2019対策 千葉大・文系数学

《2019 入試対策》

千葉大学

文系数学

過去問

ライブラリー

1998－2018

電送数学舎

ま え が き

本書には，1998 年度以降に出題された千葉大学（前期日程）の文系数学の全問題 とその解答例を掲載しています。 過去問の演習をスムーズに進めるために，現行課程入試に対応した内容分類を行っ ています。なお，複数領域の融合問題の配置箇所は，鍵となっている分野です。 また，利便性の向上のため，対応する問題と解答例のページにリンクを張っていま す。問題編の１, ２,…などの問題番号，解答編の 問 題 の文字がリンク元です。

本書の構成について

１ 本書は2 部構成になっています。｢分野別問題一覧｣と｢分野別問題と解答例｣です。 ２ 標準的な活用方法については，以下のように想定しています。 (1) ｢分野別問題一覧｣から問題を選び，答案をつくる。 (2) ｢分野別問題と解答例｣で，答案をチェックする。 (3) 1 つの分野で，(1)と(2)を繰り返す。 (4) 完答できなかった問題だけを，再度，繰り返す。 (5) 出題の流れをウェブサイトで入試直前に確認する。 注 「複素数平面」は範囲外ですので除外しました。 「期待値」が主でない確率問題は掲載しています。

目 次

分野別問題一覧 ……… 3 分野別問題と解答例 ……… 21 関 数 ……… 22 微分と積分 ……… 27 図形と式 ……… 48 図形と計量 ……… 58 ベクトル ……… 68 整数と数列 ……… 80 確 率 ……… 97 論 証 ……… 116

分 野 別 問 題 一 覧

関 数／微分と積分／図形と式

図形と計量／ベクトル

－4－

■ 関数 ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

１ 右図のような1 辺の長さ10cm の正方形 ABCD がある。 点P および点 Q は時刻 0 に A および B をそれぞれ出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒1cm 進む。また, 点R は時刻 0 に B を出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計 回りに毎秒2cm 進む。点 R が A に達するまでに PQR△ の 面積が35cm となる時刻をすべて求めよ。 2 [2014] ２ a を実数とする。関数_f(_x)_x2_{a x}2 _a₄2 _{の最小値をa を用いて表せ。} [2010] ３ a を実数とする。x についての方程式 _x2 _ax2_{a a}1_{が異なる実数解をち} ょうど2 個もつような a の値の範囲を求めよ。 [2007] ４ 実数 a に対し, 2 次関数 _f(x)_x2_ax_a2 _5a_{を考える。} (1) 方程式f(x)0が異なる2 つの実数解をもつような a の範囲を求めよ。 (2) 2 次関数y f( x)のグラフが 2 点(, 0), )(, 0 を通り, 31≦＜≦ とな るようなa の範囲を求めよ。 [2006] ５ 2 次関数 f ( )x ax2 bx c _{について以下の問いに答えよ。ただし, a＜0 とす} る。 (1) f ( )x を x で割った余りと x 1 で割った余りとが一致しているとする。このとき, a b になることを示せ。 (2) (1)の関数が, さらに次の(i), (ii)を満たすとき, f ( )x を求めよ。 (i) 曲線 y  f ( ) が直線 y xx  と接する。 (ii) 曲線 y f ( ) と 3 直線 yx 0, x  1, x0で囲まれた部分の面積は5 6であ る。 [2000] A B C D

■ 微分と積分

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ a を正の数とし, t は 0≦ ＜ を満たす数とする。点t a ( , (t t a- ) )2 における曲線 2 ( ) y= x a- の接線と, x 軸および y 軸で囲まれた領域を ( )D t とする。 (1) 領域 ( )D t の表す図形の面積を a および t を用いて表せ。 (2) 領域 ( )D t の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を a を用いて表 せ。 (3) s は 0≦ ≦ を満たす数とする。領域s t D t と領域 ( )( ) D s を合わせてできる領域 ( ) ( ) D t ÈD s の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を a を用い て表せ。 [2018] ２ 座標平面上の点 ( ,a b から曲線) _y=x3_{-3xに引ける接線の本数をn とする。} (1) n = を満たすような点 ( ,3 a b の範囲を図示せよ。 ) (2) 3a b- < かつn ≦ を満たすように点 ( ,2 a b が動くとき, 3) b- aの最小値を求め よ。 [2017] ３ a は 0< < を満たす定数とする。a 2 0≦ ≦ を満たす実数t 1 t に対して, 座標平面 上の 4 点 A ( , 0 )t , _{B( 2, t , C( 2}2_{) -t, 2), D( 0, 2-at)を考える。このとき, 四角} 形ABCD の面積 ( )S t が最小となるような t の値を求めよ。 [2016] ４ m を実数とする。x に関する方程式 _x3_{-3x- x m- = の実数解の個数を求0} めよ。 [2015] ５ 実数 a に対し, 関数 ( ) x 1 1 x x =

ò

+ t+ dt a+ f を考える。曲線C y: = f( )x がx 軸と2 点の共有点をもつための a の範囲を求めよ。またこのとき曲線 C と x 軸で囲 まれる部分の面積を求めよ。 [2014]

－6－ ６ a と k を正の実数とする。 2 2x a y のグラフを平行移動して得られる放物線C1 と 2 x2 a y のグラフを平行移動して得られる放物線C が, ともに原点2 O(0, 0)で直 線ykxに接するものとする。原点 O を通り, 直線ykxに垂直な直線を l とする。 放物線C と直線 l によって囲まれる図形の面積を1 S , 放物線1 C と直線 l によって囲2 まれる図形の面積をS とおき, 2 SS1S2とする。次の問いに答えよ。 (1) S を a と k を用いて表せ。 (2) k 21とする。S を最小にする a の値と, そのときの S の値を求めよ。 [2009] ７ 2 次関数 f( x)は, x x  x  x x



t dt



x t dt 0 1 0 2 3 _{( ) ( ) ( )} 3 2 ) ( f f f を満たすとす る。 (1) )f( x を求めよ。 (2) 関数x f( x)のx≧0 における最小値を求めよ。 [2008] ８ 関数f( x)を次のように定義する。     ) 1 ( 1 ) 1 ( ) ( ＞ ≦ x x x x f また, _g(x₎x2 axb_{とする。yg( x)のグラフがy f( x)のグラフと 2 点} で接するとき, 次の問いに答えよ。 (1) a, b の値を求めよ。 (2) )y f( x とy g ( x)のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ。 [2006] ９ a は実数とする。2 つの曲線_yx3 _2_ax2 _3_a2_x4_とyax2_2a2_x3aは, ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ。このときa を求めよ。 [2005] 10 3 次関数f( x)および 2 次関数g( x)を, f(x)x3, g(x)ax2 bxcとし, ) ( x y f とy g ( x)のグラフが点





8 1 , 2 1 _{で共通の接線をもつとする。このとき以} 下の問いに答えよ。 (1) b, c を a を用いて表せ。 (2) )f(x)g(x の0≦x≦1 における最小値を a を用いて表せ。 [2004]

11 実数 t に対して, )f( t を 



1  0 2 ) (t x tx dx f と定める。0≦t≦1 のとき, ) (t f の最大値および最小値を求めよ。 [2002] 12 実数a に対して, 1_f(_x)_ax2 _2_axa2 _{ とおく。} (1) 定積分 



2 1 ( ) ) (a x dx I f をa を用いて表せ。 (2) )f(x が条件f(1)≦1を満たすようなa の範囲を求めよ。 (3) a が(2)の範囲を動くとき, )I(a の最大値および最小値を求めよ。 [2001] 13 a, b を整数とする。3 次関数_f(x)_x3 _ax2 _2bx_{が, 0＜x＜2 の範囲で極大値} と極小値をもつとき, a, b の値を求めよ。 [2001]

14 三角形 ABC において, 辺 BC 上に点 D があり, BAD CAD 30 である。  AB p, ACqとおく。 (1) AD の長さを p, q で表せ。 (2) p q  1を満たすとき, △ABD の面積と△ACD の面積の差の絶対値が最大にな るp の値を求めよ。 [2000] 15 与えられた実数 a, b のうち, 大きくない方をmin



a b で表すことにする。,



関数 f ( )x x3 _{7 に対して}x _{g( ) minx }

_

_{f(x1), f(x1)}

_

_とおく。 (1) 0≦ ≦x 3のとき, y g ( ) が最大となる x の値, および最小となる x の値をそれx ぞれ求めよ。 (2) 2 つのグラフ y f ( ) と yx  g ( ) で囲まれた部分の面積を求めよ。 x [1998]

－8－

■ 図形と式

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ 座標平面上に 5 点 A ( 0, 0 ) , B( 0, 1) , C(1, 1) , D(1, 0 ) , E 0,

(

2

)

3 がある。 点 E と点P ( , 1)1 s ( 0< <s 1)を通る直線をl とする。直線1 y = に関して1 l と対称な1 直線をl とし, 2 l と直線2 x = の交点を1 P とする。さらに, 直線2 x = に関して1 l と対2 称な直線l は,3 x 軸と線分 AD 上で交わるとし, その交点をP とする。 3 (1) 直線l が点 D を通るときの s の値を求めよ。 2 (2) 線分DP の長さを3 s を用いて表せ。 (3) EP1+P P1 2+P P2 3の最大値と最小値を求めよ。 [2016] ２ 座標平面上に, 原点を中心とする半径 1 の円と, その円に外接し各辺が x 軸ま たはy 軸に平行な正方形がある。円周上の点 ( cos , sin ) 

(

ただし0< < ₂

)

におけ る接線と正方形の隣接する2 辺がなす三角形の 3 辺の長さの和は一定であることを示 せ。また, その三角形の面積を最大にする を求めよ。 [2014] ３ a, b を実数とし, 0a > とする。放物線 2 4 x y = 上に2 点A

(

, 2

)

4 a a , B ,

(

2

)

4 b b をとる。点A における放物線の接線と法線をそれぞれl とA n , 点 B における放物線A の接線と法線をそれぞれl とB n とおいたとき, B l とA l が直交しているものとする。B 2 つの接線l , A l の交点を P とし,B 2 つの法線n , A n の交点を Q とする。 B (1) b を a を用いて表せ。 (2) P, Q の座標をa を用いて表せ。 (3) 長方形 AQBP の面積が最小となるようなa の値と, そのときの面積を求めよ。 [2013] ４ 放物線_y=x2_{上の点( ,a a における接線を}2₎ a l とする。 (1) 直線l が不等式a y> -x2+2x- の表す領域に含まれるような5 a の範囲を求めよ。 (2) a が(1)で求めた範囲を動くとき, 直線l が通らない点 ( ,a x y 全体の領域 D を図) 示せよ。 (3) 連立不等式 _{(y x-} 2_{)(y x+} 2_{-2x+ ≦5) 0, (y y + ≦ の表す領域を E とする。5) 0} D と E の共通部分の面積を求めよ。 [2012]

５ a は正の実数とし, 座標平面上の直線 :l y= と放物線x C y: =ax2を考える。C 上の点( ,x y)

(

0 x 1

)

a ただし ＜ ＜ でl との距離を最大にする点を P( , )s t とおく。また P と l との距離を d とおく。以下の問いに答えよ。 (1) d, s, t をそれぞれ a の式で表せ。また点 P での放物線 C の接線の傾きを求めよ。 (2) 実数a を a＞0 の範囲で動かしたとき, 点 P( , )s t の軌跡を求め, 図示せよ。 [2011] ６ 放物線_{C : yx}2_{上の2 点 A, B は, 直線 AB とC で囲まれる図形の面積が} 6 1 に なるという条件を満たしながらC 上を動くとする。このとき, 直線 AB が通りうる点 の範囲を求め, 図示せよ。 [2003] ７ 座標平面上に, 中心がそれぞれ点(0, 1), 点(2, 1)で, 同じ半径 1 をもつ 2 つ の円C と1 C がある。次の問いに答えよ。 2 (1) 2 円C1, C2と x 軸に接するように円C を描く。このとき円3 C の中心の座標を3 求めよ。 (2) さらに, 2 円C1, C3とx 軸に接するように円C とは異なる円2 C を描く。このと4 き円C の中心の座標を求めよ。 [2002] 4 ８ 直線 y   と放物線 yx x2 _{2 とで囲まれた図形を}x _{D とする。} (1) D の面積 S1を求めよ。 (2) D を x 軸の正の方向に m だけ平行移動して, 不等式 y≧2x3 の表す領域に含 まれるように移す。m の最小値 m1を求めよ。 (3) m1を(2)で求めた最小値とする。D を x 軸の正の方向に m1だけ平行移動すると き, D が通過する範囲を図示し, その面積 S2を求めよ。 [1999]

－10－

■ 図形と計量

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ 右図のような 1 辺の長さが 2 の立方体 ABCD-EFGH に対して, 対角線 AG と DF の交点を O とする。 線分 AO 上の点 P と線分 DO 上の点 Q が OQ=2AP 1 -を満たしながら動くとき, △OPQ の面積の最大値を求め よ。ただし, 点 P, Q は点 O とは一致しないものとする。 [2018] ２ 座標平面上に 3 点 O( 0, 0 ) , A (3, 3 ) , B( 9, 0 ) がある。線分 OB 上に 2 点 P, Q を PAQ =90 となるようにとる。ただし, 点 Q のx 座標は点 P の x 座標より大き いものとする。APQ= とし, △APQ の面積を S とする。 (1) S を を用いて表せ。 (2) S の最小値, およびそのときの点 P と点 Q の x 座標を求めよ。 (3) S が△AOB の面積の 2 3倍となるとき, 点 P と点 Q のx 座標を求めよ。 [2017] ３ 1 辺の長さ 1 の正三角形 ABC において, BC を1 : 2 に内分する点を D, CA を 1 : 2 に内分する点を E, AB を1 : 2 に内分する点を F とし, さらに BE と CF の交点 をP, CF と AD の交点を Q, AD と BE の交点を R とする。このとき, △PQR の面積 を求めよ。 [2015] ４ 1 辺の長さが 3 の正四面体 OABC において, 辺 BC を1 : 2 に内分する点を D と する。また, 辺 OC 上に点 E をとり, CE= とする。 t (1) AD の長さを求めよ。 (2) cos DAE をt を用いて表せ。 (3) △ADE の面積が最小になるときのt の値とそのときの面積を求めよ。 [2013] ５ 三角形 ABC の面積は 3 3 4 + _{, 外接円の半径は 1, BAC 60 = , AB＞AC であ} る。このとき, 三角形 ABC の各辺の長さを求めよ。 [2011] A B C D E F G H

６ △ABC において，頂点 A から直線 BC に下ろした垂線の長さは 1, 頂点 B から 直線CA に下ろした垂線の長さは 2 , 頂点 C から直線 AB に下ろした垂線の長さは 2 である。このとき, △ABC の面積と, 内接円の半径, および, 外接円の半径を求め よ。 [2010] ７ △ABC はABACの二等辺三角形とする。∠A, ∠B の大きさをそれぞれ A, B とおく。A 30のとき, 次の問いに答えよ。 (1) 頂点 A から対辺 BC に下ろした垂線を AH とする。ただし, H は辺 BC 上の点で ある。このとき BC AH の値を求めよ。 (2)

 

A cosB 2 sin の値を求めよ。 [2009] ８ △ABC において, 5AB , BC5sinA, 3CA  であるとする。 (1) 辺 BC の長さを求めよ。 (2) △ABC の内接円の半径を求めよ。 [2006] ９ 1 辺の長さが 1 の正三角形 ABC がある。辺 BC の中点 M を中心とする半径 r の円が辺 AB および辺 AC と共有点をもつとき, AB との共有点のうち頂点 A に近い 方の点をD とし, AC との共有点のうち頂点 A に近い方の点を E とする。 (1) AD の長さが 4 3 であるとき, r の値を求めよ。 (2) AD の長さを x とおくとき, _{r を x の式で表せ。}2 (3) DMEとおくとき, 3 1 cos  となるr の値を求めよ。 [2004]

－12－

■ ベクトル

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ n を 4 以上の整数とする。座標平面上で正 n 角形A A1 2Anは点O を中心とす る 半 径 1 の円に内接している。a =OA1   , b =OA2   , c =OA3   , d =OA4   と し, 2 2cos k n = とおく。そして, 線分A A と線分1 3 A A との交点 P は線分2 4 A A を1 3 : 1 t - に内分するとする。 t (1) aおよびdを, b, c, k を用いて表せ。 (2) t を k を用いて表し, 1 3 2≦ ＜t 4を示せ。 (3) 不等式 2 3 1 2 4 PA A 1 A A A >12 △ △ を示せ。 [2017] ２ 座標平面上にすべての内角が180 未満の四角形 ABCD がある。原点を O とし, OA=a, OB b=, OC=c, OD d=とおく。k は0≦ ≦ を満たす定数とする。0k 1 以上の実数s, t, u がk s t u+ + + = を満たしながら変わるとき 1 OP=ka sb tc ud+ + +  で定められる点P の存在範囲を ( )E k とする。 (1) (1)E およびE( 0 )を求めよ。 (2)

( )

1 3 E を求めよ。 (3) 対角線 AC, BD の交点を M とする。どの ( )E k

(

1 1

)

3≦ ≦k 2 にも属するような点 P を考える。このような点 P が存在するための必要十分条件を, 線分 AC, AM の長 さを用いて答えよ。 [2016] ３ 三角形 ABC の外心を O, 重心を G とする。 (1) OG 1OA 3 =   が成り立つならば, 三角形 ABC は直角三角形であることを証明せ よ。 (2) k が 1 3 k ¹ を満たす実数で, OG=kOAが成り立つならば, 三角形 ABC は二等 辺三角形であることを証明せよ。 [2011]

４ 平面上の△ABC において, 辺 AB を4:3に内分する点をD, 辺 BC を1:2に内 分する点をE とし, 線分 AE と CD の交点を O とする。 (1) ABp, ACqとするとき, ベクトル AO を p , q で表せ。 (2) 点 O が△ABC の外接円の中心になるとき, 3 辺 AB, BC, CA の長さの 2 乗の比を 求めよ。 [2008] ５ 平面上でAB となる 2 点 A, B をとる。点 A を中心とする半径 1 の円を S と3 し, 点 B を中心とする半径 2 の円を T とする。2 点 C, D は円 S 上を動き, 2 点 E, F は円T 上を動く。ただし, 線分 CD は点 A を通り, 線分 EF は点 B を通る。このとき 内積CEDFの最大値と最小値を求めよ。 [2007] ６ xyz 空間内に点A(1, 1, 2)と点B(5, 4, 0)がある。点 C が y 軸上を動くと き, 三角形 ABC の面積の最小値を求めよ。 [2004] ７ R を平面上の凸六角形とし, その頂点を順に A, B, C, D, E, F とする。a AB, BC  b , cCDとおく。R がEDa, FE b=を満たすとする。 (1) AFcであることを示せ。 (2) 三角形 ACE と三角形 BDF の重心が一致するとき, a, b, cの間の関係を求め よ。 (3) R が(2)の条件を満たし, さらに内積に関してa b4, b c1, a c1を満た すとき, R の面積を求めよ。 [2003] ８ 三辺の長さが OA 2, OB3, AB 7の三角形 OAB がある。OA の中点を M とし, B を始点とする半直線 BM 上に BP tBMとなる点 P をとり, OA  a , OB b とする。 (1) OP を a b, とt を用いて表せ。 (2) a と b の内積 a b を求めよ。 (3) AP BM となるときt の値を求めよ。 [1999]

－14－ ９ 空間に, 同一直線上にない 3 点 O, A, B と 1 点 P がある。O, A, B を通る平面を とし, 点 P は上にないとする。OA a, OBb, OP pとおき, a  2 , b  2 , a b  1, p a 2, p b  2とする。 (1) p sa tb  が平面に垂直になるように実数s, t を定めよ。 (2) 平面に関して点 P と対称な点を Q とするとき, ベクトル OQ を a b p, , を用 いて表せ。 (3) 三角形 OPQ の面積が 2 2 3 のとき, p の大きさ p を求めよ。 [1998]

■ 整数と数列

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ 初項が 1 で公差が 6 である等差数列 1, 7, 13, …の第 n 項をa とし, また初項n が3 で公差が 4 である等差数列 3, 7, 11, …の第 m 項をb とする。2 つの数列 {m a , n} {b に共通して現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を { }m} c とし, 2 つの数k 列{a , {n} b の少なくとも 1 つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできm} る数列を{ }d とする。したがってl c = であり, また数列 { }1 7 d のはじめの 5 項は 1, 3, l 7, 11, 13 となる。 (1) 数列 { }c の一般項を求めよ。 k (2) d1000およびd1001の値を求めよ。 [2018] ２ k, m, n を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) 2k_{を7 で割った余りが 4 であるとする。このとき, k を 3 で割った余りは 2 であ} ることを示せ。 (2) 4m+5nが3 で割り切れるとする。このとき, 2mn_{を7 で割った余りは 4 ではな} いことを示せ。 [2015] ３ 整数 p, q (p q≧ ≧0 )に対して 2 項係数を C ! !( )! p q =_{q p q}p_- と定める。なお, 0! 1= とする。 (1) n, k が 0 以上の整数のとき, 1 1

(

)

1 1 1 C C C n k k n k k n k k + + + + + + ´ - を計算し, n によら ない値になることを示せ。 (2) m が 3 以上の整数のとき, 和 3 3 4 3 5 3 3 1 1 1 1 C + C + C ++ mC を求めよ。 [2013]

４ p, q を互いに素な 2 以上の整数, m, n は m n< なる正の整数とする。このとき, 分母がp q で2 2 , 分子が p でも q でも割り切れない分数のうち, m よりも大きく n よ りも小さいものの総数を求めよ。 [2012] ５ 1 より小さい正の実数 a に対して, 円_{C a( ) : (x a+ -1)}2_{+(y a+ -1)}2_=2a2_と 定める。そのうえで, 数列

{ }

a を以下の方法によって定める。n (i) n = のときは, 円 ( )1 C a が x 軸と接するような定数 a の値をa とする。さら1 に, 円C a と x 軸との接点を( )1 P とし, 円1 C a の中心を( )1 Q とおく。 1 (ii) n≧2 のときは, 円 ( )C a が直線P Qn-1 n-1と接するような定数 a の値をa とすn る。さらに, 円 (C a と直線n) P Qn-1 n-1との接点をPnとし, 円 (C a の中心を Qn) n とおく。 このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) a を求めよ。 1 (2) a を求めよ。 2 (3)

{ }

a の一般項を求めよ。n [2012] ６ 放物線_yx2_{と直線yaxbによって囲まれる領域を}



x y x y ax b



D ( , )| 2≦ ≦  とし, D の面積が₂9 であるとする。座標平面上で, x 座標, y 座標がともに整数である 点を格子点と呼ぶ。 (1) a0のとき, D に含まれる格子点の個数を求めよ。 (2) a, b がともに整数であるとき, D に含まれる格子点の個数は, a, b の値によらず一 定であることを示せ。 [2010] ７ 以下の問いに答えよ。 (1) x を有理数とする。_{7x が整数ならば, x は整数であることを示せ。} 2 (2) a, b を整数とする。_a2_7b2_{が4 の倍数ならば, a と b はともに偶数であること} を示せ。 (3) r は整数, s は有理数とする。

 

2 ₇ 2 2r  s が整数ならば, s は整数であることを示 せ。 [2008]

－16－ ８ n を奇数とする。 (1) 1_n2_{ は8 の倍数であることを証明せよ。} (2) n5 n_{は3 の倍数であることを証明せよ。} (3) n5 n_{は120 の倍数であることを証明せよ。 [2007]} ９ 数列

 

a において, 2n a1  , 4a2  である。 n n n a a b _ 1 _{(n1, 2, )とおく} とき,

 

b は正の公比をもつ等比数列とする。 n (1) 1 2 2 1) (     n n n n n a a a a a を, b , n bn1を用いて表せ。 (2)



     6 1 1 2 2 1) ( n n n n n n a a a a a 1456   が成り立つとき (i) 一般項b を求めよ。 n (ii) 一般項a を求めよ。 [2005] n 10 数列

 

a を, 2n a1  , an _n1 



1_n1



an1(n2, 3, )で定める。 (1) 一般項a を求めよ。 n (2)



 n k k a k 1 2 _{を求めよ。 [2003]} 11 以下の問いに答えよ。 (1) n を自然数とする。このとき, _{n を}2 _{4 で割った余りは 0 または 1 であることを} 証明せよ。 (2) 3 つの自然数 a, b, c が, _a2 _b2 _c2_{を満たしている。このとき, a, b の少なくと} も一方は偶数であることを証明せよ。 [2001] 12 数列

 

a_n は次の(i), (ii)を満たすとする。 (i) a₁ 1 2  (ii) n≧2 について, a S S n n n   2 2 1 2 ただし, S_n a₁ a₂  a_nである。 (1) a₂を求めよ。 (2) n≧2 に対して, S_nをS_n1で表せ。 (3) S_nを求めよ。 (4) n≧2 に対して, a_nを求めよ。 [2000]

13 a1  , a1 n  0 , an Sn2 Sn12 (n 2 3 4  で与えられる数列, , , )

 

an が ある。ただし, Snは

 

an の初項から第n 項までの和である。 (1) a2を求めよ。 (2) Snを求めよ。 (3) anを求めよ。 [1999] 14 座標平面において, 2 点 P, Q をそれぞれ直線 x  1, x 2上の点とし, 直線 PQ が円 x2 _y2 _{ に接するように動くものとする。このとき, 2 点 P, Q の y 座標が1} ともに整数であるようなP, Q の組をすべて求めよ。 [1998]

■ 確率 ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

１ 箱の中に n 枚のカードが入っている。ただしn ≧ とする。そのうち3 1 枚は金 色, 1 枚は銀色, 残りの (n -2)枚は白色である。この箱からカードを 1 枚取り出し, その色が金なら50 点, 銀なら 10 点, 白なら 0 点と記録し, カードを箱に戻す。この 操作を繰り返し, 記録した点の合計が k 回目にはじめて 100 点となる確率を ( )P k と する。 (1) 確率 ( 4 )P を求めよ。 (2) 確率 ( 6 )P を求めよ。 (3) 確率 (11)P を求めよ。 [2018] ２ 1 個のさいころを 3 回投げて, 以下のルールで各回の得点を決める。 ・ 1 回目は, 出た目が得点になる。 ・ 2 回目は, 出た目が 1 回目と同じならば得点は 0, 異なれば出た目が得点になる。 ・ 3 回目は, 出た目が 1 回目または 2 回目と同じならば得点は 0, どちらとも異な れば出た目が得点になる。 3 回の得点の和を総得点とし, 総得点が n となる確率をp とする。n (1) 総得点 n の最大値, 最小値と, それらの n に対するp を求めよ。n (2) p を求めよ。6 [2017]

－18－ ３ 1 個のさいころを 2 回投げ, 最初に出た目を a, 2 回目に出た目を b とする。2 次方程式x2-ax b+ = について, 次の問いに答えよ。 0 (1) 実数解は存在すれば正であることを示せ。 (2) 実数解の個数が 1 となる確率を求めよ。 (3) 実数解の個数が 2 となる確率を求めよ。 [2016] ４ さいころを 5 回振るとき, 初めの 4 回においては 6 の目が偶数回出て, しかも 最後の2 回においては 6 の目がちょうど 1 回出る確率を求めよ。ただし, 6 の目が一 度も出ない場合も6 の目が出る回数を偶数回とみなす。 [2015] ５ A, B ふたりは, それぞれ 1 から 4 までの番号のついた 4 枚のカードを持ち, そ れを用いて何回かの勝負からなる次のゲームをする。 ・初めにA, B はそれぞれ 4 枚のカードを自分の袋に入れ, よくかきまぜる。 ・A, B はそれぞれ自分の袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出し, そのカードを 比較して 1 回の勝負を行う。すなわち, 大きい番号のついたカードを取り出した 方がこの回は勝ちとし, 番号が等しいときはこの回は引き分けとする。 ・袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする。 ・A, B どちらかが 2 回勝てば, カードの取り出しはやめて, 2 回勝った方をゲーム の勝者とする。4 枚すべてのカードを取り出してもいずれも 2 回勝たなければゲ ームは引き分けとする。 このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) A が 0 勝 0 敗 4 引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ。 (2) A が 1 勝 1 敗 2 引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ。 (3) A がゲームの勝者になる確率を求めよ。 [2014] ６ 1 から 9 までの番号をつけた 9 枚のカードがある。これらを無作為に 1 列に並 べる試行を行う。 (1) 下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ。 (2) 下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ。 (3) 条件(A), (B)が同時に成り立つ確率を求めよ。 ただし, 条件(A), (B)は次のとおりである。 (A) 番号 1 のカードと番号 2 のカードは隣り合わない。 (B) 番号 8 のカードと番号 9 のカードの間には, ちょうど 1 枚のカードがある。 [2013]

７ さいころを 7 回投げ, k 回目(1≦ ≦k 7 )に出る目をX とする。k (1) 積X X が1 2 18 以下である確率を求めよ。 (2) 積X X1 2X7が偶数である確率を求めよ。 (3) 積X X1 2X7が4 の倍数である確率を求めよ。 (4) 積X X1 2X7を3 で割ったときの余りが 1 である確率を求めよ。 [2012] ８ 1 個のさいころを 3 回投げる。1 回目に出る目をa1, 2 回目に出る目をa2, 3 回 目に出る目をa とし3 , 整数 n を, n=(a1-a2)(a2-a3)(a3-a1)と定める。 (1) n = である確率を求めよ。 0 (2) n =30である確率を求めよ。 [2011] ９ 1 辺の長さが 2 の正六角形A1A2A3A4A5A6を考える。さいころを3 回投げ, 出 た目を順にi, j, k とするとき, △AiAjAkの面積を2 乗した値を得点とする試行を行 う。ただし, i, j, k の中に互いに等しい数があるときは, 得点は 0 であるとする。 (1) 得点が 0 となる確率を求めよ。 (2) 得点が 27 となる確率を求めよ。 (3) 得点の期待値を求めよ。 [2010] 10 1 から 9 までの番号をつけた 9 枚のカードがある。このなかから無作為に 4 枚 のカードを同時に取り出し, カードに書かれた 4 つの番号の積を X とおく。 (1) X が 5 の倍数になる確率を求めよ。 (2) X が 10 の倍数になる確率を求めよ。 (3) X が 6 の倍数になる確率を求めよ。 [2009] 11 n を自然数とする。1 個のさいころを続けて 2 回投げ, 1 回目に出た目の数を x, 2 回目に出た目の数を y とする。 xn  yn ≦nとなる確率をP で表すときn , 次 の問いに答えよ。 (1) P を求めよ。1 (2) P が最大となる n を求めn , そのときのP を求めよ。n (3) Pn ₃₆1 となるn を求めよ。 [2008]

－20－ 12 1 から 5 までの数字が書かれたカードが, それぞれ 2 枚ずつ, 合わせて 10 枚あ る。この中からカードを2 枚同時に取り出し, その数字を X, Y とする。ただし, X≦ Y とする。 (1) X Y となる確率を求めよ。 (2) X 3となる確率を求めよ。 (3) X の期待値を求めよ。 [2005] 13 n 枚のカードの表に 1, 2, …, n の数をそれぞれ 1 つずつ書く。この n 枚のカー ドを裏返しにして, よくまぜ, 重ねて, 上から順に 1, 2, …, n の数を書く。表と裏に 書かれた数が一致するカードが1 枚もない確率をp とする。n (1) p を求めよ。3 (2) n4のとき, 表と裏に書かれた数が一致するカードの枚数の期待値を求めよ。 (3) p を求めよ。5 [2003] 14 次の問いに答えよ。ただし同じ色の玉は区別できないものとし, 空の箱があっ てもよいとする。 (1) 赤玉 10 個を区別ができない 4 個の箱に分ける方法は何通りあるのか求めよ。 (2) 赤玉 10 個を区別ができる 4 個の箱に分ける方法は何通りあるのか求めよ。 (3) 赤玉 6 個と白玉 4 個の合計 10 個を区別ができる 4 個の箱に分ける方法は何通り あるのか求めよ。 [2002]

■ 論証

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| １ n を自然数とするとき, 次の問いに答えよ。 (1) k を 1≦k≦n を満たす自然数とするとき,

 

₁ 2 Ck _kk n k _n k n _{≦ ≦ が成り立つことを} 示せ。ただしnC は二項係数である。 k (2) 不等式



 

 n k k n _kn 1 21 ＜1 が成り立つことを示せ。 (3) 不等式



1 1



n＜3 n  が成り立つことを示せ。 [2009]

分野別問題と解答例

関 数／微分と積分／図形と式

図形と計量／ベクトル

－22－

問 題

右図のような 1 辺の長さ10cm の正方形 ABCD がある。 点P および点 Q は時刻 0 に A および B をそれぞれ出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計回りに毎秒1cm 進む。また, 点R は時刻 0 に B を出発し, 正方形 ABCD の周上を反時計 回りに毎秒2cm 進む。点 R が A に達するまでに PQR△ の 面積が35cm となる時刻をすべて求めよ。 2 [2014]

解答例

点R が C, D, A に達するのは, それぞれ 5 秒後, 10 秒後, 15 秒後である。そして, 出発してからt 秒後の△PQR の面積を S とし, S =35となるt を求める。 (i) 0≦ ≦ のとき t 5 PB 10 t= - , QR=2t t- = より, t 2 25 1 _{(10 )} 1_{( 5)} 2 2 2 S= t - = -t t- + 25 2 S≦ より, S =35となる場合はない。 (ii) 5≦ ≦t 10のとき PB=QC 10 t= - , BQ t= , CR=2t-10より, 1_{( 2 10 10 ) 10} 1_{(10 )( 2 10 )} 2 2 S= t- + - ⋅t - -t t+ t -2 3 _{15 50} 2t t = - + こ こ で, S =35と す る と, _t2_{-10t+10 0= と な り,} 5≦ ≦t 10から, t = +5 15 (iii) 10≦ ≦t 15のとき PC=QD=20 t- , CQ= -t 10, DR=2t-20より, 1 (2 20 20 ) 10 2 S= t- + - ⋅t 1 (20 )( 10 2 20) 2 t t t - - - + -2 3 _{40 300} 2t t = - + ここで, 35S = とすると, _3t2_{-80t+530= となり, 0} 10≦ ≦t 15から, t=40₃ 10 (i)～(iii)より, t = +5 15, 40 10 3  _である。

コメント

高校入試に出題されるようなタイプです。場合分けも難しくありません。 A B C D A B C D P Q R A B C D P Q R A B C D P Q R

問 題

a を実数とする。関数 _f(_x)_x2_{a x}2 _a₄2 _{の最小値をa を用いて表せ。} [2010]

解答例

関数 4 2 ) (_{x x}2_{a x }a2 f に対して,



x a



a a x a x x) ( 2) _{4 2} 2 ( _ 2_{  } 2 _{ } 2_ f ( ≧x 2)



x a



a a x a x x) ( 2) _{4 2} 2 ( _ 2_{  } 2 _{ } 2_ f ( ≦x 2) (i) ₂a≧2かつ₂a≦2( ≧a 4)のとき 2 ≧ x における f(x)の最小値は f

 

₂a 2a, 2x≦ における f(x)の最小値は

 

a₂ 2a f となり, 2a＞2aから, )f(x の最小値はf

 

a₂ 2aである。 (ii) ₂a≦2かつa₂≧2(a≦4)のとき 2 ≧ x における f(x)の最小値は 4 4 ) 2 (  a2 f , 2x≦ における f(x)の最小値 は 4 4 ) 2 (  a2 f となり, )f(x の最小値は 4 4 ) 2 (  a2 f である。 (iii) ₂a≦2かつ₂a≦2(4≦a≦4)のとき 2 ≧ x における f(x)の最小値は 4 4 ) 2 (  a2 f , 2x≦ における f(x)の最小値 はf

 

a₂ 2aとなり, 0 ) 4 ( 4 1 ) 2 ( 4 4_a2 _{  a  a} 2_{≧ ,} a _2a 4 4 2≧ よって, )f(x の最小値はf

 

a₂ 2aである。 (i)～(iii)より, )f(x の最小値は, 4a≦ のとき 4 4a2 , 4a≧ のとき2aである。

コメント

放物線の軸 2 a x がx≧2の範囲に入っているかどうか, またx₂aがx≦2の範 囲に入っているかどうかで場合分けをしています。なお, ₂a≧2かつ₂a≧2のとき は, a の値が存在しないので, 記述を省きました。

－24－

問 題

a を実数とする。x についての方程式 _x2 _ax2_{a a}1_{が異なる実数解をちょ} うど2 個もつような a の値の範囲を求めよ。 [2007]

解答例

1 2 2 _{ax a a} x に対して,





2 1 4 2 2 2     a a a a x ………(＊) (i) 2 0 4 2 ≧ a a   (0≦a≦8)のとき (＊)が異なる実数解を 2 個もつ条件は, a a 2a 4 1  2   ＞ 0 4 4 2 _{ a ＞} a , 0(_a2)2_{＞ , a 2} よって, 20≦a＜ , 82＜a≦ (ii) 2 0 4 2 ＜ a a   (a＜0, 8＜a)のとき (＊)が異なる実数解を 2 個もつ条件は, 0a1 またはa



a 2a



4 1   2   ＞ (ii-i) a10のとき a1 (ii-ii) a



a 2a



4 1   2   ＞ のとき 0 4 12 2 _{ a ＜} a , 62 10＜a＜62 10 よって, a1, 62 10＜a＜0, 8＜a＜62 10 (i)(ii)より, (＊)が異なる実数解を 2 個もつ条件は, 1   a , 62 10＜a＜2, 2＜a＜62 10

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グラフをイメージしながら解いています。x 軸に関して折り返しのない場合が(i), ある場合が(ii)です。

問 題

実数a に対し, 2 次関数 _f(x)_x2_ax_a2 _5a_{を考える。} (1) 方程式f(x)0が異なる2 つの実数解をもつような a の範囲を求めよ。 (2) 2 次関数y f( x)のグラフが 2 点(, 0), )(, 0 を通り, 31≦＜≦ とな るようなa の範囲を求めよ。 [2006]

解答例

(1) 0f(x) すなわち_x2 _axa2 _5_{a }0_{が異なる2 つの実数解をもつ条件は,} 0 ) 5 ( 4 2 2 _{a a ＞} a D    まとめると, 05a(a4)＞ より, 0a＜ , 4＜a (2) )y f( x のグラフとx 軸の交点x , が1≦＜≦3を満たす条件は, まず (1)から, 0a＜ , 4＜a………① また, )y f( x のグラフの軸が 2 a x なので, 3 2 1＜ a＜ より, 6 2＜a＜ ………② さらに, 0_f(1)_1_aa2_5_{a≧ より, a}2 _{ a4 1≦0} 5 2 5 2 ≦a≦  ………③ 0 5 3 9 ) 3 ( _{  aa}2 _{ a≧} f より, _a2 _{ a}2 _9_≦0 10 1 10 1 ≦a≦  ………④ ①～④の共通範囲をとって, 4＜a≦1 10

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解の配置の基本問題です。共通範囲をとるところでミスをしないようにしましょう。

－26－

問 題

2 次関数 f ( )x ax2 bx c _{について以下の問いに答えよ。ただし, a＜0 とする。} (1) f ( )x を x で割った余りと x 1 で割った余りとが一致しているとする。このとき, a b になることを示せ。 (2) (1)の関数が, さらに次の(i), (ii)を満たすとき, f ( )x を求めよ。 (i) 曲線 y  f ( ) が直線 y xx  と接する。 (ii) 曲線 y f ( ) と 3 直線 yx 0, x  1, x0で囲まれた部分の面積は5 6であ る。 [2000]

解答例

(1) 剰余の定理を利用して, f( )0 f(1), c a b c   から, a b (2) (1)より, f ( )x ax2 ax c ここで, 条件(i)より, y f ( ) と y xx  と接するので, ax2 _ax c x_{  , ax}2 _{(a1)x c 0} D(a1)2 4ac0_………① 条件(ii)より,     



(ax2 ax c dx) 1 0 ₅ 6





     a_x a_{x cx} 3 2 5 6 3 2 1 0 a a  c 3 2 5 6, c a   6 5 6………② ①②より, (a1) 4a



a 



 6 5 6 0 2 _{, a}2 _{4a  から, a  3 0 1, 3} a 1 のとき, ②より c  1 となり, f ( )x  x2  x ₁ a 3 のとき, ②より c  4 3となり, f ( )x  3x 3x 4 3 2

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(1)の条件から, y  f ( ) の軸が x  x 1 2であることを見抜けば, 場合分けなしに f ( )x が決定できます。 x y O  1 c

問 題

a を正の数とし, t は 0≦ ＜ を満たす数とする。点t a ( , (t t a- ) )2 における曲線 2 ( ) y= x a- の接線と, x 軸および y 軸で囲まれた領域を ( )D t とする。 (1) 領域 ( )D t の表す図形の面積を a および t を用いて表せ。 (2) 領域 ( )D t の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を a を用いて表 せ。 (3) s は 0≦ ≦ を満たす数とする。領域s t D t と領域 ( )( ) D s を合わせてできる領域 ( ) ( ) D t ÈD s の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を a を用い て表せ。 [2018]

解答例

(1) 曲線 _{y=(x a- )}2_{に対しy¢ =2(x a- )となり, 0≦ ＜t a} において, 点_{( , (t t a- ) )}2 _{における接線の方程式は,} 2 ( ) 2( )( ) y- -t a = t a x t- -2 2 2( ) y= t a x t- - +a ………① すると, ①と y 軸との交点は_{( 0, - +t}2 _a2_{)となり, また x} 軸との交点は

(

, 0

)

2 t a+ _である。 そこで, 接線①と x 軸および y 軸で囲まれた領域 ( )D t の 面積をS t とおくと, ( ) 2 2 1 ( ) ₂ t a₂ ( ) S t = ⋅ + - +t a 1 ( 3 2 2 3₎ 4 t at a t a = - - + + ………② (2) ②より, _{( )} 1_{( 3} 2 ₂ 2₎ 4 S t¢ = - t - at a+ 1 (3 )( ) 4 t a t a = - - + すると, 0≦ ＜ におけるt a S t の増減は右表( ) のようになる。これより, ( )S t は 3 a t = のとき最 大となり, 最大値は,

( )

1

(

3 3 3 3

)

8 3 3 4 27 9 3 27 a a a a S = - - + +a = a (3) 0≦ ≦ ＜s t aのとき, 点_{( , (s s a- ) )}2 _{における接線の方} 程式は, ①より, 2 2 2( ) y= s a x s- - +a ………③ さ て, 2 つの領域 ( )D t と ( )D s を合わせてできる領域 ( ) ( ) D t ÈD s の面積をT t s とすると, ( , ) (i) 0≦s t= ＜ のとき a t 0 … ₃a … a ( ) S t¢ _{＋ 0 －} ( ) S t   O x y t a y

－28－ (ii) 0≦ ＜ ＜ のとき s t a ①③を連立すると, _{2(t a x t- ) - +}2 _a2_{=2(s a x s- ) -} 2_+a2_から, 2 2 2(t s x- ) =t -s , 2 t s x= + よって, _{( , ) ( )} 1_{( 2 2_{) (} 2 2_{) }} 2 t s2 T t s =S t + - +s a - - +t a ⋅ + となり, 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 ( , ) ( ) ( ) 4 4 T t s = - -t at +a t a+ + t +st -s t s- ………④ ここで, t をt=t0( 0＜ ＜t0 a)で固定し, s を0≦ ＜s t0で動かすと考え, 3 2 2 3 3 2 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) 4 4 T t s = -t -at +a t +a + t +t s t s- -s 2 2 0 1 0 0 ( , ) (3 2 ) 4 T t¢ s = - s + t s t = -1 (3₄ s t- 0)(s t+ 0) すると, 0≦ ＜s t0におけるT t( , )0 s の 増 減 は 右 表 の よ う に な る 。 こ れ よ り, 0 ( , ) T t s は 0 3 t s = のとき最大となり, 最大値は,

(

0

)

3 2 2 3

(

3 03 03 03

)

0, t₃ 1₄( 0 0 0 ) 1₄ 0 t₃ t₉ t₂₇ T t = -t -at +a t +a + t + -

(

3 2 2 3

)

0 0 0 5 1 4 27t at a t a = - + + さらに, この状態を保ったままt を0 0＜ ＜t0 aで動かすと考え, 変数をt から t0 に戻し ( )

(

,

)

3t U t =T t とおき直すと, _{( )} 1

(

5 3 2 2 3

)

4 27 U t = t -at +a t a+ から,

(

5 2 2

)

1 ( ) _{4 9} 2 U t¢ = t - at a+ 1 (5 3 )( 3 ) 36 t a t a = - -すると, 0＜ ＜t aにおけるU t の増減は( ) 右表のようになる。 これより, ( )U t は 3 5 t= aのとき最大となり, 最大値は,

(

3

)

1

(

5 27 3 9 3 3 3 3

)

8 3 5 4 27 125 25 5 25 U a = ⋅ a - a + a +a = a (i)(ii)より, ( , )T t s は, 3 5 t= a, 1 3 3 5 a5 s= ⋅ a= のとき, 最大値 8 3 25a をとる。

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微分と最大・最小に関する問題です。(3)は 2 変数関数が対象の設問で, 1 文字を固 定して処理しています。ただ, 重複をいとわず丁寧に記述したところ，かなりの分量 になってしまいました。 s 0 … t ₃0 … t 0 0 ( , ) T t¢ s _{＋ 0 －} 0 ( , ) T t s   t 0 … 3₅a … a ( ) U t¢ _{＋ 0 －} ( ) U t  

問 題

座標平面上の点( ,a b から曲線) _y=x3_{-3xに引ける接線の本数をn とする。} (1) n = を満たすような点 ( ,3 a b の範囲を図示せよ。 ) (2) 3a b- < かつn ≦ を満たすように点 ( ,2 a b が動くとき, 3) b- aの最小値を求め よ。 [2017]

解答例

(1) 曲線_y=x3_{-3xに対して, y¢ =3x}2_{- となり, 点3 ( ,t t}3_{-3 )t における接線は,} 3 2 ( 3 ) (3 3)( ) y- t - t = t - x t- , _y=(3t2_-3)x-2t3 この接線が点( ,a b を通ることより, ) _b=(3t2_-3)a-2t3_となり, 3 2 2t 3at 3a b - + - = ………① 接線が 3 本引ける条件は, 複接線が存在しないことより, 接点が 3 個すなわち① の異なる実数解が3 個ある条件に等しい。 そこで, _{f( )t = -2t}3_+3at2_{-3aとおくと, ①は ( )f t =bとなり,} 2 ( )t 6t 6at 6 (t t a) ¢ = - + = - -f (i) a > のとき 0 ( )t f の 増 減 は 右 表 の よ う に な り, ①が3 個の実数解をもつ条件は, 3 3a b a 3a - < < -(ii) a = のとき 0 2 ( )t 6t 0 ¢ = - ≦ f となり, ( )f t は単調減少するので, ①が 3 個の異なる実数解を もつことはない。 (iii) a < のとき 0 ( )t f の 増 減 は 右 表 の よ う に な り, ①が3 個の実数解をもつ条件は, 3 _{3 3} a - a b< < - a (i)～(iii)より, 点 ( ,a b の範囲を図示する。 ) そこで, 境界線_b=a3_{-3aに対して,} 2 3 3 3( 1)( 1) b¢ = a - = a+ a -すると, b の値の変化は右表のようになる。 t … 0 … a … ( )t ¢ f _{－ 0 ＋ 0 －} ( )t f  -_3a  _a3_{-3a } t … a … 0 … ( )t ¢ f _{－ 0 ＋ 0 －} ( )t f  _a3_{-3a  -3a } a … -1 … 1 … b¢ ＋ 0 － 0 ＋ b  2  -2 

－30－ 以上より, 点 ( ,a b の範囲は右図の網点部となる。ただし, ) 境界線は含まない。 (2) まず, -3a b< のもとで, 接線の本数が 2 本以下, すなわち ①の異なる実数解が2 個以下となる ( ,a b の条件を求める。 ) (i) a > のとき 0 3a b - < なので, ①の実数解が 2 個以下となる条件は, 3 ₃ b≧a - a (ii) a = のとき 0 つねに①の実数解は1 個となるので, -3a b< から, 0 b > (iii) a < のとき 0 3a b - < のとき, ①の実数解は 1 個なので, 3 b> - a (i)～(iii)より, 点 ( ,a b の範囲は右図の網点部となる。 ) ただし, 境界線はa > の部分のみを含む。 0 さて, このときb-3a=k(b=3a k+ )が最小となるのは, 右図から, 曲線_b=a3_{-3aが傾き3 の接線をもつときなので,} 2 3 3 3 b¢ = a - = から, a = 2となる。 すると, b =2 2 3 2- = - 2から, 接点の座標は ( 2, - 2 )となる。 以上より, b-3a= の最小値は, k - 2 3 2- = -4 2である。

コメント

超頻出の 3 次曲線の接線の本数の問題に, 領域と最大・最小の問題が付け加えられ ています。なお, (1)の結果を補集合として利用すると, (2)の記述量はやや減少します。 O _a b 1 2 2 -1 -O _a b 1 2 2 -1

問 題

a は 0< < を満たす定数とする。a 2 0≦ ≦ を満たす実数t 1 t に対して, 座標平面上 の 4 点 A ( , 0 )t , _{B( 2, t , C( 2}2_{) -t, 2), D( 0, 2-at)を考える。このとき, 四角形} ABCD の面積 ( )S t が最小となるような t の値を求めよ。 [2016]

解答例

定数 a ( 0< <a 2), および実数 t ( 0≦ ≦t 1)に対して, 4 点 A ( , 0 )t , _{B( 2, t , C( 2}2_{) -t, 2), D( 0, 2-at)を頂点とす} る四角形ABCD の面積を ( )S t とおく。 2 1 2 1 2 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 2 )( 2 ) 2 2 S t = - -t t - - +t -t 1( 2 )( 2 2 ) 1 ( 2 ) 2 t at 2t at - - - + - ₄ 1_{{ 2}3 _{2( 1)} 2 _{2( 2) }} 2 t a t a t = - - - - + + _=t3_+(a-1)t2_-(a+2)t+4 すると, _{S t¢( ) 3= t}2_{+2(a-1)t-(a+2)となり, ( )S t¢ = を満たす正の解は, 0} ( 0) ( 2) 0 S¢ = - a+ < から 1 2 7 3 a a a t=- + + + + であり, これをt= とおく。  (i) 0< < のとき  1 このときS¢(1)= - > より, 1a 1 0 < < とa 2 なる。そして, 0≦ ≦ におけるt 1 S t の増減は( ) 右表のようになり, t= で最小となる。  (ii) 1≧ のとき こ の と きS¢(1)= - ≦ よ りa 1 0 , 0＜ ≦ と な る 。 そ し てa 1 , 0≦ ≦ に お い てt 1 ( ) 0 S t¢ ≦ からS t は単調に減少し, ( ) t = で最小となる。 1 (i)(ii)より, ( )S t が最小となるような t の値は, 2 1 7 3 a a a t=- + + + + (1< <a 2), 1t = ( 0＜ ≦a 1)

コメント

微分と最大・最小に関する標準的な問題です。なお, ( )S t の立式については, 位置 関係に場合分けが生じないので, 普通に正方形から 4 つの直角三角形を除きました。 t 0 …  … 1 ( ) S t¢ _{－ 0 ＋} ( ) S t   A B C D 2 2 x y t 2 at -2 t -2 t O

－32－

問 題

m を実数とする。x に関する方程式 _x3_{-3x- x m- = の実数解の個数を求めよ。 0} [2015]

解答例

方程式 _x3_{-3x- x m- = ……①に対して, 0 x}3_{-3x= x m- から,} 3 ₃ y=x - x………②, y= x m- ………③ すると, ①の異なる実数解の個数は, ②と③のグラフの共有点の個数に一致する。 さて, ②より, _{y¢ =3x}2_{- =3 3(x+1)(x-1)} これより, ②の増減は右表のようになる。 また, ③はy≧ で, 点 ( , 0 )0 m を頂点とする折 れ線で, その傾きは 1 と 1- である。 ここで, 点_{( , }3_{-3 ) において, ②のグラフの} 接線の傾きが1 になるとすると, < として, 0 2 3 - =3 1, 2 4 3  = , 2 2 3 3 3 = - = -すると, 3 ₃ 10 10 ₃ 9 3 3  -  = = となり, 3 1 3 m  -  = -よって, m = -1 2 3₃ -10₉ 3= -16₉ 3 また, 点_{( , }3_{-3 ) において, ②のグラフの接線の傾きが 1- になるとすると,} 0 < として, 2 3 - = -3 1, 2 2 3  = , 2 6 3 3 = - = -すると, 3 ₃ 7 2 7 ₆ 9 3 3  - = = となり, 3 2 3 m  - = - + よって, m = -2 ₃6+7₉ 6=4₉ 6 以上より, ②と③のグラフの共有点の個数, すなわち方程式①の異なる実数解の個 数は, 右上図から, 16 3 9 m < - , 4 6 9 <mのとき1 個, m = -16 39 , 4 69 のとき2 個 16 ₃ 4 ₆ 9 m 9 - < < のとき3 個

コメント

初めからグラフを用いて処理をしましたが, 詰めの作業がやや煩雑です。まず, 方 程式①を同値変形した方がよかったかもしれません。 x … -1 … 1 … y¢ ＋ 0 － 0 ＋ y  ₂  _{-2 } 3 - O 3 x y αβ m1 m2

問 題

実数 a に対し, 関数 ( ) x 1 1 x x =

ò

+ t+ dt a+ f を考える。曲線C y: = f( )x が x 軸 と2 点の共有点をもつための a の範囲を求めよ。またこのとき曲線 C と x 軸で囲ま れる部分の面積を求めよ。 [2014]

解答例

1 ( ) x 1 x x =

ò

+ t+ dt a+ f に対し, 右図は y= +t 1 の グラフであり, さらに ( ) x 1 1 x x =

ò

+ t+ dt g とおくと, (i) x < - のとき 2 3 1 ( ) ( 1 2) 1 2 2 x = - - - -x x ⋅ = - -x g (ii) 2- ≦ ＜x -1のとき

(

)

2 2 2 2 5 3 1 1 1 ( ) ( 1) ( 2) 3 2 2 2 2 4 x = - -x + x+ =x + x+ = x+ + g (iii) 1x -≧ のとき 3 1 ( ) ( 1 2) 1 2 2 x = x+ + +x ⋅ = +x g (i)～(iii)より, ( )y=g x のグラフは右図のようになる。 すると, 曲線 :C y= f( )x がx 軸と 2 点の共有点をもつ 条件は, ( )f x =0すなわちg( )x = -aが異なる 2 実数解 をもつことに対応し, 1 4 a - > すなわち 1 4 a < - である。曲線 C と x 軸で囲まれる部 分の面積S は, ( )y=g x のグラフと直線y= - で囲まれる部分の面積に等しいので, a (a) 1 1 4＜-a≦2

(

-21≦ ＜a -14

)

のとき ( ) y=g x ( 2- ≦ ≦x -1)とy= - を連立すると, a 2 ₃ 5 ₀ 2 x + x+ + = となり, a この解 3 4 1 2 a x=-  - - をx= , (<)とおくと, ( )( ) S  x x dx    = -

ò

- - 1_{( )}3 1

(

_{4 1}

)

3 6   6 a = - = - -(b) 1 2 a - >

(

1

)

2 a < - のとき ( ) y=g x (x < -2)とy= - を連立するとa 3 2 x= -a , ( )y=g x (x > -1)と y= - を連立するとa x= - - となり, a 3 1 -1 t y O 1 2 1 -2 -1 4 y O x 3 2

－34－

(

) (

) (

)

3 3 3 1_{{ 1 ( 2) }} 1 _{{ 1 ( 2) }} 1 6 2 2 2 2 S= - - - + _ëêé - - - + - -a - a- ù_úû - -a 2 1 1_{( 2 1)( 2 1)} 1 6 4 a a a 12 = + - + - - =

コメント

絶対値つきの関数の定積分は, グラフを利用して, 台形や三角形の面積を対応させ て計算しています。