八ｙＸ１β１丁

(1)

鹿児島経済論集第60巻第2号(2019年9月） 153

DirichletのL関数の

Landau‑Page‑Siegel‑龍沢零点 Landau‑Page‑Siegel‑｢Ihtuzawa'sZeros

of

Dirichlet'sL‑Rlnctions

中嶋眞澄

MasumiNAKAJIMA

Depa花me7ztq/Economics lizte7 α"o〃αIUnifJems"qjK(zgoshim(z

Kqgos/jima891‑0197jJAPAjV e‑mail:[email protected],jp

概要

Abstract

WestudyhereexceptionalrealzerosofDirichlet'sLRfilnctions Keywords;thezerosofDirichlet'sLfUnctions.

MathematicsSubjectClassification2010; 11M06,11M26

L(s,x),(s="+it)をDirichlet指標x(")付きのDirichletのL関数とする。又,β＝β＋でL(s,x)の非自明な零点non‑trivialzeroを表わすことにする。又. r(Mﾉ)はEulerのgamma関数である。

法mod9≧2のDirichlet指標characterX(n) :N→{zEcl lzl=1}を

｜沖i胤守

x(")=

(2)

l54鹿児島経済論集第60巻第2号(2019年9月）

と定義し，且つ完全乗法的：

x(nm)=x(7z)x(m)fbrv71,mEN.

とする。これをX(")mod9又はXmod9と表わす。

又．

"｡("'‑{;I糊重り

なるXo(n)modqを単位指標又は，主指標principalcharacterと云って法modqの指標群の中で単位元の役割をする。叉はXの逆元である。

X(n)mod9は周期9を持つが．その最小周期9*をXmod9の導手con‐

ductorと云う。当然ながら9｡￨9である。9*==9のときXmod9を原始指標primitivecharacterと云ってXをX、と記す。

二つの指標X1(")mod91,X2(")mod92から乗法により

X(n) :=X,(")X2(")mod{91,92}({91,92}は91,92の最小公倍数leastcom‑

monmultiple)が作られるが，このことをX(wD)mod{9192}は X1(")mod91,X2(iz)mod92から生成induceされたと云う。

次の基本的性質がある：

各法mod9に対して甲(9)個の相異なる指標があり，次を満たす：

̲Lヱヌ,("M"'‑{;; ￨:"

"(9),'ff,9

""z｡''‑{"(")￨n.d:I IM=…d9)<P(9)xfi, ^0, ^{(m姜冗mod9)} ここに？(9)はEulerの関数である。

更にXmod9に対して，その導手がq掌である場合，原始指標X｡mod9｡

が存在して

X=XoX*withXomod9

である。このときX*をxの原始指標と云う。

Xomod9に対して

L(｡｡x･'‑:(｡)g('‑;),

このときL(s,xO)の<(s)以外の零点は

．=2漏倫(nEz,pl9)で｡==0の直線上に並緩。

ここにく(s)はRiemannのZeta関数である。

(3)

中嶋眞澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel‑龍沢零点 155

X≠Xomod9に対して

LM=LMM!('‑LP)

=L(s'x*)pl9,黒馴鯲('‑"),

このときL(s,x)のL(s,x*)以外の零点は

s‑'A+2'rifi("・(p)=pi8',nEZ,pl9,notpl9｡)で

やはりグー0の直線上に並ぶ。

L(s,x)はo>0で正則,L(1,x)≠0．

又, x(n)ERfbrvnENであるときXを実指標realcharacter,そうでないときXを複素指標complexcharacterと呼ぶ。

次の定理を証明する：

主定理1 meZを一つ固定し,q"=m+;とする。また，以下のびも次の条件を満たすものを一つ固定6xedする。 ;<o<', ">'は十

分大きい自然数とする。又,C̲,<t<qとする。

単位指標でない実原始指標泥αI泥07D‑prj7zc αIα冗dp"m""eXmod9≧2 を一つ固定して, L(s,x)の非自明な零点nO7z‑t7ffjjαﾉzem:po="+"o ('yo=0も含めるmcl"dj"9)を，

pb=max{@>;',‑6+",L(,,x)=0:Q,<7<cb}

で定義する。従って，領域{ ＝伽十"￨4<u,c‑,<"<q}は非零領域ze『℃伽e7E9io伽となる。

β+, β‑,β+〉;,β‑〉;,γ+,γ‑,Ur,町,Ub, IG+, 1/r>0

を次で定義する。

ＩＩＴ拘くく和７

００

一一

一一ｊｊＸＸｐβ／ＩＬＬ

１−２１−２

ンン

︒〃︒〃

γγ１ＪＯ＋０◆打ｑｃの写一一β一βｊ刈二１−−拘︐ｐＨβ一十Ｉ一ｌいγいγ伽仏川必叫１２１＋・皿−１＋７ｎ７ｎ和６ｍ巫四■の〃砂十一一．＋一一．刊州

Ｉ＋＋一一・１ハβγハβ７ｍ一一一一一一

十吋ββ

(4)

156鹿児島経済論集第60巻第2号(2019年9月）

町:‑""{"4‑,‑):c‑,}

Ub :=;min{IUr‑*T‑,･'}

Ir:= 'yo+Ub I/Ir :=′γ0‑Ub

p0の左側:Sp='yo,L(p,x)=0なる零点βを右から順番に p, :=6,+j'γ0,p2 :=62+i'yo, ･･･

(;〈 <62<6,</1),L(/'j,x)=0､spi='γ0, j=1,2,…）

とする(p,,"2,･･･が存在しない場合もある。このときはβ!=;とする。

)。

注{uj=u+"￨ ;<",町≦U≦〔ﾉr, t'≠γ0}は非零領域ze,り伽e

7 0〃である。

o, s, ﾉ' :=zh(｡一助), t,Y>1､ 6>1を

｛,鑪伽鐺, ＝いル｝

0＜グーβb<mill

′γ0−ﾉ'≦t≦'γ0＋h

（これより，

1 1 1 1

一一ｊｐ

Ｓ

く一

＜

d一助

IT千斎(｡‑Bb) (ぴ一助)2+(t一'γ0)2 一

。‑,｡=("‑4)手ﾎ(t‑'yo)=(o‑")(1十dO(圭)) ),

，黒,麦， (,誤伽) /o'･Vp= γ

（βはp0以外のL(s,x)の非自明な零点non‑trivialzero) となるように選ぶ(これは明らかに可能である。）と，

{'宰宇,*)｝

1

̲<Inax

ぴ一β0−

となる。

従って．この結論は定理の仮定(*)と矛盾し・伽は，もはやL(s,x)の非自明な零点non‑trivialzeroではあり得ない。

(5)

中嶋興澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel‑龍沢零点 157

主定理2X≠Xoを実指標rcalcharacterとするとき, L(s,x)の実例外零点realexceptiollalzeros即ちLandau‑Page‑Siegel‑龍沢Tatllzawa零点 zerosは存在しない。

主定理1を証明するには次の幾つかの補題を必要とする。

補題1 (H61derの不等式の系）

">1,">0, IA,A+"1で可積分な関数/(t)に対して，

部卿川""≦ぱ卿'川璽"

削兼淵川 '""≦俶卿Ⅲ"l '""

が成立する。

証明

(1/2")＋(1/")＝1となる〃をえらぶ。H61derの不等式より

甜樵"￨/(t)￨!'鯉dt

≦邪手繍'川州'}{'"{r"'""}@"

〃w赤仙" {〃'川"} 順"卿'〃

‐{削綱'川"} '

を得る。後半については同様にして

削報'刈り"伽

≦細柳川 '…"}'''"{だ報'腿"}

〃仙赤伽{"卿川鋤}'"""'"

1＝＝

‐{部卿川 } '

□

(6)

補題2">1,m=0,1,2,…とする。

m=0のとき

=+,+ ¹ ､

施＝l犯ぴ ^ぴ−1 m=1,2,…のとき

薑喫近く"!(古)蠅'{古手:(旱)"｝

<m!(*)'峠! (asm→oo)

が成立する。

証明先ずm=1,2,…のときを考える。

/(zﾉ) :=y‑｡(logl/)mとおくと/'(l/)="‑｡‑'(logZﾉ)m‑'{m−ぴlog"}であるから，ノ'(抑)＝0となるのは, I/O=exp(f)のときのみである。従って /(y)の増減を考えると

量(1.¥z= !､!"fz等(l･課lg+=('o¥)"

加＝，｡ fZ no "=imi+[ "｡

〈↓"'山睾迦"令(1.課)"手塩弩:哩側

〈1鍾些娑匹"手(1.課)

＝"!(古)職峠'$M)"

≦"!(古)'峠 ÷(≦締,。

＝"!(志)『 '半｜+(器)

≦ !(古)耐!+"!:(:)

＝"!(古)"{六十:(早)剛｝

但し。 ltlは実数tの整数部分を表わす。又，

(警)"<響

(7)

中嶋興澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel‑随沢零点 159

を使った。

m==0のときは

呈上くⅢ+1.．差"=[十一＝1犯・ ^o−1¹ となり，補題は証明された。□

補題3(Montgomery‑Vaughanの定理, ￨301の2nded.) α EC,AER,H>0,Y>1,o>;とする。このとき

r､"'三職獅‑‑"Z'｡,'‑o(Z'"") 僻'蚤""‑.‑',''d#="Z'""'2" '"+o(yZ'｡"'," z.)

が成立する。ここに，最初の式tﾉle/irstequα"0 αbofjeに於ける

00 0．

Zα池"‑"‑",EI""￨2"'‑2｡

、＝1 抑＝1

は収束すると仮定し,Oは絶対定数を持つBachmann‑Landauのラージ・

オウ記号I211である。

補題4 (li, ci=ci(")EC, /i(!ﾉ)→0as〃→", (j=0,1,…,n)とする。又, laol>lail (i=1,2,…,n) , IQ￨'〃→1(j=0,1,2,…,泥)as〃→

OO7 CO≠0とする。このとき

、

"IEci(")('+A("))"｡『￨'/I'=jgglail=￨Q01_i＝0

が成立する。

証明Inaxi=1,2,…,,, ￨Qi/(mol=1/r(r>1)とおく。

誉鵲→】｡ '蝋' ''→】",→｡｡,い，2,‑,職）

また，況が有限611iteであるので,VE>0に対してヨ,ﾉbが存在して，

c}/" '+/i(")

<1+E (j=1,2,…,n)/orv">"o

−ウ

c;/" '+/b(")

(8)

となるが，ここでfを十分小さく選び

1+E 1

−＝:万くl^r

とする。

詑

IEci(")('+JI("))"α:1'/"

i＝0

‐ '"' "'",''｣寺川' ￨'"(HS)"(Z)"￨｣"

= ￨(UI'/"IQolll十M￨"羊菫｡((L)"

＝ '"''"'｡｡''｣+ﾊﾙ)' ￨'+o(*)￨￨"

= ￨"l'/"￨Qolll≠川￨{!≠｡(*)}蝉引

→ ￨｡01 (qs〃→oo) となって補題は証明された。□

補題5 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 1111, I121, {131, {141, {211, 1231, 1271, 1311

'･gn"+｣'=､={'･gi｣‑awMF;J}'^m＝1

f(s+')=:"(s+')='(s)+;

下(s＋')＝: (s＋')＝妙(s)＋1^行

=‑h｡+={z4−， ̲(̲")+向}

=!。割｡川‑壺万牛o(dF)

Xmod9の導手を9*,Xの原始指標をX*mod9索として

"=;(､'}, '={;:":i,x"単蝿

d:=#{";I)rime l l'￨9,x*(p)=1}と定義すると

， ( ̲ﾘ鞭･浦写(1−;) 高，s側 L(s,x)=

(1) (2)

(3)

(9)

中嶋眞澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel‑髄沢零点 161

これを対数微分して

(4! ‑=M=

１＋

八ｙＸ１β

１丁

■ の口

ー＋一一と１｜部十β癖十︑１ノｐｌｌｐハβなｎ．剖吻な１−ｐ＋︑１１ノ〃！＋︑１１ノ

Ｘるら

Ｅｐｌｌｐｊの１−βＩ１＋︑ＩＩＪノ翼Ｊ１画

でＳ

部

− ２

β・岬０β

佶傭︑︲〃〃１１８ノーＩ︑１／１１︑一十１−始１

ｌ

−

Ｚｐｓ／１１︑

Ｅｐ㎡／卜いβまＦｌｒ︑−ノｌＥｐ郷１坊Ｚ︐︑ｌノｌＥｐ昨きＩ

磁一〃

部−２苅一２−〃Ｉとαｐｐ＋２血２一で１１の︑１１１ノ＋一︑ｊｙｌ−ｓ｜︑−ノ標ｊｙ１標／Ｉ︑帥指ｓ〃ノーＩ︑ｌｕ勺１″α１動β池指２立／１１︑ｌＦ−ｒｌ＋＋１〃ｌＦｌｒｌ毛と卜ｕ卿始１２ｓｌｌ２卜測Ｅ似る１−２Ｓ＋ン鵬原十稚で＋す

＋＋＋

の卿︑が９＊のｉＪｌＢＢＢＢｆＸるα︑叫分二十十２苅一２〃一微功︑ｊｒｗ八割６両１砕州恥恥︑−ｊ︑４〃１詐恥塗循卜︑α１勤〆州ｂ二一伽沁卜Ⅲ両Ⅱ監卜ｑ０ｌｌＦｌｒⅡ＋イ掴〃︒〃姉６Ｘ｜｜ハノ勺１２Ｓ＋＋ｓ￥ナ６Ｘ＋問亘︲誹瞭年細嶋嶋烈駕争召巷誹蛎堂州一一一一一Ｍ弧特一一一一一一一一一一こｉ｜

(5)

(10)

１＋

しｊ１β

１＋Ｓ〃ノー︑︐刑ＥｐＳ一Ｉ１＋

〃１１１＋α

〃１６１勺−〃６０

ワ一

ｓＩＩ＋〃いｄ０ａ１＋誹函Ｅ国保６

一一

冒再T+

:＝＝ I■■■■

(s‑1)"+】

○○ 1 1

‑Zi(s‑(‑2#‑｡))',"‑¥(s‑;),"

whereB:=B(X),呪β>0, p=p(x)=6+"=6(x)+"(x), and')OistheEulerconstant.

特にX=X*,即ちxが原始指標のときはd=0となるので (‑1)I'+'L'

〃F(s,x｡)(")=

（か(.̲;)峠r)E(‑¥￨*:(¥)‑¥(｡̲:,"¹

＝6

（か( ̲;)吟 ) ,計:,…

＝6

OC 1 1

‑Z(s‑(‑2h‑"))"f￨‑¥(s‑b)"!

（赤寺(.̲;)峠）

＝6

一言( ̲(̲差̲ ),峠,‑零(｡̲:)…

更にX*≠Xo,即ちx.が単位指標でない原始指標ならば加えて6＝0となるので

(‑1)!'+'L'

/=(s,x")(")=

;(‑芋'器(半)‑亭(｡̲;,職

＝＝

1

１＋

１〃＋１Ｊし−ｐｊｌｐ

ＳｉにＥｐＥｐ−

１＋１〃＋Ⅶ″

〃Ｑｊｊ

α一勺１ｎ２−勺１仰

１２１＋

〃１１ノｆＩ１ａＳＩ＋

｜に壷罫函督

一一一一

(11)

（〃＝1,2,…）

（6）関数等式/tmction(zIequa伽、

‑=('‑｡,x)､｡g¥‑;"';(｡‑｡)+:(')十号剛^L′

但し， 70はEulerの定数である。

補題6( I211補題6.9系の一般化)x≠Xomod9 :p"m就加e,o>0, s≠β,‑(2n+Q) (n=0,1,2,…)として，

(‑1)m'+'L'L̲､(',, x‑､ 1

〃F3(｡:x)")=‑,LR￨(s̲;)"!+O(log29(Ii￨+2))+

"{(毒弄)畷｝

=‑,fR,F圭7両手O(log29(ltl+2))+

+o{#}

（〃＝0,1,2,…）

証明補題5,(5)より (‑1)I'+'L'

〃1 万(',x)"‑‑Z(,､̲2:̲.M‑¥(｡̲;,"

上記第1項は， o＞0であるから, ￨s‑(‑2n−α)￨‑"‑1は兜について単調

減少である。従って

Z,,､̲2:̲｡),峠r<A.｡ ,s+2g｡,"!¹

＝;A・｡,｡+鼻,,鯵帯 =;4．｡((…),寺2,(…)+,,+1，．〃

＝;￨Iご．' (露,̲(…:…￨2)("+')/2+

・願., (鱈,̲(…),寺,…,鰯艸璽｝^。〃

〈訓1瞳.' (,…仙叫,,手に仙蜑,順l^dz

((O+Q)2+2I/(o+Q)+y2+t2)("+1)/2

(12)

"･I竿髻>(￨#￨+M)b鼠｡,竿髻

弓マ⑦IFI#￨

･蜜

41･g=1号雷のc＝⑦I＜'1'？【ラ'1￨言1蛾。平c･叫畢』露騨⑦認 1．コ

ン夢一一一ン一一一一醤国都胃揮冨函置昌喜謝芝７江ｕ秘斌十ｒ斗宝︑ｊｌｌ１１１

他嘩亘｜詐宝斗宝脾⑲叩︐ｂ毎ｃ１ＪシＬＦＤ＃＋ン７︒祉Ｑｐ１１Ｏｌ０八１１１Ｊノ八１１１Ｊノヱｐｇｌ

ｌＩ恥Ｉ︐非＃４１十十抑慨心ｆ１１︲んＩＨＭ＋寺−４媚Ｚ︐︐

斗函

十叶叫十ｆｌ耐ＴＬｕ毒し十ｒｌｌご一−皿マー１Ｊ奉宝価ｓｌＯＩ︹万十ＪＪ函宝ン︒ｌ与心７ｚｕン４ン付ｂ十丁＆７１１

一重

１

１Ｉ

１７＋／Ｊｌｌｌ︑１２

ＬＩ

珂十Ｉ

：？‑F､叫暹畢甑乙窮⑦言

!*"Ig‑'' ￨r'!+型二皇l￨z'' "‑₁ ₁ ÷fzai₁

：？41．9言1畦⑦cZ孝呼。手Iユ､ﾍ･言1通Z影

0<・･ﾉ竿ﾗ（識半角参

If+W‑II"f If+鰐‑[ '芋｡'f

￨寧等{(…)‑'，寺｡'}職"'…'^I l:

(g6"610Z)"Z窮鼎09鱒訴騨製勢智噺瑚し91

(13)

‐ 1.99二赤噌鶚

<log9<log9(ltl+2)<log29(ltl+2).

￨tl>1のとき

薑赤'og9("+''')<g!FET1.92艸焉,Ftr'og2'"<

<log291tl+1･g2'Zi,赤十Z皿,ai,""+

<1o9291tl÷'･g29庶鼻牛庶鶚李

=,｡9291tl+"¥+W+=+F

"ltl〃〃ltl〃〃21tl"

<log29(￨tl+2) (as〃→oo).

ltl≦1とltl>1,いずれの場合も

,!R￨"峠！〈茎志log9(卿幸￨tl)

<log29(ltl+2) (as〃→oo).

以上より

(−1)し+1L' ^○○ ¹ ¹

〃f(s'x)("‑‑a(s‑(‑2h‑｡))" ｣‑¥(:5"

‑o(#)‑,LRFF¹ ‑,ZR｣ I$‑h"￨¹

1 ‑,'ZRFi峠r+o(#)¹

=‑,,R!F=W峠

=‑,'R!Fh峠T+O(l.g29(￨州十o(#)1

となり，補題は証明された。□

補題7 1111

ﾉv(T,x) :=M{"=6+j'y lL(p,x)=L(6+i'y,x)=0, 0≦β<1, 0<

7≦T}とすると，

N(T,x)一N(T‑1,X)<c'(X)log9(T+2),

(14)

166鹿児島経済論集第"巻第2号(2019年9月）

ノV(T,x)−ﾉV(T‑2,X)<c'(X)log9(T+2).

d(x)はxに依存する定数const(mtdepend"90"Xである。

補題8m=6,7,…，〃＝0,1,2,…に対して,m‑1<Zn≦mなるZn が存在して

尚￨:( 噸'{鋤'零伽1．菖,伽州…

<{c(X)log9(m+2)+2}"+2

/oTぴ≧−2m‑1

ここでc(x)はXに依存する定数constantdependingo"X, を満たす。

証明虚軸方向の区間(i(m‑1), imlを，〔ﾉ(X)log9(Zn+2)+1等分すると．補題7により, c'(X)log9(TW"+2)+1個に分割された小区間には．

L(s,x)の零点Zeroを含まないものが少なくとも1個ある。この小区間の虚軸方向の2等分点をiZnとして，補題6を使うと

(‑1)1'+'L'

;Ff(｡+"",x)(")

1

〈 ,属,≦ '(｡‑β)+帆 −1),,,制+O(log9(Z"+2))

1

〈 ,鱒三,≦ハーγFT+O(log9(Z"+2))

〈1鵡三,≦￨{J(d(x),｡g9(Z"+2)+,)‑'r‑'+O(!.g9(Z,,+2))

<Z{2cl(X)log9個恥+2)+2}"+'+O(log9(Z,&+2))

｜弧施−7￨≦1

<c'(X)log9(TW"+2){2cﾉ(X)log9(Tht+2)+2}"+'+O(log9(Z,､2))

<{c(X)log9(Z"+2)+2}"+2 fijit/lc(X) :=2c'(X)

<{c(X)log9(m+2)+2}I'+2/orぴ≧−2m‑1 ((ms〃→oo)

となり補題は証明された。□

(15)

補題9 sをL(s,x)の正則点として． sに一番近いL(s,x)の点は1つとして。それをp0とする。そして￨s‑pol<Is‑(‑27 0,1,2,…), ￨s一β01<o≦￨sl, ￨s‑伽￨<1とする。このとき

(‑1)"+'L',̲̲､(") 1+o(1)

;fr(s,x)("=‑_{(s−β0)l'+!}

証明補題6, ls一βol<oより

., Sに一番近いL(s,x)の非自明な零そして￨s‑pol<Is‑(‑2施一α)￨ (n=

｜判１Ｊしし︑ＩＪＭノーｐＸ一ｓＳＩＩＵｌＬ型紅Ｚ制

しｔ︑ＢＨＵ〃〃■■■ＶｅＯ■■８勺１〃｜卜一一

+O(log29(ltl+2))+

+o{#}

1 ⁺⁰｛麦}‐

一一一

(s一β0)!'+!

1

−"美品,≦!(感‑〃 +O(log29(' '十2)）

｡TI｡̲;.N｡‑=)峠L}‑¹

＝＝

( ‑〃 ,;,ふ,薑晨三鶚L+O(,｡g29(,t,ﾅ2))¹

（｡̲")峠！寺( ̲:.)蹄1°(1)‐1 1

(蕊‑,.1峠'",蓋晶,≦,o(1)+O(log29(ltl+2))

1+o(1)

一一

q■■■■

(s−p0)''+'

(｡̲:.)峠ro(l･gqt)+O(log29(Itl+2))

1+o(1)

（｡̲")卿 ( ̲;.)峠To(log9t)+

w｡̲:.,鰯帯』o((s‑,｡)!'+'1･g29(I'￨+2))

1+o(1)

一

一一

(s−β0)''+]

(｡̲;"割｡(log90＋ ¹ o(log29(ltl+2))

一

(s一伽)"+】

(16)

1+o(log29(Itl+2))

一

一一

(s−β0)"+]

1+o(1)

(s‑po)"+】 as〃→ooD

＝＝−

補題10 {11, I61, 191, 1111, 1131, 1211, 1271 c>0,Y>0に対して

夫臓峯"‑{'･爵K隅)≦ ）

補題11( I241の改変）

c>0,X,Y>1に対して

("≦x"）

(x"≦ ≦(xY)") ((XY)"≦7') 1 ，

（筈)≦1，

"V'og

O ，

L/c+'"x:(X"‑')d"=ル":¥"

27Ti

証明補題10を使えば良い。□

補題12

実数上有界な台IB,Clを持つ複素数値関数川)=ハ(U)+fjh(U), (/,(U) :=

町(ひ),九(,ﾉ) :=s/(U))のFburier変換：

鷹/(u)exp("お)伽…(α）

は〃の実解析的関数realanalyticfUnctionである。更に〃をz="+il/

に拡張した

鷹/(0)exp(it)z)(I'ノ …(6) F(z) :=

はZ="+〃の複素解析的関数complexanalyticfUnctionである。

注この補題は、ある意味，弱い意味でPaley‑Wienerの定理の逆となっ

ている。

証明複素解析的ならば実解析的であるから，後者を証明すれば良い。

F(z)=F("+iy)=FI(z)+iFh(z)=FI("+fy)+"("+fy)

(17)

中嶋眞澄:Dirichl､のL関数のLandau‑Page‑Siegel龍沢零点 169

と置いて実数値関数届(z),Fh(z)がCauchy‑Riemannの方程式を満たし

ていることを以下に示す。

鷹帥)exp("z)d"=だ川exp(i"z)d",

ノ(")exp("z)={/,(")+i/､0)}exp("("+")1=

＝{ハ(")+ij､u)}e‑u"{cos("")+isin("")}

={/,('ﾉ)cos(りお)−ん(")sin(")}e‑"y+i{ハ(")sin("")+j､U)cos(")}e ""

であり，この場合積分と偏微分の交換が可能であることから

墾=‑瘤,{ﾊ(ij)sin("")+/b(")cos(")}e "d",^ar 等=造｡{ﾊ(U)c･患("")‑/､t,)sin("")}e‑""d", 処=‑暦 {ﾊ(tj)cos(u")‑/h(u)sin(州e t'"dU,alノ

坐=‑踵妙{ﾊ(")sin("")+jb(")cos(")}e "yd"al/

となり(勿論これらの積分が存在する場合を考えている)，これより

an 6通 a" ay' aFi a&

a〃 ^a砥

が従う。これはCauchy‑Riemannの方程式である。□

主定理1の証明

以降, o(.),O(.),<,〜等の記号は〃→+oOのときを考えている。

s=o+jt, ;<o<',"EN, '<",X,Y>', 6>'として次の積分

を考える：

4=壷1鷲(一等¥(｡+;,x)"x¥")d"w21OgY

（;<・<1，"= +＃")

(18)

ここで後にx‑ ､w)<=x, 6>! {29}とする｡6は後に決め

る。

補題11を使うと，この積分Ii,は

ん=鐺ﾊ(")x(¥('og")"完A鷲x鶚ﾃllF篭γ 尚"臺罵)""吹"･訓．

1＝＝ α7

｜歳崎I I Ⅷ

ﾉle7．eα ：＝

･･･ (1)

となる。ここで, A(n)はvonMangoldt関数即ち．

ハ(")‑{1.g:l蹴潤"職"…ands…ENのとき (‑')"":(s,x)("'‑二A(")x(¥('og"1" (・>1)

である。

ここで積分路を次のL=L1+L2+Z,3+L4+L5に移す。積分路Lは次の通りである:A>1として

１１卜ｔ１トリーり咋刈い︑

〃ｇ■■︑︑●ゆり︸しグ〃ロ・■Ⅱ凪︑︑１日１１胡乢ル＋・・極比一十Ａ＋＋

恥州朏斗伽伽

識十一町吋呼鍵・呼州側側捌十一十ＡＡ〃１〃″一一ＬＩＩｌＩｌｌｌ一一一一一一一一一一一一１２３４５ＬＬＬＬＬＬ

留数定理により，

ﾙｰ鱈{上芋号(s+:,x)(")響歸}+

(19)

＋余A…半""・噌里号(汁:,x)("z鵲ﾃlldu,

(‑1)"+'L'

〃ff(s,x)(")+

二＝三

÷夫A,"……"(‑M"¥(｡寺:,x)(")X鵲ﾃild"

（芸器,≠

＊制… …男里号(s+:,x)(")K鵲ﾃlldu,

…(2)

を得る｡ここで,補題9を使った｡また, 〃＞'であるので?(s+:)の

特異点uノー〃(β一s)は況"(β一s)<‑Aとなり．積分路z'の定義により積分路Lの右側に特異点uノー〃(β−s)は存在しない。uノー〃(4−s)=

"(4−ぴ)一j"t, 0<4<1については一"t<"(町一t)より積分路L2 の下,積分路L1の左にある。

次に(2)の5つの積分を上から評価する。

積分路Ll上では

瓢,鵯里:( ﾅ ,x)(")X鵜ﾃlldi"

章j室崎 '米(…4､

ノー１

１−２６３

ぴ２ｆｌＵ２ｐ

Ｕｅ

加一叫蜘一叫四

Ｘ群吻却Ｙ一ぴｄ″勺１／ｊ１１︑四冊︽１Ｆ③ｙ〃ｊ沌

諏一ｏ質︶１＋︑ｕｌｊノ︾︑１１ノ＋２禁筈ｅｅｙ鴫卸Ⅵ〃１．１ハリ／１１︑＋勺１−ぴ２くＡ皿加叩い︑ｈｌｌＪノレレ函Ｅ嘗Ｚ控糾糾咄〃︐｜・１Ｊ

／ｗベ湿一ぴ

し〃池ｒノし〃ｊｌｊｙ１ｙ筈ｙ狐刀極試〃ＸＸ〃ＸｉＸＩ１１くくく一一一一くく

(3)

(20)

となる。ここで補題2を使った。

積分路L5上でも同様に _◎

乱｡(一等 :( ÷:,x)(")z雑ﾃlldu,

<(¥)‑(;",,(s=F')"‑(''

積分路L2上では

凱・(一等1号(、手芸x)(")X鵲ﾃﾘd"

奪志蝋冤‑ '尚'号(…'9､ir‑"#

×,"鰐 ),,

〈志1洲:(･手;手iい)い'￨ ,"(鰐Ⅱ｡

奪鶚ﾙｰ川;雑鱗

(Ig;S)'

〈響仏+崎か <(筈)＝恥 ^．(4)

ここでは[ﾉｩ､の定義を使った。積分路L4上でも同様に

圭A,(一等 :( 十:'x)("x"(y蝉 ')f"2109Y

("a)"

（y学'

〈(筈)"＝ …(4'

次に残りの積分路L3上の積分について考える。B>1として積分路L3 を3つ：

L3,, :=1‑A+i"(町一t),‑A‑iB}, L3,2 :=I‑A‑iB,‑A+iBI, L3,3:=!‑A+jB,‑A+i"(叩一t)1,

0<;‑…n(:)<｡"（ 4恥)…霞※

(21)

そのAの値に対してBを定に分けて評価するcAの値は後に決めるが，そのAの値に対してB;

める。

さて

（ ‑,,十二芋型)峠

を考える。

仮定しているS−p0=(。−βb)('+io("))を使い〃>1を考えると

‐竿") '十

{(綴‑,.＋｝

‐竿"}鯵等！

={(｡‑6b)+o(;5)+

{(｡‑6b)+‑A;j'｝峠

〜

〃＋1

（崎鵠）

＝(グー比)"+

１１＋

〃１く１−峠１１＄１Ｊ

渕坐

ｌｒｊｌｌく一

Ｕは

exp(号等）

=(1+｡('')｡､"(‑'F:FM)

であり '1ﾉ￨≧Bのときは，

｜叶宏烏￨幟

一("＋1）

"｢芸恥,￨ ("@' _{半裂響鶉)｝}

‐層"(古)￨'+ "(・些飾)｢i鍔

≦｡"(古）

(22)

である。これらの準備を基にL3,3,L3,2,L3,1上の積分を評価して行く。先ずL3,3から始める。

１１２︑１１ノリＢｌＡＹ伽十︑﹄／Ｉ︑︑１１ノ嚥儘ｇ２２４狐Ｕ池ＹＵｈｄ昭矧刈／Ｙ０Ｉ伽坪吻Ａｌ

一︾一︾︾︾︾︾ ^Ｕ−２

Ａｉｊ

ｌ２

一心１内助酬いｊ蝿１吋ｊ乱ｊ剛Ｄ洲割？︒Ⅱ加一〃叶十ハリ

ーｉ

ＵｌＬ川１１州１１一十叩伽叩伽叩伽叩即刊栽Ｘ

｜拠峠畔絢︲ド御化Ｍ叶卜叶い峠附叶ルー肺① １＋し１１鯛噸梛Ｉ負Ｉ勿湫Ｉ加蔬命←蛇←唾︲麗一訪翫一翫翫断ｌｉ

３３４

ｍ﹂恥︲１↑翫１↑翫１↑翫１↑認１一転く一く一一一一く一一

(ぴ一βb)''+127rAlogY

･･(5)

ここでuﾉEL3,3であるから，秘＝一A+ftj=‑A+j"("−t), B≦U≦〃(附一t)より

w̲̲ , :｣ ' ‑‑A+i"(〃−t)

s+‑="+"+

〃〃

＝ (｡‑#)+', (号+'≦,≦恥

(23)

中嶋填澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel‑龍沢零点 175

従って， β≠β0なるβに対してmEL3,3であるとき

｜・半ｰ,￨>￨汁:‑'｡｜

となるので補題9を使ったことに注意すべきである。

L3､,上での積分も同様に

￨*A"(‑¥:(｡f,xIM鵲予u""￨

≦去疏鳥̲削lI‑等'号( 令:洲'￨ ,蒜器

<｡,r芸器F",(r4n)¥､F=a)

1+o(1) X‑A (グー助)"+'2汀AlogY

. ｡(5'）

となる。

最後にL3,2上の積分を考える：

*A､"(‑¥':(｡+:x)("'if鵲予LldiU

について詳述する

￨U￨≦Bのとき，

ｊｌ＋

〃くＩ

袖戸

恥１

１−

exp(号署）

‑(｣*｡''''e､n)｡",(‑'sFM)

であるが, これを詳しく述べると,f主鈴<1であるので

{｣÷満;}‑幟．

＝{叶え鵠} e+'･圏(!令宏烏)1

(24)

{叶宏昂}言 ×

I(‑"{蓋鶚;(蒄瑞)'￥}l

Xexp

{ 蒔き針 ×

｛識｣≠士(識)" ,;,(識) ≠

XeXp

{叶；淵} 鱈"( 4か,(‑'歳ェ）

｜士(")'‑*(")､"1

Xexp

{叶満;}二値"("4鰯)｡"(‑,歳×）

｜;{;(淵)｡金(淵)，¥…｝l

XeXp

（"4駒)瞳"(‑畷古)×

{'+o(;)}ex, {叶o(;)}

×

{"o(;)}｡x,)（｡4n)｡xp(‑'Ffm;)

（｡4偽)瞳"(‑ 南）

=(1+o(1))exp

I

である。このことを使って

壷A柵"鶚型:(,+:,x)("''i幾予11du,

(一等筈( + ﾙx)(")X=…(Y‑A+i""21OgY 1+O(1) X‑A+ju(Y‑A+釦−1)di"

鰯鰯

１｜獅引一蔀１｜恥

一一一一一一 -1)di')

(s+デーβ0)''+] ^Uﾉ21ogY 1+O(1) X‑A+"(1‑Y‑A+it')d"

鹿 (s‑p｡+二芋些)"" (̲A+")210gY

(25)

中嶋填澄:DirichletのL関数のLandau‑Page‑Siegel龍沢零点 177

底十｡（1） )"+' (‑A+")2'ogYx ""(' Y …) ｡

1

（,+両鵠）（‑A+")2'ogy

27Tj （グー助)"+1

，鍼(芸器 ×¹

）exp(‑ift5)X､'('‑Y‑A+")(

｛1+O(3)}exp(・圭｡xp‑i南X 4+"(' Y A+")(j〃

､， /B

×丘 (‑A+")21OgY

*r芸器r｡$n)x‑"'<

×丘{'+O(:)}exp(‑'*)('‑y‑…）(‑A+")21OgY exp("logX)du

･･･(☆）

(☆)の右辺の積分を

叩脈壽efzJ

×隆{'+o(÷)}oxp(‑'*)('‑y‑…）(‑A+")21OgY exp("logX)d"

と置いて

ｊ

Ｕ

色心″甲×畔が辛叩剴耕

／１１１︑・Ｚｌｐ一ｌｘ／ｌ︑ｅＤＢ一一．啄仙〃んＦ×

exp(IulogX)d"

とする。

￨{ ≠"鶚耕一… exp("logX)

2

＜

‑(A2+u2)logY をみたし，

2

(A2+"2)lOgY

(26)

は可積分integrableであるので

Lebesgueの優収束定理DominatedConvergenceTheoremを使って

J鵯凡(X)=F(X)

である。また補題12より

F(X)の右辺の積分はlogXの従って碗X>0でXの複素解析関数となっている。またF(x)の右辺のX‑AもX=0の近傍を除いてxの複素解析関数であるから

‑｡,+")x‑"%

×鹿｡蕊'(言耕蒜州",(",｡菖加，

はX=0を除いて況X>0でXの複素解析関数となっている。

従って〃＞1に対して

鉱 (‑3峠¥(s+:,x)("''f鵲ﾗLldu,

，為(芸器TFI,(x) i'ji"l鵬珊)=F(x)

＝＝

でF(x)はX>0で実解析的で"に依存しない複素数値実解析関数である。

…(6)

(1),(2),(3),(3'),(4),(4'),(5),(5'),(6)を使うと

Ii,=

＝尚"≦愚,'A(")x(¥('og")"｡"^ns

1+o(1)

＋

＝■■＝

(グー比)"+］

{(r*)""

手o{(号曜"I篝))"}+・｛(･'1篝u ）｝ ≠

半壼仏羊人｡寺卿仁娑竺号(計:,x)(")X鵲ﾃリ^duﾉ，

(27)

中嶋眞澄:DirichletのL関数のLandau‑Page.Siegel‑龍沢零点 179

ｰ

(芸器 (;)≠

手壺{ﾙ｡ +4"}(‑鰐(・手筈x)(")L総ﾃﾘduJ‑

(芸器re)+

+刺璽．(‑%峠 :(，ﾅﾁ〃鶚予lldM) 両"≦震,"A(")x(¥(!･恩鰯)"^l ^犯s ^α加十

+O｛(碁"(農} ' *。）｝ {(v"F)'）｝

ｰ

(芸器7{(;)"(ボア)}‑

(芸器,{(;)‑余島(x)}

=尚"≦震,,A(")::g"r･"

半｡{(子嘩馴芸1冊｡{(v*)'}

一品

を得る。ここで上記左辺の第1項：

{(;) o(fv)}

が

｛(;)÷｡(扇釜7)}夢；

であるようにA>1,Y>1を選び(実際のA,Bの選び方は第1番目に上記のようにAを選び，第2番目にBを選ぶ)，そして

{(;)‑*F(x)}

(28)

に関して

b={(;)"(菰話芸7)}f)≧濫=:

と置き(αがXに依存しないようにAを定めることが出来ることに注意すべきである。）

α‑*F(x)≠

となるよう

７姉１

び

く

︑１１Ｊノ

ー−２

ｃ０句ｄ

ｏ／ｊ１１︑

︑塁ｘｅ

−−

Ｘ

6＞1

の6を選ぶ。これはF(x)が実解析関数であることと，定数constantでないこと(注)から可能である。また上記

α‑*F(x)

は〃に依存しないことに注意すべきである。

従って上記品は品<＝＞

（芸器 {｡‑六叩'｝

＝尚"薑忍,,A(")x(:('.g")"^s ^α加十

｛（ " ）

≠o{(f",(z=f')'}÷。『cxp(")1'｝

‑,‑*FIx)≠，

…(7) となる。

典&FI,(X)=F(X)

｡‑*F(x)≠，

(29)

より，即ち

｡‑余剛x)→｡‑壺叩卜0as"→｡。

より，十分小さい正数0<fo<1を

0<￨"‑,')￨‑"

を満たすように選ぶと十分大きいv">1に対して

｡<･‑蔬F(x)￨‑｡<α一幸剛x)11zw)￨+<｡‐1 となる。

上記(7)の左辺の絶対値の；乗平均値積分を考えるが,い)と補題'から

1

1 /70+hl l+o(1) ｢l l m,､,､￨ 1 1'

1 ,̲ (｡̲剛寺r{￨"‑*F(x)￨‑"}￨"d'

2ﾉl

｛(芸器,｡‑壺馴x'￨}"

l l､')o+ﾉ』

1｡̲

＜−

−2A

{芸器 {緋‑壺叩小l*

＜

"｡￨｡{(rEP)"}¥｡{(;叫篝'ル

＜

2 ｜＊

＋尚"鬘嘉，4(")x(¥('og")"^α ^dt

(☆☆）

≦I""(￨｡{(rEF)"}￨≠￨｡{(f"測剤}￨+

￥￨尚ふ仙鶚嬰皿鋤￨)ゞ￨ゞ

≦￨猟℃('｡{('竿)11'一￨働{(諄"剣}￨′￥

帯'｡{尚ふ皿: 蝿昨￨、

(30)

｡(('艸劇｡惟緬{芸') ・

＜

'尚ふ州睾艸x"n"1"_{） 1。}

＋

'｡{圭眺ふ州禁"4"+

＜

(幽馴￥(¥".igw,)TII:｝￨

＋

'｡尚ふ州禁('og")'I!+

＜

')"F￨(

（y嘩学I昨￨(苓健xp(gF))T｝￨

＋

…(8)

を得る。ここでα,6,c,d≧0に対して(q+6+c+d)2≦4((z2+62+c2+d2)

であることを使った。

(8)の右辺の積分に対して補題3を使うと

1

1 /70+hl l+o(1) il l","､￨ ̲11"

典̲ (｡̲〃膿7{￨｡‑*F(x)￨‑,}￨'d'

2ﾉﾙ

lol圭剛ふ州禁(logn)''Qルー

＜

1

(挫劇"､(;"";""

＋

{｡{(;)"ふAI繩幾側2('帆鼎

:＝＝

((竿(h)'"臺悪,州篝側:II･""

+O

(31)

中嶋興澄:DirichletのL関数のLandau‑PageSiegel‑龍沢零点 183

(y"¥i)"≠(等剛蜑)}'"ll'｝￨^） ^）

＋

I｡"(h)｡ふ響(lo…＊

(y.､"≠(;",IF=:})"￨￨#^） _｝￨"

＋ (9)

ここで，〃→ のとき

1

ぴ一助

1 /TU+hl l+｡(1) Il l #,､,､￨ 1 1;

r{￨｡‑*"(x)￨‑"}￨'d'

噸(｡̲〃半 {α‑圭F(x)‑

lim==

〃→ 2ﾉZ

￨｡{EF(;)""",鶚仙･恩悩欝≠

<lim

〃→○．

(raF)'≠(;",(F¥w,)｡11:^） _｝l

＋

･･･(10)

(10)の右辺の第1項を補題2を使って評価する：

。≦馬,"('･g")"・蝿．

(XY)"/1､2

（;!）

ノz

（篝)γ膨念(;!)。，ふ等(l｡gn)2!'

<exp

")'"念(;)'='°等…

<exp

＝2

<｡"")y"Ffz(;)'('叶2)!(f7

…(g)"峻念2端， ^×

(32)

×(2"＋2)(2"＋1）（三)璽一

<exp （篝)'"念("+加叶' ,)(=irl""

(11）

(10)に(11)を代入して．補題4を使うと

1

＜

｜ぴ一助'一

loW(;)'"鬘悪,鶚仙帆璽"鱒￥

<lim

〃→

(,*)"" (f"=W）） _｜￨

＋

｛｡{",(")r"念値州謝≠,)(=L… ≠^（｡̲;）

<lim

〃→OC

(y"'FI)"≠(号刈芸,1"￨￨;）） _I

＋

）（

（。

｛ド像"(｢耐弩7)(・坐〃『鱈"劇γ剛篝^））｝

＝nlaX

{(¥零割『掌）（）｝

＝nlaX

･･･(12)

('2)でo−βb>0を保ちながら。｡をβbに十分近づければ, Bb>;であるので．（12)の左辺はCOに近づき，一方(12)の右辺は

に割γ嘩崎）}｡…）（

maX

という有限値6nitevalueに近づき矛盾が生ずる。従ってβ0=Bb+i')o,Eb>

:なる定理の条件を満たすL(s,x)の非自明な零点non‑trivialzeroは存在

(33)

しない。□

主定理2の証明

主定理1と後の注意1より．；〈･に零点zerosは存在しない。従って

0＜ぴである実軸上ontherealaxisに零点が存在しないことを云うには

L(2,x)≠0を示せば良い。補題5,(6)にs＝3を代入し, X=Xであるこ

とを使うと

‑2:(;x)=‑!｡g¥‑;"{;(;‑･)+:(;)≠

となるのでL(:,x)≠0を得る。□

注:F(x)が定数でないことの証明

に'4=efEJ

×庭｡鋤，(三諜蒜州"仙抑，

.x'")､

×丘｡"(‑割焉鰯r州叩(‑…,狐

uﾉ〃ﾉl z:=logX

G(z)=const(mntと仮定して矛盾を導く：この仮定から

（｡今｡）

¥G(z)= ^exp ^×

dz logY

(‑'*)('‑Y‑…）

必｡xp! 'g¥i3

× exp((‑A+")Z)d"

=0,

襟)×

鼻G(z)=

（‑僻向)("､(‑""d"

l:ex,,

×

＝0

(34)

一入

ｙフブ

ａｘ９画ｑｘ１ｌＩｊｄ岬︑ｌトーＪ

︽Ｔ四Ｇ︐１１１ノα町︑訓川ノ︵万Ｏ︵画ＸＸ入

ｐｐ

叩〃Ｐｌｌｉｉリ −Ｉリー

ｰ

一一コ八ｅＶｘ

で︒ブー

３のクα●ｘ︑ｄ︑ＩＩＪノリ凡

２．／ｆ１１︑ｐ３−ｎｘｄｖリノー１１︑入祁臥

毛口■寺ｎＱｅｘｄｊ

曲哲ｐｃａｚく︲側

ー

一一一一コ入フ頬

ＶａＴｑ町Ｉ叡血︑１１ノ３︑Ｉｌｊノ３．ｘｐｄ２．︑１１ＪノｐＱａｖ２．吋／︐１１１︑＠Ｊ州︑伽ｐ

ｖ／Ｊ１ｌ︑ＶＱｚ＋ｆ１入．ｐ

冷巴■４几淘ｅｘｄｄ︑ｊ︑■日日〃〃の毎抄早２．几⑩ｚｚｆｌ叩く刀︲凡

＝

0＝

"州"｡(…‑剛(半'一)d ^汀

＝

0＝

（半 ‑)

""(z("+V‑))dxe("+V‑入−I) フ

ー

(目6"610Z)SZ彰票09窮訴鶚昌鑑智副鋼981

(35)

＝

Ｂ宅一一一Ｂ涯担︲Ｉｌｌｌヤー１１１

１｜職制！｜恥渤

伽伽岬岬ｐｆくｌ・ＺｘＤユｅｘＦｌｌｌｌＬｅｌＡＹ一一

‐

Ｙ行ら

ＯＢＹ＋昭

対対甑泥

０質︶Ａｕ︑ＯＢ

︒ｍＩ１

対１｜哉崎︲｜錨

Ｘ一ＸＹ昭Ｘ昭Ｘ即哩叩唾酬州ＡＳＹ一一

ｰ

YASin{g('ggX‑=ZE)}

logX−−1−ヶ−β0

̲sin{B(logX‑*)}cos(BlogY)+c｡s{B(logX‑*)}sin(BI｡gY)

logX‑5当両+logY

ここで, logY=27r,BENとすると

−

YAglg

logX‑−』−^グー的 logX−豈両+27r

sin{B(logX‑*)}≠0であるので

ｰ

一一

汀２

１｜砥対Ｘ一昭Ｘ１１口ｏＯｌ

ｌ

−

ＡＹ ¹房両一logX

豈両一logX‑27T

(36)

l88鹿児島経済論集第60巻第2号(2019年9月）

となる。又0<o‑@b<1であるので豈両‑logX>1であるが,A>1

であるので

‐

'琴," =等,芸≦ ^〜1

となり矛盾を引き起こす。従ってY=e2T,1<BENと選べばF(X)=

G(z)≠constant.D

パラメータX,XA,B,ぴ−/1)の選び方

x=exp{sa},y=e",4,BEN,｡‑6@は次の条件(a),(b),(c)

，<･‑駒零等ゞ歳菫『"'^：＝＝

（"4鮒）

‐‑…n(:)<ex,^汀² …(b)

;+o（扇鈴)‑:幸｡』〉;…に）侍）

満たすが，先ず(a)を満たすようにグーβbを選び，次に(c)を満たすようにAを選んでから, (b)を満たすようにBを選ぶ。

注意1 ：主定理lを繰り返し適用すると，

C̲,<'yo<CI)内にある零点伽の実部βbは次第に小さくなり，

非零領域zerofreeregion:

｛ぴ＋〃｜此<o,c‑!<t<q}

は，左方向に広がって行き，遂には

{｡+i' ':<｡,c‑!<!<cb}

となる。

主定理は次の結論を導いている。即ち，存在を仮定したp0は実際には存在せず, ；〈oとなるL(s,x)の零点s=o+itは存在しないことになる。

この手続きを各βoに施せば,結局L(s,x)の非自明な零点は半平面;<o

(37)

Page‑Siegel‑龍沢零点 189 中嶋興澄:DirichletのL関数のLandau

には存在しないと結論付けられる。

Bb=:では上記矛盾が生じないので．この過程はぴ=;で止まる。

注意2: logL(S,X)がDirichlet級数に展開出来る事，即ちL(s,x)がEuler 積を持つ事が重要である。従ってS・RamanUjanのZeta関数：

蕨(愚) :=薑響=写,̲"(,,,釜, ,‑",紬>等）

○○

⑩ﾉ!ereA=9n('‑9")2#=ET(n)9",(I91<')

抑＝1 n＝l

等に対しても，この論文の議論は適用出来るはずである。

注意3:このような例外実零点存在の可能性は初めてLandaullO1が指摘し，等差数列中の素数の分布は自然数列中の素数分布に比べ更に厄介の要因があることが明らかにされた。更に明確な結果，即ち例外実零点の非存在領域はPagel221により拡大され,次いでSiegel {251は非常に優れた結果を得たが，これには計算不可能non‑effectiveな定数が含まれていることが欠点であった。その後，龍沢Thtuzawal261 1281により，この計算不可能な定数は計算可能なものとなったが，例外が多くとも一つある

という制限が付いた。

本論文では{201と重複する所もあるが，厭わず再録した。

参考文献

￨11Apostol,T.M.:加加d伽ctjontoA"αj""cﾉViLmbeγmeo7y, SI)1･inger,

1976．

I21Chandrasekharan,K.: A流tﾉZme""! fimc"ons, Springer, Berlill,Heidelberg, 1970.

{31Davenport,H:MMItic""ejVijmberTVZeorll,2nded.､ Springer, 1980.

(1sted.Markham, 1967.)

I41Estermann,T.: Intr℃｡〃ctiontoModernP7･imeMLmberZｿleo7y,Cam‑

bridgeUniv.Press,1961.

I51HuxleyM.N.: TVleDist"6""o"Q/P"meJVilmmbers(L"yese"esα"d zero‑de7zs 〃Jeolでms),Oxford,ClarendonPress,1972.

(p.54(12.39)eB(")$→eB(x)s,(1240);log2汀→;log汀とすべきである。p.56(13.6)もそうである｡）

八ｙ Ｘ１β１丁

八ｙ Ｘ１β

Ｘるら

でＳ

β・岬０β

Ｚｐｓ／１１︑

＋＋＋

１Ｉ

Ｕｅ

八ｙＸ１β１丁

八ｙＸ１β