蛇行水路の二次流に関する基礎的研究東京工業大学

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(1)Ⅱ− 73. 第38回土木学会関東支部技術研究発表会. 蛇行水路の二次流に関する基礎的研究東京工業大学. 学生会員 ○劉. 暢. 東京工業大学フェロー会員石川忠晴１.はじめに河川の湾曲部では遠心力により表層の速い流れが外岸側に、底層の遅い流れが内岸側にシフトし、断面内で循環流が生じる。このような断面内の流れは二次流と呼ばれる。二次流が発生すると外岸で洗掘が、内岸で堆積が生じやすくなり、護岸や堤防の設. uଶ σ ∂v ∂v ∂v 1 u +v +w − ሺ1 + σnሻ ∂s ∂z ሺ1 + σnሻ ∂n. = −g. ∂ଶ v ∂h + gI୬ + ν ଶ … … … … … … … … … … … … . ሺ2ሻ ∂z ∂n. vσ ∂u ∂v ∂w 1 = 0 … … … … . ሺ3ሻ + + + ሺ1 + σnሻ ∂s ∂n ∂z ሺ1 + σnሻ. 置されていない自然状態の河川は蛇行を開始する。. 流速分布と水深を以下のように仮定して重み付き. 二次流に関する研究は古くから行われているが、. 残差法により式(1)~(3)を断面内積分する。なお断面. 蛇行河川のように流下方向に河道軸線曲率が変化する非平衡状態での解析法は十分確立されていない。石川･金 1)は、二次流の発生機構を明確に数式で表現する基礎的段階として、曲線座標系の Navier-Stokes 方程式を重み付き残差法により断面積分し、二次流. 形は石川らと同じく矩形とする。 u = ሺ1 + αଵ ሺξሻηሻ൛φሺζሻ＋αଶ ψሺζሻൟ … … . . … ሺ4ሻ u଴. v = αଷ ሺξሻሺ1 − ηଶ ሻφሺζሻ + αସ ψሺζሻ … … … . . ሺ5ሻ u଴. る。同時に水路実験を行い解析結果と比較したとこ. h = 1 + αହ ሺξሻη … … … … … … . … … … … … … … . . ሺ6ሻ H଴. ろ、単湾曲水路ではよい結果が得られたものの、蛇. ここに、u0, H0 は曲率σがゼロの場合の等流流速. 行水路では実験結果と十分一致しなかった。この原. と等流水深である。また(ξ,η,ζ)は無次元座標(s/B,. 因は、解析において省略した項に起因すると考えら. n/B, z/h)で、B は水路の幅、α1~α5は無次元縦断距. れる。そこで本研究では、より高次の項まで考慮し. 離ξの未知関数である。またφሺζሻとψሺζሻは次式で. た一次元方程式を導出し、石川らの実験結果と比較. 定義される。. して解析精度の向上を確認する。. 3 φሺζሻ = ൫2ζ − ζଶ ൯ … … … … … … … … … … … … . . ሺ7ሻ 2. 強度の縦断変化に関する一次元方程式を導出してい. 2.一次元方程式の導出方法 2.一次元方程式の導出方法静水圧分布を仮定した円筒座標系の Navier-Stokes 方程式は式(1)~(3)のように書かれる。ただし粘性項. 4 5 ψሺζሻ = 6 ൬ζ − ζଶ + ζଷ ൰ … … … … . … … … … . ሺ8ሻ 3 2. なお式(3)よりwሺζሻは次式で表わされる。. についてはオーダ比較により主要な１項を残して他. wሺζሻ. は省略している。ここに、(s, n, z)は水路軸線方向、横断方向、鉛直方向の座標，(u, v, w)は各方向の流速である。また h. ζ. = h න ሺ− ଴. vσ ∂u ∂v 1 ሻdζ … … ሺ9ሻ − − ሺ1 + σnሻ ∂s ∂n ሺ1 + σnሻ. 式(4)~(6)の各項の物理的意味を表-1 に示す。. は水深、σは曲率、g は重力加速度、Iୱ とI୬は河床の. 表-1 未知数の意味. s、n 方向の勾配、νは動粘性係数である。. uvσ ∂u ∂u ∂u 1 u +v +w + ሺ1 + σnሻ ∂s ∂z ሺ1 + σnሻ ∂n. =−. αଵ αଶ αଷ αସ αହ. ∂ଶ u 1 ∂h 1 gIୱ + ν ଶ … … … ሺ1ሻ g + ሺ1 + σnሻ ∂s ሺ1 + σnሻ ∂z. キーワード連絡先. 主流速の左岸への偏り主流速鉛直分布の一様化左岸向きの横断方向流速二次流（表層は左岸向き）左岸向きを正とする水面勾配. 蛇行，重み付き残差法，二次流. 〒226-8503 東京工業大学. すずかけ台キャンパス. G5-201. TEL 045-924-5515 E-mail：[email protected].

(2) Ⅱ− 73. 第38回土木学会関東支部技術研究発表会. 石川らは式(4), (5)のαଵ , αଶ , αସを未知数とし、 αଷとαହは省略している。後者の 2 項は横断方向流速と水面勾配であり、単湾曲水路では比較的速やかに最終値に漸近するので省略しても構わない。しかし連続的な蛇行の場合は常に非平衡であり、これらを無視できないと考えられる。実際、彼ら. 図-1,a. 単湾水路α1. 図-1,b. 単湾水路α4. の解析結果は単湾曲水路の実験結果とはよく一致したが、蛇行水路については十分な結果を得られなかった。そこで本研究ではαଷ とαହ を含めて一次元方程式を求める。式(4), (5), (7)を式(1), (2)に代入し、表-2 の重み関数により断面内で重み付き積分を行う。また式 (3)については鉛直積分して水面の連続条件式を代入した後、重み関数ηを乗じて横断方向に積分する。以上からαଵ~αହに関する以下の形式の１階の連立常微分方程式を得る。なお、具体的な方程式は長いので紙面では割愛し講演時に示す。. 図-2, a 蛇行水路α1. 表-2 重み関数式番号重み関数対応変数. η αଵ. (1) ψሺζሻ αଶ. 1 αଷ. (2) ψሺζሻ αସ. ′ fଵଵ ൫αଵ , αଶ ൯αଵ′ + fଵଶ ൫αଵ , αଶ ൯α′ ଶ + cଵଵ αହ. (3) η αହ. = gଵଵ ൫αଵ , αଶ , αସ ൯ + λgଵଶ ൫αଵ , αଶ , αଷ , αସ ൯ … … . . … . ሺ10ሻ fଶଵ ൫αଵ , αଶ ൯αଵ′ + fଶଶ ൫αଵ , αଶ ൯α′ ଶ. = g ଶଵ ൫αଵ , αଶ , αଷ , αସ ൯ + λg ଶଶ ൫αଵ , αଶ , αଷ ൯ … … . … . . ሺ11ሻ ′ fଷଵ ൫αଵ , αଶ ൯α′ ଷ + fଷଶ ൫αଵ , αଶ ൯αସ. = g ଷଵ ൫αଷ , αସ , αହ ൯ + λg ଷଶ ൫αଵ , αଶ ൯ … … … . . … . . … … . ሺ12ሻ ′ fସଵ ൫αଵ , αଶ ൯α′ ଷ + fସଶ ൫αଵ , αଶ ൯αସ. = cସଵ ሺαସ ሻ + λg ସଶ ൫αଵ , αଶ ൯ … … … … … … … . … … … … . . ሺ13ሻ. ′ fହଵ ሺαଵ ሻα′ ହ + fହଵ ሺαହ ሻαଵ + λfହଶ ሺαଷ , αହ ሻ = 4αଷ … . ሺ14ሻ. ここに、λ = Bσである。. 3.計算結果＆結論 3.計算結果＆結論. 図-1、図-2 に、式(10)～(15)を有限要素法により解いた結果（実線）を、石川らの実験結果（点）とともにαଵ とαସ について示す。図中には石川らの３変数モデルの計算結果（点線）も示している。なお、実験方法および実験条件は参考文献を参照されたい。. 図-2,b 蛇行水路α4. 単湾曲水路では石川らの解析でもよい結果が得られているが、本研究の方法で若干改善されていることがわかる。特に湾曲開始点でαଵが負の値をとることが表現されている。一方、蛇行水路では、石川らの解析では実験データとの間で大きな位相差があったが、本研究ではαଵの位相が実験データとよく一致していることがわかる。ただしαସについては十分改善されていない。なお両解析とも実験データに比べてやや大きめの値を与えるが、これは側壁の摩擦を考慮していないためであると考えられる。参考文献 1)石川忠晴、金舜範: 湾曲部の 2 次流に関する基礎的研究，土木学会論文集，第 375 号/II-6,1986.11, P143～149.

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