出した。そこで、ｓ＜１
に対しては第１近似．
0.2
sine4 sine2
●
sme
rectangular simiIarto5 similaｒｔｏ６ ＳｉｍｉＩａＴｔｏ７ ４
２ １
0.01 0.01 0.01
－２５３－
ロⅡ四○＋餅‐いトー
（函）⑰⑩Ｗ』一価堂ｒベ一叶溌凹肖壷 １．＋厚十十野牛 （⑤）
什醗脚診蝋卯（」ｌ①）Ｓ詮診（⑪ｌ屋）Ｓ詮丙 津ヰペグ小巻墹含ｅ②作］肌ｐい］Ｃ側Ｓご崗 蹄叩く、腸汽頓汎“ぜＩ乢刈〈電｝閉軸’・汁 什、穿索鐸四８コ晋一の円ｅ舟Ｊ一価転ぶ苦汁・ 卵彗⑩ｅ尚置挑管伊勺醗刺竿鰄ｒ談「一垣．、訂 刈、ミテｒ汁（『召）・ 鉢サゴ園最高ｅ醜男ごいグ温蔚Ｓ作向いｎ ｓⅡＪＳ璽帥乳啼蚊紳がｅ萱嵐雌剣針叡・州 昔①餅欝恥斗叡汁与丙一蜂“囲制醗遼も腓竺斗
昔鹿舜⑩衝う。Characteristicvalue9ps／Ｑ
】駒（四℃己『○涕・
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酉冒○回ロロ『◎〆。 「⑪丘一⑮酌。。①薫一、｜の．一切。｛四百℃『。×一『ゴ四｛⑩このＣ亡四『－．コ⑭（⑪）回。。（⑤）
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。識罫 。垣・胸Ｓ珊露寓叶乳（］）「ｅ蒲野洲一宮、片 。ベ翠鰄アコ②．、丙刺鼓ｒ汁（●巴）・糾騨 壷伸寡Ｓ富コトｒべ再診噌勿ⅢでＩ唖山Ｙ邑 議Ｓ噸卯］診凹ゾ②ｅ宙。」－乳Ｓ鐵圏。冑針が 、作堂卑己永・鞭Ｆ〈ｍ小作蝿加］ゾ凹診⑭Ｓ 燕博丙醸Ｊペゾ乢口鷺｝戟椰昔鋼苦叶「響⑩ 叶片ｊ作０鉢萱Ｊくう叡卉Ｊ汽柳削伽・糾露 颪詞一℃・吋汰年副一畔鋪璽茸Ｓ茸圃も蕊憾鴬嶺Ｓ 憾う娑蕪制剣艸斡（さくゾコロ・切号⑩弄珍針靱 繭珂州彗⑩Ｓ鰯ラ苞酬騨習昔劉印昔州苦Ｓ爵 露丙宍Ｊべ醗醗茸Ｓ淵鬮萱蕪冊剣脚酬貯Ｊ丙 衙Ｊ汁・淵⑩号ご蝋蕊茸興蕊艤諭黙覇亜目費 巾〈働戸醗耀団認め費升叫〈歓びｄ繍璽醗耀 言偽岡已ごぐう腓ヴ汁与“図Ｓ所司聖牟行乢口 憧｝腓営が。 「百・②苧⑩升頚潴悶通う汁鐡繕蕪甑覇亜目 Ⅱ『ｇ、這醗ＨＰ〈翻戦冒空、昇饗議轍燗斗 が。ｒザＦ“『Ｓ割轡雪ご粥鰍哉汁脈ラトｒ ペゲゾ郡昔苧⑩学識腓昔叡ｐ什菖冊眺営汁ｂ ｅ議興刀垣・ｍｅ院彗苧ｅ逹勿Ⅲマーピ山疋匿 議宥黙劔持ｓ籔菫制ｒくち碑ご調剣Ｓ舗璽酎 耀崗再慧詳凹需ｄ断叡・ 爵帥言で汁齢軍卦鮪乳ごぶ／牢掴藻珀勿憎 マーピ山里帆胖戸州Ｓ餅室叶鮪乳一ｍｕへ超 テＦＪＪ伊診Ｍ①丙醸帥一氏ｒ汁ⅡＯＳ鍬璽扇 瓠乳餅塘う汁・醗耀回蕗費竿職制眺伽輌恥汽 稗“ｎｓ尚壺挑汽胖戸豐寡ｓ齢窒扇瓠啼苔 小、作戦昌藷ゾサＪ診用昨鶴啼江傍寺蔵鰡理 萱ヨ謡甸猷が佇畑苦含が。 回蠅綱
蕊艤繍璽扇細僻蠅鰯佇汁睦即・凹鮒書Ｓ蹄
日本包装学会霧Vbk3jVu‘α994）
計に資するため、衝撃に対し剛体の転倒限界 を与えるシミュレーションを行い、かつ、数 種の緩衝材による鋼球の衝撃転勤実験を行
い、以下の結論を得た。
（１）転倒方程式を数値解析し、衝撃面積≧
1及びく１の場合に分けて簡易転倒限界式 を導いた。それらは無次元化振動数Ｑの広 範囲にわたって、元の微分方程式に対しよ
い近似を与える。
（２）鋼球の転勤装置と各種緩衝材による衝 撃実験において、その衝撃転倒限界値の特 性は、シミュレーションによる簡易転倒限 界式の特性傾向に合致した。よって、衝撃 持続時間・衝撃面i積が分かれば、簡易転fi3}
限界式から転倒限界が推定できる。
● ●
０＋=言ｅ８－ ａｔＯ＝８０
(a3）添字の正負は０．に到達した直後及び直前 の値を表す。仮定の(4)、（３）により式 (al）は
ｍＺｄ＝－ｍﾕｭ（cosO＋Llsme）
－ｍｇ（sinO-lucosO）（a4）
ここに｡と０の関係は
Ｍ＋０１＝００，ｄｏ＞０（a5）
であるから、０を①に置き換え、ｅ＞Ｏで ｓｉｎＯ＝ｓiｎ（００－の－の
＋Jucos（０．－．－匹）
cos8-cos（８０－⑦－匹）
一旦Ｓｍ（Ｏｏ－ｄ－Ｊｕ）
ｊ６ａく
、－－トー』
の近似を与える。本文のパラメータにより 次の近似方程式
おわりに
Ｑ２。.＋Sｍ（０ｏ－ｄ－ｊＵ）＝
一丁CＯＳ（０．－．－回）（a7） ｕ”
となる。さらに本文の無次元化と、仮定 (2)を用いて式（１）を得る。
本論では剛体の転倒限界の内すべり・躍り のない場合に限定したが、ほかにも、容器底 形状、積み重ね、内容物の揺れ、台の材質な ど転倒に関係する因子は多いと思われる。今 後の研究の発展が期待される。
＜引用文献＞
１）西原主計、精密機械、４４(2)，１８５（1978）
２）西原主計、奥田欲、和田充雄、渡辺健朗、製品 科学研究所報告、第87号、５１（1979）
３）西原主計、渡辺健朗、奥田欲、和田充雄、製品 科学研究所報告、第80号、１（1977）
４）西原主計､精密工学会誌、５９(2),３２３（1993）
５）木村隼、飯田汲事、地震、６(3)，１２５（1934）
６）日本機械学会、“機械工学便覧"、第５章、ｐ３－
３５（1968）
（原稿受付1994年３月１６日）
（審査受理1994年８月１０日）
[付録］
Ｆｉｇ．１の剛体の重心Ｏの運動方程式は、
:二二潟期二:鴇鵠｝
（aｎ
重心０回りの回転運動方程式は、
●●
