評価点の差と選択率 実際には ほとんど評価点が同じときは, どちらも選択される可能性がある 評価点の差が大きいときは, 片方しか選ばれない. A が圧倒的に劣る A が選ばれることはほとんどない 選択肢 A が選ばれる可能性 0 つは同じ魅力 0% ずつ A が圧倒的に良いほとんど A だけが選ばれ

交通計画A　交通需要予測２

交通手段選択と

ロジットモデル

交通手段分析



分担率曲線法



トリップ費用や時間、距離を横軸(説明変数)



縦軸に分担率を描く



徒歩分担率→マストラ分担率



非集計モデル(ロジットモデル)法



個人ごとの目的地の選択行動をモデルで表

現し,一人一人の行動を加算して推計する.

分担率曲線

第3回仙台都市圏PT調査による分担率 仙台都心までのトリップでは、長距離ほど鉄道が多い

運賃やサービスレベ

ルの影響が考慮でき

ない

連続的選択と離散的選択



標準的消費者行動モデル(連続的選択)



一定期間に購入する

　財・サービスの量を説明

　（お金・時間をいくらずつ割り振るか？）



離散的（質的）選択モデル



どの種類の財を選択するか？

　（どこへ行くか？何を買うか？）



離散的(discrete)な

　　選択肢(alternative)からの選択

5万円

離散的選択のモデル化



個人は，採りうる選択肢

alternativeを列挙する



それぞれの選択肢の特徴と費用に基づいて，評

価得点utilityをつける



評価点が高いものを選ぶ

中国旅行　60点 フランス旅行　40点 アメリカ旅行50点

確定的選択モデル



個人は「評価得点が少しでも高いほうの選択肢を

必ず選ぶ」と考えるモデル



全員が同じ考え方で評価



同じ状況に直面する人は，全員同じ選択肢を選択



異なる条件の人の選択結果から効用関数を推定



判別関数モデル，数量化理論II類モデル



同じ状況に対する個人間での考え方の違いを考慮



例：高齢者は着席可能性を，若者は低運賃を重視



犠牲量(最小化）モデル



比較における「あいまいさ」を認める



ファジィ選択モデル

評価点の差と選択率



実際には



ほとんど評価点が同じときは，どちらも選択される可

能性がある



評価点の差が大きいときは，片方しか選ばれない．

選択肢Aが選ばれる可能性 1 0 選択肢Aの得点－選択肢Bの得点 2つは同じ魅力 50％ずつ Aが圧倒的に良い ほとんどAだけが 選ばれる Aが圧倒的に劣る Aが選ばれること はほとんどない

ロジットモデル



S字型の曲線として，

　　という式で表わされる曲線を使うと，



いろいろな計算が簡単にできる



3つ以上の選択肢からの選択も同じ形になる



2000年ノーベル経済学賞　

　　McFadden（1937-）が提案



各自の評価点が安定している部分と確率的に変

動する部分の和である場合の選択から理論的に

導いた。（ランダム効用モデル）

ロジットモデル



選択肢が2つの2項ロジットモデル

　

Binary Logit



選択肢が多数（ｎ個）ある場合の

　多項ロジットモデル

Multinominal Logit







_N k k j j

V

V

P

1

exp(

)

)

exp(

1 2 1 2 2 2 1 1 1

_exp(

₎

_exp(

₎

1

)

exp(

,

)

exp(

)

exp(

)

exp(

_P

V

V

V

P

V

V

V

P













ロジットモデルの限界と注意点



青バス・赤バス問題（I.I.A特性)

例：バスと自動車の交通機関選択モデル



バスも自動車も共に一般化交通費用が等しい

　→バス,自動車の選択率は1/2ずつになる



バスの半数を赤く,半数を青く塗って区別

　→青バス,赤バス,自動車の選択率は1/3ずつ

　色を変えたらバスのシェアが1/2から2/3に上昇？



各選択肢の

確率的効用の間に相関がある場合

には，非現実的な選択率を与える

モデルの使用手順

選択モデルの定式化（得点からSカーブで選択率を計算）

パラメータη，βの推定

（実際の選択結果から、どういう得点付けだったかを推測）

将来の選択率の予測

（将来の選択肢の状況から得点を計算し、選択率を計算）

実際の観測結果から、

もとの事象の発生確率を推定する



手品師がイカサマかも知れないコインを6

回振ったら、表が5回、裏が1回出た。



このコインは正しいコインだろうか？表が出や

すいようなイカサマのコインだろうか？



表5回、裏1回という観測結果から、このコ

インを

1回振ったときに表が出る確率p

の値

を推測したい。



比率を用いてそのままｐ＝5/6と推測する方法



さいゆうほう（最尤法）

最尤法による推定

(個々の事象の組み合わせを考える）



コインを続けて

6回振ったところ、そのうち5回が表であっ

た

．このコインの表の出る確率ｑはいくらか？



母数（ここでは表の出る確率ｑ

)を変えたときに，

観察され

た事象

が実現する確率を求める

(尤度関数L(ｑ)）



観察された事象の発生確率が最大になるｑの値を求める



尤度関数を求めてみよう



確率ｑの事象が5回，（１－ｑ）の事象が1回観察されたの

だから、何回目が裏かが6通りあることを踏まえると、

)

1

(

6

)

1

(

!

1

!

5

!

6

)

1

(

)

(

5 1 5 5 5 6

C

q

q

q

q

q

q

q

L













最尤法による母数の推定の例

L(θ) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

)

1

(

6

)

(

_q

_q

5

_q

L





尤度関数を最大化する

あるいは対数をとったものをｑに

ついて最大化してもよい

333

.

8

6

/

5

0

)

1

(

6

5

)

1

(

)

1

(

5

)

1

(

1

5

*

)

1

ln(

ln

5

6

ln

)

(

ln

)

(

*







































q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

dq

dL

q

q

q

L

q

L

これは，6回のうち5回という割合に一致





0

)

6

5

(

6

)

5

5

(

6

)

1

(

5

6

)

(

4 4 5 4



















q

q

q

q

q

q

q

q

dq

q

dL

比率によるロジットモデルの推定



集計的方法(集団の選択率にあわせる)



ある選択肢の状況下で観測された集団の選

択確率ｐを用いる



ロジットモデルから、その時の2つの選択肢の

魅力度V

_A

とV

_B

の差が逆算できる



魅力度の差がうまく一致するように、魅力度の

関数の形を調整する

先の例：6回のうち5回表だから、p=5/6と推測した。

最尤法によるロジットモデルの推定



非集計的方法(各個人の選択を考える)



魅力度の関数形を仮定する



各個人が直面した選択肢の状況をもとに、ロ

ジットモデルで各自の選択確率を求める。



それらを掛け合わせて、観測された事象の発

生確率(尤度関数)を求める



尤度関数の値が最大になるように、魅力度の

関数の形を調整する

nj

N

n

nj

J

j

P

L



 

_

₁

_

₁



交通手段選択モデル



ある

ODを移動する消費者が,複数の交通手段

の所要時間や費用を考えて手段を選択



2項ロジットモデル





















CAR ij CAR ij CAR ij BUS ij BUS ij BUS ij

c

t

V

c

t

V







2 , 1

exp(

)

)

exp(

k k i

V

V

j

i

i

V

U







]

)

(

:

ob[

Pr

U

U

k

i

K

P

_i



_i



_k







選択肢jの魅力度が他の選択肢よりも高い確率

集計データ

(比率)を用いた

ロジットモデルの推定

3 11 10 3 11 7 8 2 10 8 3 1 3 2 1 tCij 表3.16　自動車の所要時 間 単位：分 7 16 14 3 12 12 10 2 13 11 5 1 3 2 1 ｔBij 表3.15　バスの所要時間 単位：円 19 60 58 3 60 42 45 2 58 45 21 1 3 2 1 cCij 表3.18　自動車の所要費用 単位：円 130 220 180 3 220 130 140 2 180 140 130 1 3 2 1 cBij 表3.17　バスの所要費用 0.756 0.808 0.761 3 0.745 0.752 0.718 2 0.747 0.735 0.727 1 3 2 1 PCij 表3.20　自動車の分担率 0.244 0.192 0.239 3 0.255 0.248 0.282 2 0.253 0.265 0.273 1 3 2 1 PBij 表3.19　バスの分担率

集計データ(比率)を用いた

ロジットモデルの推定

















(

)

(

)

]

/

ln[

BUS ij CAR ij BUS ij CAR ij BUS ij CAR ij

P

t

t

c

c

P

ｔBij ｔCij

ｃBij

cCij

PBij

PCij

ln(PC/PB) ｔC-tB ｃC-cB

5

3

130

21 0.273

0.727

0.979

-2 -109

10

8

140

45 0.282

0.718

0.935

-2

-95

14

10

180

58 0.239

0.761

1.158

-4 -122

11

8

140

45 0.265

0.735

1.020

-3

-95

12

7

130

42 0.248

0.752

1.109

-5

-88

16

11

220

60 0.192

0.808

1.437

-5 -160

13

10

180

58 0.253

0.747

1.083

-3 -122

12

11

220

60 0.255

0.745

1.072

-1 -160

7

3

130

19 0.244

0.756

1.131

-4 -111

ロジットモデル式から、2つの選択率の比は以下のようになる

回帰分析

Linear Regression

1

x

x

2

y

2つ(以上)の変数を用いて、目的の変数yの値をうまく予

測できるような平面を決める方法

]

/

ln[

BUS ij CAR ij

P

P

y



)

(

1 BUS ij CAR ij

t

t

x





2

(

)

BUS ij CAR ij

c

c

x

















x

1

x

2

y

平面

をうまく決める

集計データ(比率)を用いた

ロジットモデルの推定

390

.

0

00387

.

0

0796

.

0

00387

.

0

0796

.

0















CAR ij CAR ij CAR ij BUS ij BUS ij BUS ij

c

t

V

c

t

V

係数 標準誤差 t

P-値 下限 95%上限 95%下限 95.0

上限 95.0

切片

0.3898

0.045

8.731

1E-04

0.281 0.499055 0.281 0.499

X 値

-0.0796

0.006

-13.2

1E-05

-0.09

-0.0648 -0.09 -0.06

X 値

-0.0039

3E-04

-12.2

2E-05

-0 -0.00309

-0

-0

回帰統計

重相関 0.9899

重決定 0.9799

補正 0.9732

標準誤差

0.0237

観測数

9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1 0 1 2 VBUS-VCAR バスの分担率

最尤法による

ロジットモデルの推定

単位：分 3 11 10 3 11 7 8 2 10 8 3 1 3 2 1 tCij 表3.16　自動車の所要時 間 単位：分 7 16 14 3 12 12 10 2 13 11 5 1 3 2 1 ｔBij 表3.15　バスの所要時間 単位：円 19 60 58 3 60 42 45 2 58 45 21 1 3 2 1 cCij 表3.18　自動車の所要費用 単位：円 130 220 180 3 220 130 140 2 180 140 130 1 3 2 1 cBij 表3.17　バスの所要費用

表　バスの利用者数

NBij

1

2

3

1

39

22

21

2

11

31

25

3

16

15

50

表　自動車の利用者数

NCij

1

2

3

1

104

61

62

2

28

94

73

3

51

63

155

最尤法による

ロジットモデルの推定

尤度関数

最大になるように値を調整

時間

費用

選択人数

魅力度(仮定値)

個人の選択率 事象発生確率

ｔBij ｔCij ｃBij cCij NBij NCij Vbij

Vcij

Pbij

Pcij

Pb^Nb

Pc^Nc

5

3 130

21

39

104 -0.8878

0.0831 0.27 0.72529 1.3E-22 3.1E-15

10

8 140

45

11

28 -1.3163

-0.399 0.29 0.71449

1E-06 8.2E-05

14 10 180

58

16

51 -1.7816

-0.605 0.24 0.76436

9E-11 1.1E-06

11

8 140

45

22

61 -1.3944

-0.399 0.27 0.73014 3.1E-13 4.7E-09

12

7 130

42

31

94 -1.4341

-0.31 0.25 0.75484 1.2E-19 3.3E-12

16 11 220

60

15

63 -2.0908

-0.691

0.2 0.80222 2.8E-11 9.3E-07

13 10 180

58

21

62 -1.7035

-0.605 0.25 0.75001 2.3E-13 1.8E-08

12 11 220

60

25

73 -1.7786

-0.691 0.25 0.74801 1.1E-15 6.2E-10

7

3 130

19

50

155 -1.0439

0.0907 0.24 0.75669

2E-31 1.7E-19

魅力度関数の係数の仮定値

α

-0.078045

6E-139 7.8E-87

β

-0.003828

尤度関数 5E-225

γ

0.397569

最尤法による

ロジットモデルの推定

ソルバー機能：

表計算ソフト：

Excel　の中では、いくつかの数値が

別のセルの数値に影響を与える場合、

目的のセルの数値を最大にするように、元の数値

を決定する計算ができる。

実際には、

この尤度関数は、あまりに値が小さい

ため、数値計算誤差の影響でうまく計算できない。

尤度関数の対数(log)を取ったもの

を考え、それを

最大化する。





nj

N

n

J

j

nj

N

n

J

j

P

nj

P

nj

 

 



1



1





1



1

ln

ln





最尤法による

ロジットモデルの推定

時間 費用 選択人数 魅力度(仮定値) 個人の選択率選択率の対数 人数分を合計 ｔBij ｔCij ｃBij cCij NBij NCij Vbij Vcij Pbij Pcij lnPbij lnPcij NblnPb NclnPc

5 3 130 21 39 104 -0.8878 0.0831 0.27 0.725 -1.292 -0.321 -50.39 -33.4 10 8 140 45 11 28 -1.3163 -0.399 0.29 0.714 -1.253 -0.336 -13.79 -9.413 14 10 180 58 16 51 -1.7816 -0.605 0.24 0.764 -1.445 -0.269 -23.13 -13.7 11 8 140 45 22 61 -1.3944 -0.399 0.27 0.73 -1.31 -0.315 -28.82 -19.19 12 7 130 42 31 94 -1.4341 -0.31 0.25 0.755 -1.406 -0.281 -43.58 -26.44 16 11 220 60 15 63 -2.0908 -0.691 0.2 0.802 -1.621 -0.22 -24.31 -13.88 13 10 180 58 21 62 -1.7035 -0.605 0.25 0.75 -1.386 -0.288 -29.11 -17.84 12 11 220 60 25 73 -1.7786 -0.691 0.25 0.748 -1.378 -0.29 -34.46 -21.19 7 3 130 19 50 155 -1.0439 0.0907 0.24 0.757 -1.413 -0.279 -70.67 -43.21 魅力度関数の係数の仮定値 α -0.078045 -318.3 -198.3 β -0.003828 対数尤度関数 -516.5 γ 0.397569

最大になるように値を調整

作成されたロジットモデル

3975

.

0

0038

.

0

078

.

0

0038

.

0

078

.

0















CAR CAR CAR BUS BUS BUS

c

t

V

c

t

V

BUS

CAR

CAR

BUS

BUS

BUS

P

P

V

V

V

P









1

)

exp(

)

exp(

)

exp(

ロジットモデルによる

将来の手段分担率の推計



将来の所要時間、費用をロジットモデルに代入

して分担率を推計

表3.２１　バスの所要時間 ｔBij 1 2 3 1 5 10 12 2 10 9 13 3 12 13 5 単位：分 表3.２２　自動車の所要時間 tCij 1 2 3 1 3 8 10 2 8 7 11 3 10 11 3 単位：分 表3.２３　バスの所要費用 cBij 1 2 3 1 160 170 220 2 170 160 280 3 220 280 160 単位：円 表3.２４　自動車の所要費用 cCij 1 2 3 1 26 56 73 2 56 52 75 3 73 75 24 単位：円 PB 1 2 3 1 0.256 0.271 0.246 2 0.271 0.276 0.207 3 0.246 0.207 0.254

バスの分担率

OD表と掛け合わせて、

バスOD表、自動車OD表を得る

ここからは、興味のある人だけ



ランダム効用理論に基づくロジットモデル

の誘導



非集計データによる最尤法の理論的背景



最尤法の計算例(別の例)

ランダム項がある場合の選択

ランダム項の確率分布の仮定



集団全体における各自の効用の誤差εの頻度

分布を連続的な確率密度関数で表現

選択率の導出

具体的なランダム効用モデル



ロジット（LOGIT)モデル



各選択肢の誤差項が独立で同一の

　Gumbel分布に従う

　と仮定したモデル



第k選択肢の選択確率は，



プロビット（

PROBIT)モデル



誤差項が多変量正規分布に従うと仮定したモデル



選択確率を解析的に表示することができない



モンテカルロシミュレーションなどを用い近似値を計算



exp(

)



exp

)

(

Prob

)

(

x

x

x

F















)

(

)

exp(

)

(

'

)

(

x

F

x

x

F

x

f















k k i i

V

V

P

exp(



)

/

exp(



)

η：誤差項の分散に

　　反比例するパラメータ

非集計データによる

ロジットモデルのパラメータ推定

尤度関数

尤度関数の値を最大にするようにβを定める

パラメータ推定（２）

ニュートン・ラプソン法

最尤法の計算例

通勤に2 種類の交通手段(1：バ

ス、

2：鉄道) があり、10 人の両交

通機関での所要時間を調べたと

ころ、表のようであった。

ロジットモデルを適用して、所要

時間のパラメータとバスの選択し

定数項のパラメータを計算せよ。

さらに、バス専用レーンの設置に

より、全てのサンプルのパス所要

時間が

1 分短縮された場合に、

バス選択確率がどのように変化

するかを推測せよ。

サン プ ル 選択 　 所要時 間

時間 差

番 号

バス バス

鉄 道

Ｚ 1-Ｚ 2

1

0

22

22

0

2

0

24

20

4

3

0

23

19

4

4

0

21

20

1

5

0

22

20

2

6

0

24

21

3

7

1

21

20

1

8

1

20

20

0

9

1

23

25

-2

10

1

20

23

-3

合計 →

4

22

21

←平 均

尤度関数の数値計算例

alpha/beta 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 0 0.00440.011690.020910.028730.033370.03485 0.033970.031630.028530.025170.021840.01872 0.1 0.004130.011410.02099 0.0294 0.034610.03651 0.035880.033640.030520.027060.023580.02028 0.2 0.003780.010910.020710.029640.035440.03784 0.037540.035460.032390.028870.025270.02182 0.3 0.003380.010220.020080.029450.035850.03878 0.038880.037040.034070.030550.026880.02332 0.4 0.002960.009370.019130.028830.035790.03929 0.039860.038340.035550.032090.028390.02474 0.5 0.002520.008410.01789 0.0278 0.035270.03936 0.040440.039310.036760.033420.029760.02606 0.6 0.0021 0.0074 0.01644 0.0264 0.0343 0.03898 0.040610.039930.037690.034540.030950.02726 0.7 0.001710.006370.014840.024690.032920.03815 0.040360.04016 0.03830.035390.031950.02831 0.8 0.001360.005370.013150.022730.03118 0.0369 0.039680.040010.038570.035970.032720.02918 0.9 0.001060.004430.011450.020610.029140.03527 0.038590.039470.038490.036250.033250.02987 1 0.000810.003590.00979 0.0184 0.026870.03331 0.037140.038560.038070.036230.033530.03034 alpha/beta 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 0.5 0.03527 0.03661 0.03773 0.03865 0.03936 0.039890.04023 0.04041 0.04044 0.04033 0.04010 0.03976 0.550.03484 0.03625 0.03745 0.03844 0.03923 0.039820.04024 0.04049 0.04058 0.04053 0.04036 0.04006 0.6 0.03430 0.03578 0.03705 0.03812 0.03898 0.039650.04014 0.04045 0.04061 0.04063 0.04051 0.04027 0.650.03366 0.03521 0.03655 0.03768 0.03862 0.039360.03992 0.04031 0.04054 0.04062 0.04056 0.04038 0.7 0.03292 0.03453 0.03594 0.03714 0.03815 0.038960.03960 0.04006 0.04036 0.04050 0.04051 0.04040 0.750.03210 0.03376 0.03522 0.03650 0.03757 0.038460.03917 0.03970 0.04007 0.04029 0.04036 0.04031 0.8 0.03118 0.03289 0.03442 0.03575 0.03690 0.037850.03863 0.03924 0.03968 0.03996 0.04011 0.04012 0.850.03019 0.03195 0.03353 0.03492 0.03613 0.037150.03800 0.03867 0.03918 0.03954 0.03975 0.03983

尤度関数の

数値計算例(ソルバー)

=1/( (1+EXP(-B$24*0+$A25))* (1+EXP(-B$24*4+$A25))* (1+EXP(-B$24*4+$A25))* (1+EXP(-B$24*1+$A25))* (1+EXP(-B$24*2+$A25))* (1+EXP(-B$24*3+$A25))* (1+EXP(B$24*1-$A25))* (1+EXP(B$24*0-$A25))* (1+EXP(B$24*(-2)-$A25))* (1+EXP(B$24*(-3)-$A25)) )

alpha/beta 1.436

0.611735

0.04064

得られたパラメータを用いた予測

α 0. 612 β　 -1. 44 Ｖ １ Ｖ ２ Ｐ １ Ｐ ２ 予測 -30. 97 -31. 6 0. 65 0. 352 1 -33. 84 -28. 7 0. 01 0. 994 0 -32. 41 -27. 3 0. 01 0. 994 0 -29. 54 -28. 7 0. 30 0. 695 0 -30. 97 -28. 7 0. 09 0. 905 0 -33. 84 -30. 1 0. 02 0. 976 0 -29. 54 -28. 7 0. 30 0. 695 0 -28. 10 -28. 7 0. 65 0. 352 1 -32. 41 -35. 9 0. 97 0. 03 1 -28. 10 -33 0. 99 0. 007 1 バス を 利用す る サン プ ルの予 測値 4 （ レ ー ン 設置後） Ｖ １ Ｖ ２ Ｐ １ Ｐ ２ 予測 -29. 54 -31. 6 0. 89 0. 114 1 -32. 41 -28. 7 0. 02 0. 976 0 -30. 97 -27. 3 0. 02 0. 976 0 -28. 10 -28. 7 0. 65 0. 352 1 -29. 54 -28. 7 0. 30 0. 695 0 -32. 41 -30. 1 0. 09 0. 905 0 -28. 10 -28. 7 0. 65 0. 352 1 -26. 67 -28. 7 0. 89 0. 114 1 -30. 97 -35. 9 0. 99 0. 007 1 -26. 67 -33 1. 00 0. 002 1 バス を 利用す る サン プ ルの予 測値 6

現況再現

政策実施後