香川大学農学部学術報告 第29巻第62号323∼353，1978 323
暗キョ排水の機能増進に関する研究
Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析
田地野 直 哉
STUDIES OF ENLARGED PROPERTY OF UNDERDRAINAGE
VI．Mathematicalanalysis of underdrainage WOrksin
Sloplngland
Naoya TA，丁INO
On the base of fo1lowing assumptions the author have analysed underdrainage works
in slopingland．
1・As for practicalunderdrainage worksin slopingland the author regard they are
horizontaland holdparallelflow．Then theauthorproposedthesolutionswiththemethod
Ofimages．Dividedinto upper domain andlower one theyare analysed．
2・Thepotentialfunction￠at the point（y＝H）is taken forJH・Sin2α．
3・Thepotentialfunction4・atthepoint（x＝0，y＝r）turns out・−k（H−r・COS2α）withrespect
toincliningconditionandparallelflow・Whilestreamfunction4turnsout（好一2α）
・ky atthepoint（x＝0）．
Theauthorhavecometo decisionthatder王vated formula corr・eSpOndswelltoobservation．
Termsin derivated formula mean as follows．
Q：drainage discharge
k：cOefficient of water permeability
H：depth of drain tube
d：depth from centre of drain tubetoimpermeablelayer
t：thickness ofponded water，Or Surface flow water 2r：diameter of drain tube
α：incliningOfpermeablelayer
L：SpaClng Of drains
Subscripts舶m”are upper domain and“n”arelower one．
暗キョ排永の水理解析に．おける条件として，これまでの研究報告でほ均一な水平土層中の重力水排除が殆んどであっ て，はかに．上下方向流を有する場合のものが見られるだけである． 実際には或る広がりを持つ農地が対象となるので，山紅近くなるほど透水層紅傾斜がついてくる・また，ワサビ田な ど特殊暗キョ排水を計画するときのように透水層が傾斜を持っている・ 著者は傾斜地を対象とし，傾斜にみあった平行流を水平条件に加えることにより透水層中で傾斜条件を持ったものと みなして水理解析をこころみた．
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 324 Ⅰ は し が き 暗キョ排水の−般的理論解析に．おいて平行流仮定の初期にDupuit（1905）は咤キョを浅い排水溝と考えてつぎの2 つの仮定をたてている． 重力浸透における総て−の流線は水平である． 流線に沿った流速は自由水面のコク配に比例し深さとほ無関係である． ついでHoogboudt（1939）は暗キョ近傍を放射流，・それ以遠を水平流と仮定した．その境界を0．707dとした・ここ でdほ自由水面と不適水屑の距離である． 現在のよう紅放射流の仮定にもとづいて写像解析（methodofimage）を進めたのはKirkham（1940），狩野徳太 郎（1940）等である． 以上ほいづれも水平均一土層に．おける重力浸透の場合であるが，ここでは水平条件紅平行流を加え．て傾斜条件の場合 の水理解析をおこ．なった． Ⅱ 単位排水盈式の誘導 傾斜地における暗キョ排水の単位排水患を求めるためにポチ㌧／シヤル関数￠紅ついて検討する． 地下水流動庭・おけるポテンシャル流動とDaI・Cyの法則の相似性を考えるとき，傾斜を〆なる等速平行流のある水平 状態におき換え，また相隣れる暗キョの流線群の左右2境界面と不透水層をそれぞれ対称軸と考えて写像解析をおこな う． メ＝0
Fig・1lImagearIraycorresponding tosectionoffieldwithdrain tubes
Fig・1ほ傾斜条件を考慮し水平条件匿おき換えた流線モデルである・MMは地表風NNは不透水層，A，A′，A′′ は深さガで間隔エなる位置に並列する実在暗キヨである・また，B，B′，B′′はMMを対称軸としたA，A′，A′′の
算29巻算62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 325 イメーヂであって他のC，C′，C′′，D，D′，D′′，E，E′，E′′，F，F′，F′′もA，A′，A′′，B，B′，B′′に．対応するそれ ぞれ流出入点イメ−ヂである． 実在域を含む流出入点1組と上下の写像行数れおよび左右の写像列数グ，すなわち全部で（2プ＋1）（2去＋1）組の流 出入点モデルについて考える． Fig．1はタ＝1，よ＝1の場合で流出入点が9組である． 傾斜条件を考慮するとき，時キョの上流側と下流側とでほ．条件がことなるので暗キョ中心垂線を境にして両側に分離 して考える．まづ水平条件で理論展開するとき，〆の実靡値は±〆であって（＋）符号は上流領域，（・一っ符号は下流俵 域を示し，かつ両領域についてFig．2のようにFig．1の実在域の流入流出点ABの傾斜に順対応するイメーデの 流入流出点C′D′，C′′D′′，E′F′，E′′F′′…・は正であるが，逆対応のイメ−ヂA′B′，A′′B′′，CD，EFW・…ほ逆転し て負となる．
Fig．2．Plus and minus signs ofimage array with relation to COndition of slopingland 〝㌦ 〝㌦㌦灯 一 γCO8α γ′＝克5よ乃α ￣￣一￣￣ 旦〝7■‘ l ■￣ ・一一一 ・1一一一￣￣ ㌢ ＿＿＿＿ 一一一一
雲1
r l 一●■■■ I ケ エ ド 肌エ ート 乃エ A A−A．上下流洗練境界 Fig．3、Section of field with drain t11bes on bothCOnditions of ho工izon andinclining
Fig・4・Drain tube（A）andimage（B） Which receive water（sink）are
indicated with aplussign，those
emitting water（source）with a minus s王gn
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 326 Fig．3ほ誘導式の諸元を示し，点線ほ実際の傾斜条件を表わして−いる・ ポテンシャル関数￠の実際値についてはFig．3から判るようにつぎに示す（1）式である・ ￠y．∬＝−鹿茸ざ∠〝2α また．ガ＝＝0，．γ＝㌢・の点ではつぎの（2）式である． ￠訂叫，y＿γ＝−点（ガー・㌢C￠ぶ2α） ……‥…… （1） ト（2） 流関数￠の実際値についてはFig．3，4から，．方＝0の．γ軸上においてつぎに示す（3）式である・ 鮎 毎＝（仇−・β掴γ ；丁 方 ＝鮎（方−2α）＋如竿 川‥ （3） （註）Q仇，れは上流領域がQ仇，下流領域がQ乃・ ここで上流領域について考える．Fig．1において実在域内の任意点をPとし，各流出入点間の距離をRd，Rd′， RA′′，Rか……流出入駅￠mかつ速度をぴ＝意とおいて流入盈を（・りで表わせば，等速平行流が〆なるときFig・4 から各流出入点紅ついて∴次式が成り立つ． Q仇＝Jて〈叶〆c〃ぶ（β−α）〉点♂β 2 ＝汀＋2c〃5α・助′ 一（4） ただし折はP点に潮ナる水平条件時の流出入方向の流速，￠は同点のポテンシャル関数である・（4）式を積分すると 旦竺J兜皮−・旦聖竺〆点ヰ十。 打 方 下流領域についてはつぎに示す（6）式が得られる． 旦J紹丘＋些竺ヱ〆忍＝￠＋c 7r クr ・（5） ‥‥（6） 各流出入点を単独のものと考えれば（5）式および（6）式と同型の式が2（2グ＋1）（2∠＋1）個求められる・これらの 流出入点が同時紅作用するときP点におけるポテンシャル関数￠ほFig．2に示した傾斜条件を考慮して，つぎの （7）式となる． ￠＝由一如＋如′−￠β′＋如′トー・如′′＋い′…ヰ如′′−・￠ダ′′＋ ＋c … 屈A丘A／屈d／／…Rβ′′… 耳 〈 汀 忍月屈β／点β′／…胴‥・点ダ′′… （点d−鮎）−（忍A ′−鮎′）−・（点A′′一助′′）−・（Rc−鮎）＋（虎cト・鮎′） ＋（恥什・鮎′′ト（鮎一心）＋・（鮎 ′一触）＋（鮎′′一心′′）……〉車 1‥‥（7） （註）Q仇，籠および（芋）符号は上流領域がQ仇，（−）・下流領域が￠花，（＋）・ 極座標から直角座標に移すためにFig．5のよう紅A点を原点とする座榛を考えると・（7）式の点J，屈A′， 耳〆′……・−・ほ（8）式で表わされる．
暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 327 虜29巻第62号（1978）
Lこr
Fig．5．Relation between actualandimage drain tubesナ for free point㍑Pnintheactualfield，Where以R”is the radial distance frome the drain axis to the point‘‘P〃
粘＝〈糾（2ガ・−．γ）2〉…
触＝（（レ坪＋（2〝−・．γ）2〉08
馳′＝〈（エ十が＋（2ガ・一一γげ、5
0●6 鮎＝〈糾（2d・2町が〉 砂＝〈（レげ＋（2れ2叫γげさ 触′＝（（レが・（2れ2恥ア）2〉0」8 01■ら 鮎＝〈糾（2♂＋2ガー∴γ）2〉 0‖5鮎′＝（（レ・が＋（2d・十2ガーー．γ）2〉
鮎′′＝（（エ十が＋（2れ2Ⅳ−．γ）2〉0●5
孔1＝（．方2＋γ2）0…8 月A′＝〈（レが＋げ5 月d′′＝（（Lいが・げ5 0■5 月cニ〈糾（2打γ）2〉 … 月c′＝〈（レげ・（2打γ）2〉 勧＝（（レ・ゲ十（2頼γ）2〉0●5 06 鮎＝〈糾（2れ4〝−∴γ）2〉 0“8 紬＝〈（レ・方）2＋（2♂・4好一∴γ）2〉 紬′＝〈（エ＋げ・（2d・＋4ガー・が〉0■8 …り （8） （註）エは上流領域でほ2研エ，下流領域では2〝エとして計算する・ （7）式の対数項に．ついて考える．まづFig．1と（8）式から流出入点を1組として上下の写像行数≠の関係を実在 RA点c点β・・）についてみるとき，各掩紅ついて原点（実在域）に・近い流入点に関
域の組を含む列，すなわら′〝（羞 点β点
♪点ダ…‥・ する座模式を分子，原点に逝い流出点紅関する座標式を分母とし，ついで残りの流入点を分子，流出点を分母としてそ れぞれの座標式を組み合せるとTablelを得る． Tablelの中から実在域の1組を除きFig．1の写像上下段について各i行の1組から5組までのものを参考にして Table2を求め，これらをまとめると座標式（9）を得るい香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉
328
Tablel．Ratio of tow coordinateequations with source and sink points of
every pairs（j＝0，i’＝0∼5…h）Ielation to free point“P〃infigurel
榊，（実在域の1組）l
l− 4．‡・】だl・ ld＋2茸＋．1 塑±J些土些吐 ∬2＋（2d＋〝）2 （2♂＋4月■−・〝）2 ．方2＋（4（ブ＋6ガー．γ）2 ＋（2（ブ＋2月十γ）2 ガ2＋（2ガー．γ）2Table2小 Changed expressions for every cooIdinate equations of Tablel
2 1（下段各行の原点に．近い流出入点に関する座模式）2とその変形式
・い〔が＋‡2g（d＋ガト2ガ十γ）2．〕く−1）川
Z l（上段各行の原点に．近い流出入点に関する座模式）2とその変形式∴〔．が＋〈2よ（d＋茸）−．γ）2．〕（一1）も
多 l（上段各行の原点に．速い流出入点に関する座標式）2とその変形式 次頁班つづく算29巻第62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 329
∴〔ガ2＋（2∠（d＋ガ）＋2月・・−・．γ〉2〕（−1〉も
多 l（下段各行の原点に遠い流出入点に関する座標式）2とその変形式 ∴〔・∬2＋（2‘（d＋ガ）十γ〉2〕（−1）も ガ2＋〈2よてd＋ガ）−2ガ＋タ）22 、●￣−．王＿＿．L−J
屈A丘c点ガ… ．が＋・（2才（d＋ガ）−＼γ〉2 ，方2・十（2ガー＼γ）壱 点月度か点ダ…… ×一溜〕‘￣l’川〕○いち
………‥・小（9） っぎに実在域を含まない左右の写像列数タの関係を各列についてみるために・Tablelのときと同様の組み合せに・よ り各タについて右列を表の上段に，左列を下段紅示したのがTable3である・Table3．Ratio of tow coordinate equations with source and sink points of every paiIS（j＝1∼2…，i一＝0∼2‥一・‥）relation to free point
郎P〃in figuIel
（註）≠＝3以上はTablelの一方のかわりに・エー・・方，エ＋弟2エー・％，2エ＋Ⅷをそれぞれ入れれはよい・ また，ブはエのみに掛かる．
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 330 Table3からブについて（9）式のときと同様濫して−まとめると（10）式が得られる・ （ルー∬）2＋プ2∴×＿▲＿（ブ岬プ 点d／点」／／… （グエー．方）2＋（2ガ−・一γ）2‘、（．タエ＋・ガ）2＋（2〝−．γ）2 点β／皮β／／リ・‥・ （メェー・∬）2＋〈2よ（d＋ガ）・十2月■−ク〉2 〈2オ（d＋ガ）−2Ⅳ＋ク〉2 （メェー・∬）2＋ （メェー∬）2＋（2オ（d十方）十γ）2 2 十〈2古（d＋ガ）一一γ）2 （チエ−∬） 21（−1）も ……（10） （ル＋∬）2＋（2壷（d＋即＋2Ⅳ・−・ツ） （ル＋∬）2＋〈2‘（d＋ガ）−・2〝＋プ〉2 （．グエ十方）2＋〈2オ（d＋・ガ）十γ）2 （ル＋∬）2＋〈2g（♂＋ガ）−．γ）2 （9）式（10）式およびTable2の関係を（7）式に代入すると（11）式が得られる・ （ブエ±∬）デ†ど2 岩 J 蕪丁ザヤ2、▲×‥＿ ー ．が＋（2ガー．γ）2■■’’アニ1（ル ∬2＋〈2≠（♂＋ガ）＋（2〝−＼γ）〉2 が＋（2≠（d＋ガ）・−・（2〝−ツ）〉2 ．が・＋・〈2オ（d十方）十γ）2 ．が＋（2ダ（d＋〝）・−・．γ）2 〉 （ブエー∬）2十（2∠（d＋ガ）−（2〝−ツ） 十痩真〈〈− （グエー．方）2＋・〈2g（d＋ガ）−＼γ〉2 （チエー．方）g＋・〈2オ（d＋・ガ）十γ）2 （ブエ＋∬）2十〈2g（d十方）＋（2月＼−ヅ）〉2 （2よ（d＋〝）−（2〝−・ツ）〉2 （ル＋・ガ）2・＋ × （グエ十方）2＋〈2f（d＋ガ）十γ〉2 （ブエ＋．ガ）2＋・〈2≠（d＋ガ）・−．γ〉2
耳響〔（が㈹Ol5−・・〈・糾（2ガ−げ＋善．（−1）ブ〔〈（榊）2十げ8＋〈（曲）2十げ5
−・（（かげ・（2〝−・γ）ヅい6−・〈（メェ岬＋（2Ⅳ−・γ）2〉0−ら〕・象（−1）乞〔（〈釦｛2∠（♂・ガ）−・（2Ⅳ−㌧州2〉〉○い6 ・（〈糾（2≠（れ椚＋（2ガー∴γ）｝2〉〉0い6一件2＋｛2≠（れ即−・γ｝2〉〉○■6−・（（糾｛2左（れ町十γ〉2〉〉0‘■8〕 十島象（−・1）川〔〈〈（ル現）2十｛2∠（れガ）一（2〝・−・γ）｝2〉〉Ol5＋〈〈（か桝｛2よ（d十即＋（2ガーーγ）｝2〉〉… ＋〈（（井上が・〈2∠（d・〟ト（2ガ−1γ）｝2〉〉0●5＋〈〈（ルーげ・｛2査（描）・（2〝−・γ））2〉〉01ト5 −・（〈（か・が＋（2柑＋椚−ツ｝2〉〉…−・（（（か・が＋｛2去（ムー〝）十γ｝2〉〉0“5 −・〈〈（榊）2＋｛2よ（描）一一が〉〉0◆6−〈〈（柚）2・＋｛2去（描）十γ｝2〉〉0’5〕〕両 （11） （註）（耳）符号は上流領域が（−・），下流領域が（＋）・ ∬ニ0および前述のように地表面（．γ＝ガ）に・おけるポテンシャル関数￠ほ（1）式であることから（11）式の積分定数 を消去して（12）式が得られる・ ￠＝智〔（11）式の対数式と同じ〕 耳竿〔（11）式の加減式と同じ〕一肋よ−〝2α ‥川 （12） ここで．ガ＝0，．γ＝γにおいてポテンシャル関数￠は前述のように．（2）式である・地表水深才があればこれも考慮してそれぞれ（12）式に代入すると（13）式に．なる．ただし実在域が上下流各々半領域をとったので些些項がブエ＝0 打
とおいたときゼロとならない．この不合理を除くために周項の第1項（実在域）を2倍する・
（13）式を変形すると（14）式が得られる．（14）式は傾斜αなる条件に・ある暗キョ排水の単位排水量に関する一般式
である．第26巻算62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 331 ／ 昌7．．（ブエ）2＋γ2 一岬＋≠一川ざ2α）＝旦㌘〔′〝義士 ＋∑（−・1）叫〝些土型二堕旦＝カ × 名．1 2オ（d＋・ガ）−γ 十∑JJ 1… 声（ル）2＋（2月■−γ）2 − （2Ⅳ−7）〉2 邦 く〉00◇ ＋∑∑（−・1）伊1J 2メ（d＋ガ）十（2〝−γ） （．グエ）2＋〈2∼（d＋ガ）−γ〉 2才（d＋〝）＋r タ・1伊1 0■5 〕 ≡ ） ＋（2ガーγ）〉 （2g（d十耳 （2g（d十方）＋r〉2 （ル）2＋
＋善．畠（−1）川〔〈〈（野＋｛2オ（d＋〝ト（2肘））2〉〉0●さ・〈〈（御十｛2よ（描）十（2叫｝2〉〉0い5
−〈〈（野＋｛2よ（れ椚−7｝2〉〉0い5・−〈〈（野十｛2仰町グ｝2〉〉0甘仰）・5∠〝2α￠仇，兜＝寸断レア・）c∂ざ2α‡響〔（13）式の加減式と同じ〕〕
×〔（13）式の対数式と同げ （13） （14） （証）Q肌，れ，エおよぴ（耳）符号は上流領域がQm，2′〝エ，（・−）・下流領域が￠乃，2紹エ，（＋）・は地表上の水深・ 傾斜地噌キョ排水の単位排水盈Qは（14）式の（註）からも判るように・つぎの（15）式で求められる・ Q＝Q刑・・ト￠乃 （15）（14）式に・おいて．タ＝1，∠＝1とおくと（16）式が得られ後述する計算例のように実用的紅はこれで十分である・な
れ水平状態で左右両領域からのQは（16）式のαをゼロとおいて・2倍すればよく，（16a）式が得られて既に報告（1）
した単位排水盈の式に丁数する・ 〔2（相）−（距2）…Qm，彿＝ヰ鋸トタ）co152α耳旦三宅竿
＋〈エ2＋（2甘イヅい6十〈エ2＋（2れ叫2〉…・＋〈エ2＋（2れ躇⊥γ）2〉…−〈エ2＋（2れ2ガーー7げ5 〈エ2＋（2柑十げ〕〕×〔′〝 γくエ2＋γ2）（2♂＋7） 〈が＋（2d＋γ）2〉（2d＋4ガー・γ） γ）〈エ2＋（2（7＋2g・−r）2） （2〝−r）（エ2＋（2〝−・γ）2〉（2d 〈エ2＋（2d＋4打−r）2〉 〕￣1 （16） 〈エ2＋（2d十2〃＋γ）2） ＋ （2d＋4好一・7）2〉 〈ぴ＋（2d＋γ）2）（2（g＋・4好一γ）〈エ2 γ（エ2＋グー2）（2（ブ＋ダ） Q＝−・2汀岬＋トーサ・）〔′邦 ＋ （2（7・十2仔−r）2〉（2♂＋2〟＋γ）〈エ2＋（2（ ） （2〝−・γ （16a） Ⅱ 流関数式の誘導 流線網解析および浸透流速を求めるために流関数￠について検討を加える・Fig・1に・おいて各流出入点から任意点 pに．対する方向角（．方軸を基準にした）を鋸，βJ′，βd′′，鮎…‥・‥としFig・6で表わせばA点を座療原点として（17） 式が得られる．田地野 直 哉 香川大学農学部学術報告 332
ノ＝1 ノ＝0 ノ＝1
左列 右列
Fig．．6Verticalsection of field showing amplitudes on the actualandimage drains for free point以P〃
−−′ト・−′・‥ざ￣−− ご′ −肘＝−C〃才一1 −・肘′＝Cが 鋸∵＝（畑−1ヱ γ 鋸′≡＿。か1ニ γ ∂。′′＝。。才一1建 ．γ 鮎＝＝（畑￣1 一触＝−COf￣1 2（プ＋2月■十γ 1 βc′＝−Cが −β刀′＝ト‘矧「 財′＝C〃才一1 一心′′＝−・C扉−1 2d＋2〟十γ エ＋．T …‥……小 （17） 2d＋2月十γ 一郎p ＝＝ C扉−1 −♂ダ′＝−・C扉−1 −βダ／′ニ C〃f￣1 鋸 ＝−ぐ0′￣1 2d＋2〝−．γ エー∬ 2♂＋4〝−．γ 肘＝C扉一1 2d＋2ガー．γ エ＋∬ エ＋∬ ββ′′＝−Cβ才￣1 2d＋2〟−．γ 2（プ＋4〝−．γ （詮）エは上流領域が2タ邦エ，下流領域が2乃エ・ 流関数￠とポチン1／ヤル関数￠に．は（18）式の関係があり，これを（7）式に代入すると（19）式を得る・ ∴−′ InR
￠＝‰（鋸−・鮎＋β。′一鮎′＋鋸′′一触′′＋……＋肘′一伽′′
7r 川 （18）第29巻貨62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 333
＋・・…）耳響〈（笛一選窓卜憺若一笛）
一（憲一・蓋㌫牛（竃H諾）＋（鴛若一審）十（需給一鷲㌫）
−（竃砦一芸窟）・（笛一驚）＋（電算−・窓賢）＋……）＋‘ ‥……・ …（19） （註）（7），（18）式の（註）と同じ． こ．こで（19）式のβ項について考える．まづFig．6と（17）式から流出入点を1組として−上下lの写像行数オの関係 を実在域の組を含む列すなわち（∂A−鮎＋…‖‥うについてみるとき，各∠行把ついて，まづ原点（実在域）紅近い流入 点，原点に近い流出点，ついで残りの流入点，流出点の順に各々の方向角βを組み合せるとTable4を得る・ Tablelでやったと同じ組み合せをTable4でもおこない，Table5を求め，これをまとめると（20）式が得られ る．Table4．Totalamplitudeswith sourceand sink points of every pairs （j＝0，i＝0∼5…）relation to freepoint“P”iromfigure6and equation（17）
よ＝0，（実在域の1組）
Table5．Changed expression for each amplitudes（or cotangent values）of Table4
よ＝2 l よ＝3 l わ＝4 1 壱＝5
さ＝1 l −・∬ L ∬ ∬ 2d十γ 2（d＋ガ）＋2♂＋．γl4（d＋ガ）＋2d十γ 6（d＋ガ）＋2d十γ 8（d＋ガ）＋2d十γ 2（才一1）（d＋茸）＋2d −（−1）宜 8（d＋ガ）−．γ 10（d十方）れ．γ 6（d＋ガ）−．γ 4（d＋∬）−．γ 2（d＋ガ）−＼γ 2g（d十方）一一γ γ 10（d＋ガ）＋2ガー・．γ 6（d＋ガ）＋2ガー．γ 8（d＋ガ）＋2ガー． 4（d＋ガ）＋2好一−γ 2（d＋ガ）＋2ガー．y 2∼（d＋∬）十2月十γ 10（d＋茸）十γ 8（♂＋∬）十γ 6（d＋ガ）十γ 4（d＋∬）＋プ 2（d＋ガ）十γ 2g（d＋ガ）十γ田地野 直 哉 334 香川大学農学部学術報告 （∂A一鮎十申…う＝Cが川才一1− あゑ（−1）中一1 2オ（d＋〃）−（2〟−．γ） 〉 ……… （20） ∫ ￣ ．＿． 」r 十C￠f￣1 ーC〃才1 2g（d十方）−．γ 2オ（♂＋ガ）＋（2〟−．γ） ▼〉’ 2オ（d十〟）十ノ RO項を求めるため紅Rは（7）式から，Cほ（17）式から各suffixalphabet markごとの正負を調べるとTable 6を得る．
Table6．Plus and minus sigen of every suffix alphabet marks for parameter以RO／l71Rn β t 点β／J〝点 】 −ト Tablel，4，6およぴ（8）式から
麓一選砦ト1＝2〔
（ズ2＋プ2）0小5 J〝（・方2＋．γ2）▼▼▼．γ ■J紹〈∬＋・（2〟一一γ）2〉〉▼▼ 2〟−ヅ 2 （〈糾（2壷（れ即−（2〝−プ）〉2〉〉Ol6 L ＋孟（一1）豆〔 cof−1T＿二L＿＿＿＿「 2〉〉 2榊デー（2ガーーγ） ′〝〈〈が＋（2∠（d＋ガ）−（2ガー州・トトミ・・ごトJ〃・・、・ご：・こ■
ハ什…＿・、二（（糾（2云（ふ＋ガ）＋（2ガー．γ））2〉〉…
∬ 2ど（れ〝トγ ′犯〈〈 糾〈2之（d＋耶＋（2ガー・．γ）〉2〉〉▼▼’2g（d＋即＋（2〟￣・γ） ′〝（〈糾〈2よ（れガ）−が〉〉 〈〈糾（2よ（d＋・ガ）＋が〉〉05 〕〕 …・…… （21） ′搾〈〈糾（2よ（d・ガ汁γ〉2〉〉▼▼▼ 2才（d＋の＋・γ つぎに実在域を含まない左右写像列数．タの関係を各列についてみるため紅Tablelのときと同様の組み合せに．より 各．グ列について右列を表の上段に左列を下段に示したのがTable7である． Table7からブについて（20）式のときと同様紅してTable8の座模式を求め，これをまとめると（㌶）式が得られ る．第29巻算62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析
Table7．Totalamplitudes with source and sink points of every pairs
（j＝1∼2t”・r＝，i＝0∼2…・…）relation tofreepoint㍑P〃fromfigure 6and equation（17） 335
∫ ここ．さJ・・て1了三；1・．
・− 、・‥・‥ （証）よ＝3以上はTable4の・方のかぁりにエー・・％，エ＋・亮一，2エー・ガ，2エ十・鴛をそれぞれ入れればよい．また， グはエのみに掛かる．Table8．Changed expression for each amplitudes of Table7
ブ＝1右列，Table7の上段 −C〃才一し主ユーCが一十卜1）乞 ．γ 2オ（d十方）−2ガ十γ 2g（d＋ガ）−．γ エー・∬ 2オ（d＋ガ）＋2ガー．γ 2オ（d＋ガ）＋プ ．グ＝1左列，Table7の下段
cが豊＋‘が羞−ゑ（−・ヰ≠−1
2グ（d＋ガ）−2ガ十γ 2ブ（d＋ガ）−．γ エ＋∬ 2g（d＋・ガ）＋2ガー・．γ 2g（d＋ガ）十γ ブ＝2右列 （メ〉 γ・−C￠才一1姓ゴー・‘〃才一濱号戊（−1）乞 。
2オ（d＋ガ）一・2ガ十γ 2オ（d＋g）−．γ 2エー・∬ 2オ（d＋ガ）＋2ガー．γ 2才（d十方）十γ 次真紅つづく香川大学農学部学術報磐 336 田地野 直 哉 プ＝2左列 c〃才一1廷吏…≠−ユ一 ．γ 詠一・1）ゴ 2Z（d＋ガ）−2仔十γ 2g（d＋ガ）一夕 2エ＋∬ 2オ（d十方）＋2ガー．γ 2g（d＋g）十γ
（βA′−鮎′＋∂A′′−鮎′小…）＝一義〔’ぐが些ゴーCが甚ゼ ．γ ．γ
＋∽巨1−のガー1−
裟芸（−1）名義〈cが ノエー．t● ノエ÷．r 2オ（d＋〟）−・（2〟−・．γ） 2g（d＋〝）−（2ガー．γ） ーー一−一一 メェー∬ ブエ＋∬ キニニ＝三ぐ（）J￣1＿−−−「一く三−−‡三こ ルー∬ ノエ＋．lT ＋c〃f￣1 −・Cク才￣1 2オ（♂＋ガ）−．γ 2オ（d＋ガ）−．γ 2オ（d＋〃）＋（2〟一一γ） 2Z（d＋ガ）＋（2〝−．γ） …U… （22） ル＋∬些ニL＿＋。。才一l．…、
2オ（d＋ガ）十．γ 2g（d＋ガ）十γ 同様乾してTable3，6，7および（8），（17），（22）式から 2紅 5 γ †（．プエー．ガ）2十．γ2〉0● 一＋…・・ ‡ル＋∬）2＋プ2）0“5 J〝（グエー・．方）2十γ2〉 〈（ルー・ズ）2＋（2ガ一夕）2〉Ol6 c扉−1 摘穴廷空＋ ．γ J形（（メェー∴方）2＋（2月十γ）2） J乃〈（．グエーギ）2十γ2） 〈（プレが＋く2よや＋曙ト（2H一−カ）2〉〉01−5 。扉−1蓮華＋芸（一−・1） 〈（jエ＋∬）2＋（2Ⅳ−ツ）2〉06 J〝〈（グエ十方）2＋（2〟−．γ）2） 2ガ￣■・γ一声1＼￣／ ′乃（〈（・グレが＋〈2∠（れガ）−（2ガー・γ））2〉〉 炉 ♂ど＿1 旦±竺 メェー∬ ×CO≠￣1 2g（d＋〝）−・（2月十γ） 1 須方）湘 糎 印≠−1 〈〈（〃√げ十〈2‘ ．往−・∬ ノエ÷．Y ＋ ￣￣、・・′′ご：こ、エ・、・・・・ご・、・J〃∴㌻ご：・
2Z（d十方）− 2ダ（d＋ガ）−．γ ／〝〈〈（・グレ坪＋（2ブ（♂＋吼ト・γ）2〉〉 〈〈（甚−げ＋（2〆（d＋椚十（2〝−・γ）｝2〉〉0“5 ルー∬ 2才（d＋〃）＋（2〝−．γ） ′乃〈（（ルー・・が＋〈2左（か十月）＋（2Ⅳ一∴γ））2〉〉〈〈（タエ＋が・〈2よ（れ即十（2〝−．γ）〉2〉〉0◆5
ル＋∬ ＋ 2オ（d＋ガ）＋（2ガー．γ） ′紹〈〈（ル＋・が＋〈2ま（か＋月）＋（2〝−・γ）〉2〉〉 〈〈（か・∬捏〈2≠（d＋椚・が〉〉○−5蜜望
T． ▼− ′乃〈〈（かが＋（2ブ（♂十月）十γ輔 2榊＋椚＋ク■′〝〈〈（か∬）2＋｛2オ（d描）・が〉 …・ （23） （20），（21），（22）式および（23）式を（19）式に代入すると（24）式が得られる． ￠＝旦㌘トが吾川才一競う−ゑ（−1）中一エ 2よ（d＋ガ）−（2茸−．γ） 2Z（d＋∬）−．γ暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 算29巻第62号（1978） 337 ∬ −・CO才￣1 2オ（d＋ガ）＋（2月‘−．γ）〉▼￣ 2才（d＋耳）＋ ル＋∬ ・cが孟宗−・Cが岩一鳥（−1）や−1 2g（d十〝）−（2月■一．γ） 2才（♂十ガ）−・（2月■−カ ル＋．l・ メェー∬■
∴一CO才一1 〃∴川 グエー．ガ
＋cof￣1 −C￠ヂ￣1 2∼（d＋ガ）＋（2ガー＼γ） 2g（d＋ガ）＋（2ガー．γ） 2オ（d＋ガ）−．γ 2グ（d＋ガ）−＼γ 式 〕 す 査乃2α 一二てクエ＋．ズ プレ∬ 巾∂才一1…、
烏5 ＋C ……（24） （21）式＋（23） 師 2才（d＋ガ）十．γ 2査 （註）（q：）符号は上流領域が（−），下流領域が（＋）．他の正負符号は（19）式とTable6 でCheckずみである．前述のように．．方＝0，．γ＝ガのとき￠は（3）式で表わされるから，これで（24）式の積分定数を消去すると（25）式が
得られる。 転瑚覇の＝旦塑（好一2α）十ゐ呼 花− ＝聖（汀）‡警〔基材真（−・1）￡（〈 2∠（d＋〟）−・〝 J乃〈2オ（d十〟）−〟） 2よ（d＋ガ）＋〃 〉〉り・c J乃（2グ（d＋〟）＋ガ） ∴c＝−β㌍（2αト誓警〔−孝司孟・孟（−1）名 2よ（d＋ガ）一方 2壷（d＋∬）＋∬ J酬＋〟）−」汀J須2g（d＋ガ）十〝〉 ∴￠＝ゼ㌘〔−2α＋（24）式のC∂才一1式と同じ 〕‡響ト音−鳩十義（−け〈（
2よ（d＋〝）−〟 J花（2戎（d＋〝）−〟） 〉〉〕＋（21）式＋（23）式〕 2∠（♂＋ガ）＋∬ …・（25） J〝〈2f（d＋月）＋〟〉 （25）式は流関数￠の一般式である・後述する計算のように実用的に・は．メ＝1，よ＝1とおいて十分である．一グ＝1， ∠＝1とおいて整理したのが（26）式である．￠ブFl，官−1＝旦㌘〈−2α・C￠≠サc扉−1盲岩音相才一1孟…才一1
2d＋2〝−．γ ーL‘扉￣1ユニL抽か1一旦吐−・CO才一1 γ γ ∬ ⊥＿， ∬ −CO≠￣1 2d＋4月十γ ▼▼▼ 2（7＋2ガ十γ＋か1−Cが川才一1
エ＋∬ ＋Ⅵ扉−1−COf￣1 2d＋2〟−・．γ ＿虹。。才一1＿旦±ヱ
＋C￠ヂ￣1 2d＋4月十γ ■▼￣ 2d＋4月十γ 2d＋2月十γ 〔辛苦一言〈「覧十C〉 2烏扇〝2α 〈糾（2〝−・カ2〉0■5 （出（2抽）2〉0牒 。。rl＿ヱ （∬2十ク2）＝ ▼▼▼ co才一1＿＿竺 ＋ 再二二l・・小 ′〝（釦・γ2）・γ■′花（・糾（2〝−．γ）2〉 c〃 ＋（2打γ）2〉▼▼2打γ田地野 直 哉 香川大学農学部学術報告 338 〈糾（2れ2町γ）2〉0 中 ㌃＋ 」r 2d＋2〟￣・γ●′〝（糾（2れ4ガーグ）2〉 ′紹（が十（2♂・2ガー．γ）2 （糾（2d・2糾カ2〉0∩8 〈呵 ㌔＿＋ C♂f￣1 L瑠＿ 〈（エ＋畔上げ5 ・十 2外2射・γ■′兜〈（レ」げ十γ2〉 J乃〈が十（2d・2〝十γ）2〉 γJ犯〈（打・が＋・γ2〉 ． 〈（レ・ガ）2＋￠〝−∴γ）ヅ6
〈（エ巾）2＋（2g・−・、γ）2
．し．
co才一1− J招〈（エ＋が・（2ガ−γ）2〉 ′乃〈（レ・が十（2ガー・γ）2〉i（エ叫
。 レガ＿． （（エ＋が＋（2叶γ）2〉0●ち − く・（・ノこ 〃≠￣1 が十γ−′邦〈（エ＋が＋（2叶γ）2〉 ′〝〈（レ・が＋（2叶γ）2〉 〈（レが十（2れ2ガープ）2〉0’8 担を望＿＋．
2d＋■2ガ￣ヅ■′ 〝〈（エ十げ十（2d・十2ガ一夕）2〉 ェ一成 ＿ 〈（い畔十（2d十4〝−′γげ8 2d＋2〟−・．γ ′乃〈（レが＋（2れ2ガーが 〉 （（レげ・（が＋4ガー・・γ）2〉0◆6 ＋ 2紬4ガ￣・γ′〝（（エ＋坪＋（2d＋4ガー・γ）2〉 ′乃〈（レ1が・（2か←4か・γ）2〉 〈（レ方）2十（2d・2肛γ）ヅ6トl・ご∴ご・トご〃・、ぺ＼
、．、ナ ＿1エ＋∬面前司（エ」扁＋2ガ十司
′〝（（レげ・（2距2糾プ）2〉 （26） ただし 2∠（d十方）一方 2g（♂＋ガ）十方 C＝孟（−1）名（〈 い・… い（26a）血〈2緬）仙J油汗剤
（26）式の磨の値を限定しても（26a）式紅示したCの僧服＝＝1∼20について求める．例えば後記の計算例のよう紅 f＝1∼8に．ついて計簸し，図式外挿によって求める． Ⅳ 地表面紅おける下向流速（巧トガ）の誘導 地表面匿おける下方向流速を勒．gとすれば，（25）式またほ（26）式に．おいでγ＝〝とおきこれを・ガに．ついて微分す ればよく，（28）式を得る．（27）式のCほ（26a）で示される． 実用的に」ほブ＝1，∼＝1とおいた（26）式から求める．（26）式において．γ＝ガとおくj＋cがj
拓，￡麟1，y・ガ＝蔓禦〈−α＋守由一1計c扉−1㌫−・Cク才一1品−‘扉−1貰
−C扉−1 ‡〈一品＋C‡ 左右抽≠−1左右巾が去義一・C〃才一1宗討‡坐豊塾〔不言− （糾明0ト6…′＿1∬ （・糾（2d描）2〉○5 。〈．＿1∬． 〈・糾 竺・班ツ〉0藩 ▼▼Cが品＋
＋ 訂′花‡糾（如十方）2〉 ′〝〈糾（2れ3ガ）2〉2れ3〃ェ．∬＿（（レ∬）2・（2d＋岬〉0い5
∫∫‥−・．竺し、
む・∬＿．（（エ十・げ＋ガ2〉○小さ州≠＿1 CO≠
・トト 扉￣1 ＋ ′〝〈（レ・が・サ▼ 〝 ′符〈（エ＋・が＋呵 〟 ′乃〈（レ・ガ）2＋（2♂＋岬〉算29巻第62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 339 〈（エ＋ぱ）2＋（2d＋・岬〉0”6 ‡（レザ十（2外3岬〉0、8 ＋ エー′ガ 2d・十3〃 ＋ r￠′￣l J”（（L再ヅ＋（が＋岬〉▼ 〈（エ再）2＋（2d・3岬〉0り8 ′乃（（レげ＋（2d＋3岬〉 ・……・lリ√、・ （27） ′”〈（エーゲ・（2d十3岬〉 ￠を一㌃で微分するときはつぎの関係を使う．
む富茎＝（7議㌻）意，一−・言くC〃描＜言
下向きのぴy．ガを（＋）で表わせばつぎの（28）式を得る． 勒・茸＝・−意＝禦要〈頂完㌻十 2♂十．甜 2（7＋3月■ が＋（2d十方）2 ・が＋（2d一十3月■）2 〝 月■ 2♂＋月■ 2♂＋・ガ 2（7十3〃 ・ノ・ニミ∴−・ノ′ご∴・ム ＋．ガ）2・十方2 （エー∬）2＋（2（プ＋ガ）2 （エー・ノガ）2＋ （2（プ十3〟）2 2d＋3g ＋ 4鳥5査〝2α 7r （∬2＋即）￣0・6 （〈∬（cが鼻‡ト （エ＋ぱ）2＋（2d＋3月つ2 J〝（一が＋〟2） 〈糾（が十方）2〉￣0り5 〔・％〈co才一1羞ぶ（〈1・−・ J乃〈・が＋（2d＋ガ）2〉 〉卜（2れ勘〕 ′ヰ糾（2糾ガ）2‡ 〈糾（2♂十3野〉￣￣0●6 〉ト（2糾3g）〕 ＋ ヰ糾（2d＋3ガ）2〉 J邦〈tが＋（2d＋3〃）2） 〈（レげ＋叶0り6 〔（レ・ガ）〈c￠≠−1j箭〉〈〈卜 ′刀（（エ⊥ぱ）冊2〉 J乃〈（エー．方）2＋・〟2〉 〈（エ＋げ＋月す○’6 〔（エ巾）〈cがj宕〉〈〈1− 、 ヽ−1′1ノ ＼−﹀・−′ ﹀ J〝〈（エー伊＋∬2〉 J〝〈（エ十方）2・＋ガ2 （（レ・方）2＋（2♂＋呵￣016 〔（レ方）（cが姦畳（〈ト 〉卜（2d＋即〕 ＋ J〝‡（レ・げ＋（2れ岬〉 （（エ・＋∬）2＋（2♂＋岬〉−0●6 J乃〈（エー・．方）2＋ （2♂＋ガ）2〉 〔（レ・方）〈cが品〈〈1・−・ 〉〉−（2れ呵〕 ′〝〈（エーげ・（2d＋即〉 J乃〈（エ＋ガ）2＋ （2d十方）2〉 〈（エー・・ガ）2＋（2d＋3ガ）2〉￣…「 ′，．．、r▲▲」，エr．ズし、 ′し▼ 2れ3ガ
〉ト（2d＋3叫〕 J〝（（レ・坪＋（2d＋3岬） J〝〈（エー・．方）2＋ （2（ブ＋3〟）2〉 （（エ＋∬）2＋（2み3岬〉05 〉 〉ト（2棚）〕〕 宗誌〉（（1− J乃〈（エ＋∬）2＋ （2d＋3〝）2 …‥（28） （証）Q仇，乃，エおよぴ（±）符号ほ上流領域が￠仇，2〝Zら（＋う・下流領域がQ犯，2〝エ，（一・）．香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 340 Ⅴ 上下流流線境界の決定と単位排水畳の決定 （14）式または（16）式と（28）式を使って−上下流流線境界点を決めるときに必要な椚，乃の値を計算することができ る．すなわち上下両領域について実際の暗キョ間隔（エ）＝桝エ＋〃エの関係紅ある雛エ，形エを幾つか設定して（14）式ま たは（16）式から得たエ，（27乃エまたは2乃エ）のときの単位排水盈Q肌，Q乃の値を（28）式のQm，乃紅代入して：前紅設 定した幾つかの研エ，飢こに．対するそれぞれの地表面に．おける．ガ＝椚エ，玖エまたはガ＝＝0（暗キョ間中央または暗キョ直 上）点の下方向流速を求め，流速の等しくなる点を放せばこの両領域間の境界点を知ることができる．ただし，，グ＝1， よ＝1としたときは方＝∽エ，紹エの場合の方が結果がよい． 以上のように．して求めた∽エ，紹エの値を（14）式またほ（16）式軋代入してそれぞれの単位排水豊Q仇，Q乃を計算し， （15）式のように合計して傾斜地暗キョ排水の単位排水盈Qを得ることができる． なお，．方＝∽エ，〝エとおいた場合，（28）式のエは2．％で表わされるからエー・．γ＝＝．鴛，エ＋方＝3ガとなって（29）式が得ら れる．またガ＝0とおいた場合は（30）式が得られる小なお，（29）（30）式はともに．グ，∠を1とおいたが，（29）式は1以 上の奇数，（30）式は2以上の偶数とおくと上下両領域間で合致する。
ぴγ品上世2芳＝禦（2蒜＋品・2
・方2＋（2（プ十〟）2 2♂＋ガ 2（7＋〃 2♂＋3ガ 2d＋3〝 ∬2＋（2d＋3〝）2 9∬2 ＋（2d＋3ガ）2 9が＋（2d十方）2 4烏扇滋2α J紹（9．方2＋〃2） J形（9∬2＋〟2） （9・れ（2あ十方）2〉￣05■：一章∵ご言；−、′′：：ト
︵ ，α 2 ＋ ＼，′． ガ ︺ ＋ J〝〈9二r2＋（2d＋ ′紹〈9糾（2d＋岬〉 （9一軒H2♂十3〝）2〉0■6「 へ．．し＿，3∬ 〟）2〉 〔3一方〈c〃′−1ち諾這〉〈（卜 ′乃〈9・糾（2d＋岬〉し〉■￣し▼▼−2d＋田川￣ ′頼2 ＋（2d十3 （29）ぴy亡g，芳RO＝蔓碧空〈古＋去㌃品＋2了ぎ詣㌻・2
2（ブ十方 エ2＋（2♂＋〟）2±誓〔
2d＋3〃‘1．4ゐ5よ■乃2α 1 1 1∴＋
乏露百￣†2岬＋〝）2J相＋3ガ） （エ2＋ガ2）￣05 〔エ〈c∂f−1喜〉〈卜 J〝（ぴ＋ガ2） J乃（エ2＋ガ2） 〈ぴ＋（2れ岬〉￣05 〔エ〈co才一1孟ぶ〈（卜 〉卜（如＋即〕 ＋2 ／〝（エ2＋（2d十〟）2〉 ′犯（エ2＋（2れガ）2〉〈ぴ＋（2♂＋3岬〉￣0−6「，r＿▲．＿，エ
〉 〉卜（2棚）〕〕 −2 ′乃〈エ2・（2れ3岬）して▼▼ 2れ3〟川￣ ′畔＋（2d＋3岬 （30） 計算例として，∽，兜，Qについて実測値と計算イ直の比較を示したのがTable9である．実験測定は昭和50年度専 攻生篠原重寿紅よったもので，実験装置をFig．7，8，9に示した．Fig小7のA（定水槽）からB（給水槽）に．サイ ホンで連絡し，Bの底のスリットからC（ガーゼ）を通じてD（Fig．9，10の隔壁）へ均等に．注水される．隔壁によっ て傾斜水面を保つことができた 単独暗キョ実験で排水量および流線境界を自由に㌧見るために縦割り半暗キョを水槽の両端濫設置し，水平，傾斜60， 120，180，240に，ついて実測した．また，それぞれの流繚はFig．11∼16に示した．Table9において傾斜角が180を第29巻第62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 341 超えると実測値と計算値の闇の誤差が大きい．これは単一噸キョで縦割り半時キョにしたためと思われる．上流領域の 最遠流線が暗キョ円周の垂直2分の下端に入るのではなくて，実際ほ下流領域の暗キョ円周内に．廻り込むためと考え る．したがってその分を下流領域ゼロのとき，すなわち（16）式において方＝0，〝エ＝0とおいて得たQれ±0を￠m紅 加える．この考えにもとづくと，Table9の条件でα＝弓減0のときほ￠‰。＝0．103，したがってQ椚＝0．458，Q托＝0 となる．
Table9．CompaIison of experimentaland theoreticalvaluesin sand model， Oninclining peImeation 暗キョ半径 深
さ cm ∫ 間 隔 cm
排 水 量cc／s鉄柁 j l㌫l Q
月■ l d l ′ 重 昭エl 犯エ l エ （註）（）の数字は与えた条件 Fig，8。Test tank Fig．7‖ Whole view of an experimentalapparatus for two−dimensioninclining permeation
田地野 直 哉 342 香川大学農学部学術報曽 このような上流最遠流線の下流領域暗キョ円周への廻り込みに潤する問題の検討は次回に．まつことに．する． なお， ガ＝22一・5S♂Cα，d＝7∩5sβCα，≠＝2．01，7■＝0．9，∽エ＝（40一・（ガ＋d）s∠邦α〉c∂5α とおいて乃＝0となるように．計算したときのαの値14．4◇が傾斜の限界で，これよりαの砥が大きくなると上流領域 のみからの排水に．なる． Fig9。PaItitionwal1boxusedforexperimental ノバ15cm
apparatus of inclining permeation 冬型拡大図
Fig10．Details of partition wallbox used for experimentalapparatus
Fig。11。．Whole viewofanexperimentalappaIatuS
for towrdimensions permeationinhorzonq talland
Figい12StIeam−1ines for underdrainin the Fig13一Stream−1ines for underdrainin
第29巻第62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 343
Fig．15．．Stream一・1ines for underdrainin incline（α＝180）
Fig。14．StIeamMlines foIunderdrainin incline（α＝12O）
Fig．16 Stream−1ines forunderdrainin incline（α＝240） 上下流流線境界を求める計算過程をつぎに示す．．Table9の実験データを使って計算■す−る．まづ（16）式からα＝0 のときの実測データを代入してゐの値を求める．．計算の結果，平均点＝2．．164×10￣2cm／sを得る． （16），（28）式からα＝60のときのm，n，Qを計算するLr 各条件はTable9からH＝22・62cm，d＝7・54cm，Y’＝ 0．9cm，i＝2．01cm，L＝36．8cmおよびk＝2．164：×10−2cm／Sである．x＝mL，nLとおいた場合，（29）式を使う・ ほじめに．弼＝0．5とおくと椚十邦＝1であるから兜＝0．5であって，それぞれ∽エ＝18㊥4，軋乙＝18．4となる （16）式から Qm＝05＝0．295，Q‰05＝0小255 （29）式から び机岩0。．5＝0．0151，ひ弗＝05＝0．0127 つぎに．研＝0．55のとき〃＝0．45であって∽エ＝20．24，乃エ＝ユ6．56となり， （16）式から Qm＝055＝0．307，Q免＝0。．45＝0．247 （29）式から ひm勺055＝0．0143，〃陀＝0．45＝0り0135 ∽＝0い6のとき乃＝0．4であって一班エ＝22小08，乃エ＝14．72となり， （16）式から Qm。06＝0．315，Q佗コ04＝0．237
344 田地野 直 哉 香川大学農学部学術報告 （29）式から ひm七06＝0．0134，影乃＝0，4＝0．0142 以上の計算繚果をまとめたのがFig■17である．Fig．17の交点から弼＝0．575，刀＝0一，彪5を求める．したがっで ∽エ＝21・2，形エ＝15・6が得られる・これらの値を（29）式およぴ（15），（16）式に代入すればぴy＝0．0137，Q＝0．550を 得る． 以下α＝120，180，240も同様にしで計算することができる． ここで暗キョ直上すなわちガ＝0の点の勒を（30）式から上下流雨域について計算すると0．0156と0．0158が得られ るが，αが大きいときはブ，云を2以上の偶数で導いた（30）式に．しないと差が大きくなる。 で 0012 0．013 0．．014 0015
Fig・17・Relation between′ガ彿Or Xnand
αの限界を求めるに・ほ（16），（29），（30）式を使う・両式で上流領域については（16），（29）式に．おいて前にやったよ うに式のエを2研エとおき・方を椚エとおく，また下流領域把ついては（16），（30）式においてエおよび・鴛をゼロ（位置 および傾斜による水頭差で生ずる流盈，流速の条件）とおいて各α紅おけるぴy＝ガの値を求める．両領域に．ついて計算 された勒諸の個が一致する点のαが下流領域がゼロとなる限界値である．との限界値を超えると上流領域のみからの 排水に．なる． Table9の値を参考にしたTablelOの条件で計算を試みる．
TablelO・Theoreticaldata for thelimitofinclining，namelysmallestvalue Ofincliningwith thevaluezeroof the down−Stream region
月‘＝22．55e‘α d＝7．5．5♂Cα エ＝〈40−（ガ＋d）扇〃α〉c0Sα ≠＝2．0 7＝0．9
αO J ガcm】 ♂cm J エcm
40．00 31．77 31．14 30．50第29巻算62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ斜候地暗キョ排水の理論解析 345 まづα＝140のとき エ＝．方＝＝31．77 とおいて （16）式からQ仇＝0．378，（29）式から妬＝0．0101 エ＝∬＝0 とおいて （16）式からQル＝0．110，（30）式から勒＝0．0103 以下α＝150，160について同様に計算し，これらをまとめたのがFig．18である．Fig．18の交点からαの限界値 として14．40が得られる． 花 鵜 α＝1440 0．009 0．010 0．011 Fig．18”Relation betweenαand vy Ⅵ 流関数￠の式を使って傾斜条件の流線を描く （25）式または（26）式から各深さγ軋ついて流関数￠と方との関係を示す・尤￠curveを求めると地表面（．γ＝〟）を 分割して得た￠の備に等しい各γ曲線の・方を各探さに・とってこれらを結んで流線を描くことができる． 前記実験データのTable9に．もとづいてαが00，60，120，180，24◇のときの流線を計算に．よって求めたのがFig． 20∼24である． 計算過程をつぎに示す．Table9の実験データを使って計算する・まづ（26）式でH＋dの深さを任意に分割した各 γの値について各∬紅対する少を求める．Cの値紅ついては（26a）式を使う．すなわちα＝60のときガ去22．62， d＝7．54であるから，壷＝1∼8に．ついてよの各値紅対する和を求めて，去＝1のときCi＝8．39，よ＝2のとき−7．48，以 下7．03，−6．75，6ほ4，−6．38，6．25，・−6．14を得る．つぎに壱＝1，2のそれぞれのC七億の和0．91，∠＝3，4の和 0．29，以下0．16，0．11となる．これらの値を両対数座席にプロットして得た曲線がFig・19であって，この曲線を外挿 延長して≠＝20までのCl＋C威．1値（この場合の∠ほ1，3，5……・19）を合計してC＝1．79が求まる． α＝60に，おける計算結果をまとめたのがTablellである．TablellからFig．21のX￠curveが得られる． Fig．21のA点の流線を求めるためにA点から垂線を上げ，∬￠cuIVeの．γ＝22け62（地表面）曲線との交点Bを求 める．B点から水平線を引き．方￠cuIVeの各．γ曲線との交点を求め，それぞれの交点から垂線を降ろし同図の下に示 した透水モデル図の各．γの平行線との交点C，D，Eおよび暗キョ中心を結んだものが一つの流線を示している，
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 346 C￡＋Cz十1 5 10 15 20 Fig…19．Relationbetween以i〃and uCi〃obtained from computations on the equation（26a）
Tablell．郎￠，，values for“が，atα＝60 α＝60 上 流
α＝60 下 流
第29巻欝62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 347 u ‖ ‖ ‖ 、 ′／’ ＼ ＿′ Fig．20．Solutionbygraphingof relationbetween4・andlX，Stream−1inesfor und即dI・ainin the boI・izon（α＝00）
田地野 直 哉 香川大学農学部学術報告
Fig・21・Solutionbygraphingof relationbetween￠andx？Stream−1irle＄ f9rtlnderdrainiqincline（α＝60）
349 第29巻籍62号（197の 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析
Fig．22．Solutionbygraphingof relationbetween4・andx†Stream−1ines
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉
350
Fig．23．Solution by graphing of relationbetween￠andx，Stream−1ines fo‡・und鮮血aininincline（α＝180）
第29巻算62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ儀斜地暗キヨ排水の理論解析 351
Fig．，如．Sol11tionbygraphingof relationbetween￠andx，Stream−1ines foI・undeI血・aininincline（α＝別○）
香川大学農学部学術報告 田地野 直 哉 352 以上の結果が実測流線のFig．12∼16と比較してほぼ一致していることが判る． Ⅶ α＝0（水平状態）の場合の誘導式とKiI・khamの式（2）との比較 Q，れZ旬に関するKiIJkhamの式はつぎに示す（31）∼（35）式である．なおEiI・kIlamの式に・おける写像組数〝 行，椚列と誘導式のど行，グ列との関係はQの式はブ＝沼であるが，￠，ぴyの式はつぎのとおりである． ∑ノてグ）＝ ∑ ノ（∽） 戸1 仇℡一関 すなわちグ＝1とすれば∽＝−1，0，1に対応する．gと〝も同様である． （31），（32）式はFig．1，6の列紅ついて解析した場合（wide spacing）であり，（33），（34）式は行について解析 した場合（closespacing）の式である．（35）式はy＝Hの場合の．γ方向下向き流速を表わしている・ ￠＝一基L亘∞〔fα〝一1（〈｛fα如（∬戒）／2（糾榊勅2（鋸d）｝〉〉 十わ∽−1〈〈｛才〃〝ゐ汀（・尤一明エ）／2（射d）｝｛c如（2ガー・γ）′2（紬呵〉ト〕 （31） ￠＝2岬・呵〔′〝〔｛≠α形方（2Ⅳ−γ・）／4（糾d）｝神勅（鋸d）｝〕 〈c〃∫ゐ方刑エ／2（∬＋d）〉＋（coぶ方㌢ノ2（ガ＋d）〉 ＋ゑ′乃〔 〈c〃．ざゐ汀∽エ／2（∬＋♂）〉−・恒甘材／2（ガ＋d）〉 〈…如桝エ／2（ガ＋d））−・（c〃g方（2Ⅳ・−γ■）／2（〃＋d）〉 …（32） 〈cβざゐ方桝エ／2（ガ＋d））十〈co∫汀（2ガー・r） ￠＝書冊羞∞（−1）彿〔ヂα乃一怖α〝如r｛・γ−2相＋d）｝ル〉〉｛c血相〕 一子α乃一伸軸一2〝−2畔＋d）｝／エ〉〉｛c血／エ｝ 〕 抽岬一中〔｛5去玖ゐ汀（2狛）ル｝ハ5よ〝ゐ花棚〕 …・…（33） 匝乃ゐ22クr紹（ガ＋d）／エ）−（扇〝ゐ2方γ／エ〉 −ゑ（−1）痴〔 〈・Sオ乃カ22花・乃（ガ＋♂）／エ〉−〈・ざオ符ゐ27r（2〝−r）／エ〉 ………‥‥・・ （34） 〔co5ゐ〈方（∬−∽エ）／2（∬＋d）〉〕 ぴy出方＝品〔ゞよ狸｛珊2（糾d）りふ象印 〔c〃1ざが〈方（．好一沼エ）／2（〟＋d）〉−C〃・ざ2〈汀j〝2（∬＋d）〉〕 …・ （35）
なお，4・を求める式のWide spacingとClose spacingの積分定数CwとCcはⅩirkhamによるとつぎの関係があ
る． ぐw−Cぐ＝
したがってCc＝0のとき紬＝とおいて（31），（33）式が得られる・
前記の（14）式または（16）式においてα＝0なるときのQ，（25）式または（26）式においてα＝0なるときの￠，（27） 式紅おいてα＝0なるときの勒と上記EiI■kbamの式と比較する． 実験デー一夕を使って対比するためにα＝0のときのつぎの値をとった．すなわち各条件はTable9からガ＝22．5cm，L＝40cm，d＝7．5cm，t＝2．Ocm，r＝0．9cm，k＝2．181×10−2cm／sである．
まづQの比較をおこなうと，（32）式に．おいて雛＝1とおくとQ＝0．600cm8／s，∽＝3とおくとQ＝0．588cmソsであ第29巻欝62号（1978） 暗キョ排水の機能増進 Ⅵ傾斜地暗キョ排水の理論解析 353 る．（34）式においてn＝1とおくとQ＝0．588cm8／s，n＝3とおくとQ＝0．588cm8／Sである．（16）式からQ＝0．575 Cm8ノsが得られる． ついで￠の比較（ズ＝6cm，．γ＝10cmについで計算）をおこなうと，（31）式において∽＝0とおくと￠＝0．261， 刀嘔＝＝−・1∼1とおくと￠＝0．225である．（33）式紅おいて．一花＝0とおくと￠＝0．188，乃＝＝−1∼1とおくと￠＝0．186で ある．￠6）式から￠＝0．179が得られる． 勒−ガの比較（．ガ＝＝6cm把．つレ、て計算）をおこなうと，（35）式において∽＝0とおくとぴy佃∬＝0．0101cm／s，∽＝ −・1∼1のときはル折方＝0．0149cm／s，∽＝−・2∼2のとき勒．月∵＝0．0155cm／sである．（28）式から勒．∬＝0．0152cm／s が得られる． 以上の結果，Qを求めるKirkhamの式（32），（34）式と誘導式（16）とはよく合致する．4・を求めるKirkhamの （31），（33）式と誘導式（26）とでは・芳＝0のときは3式とも￠＝Q／2であるが，．方＝＝0以外では計算例のように（26）式 はClose spacingの（33）式の方がよく合致する．wide spacingの（31）式が合致しないことは今後の検討紅ゆずる． ぴyヨ∬の式は（35）式と（28）式がよく合致することが判る． Ⅶ ま と め 暗キョ排水が施工される地域ほ干拓地を除いて多くの場合，幾分かの傾斜を有している．水田の場合であっても地区 全体を見たときほ傾斜を持ち山に近いはど傾斜が急に．なって．，地下水の横方向の移動が顕著になる．したがって−このよ うな傾斜地に．おける暗キョ排水の解析には従来の水平透水層の解析では不十分である． 傾斜地暗キョ排水紅関する水理はより一般的な条件であって，今までの多くの解析は傾斜ゼロの特殊な場合に周られ ていた．この報告の誘導式に．おいてα＝0とおいたときが水平条件の場合であってKiIkhamの式から得た結果とよく 合致して．いる．また，ここで示した解析結果は一部の実験を除いてよく合致することを示している．合致をみなかった 傾斜（Fig．15とFig．23）は実験の困難さから来るもので，同一条件における再実験が望まれる． （26a）式を使いFig．19を得てCの値を求めたとき，よ＝之または≠＝＝。○としないでよ＝20と限ったことは問題であ る．ただ，Tablellで見るように上下両領域の・％＝0，．γ＝ガに・おける￠の値がよく合致していることからよ■＝20と限 定した．これらの矛盾は上下両領域紅分けて解析を進めたためと思われるので新らしい仮定に．もとづいた解析が望まし い． 暗キョ排水解析においてポチ1／シヤル関数を双曲線関数で表わしたKiI・kbamの誘導式において，この報告で用い た傾斜条件の等速平行流を考慮することによって新たな解析が可能であると考える． ここでは誘導式を求めた過程と実験結果との対比が主であったが，傾斜妙における暗キョ排水の検討，例えば傾斜と 暗キョの深さ，間隔，排水盈，地下水位低下時間などの関係および土質の影響紅つ小て引きつづき検討を加える考えで ある．また，下流領域がゼロとなって上流領域のみ紅なるときの縦割り半暗キ・ヨ紅した矛盾や，そのときの傾斜をαの 限界値としたこと，および排水盈や暗キョの深さや間隔とどのよう紅関係するか，Saint venantの式との対比などと とも紅今後の検討紅まつことにする． この研究に．要した費用の一部は50，51年鹿又部省科学研究費（総合研究A，分担）把．よって支払うことができた． 引 用 文 献 （1）田地野直哉：土地改良，10（5），18−24（1960）． （2）D．KIRKHAM：Trans．AGU，Ⅴ．30−3，369− 385（1949）． （1977年10月15日 受理）
