作用素環上の非可換解析と自由確率論に関する研究

作用素環上の非可換解析と自由確率論に関する研究

著者

日合 文雄

作用夢幕上の緬換解析と自_Eb確率御子関する研究//

(課題番号145卵198)/

平成1 4年軒年成1 5年度科学研究費轡金

(基盤研究(C)(2))--研究成果報告書

/

平成1 5年β^月

/

研究代表者日合/文雄

(-k]ヒ大学大学院情報科学研究科撃).

i= ■こい‥

は し が き

本書は平成1 4年度∼平成1 5年度科学研究費補助金(基盤研

究(C)(2))による研究

｢作用素環上の非可換解析と自由確率論に関する研究｣

(課題番号14540198)

の研究成果報告書である.本研究は下記の代表者および分担者によっ

て組嘩され,作用素論･作用素環論と自由確率論の研究を行った.作

用素の研究としては,作用素･行列のノルム不等式やトレース不等

式の研究を行った.作用素環の研究としては,近年発展が著しい自

由確率論と関連させた研究を行った.

ご協力いただいた研究分担者の方々に感謝いたします.

平成16年3月

日合文雄

-1-研究組織

研究代表者

日合 文雄 東北大学･大学院情報科学研究科･教授

研究分担者(平成1 4年度)

浦川 肇

尾畑 伸

内田 興

大野 芳

山上 滋

植田 好

明二希 道

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･助教授)

(茨城大学･理学部･教授)

(九州大学･大学院数学研究院･助教授)

研究分担者(平成1 5年度)

浦川 肇

尾畑 伸明

宗政 昭弘

大野 芳希

山上 滋

植田 好道

研究経費

平成14年度

平成1 5年度

計

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･教授)

(東北大学･大学院情報科学研究科･助教授)

(茨城大学･理学部･教授)

(九州大学･大学院数学研究院･助教授)

円円円

千千千

0 0 0 0 0 0 0 8 8 タ      一      ● 2 1 3

-2-研 究 発 表

●日合文雄

(学会誌等論文)

[1] F･ Hiaiand X･ Zhan, Inequalities/involvingmitarily invariant normsand operator

monotonefunctions, Linear Algebra Appl･ 341 (2002), 151-169.

[2】 F･ Hiai, Flee relative entropyand q-deformation theory, in: Non-Commutativity,

InJlnite-Dimensionality and Probability at the Crossroads, N･ Obata etal. (eds.),

QP-PQ, Ⅵ)1. 16, Wわrld Scienti丘C, 2002, pp. 97-142.

[31 F･ Hiai, M. Mizuo and D. Petz,打ee relative entropy for rheasuresand a

corre-sponding perturbation theory, J･ Math･ Soc･ Japan 54 (2002), 679-718.

[4] F･ Hiaiand Y･ Ueda, Automorphisms offree product-typeand their crossed-products, J･ Operlaior Theory 50 (2003), 119-130.

[5】 F･ Hiai, q-deformed Araki-Woodsalgebras, in: Operyuor A19ebras and

Mathemat-ical Physics, J･-M･ Combes et all (eds･), Theta, Bucharest, 2003, pp. 169-202.

[6】 F･ Hiaiand H. Kosaki, Operator meanSand their norms, in: Advanced Studies in

Pure Mathematics, H･ Kosaki (ed･), Vol･ 38, Mathematical Society of Japan, 2004, pp. 271-284.

[7] F･ Hiaiand X･ Zhan, Submultiplicativity vs subadditivity formitarily invariant

norms, Linear Algebra Appl･ 377 (2004), 1551164.

[8】 F･ Hiai, D･ Petzand Y･ Ueda, Free transportation cost inequalities via random

matrix approximation) Probability Theory and Related Fields, to appear.

(口頭発表)

[1] F･ Hiai,Antomorphisms offree product type and their crossed products, "Operator

Algebrasand Mathematical Physicsn , July 2-7, 2001, Constanta, Rumania.

自由群舞上のaperiodicな自己同型の自由積の手法による構成とその接合積の性質について

講演した.

[2】 F･ Hiai, Flee pressl汀eand random matrix perturbations, Workshop on " Random

Matricesand Related Topics" , January 13-17, 2003, Sandbjerg, Denmark. 自由確率論的なpressureとランダム行列を用いた摂動理論について講演した.

[3] F･ Hiai, Ultracontractivity property on Shlyakhtenko's algebras, " Recent Advances

in Yon Neuma- Algebras" , May 14-17, 2003, UCLA.

q一変形Shlayakhtenko環上のOronstein-Uhlenbetk半群に対する超縮小性について講演

した.

ー3-[4] F. Hiai, Flee logarithmic Sobolev inequalitiesandfree transportation cost

inequal-ities, InternationalConference of the EU network QP-Applications on "Quantum probability and hfimite DimensionalAnalysisM , June 22-28, 2003, Greifbwald･ 対数Sobolev不等式と輸送コスト不等式の自由確率論的なアナロジーについて講演した･ [5] F. Hiai, Norm inequalities of means of Hilbert space operators, Von Neumann

Cen-temialConference: "LinearOperatorsand Foundations of QuantunMechanics" ,

October 15-20, 2003, Budapest･

Hilbert空間上の作用素のユニタリ不変ノルムに関する算術-幾何平均不等式を精密化したノ

ルム不等式について講演した.

(出版物)

[1】 F. Hiai and H･ Kosaki; Means of Hilbert Space Operyllors, Lecture Notes in

Math-ematics, Vol. 1820, Springer-Verlag, 2003,vii+148 pp･

●浦川肇

(学会誌等論文)

[1】 H. Urakawa, Yang-Mills theory in Einstein-Weyl geometry and anne differential

geometry, Rev. Bull. Calcutta Math･ Socl 10 (2002), 7-18･

[2] N. Matsuura and H･ Urakawa, Discrete improper a缶ne spheres, J･ Geom･ Phys･

45 (2003), 164-183･

[3] S. Dragomir, T･ Ichiyamaand H･ Urakawa, Yang-Millstheoryand conjugate

con-nections, DiHerential Geom. Appll 18 (2003), 229-238･

[4] H. Urakawa, The Cheeger constant, the heat kernel,and the Green kernel of an

infinite graph, Monalsh. Math･ 138 (2003), 225-237･

●尾畑伸明

(学会誌等論文)

[11 D. M. Chung, U･ C･ Ji and Nl 0bata, Quantunstocha点tic analysis via white noise

operators in weighted Fock space, Rev. Math･ Phys･ 14 (2002), 241-272･

[21 H.-H. Kuo, N･ Obata and K･ Sait6, Diagonalization of the Levy Laplacianand

re-lated stable processes, Injin. Dimens. Anal･ Quantum Probab Relat･ Top･ 5 (2002),

317-331.

[3] U. C. Ji, N･ Obata and H･ Ouerdiane, Analytic characterization of generalized Fock space operators as two-variable entire functions with growth condition, InPn･

Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 5 (2002), 395-407･

-4-[4] YI Hashimoto, A･ Horaand N･ Obata, Centrallimit theorems for large graphs:

me叫od of quantumdecompoSition, J･ Math･ Phys･ 44 (2003), 7ト88.

[5】 U･ C･ Jiand N･ Obata, Amified characterization theorem in white noise thebry,

ZnPn･ Dimens･ Anal･ Quantum Probab･ Relal･ Top. 6 (2003), 167-178.

【6】 A･ Hor且 and N･ Obata, Quantum decomposition and quantum central li血t theo_

rem, in: Fundamental aspects of quantum physics (Tokyo, 2001), QP-PQ, Vol. 17,

2003, pp. 284-305.

●宗政昭弘

(学会誌等論文)

ll] M･ Haradaand A･ Mune.nasa, A quasi-Symmetric 2-(49, 9,6) design, J. Combin.

peβ･ 10 (2002), 173-179.

[2] M･ Kitazumeand A･ Munemasa, EvenmimodularGaussianlattices of rank 12,

J･ Number Theory 95 (2002), 77194.

[3] A･ Munemasa, A mass formula for Type II codes overfinitefields of characteristic two, in: Codes and designs (Columbus, OH, 2000), Ohio State UmiV. Math. Res. Inst･ Publ･, Vol･ 10, de Gruyter, Berlin, 2002, pp･ 207-214

[4] A･ Chan, C･ Godsiland A･ Munemasa, Four-weight spin modelsand Jones pairs,

Thms･ Amer･ Math･ Soc･ 355 (2003), 2305-2325.

[5] D･ B･ Dalan, M･ Haradaand A. Munemasa, On Hadamard matrices.f.rder

2(p+ 1) with an automorphism of odd prime order p, J･ Combin･ Des. ll (2003),

367-380.

[6] E･ Banmi, M･ Harada, T･ Ibukiyama A･ Munemasa and M. Oura, Type II codes

over F2 + uF2and applications to Hermitian modular forms, Abh. Math. Sem.

Univ･ Hamburg 73 (2003), 13142.

[7] M･ Klin, A･ Munemasa, M･ Muzychukand P･-H･ Zieschang, Directed strongly

regulargraphs obtained from coherent algebras, Linear Algebra Appl. 377 (2004) ,

83-109.

●山上滋

(学会誌等論文)

[1】 S･ Yamagami, Polygonalpresentations of semisimple tensor categories, J. Malh.

Soc･ Japan 54 (2002), 61188.

[2] S･ Yamagami, Group symmetry in tensor categoriesand duality for orbifolds, J.

Pure Appl･ Algebrla 167 (2002), 83-128.

-5-[3】 S. Yamagami, Ftobeni.B reciprocity in tensor categories, Math･ Scand･ 90 (2002),

35-56.

[41 S. Yamagami, Tannaka duals in semisimple tensor categories, J･ Al9eめIa 253

(2002), 350-391･

[5] S. Yamagami, C*-tensor Categoriesandfree product bimodules, J･ Funcl･ Anal･ 197 (2003), 323-346･

●植田好道

(学会誌等論文)

[1】 D･ Shlyakhtenkoand Y･ Ueda, Irreducible sub factors.of L(F∞) of index入> 4, J･

-･ Reine An9eW. Math. 548 (2002), 149-166･

[2] Y. Ueda, Fblhess, donnes, X-groups,andultra-products of amalgamated free products over Cartansubalgebras, Thns. Amer. Math･ Soc･ 355 (2003), 349-371･

[3] F. Hiaiand Y･ Ueda, Automorphisms offree product-type and their crossed-products, J. Operator Theory 50 (2003), 119-130･

[4】 F. Hiai, D. Petz and Y･ Ueda, Flee transportation cost inequalities via random

matrix approximation, Probability Theory and Related Fields, to appear･

ー6-研 究 成 果

本科学研究費による研究発表のうち,研究代表者による学術研究雑誌などへの発表と出版物を以 下に再録する.

[1】 F･ Hiaiand X･ Zhan, Inequalitie/s involvingmitarily inwiant no,msand operator

monotonefunctions, Linear Algebra Appl･ 341 (2002), 151-169.

[2】 F･ Hiai, Flee relative entropyand q-defomation theory, in: Non-Commutalivity,

ZnPnite-Dimensionality and PrDbabilily at the Crossroads, N･ Obata etal. (eds.),

QP-PQ, Vbl. 16, Wわrld Scienti丘C, 2002, pp. 97-142.

[3】 F･_.Hiai, M･ Mizuoand D･ Petz, Flee relative entropy for JmeastlreS and a

corre-sponding perturbation theory, J･ Malh･ Soc･ Japan 54 (2002), 679-718.

【4】 F･ Hiai and Y･ Ueda, Automorphism8 0f丘ee product-type and比eir

crossed-products, J･ OperlatOr Theory 50 (2003), 119-130.

[5】 F･ Hiai, q-deformed Araki-Woodsalgebras, in: Operator A19ebras and

Mathemat-ical Physics, J･-M･ Combes etal･ (eds･), Theta, Bucharest, 2003, pp. 169-202.

[6] F･ Hiaiand H. Kosaki, Means of mlbert Space Operators, Lecture Notes in

Math-ematics, Vbl･ 1820, Springer-Verlag, 2003, vii+148 pp.

[7] F･ Hiaiand H. Kosaki, Operator meanSand their norms, In: Advanced Studies in

Pure Mathematics, H･ Kosaki (ed･) , Vol･ 38, Mathematical Society of Japan, 2004,

pp. 271-284.

[8] F･ Hiai and X･ Zhan, Submultiplicativity vs subadditivity formitarily invariant

norms, Linear Algebra Appl･ 377 (2004), 1551164.

[9】 F･ Hiai, D･ Petzand Y. Ueda, Flee transportation costinequalities via random

matrix approximation, Prvbabilily Theory and Related Fields, to appear.

本研究では,関数解析学の重要な分野であるHilbert空間上の作用素論･作用素環論を研究し た.作用素の研究としては,作用素･行列のノルム不等式やトレース不等式の研究を行った.作用 素環の研究としては,近年発展が著しい自由確率論と関連させた研究を行った.以下に, 2つの項 目に分けて,研究成果の概要を述べる. (1)作用素･行列のノルム不等式･トレース不等式の研究 Hilbert空間上の作用素(特に有限次元の行列)のノルム不等式やトレース不等式に関するいく

つかの研究を行った･ Ⅹ･ Zhan氏(East China NormalUmiversity)との共同研究【11では,行

列の作用素単調関数とユニタリ不変ノルムに対して成立する新しいノルム不等式を示した.また,

これと関連して,行列のH61der型ノルム不等式およびMinkowski型ノルム不等式を与えた.同

ー7-じくZh弧氏との共同研究【8】では,半正定値行列に対し,ユニタリ不変ノルムの劣乗法性と劣加 法性を比較する不等式を示した.また,いくつかの関連するノルム不等式を与えた. 幸崎秀樹氏(九大数理学院)とは最近5年間ほど,作用素の平均とそれらの間のノルム不毎式に 関して一連の共同研究を行ってきた･論文【7]で札Hilbert空間上の作用素の平均ノルム不等 式について最近の仕事を解説した.共同執筆した出版物【61では, 2重積分変換の理論とSchu mdtiplierの方法を用いて, Hilbert空間上の作用素のユニタリ不変ノルムに関する算術一幾何平均 不等式を精密化したノルム不等式を与えた.さらに,算術平均,対数平均,幾何平均,調和平均お よびそれらを自然に補間する各種の平均を比較する多くのノルム不等式を求めた. 論文【11の概要: A,Bを半正定借行列, Xを任意の行列とし, =･lIを行列に対するユニタリ 不変ノルムとする.任意のγ>0に対し,関数 t ∈ 【0,1] - Il lAtXB1-tlr‖ ･旧Al txBtlrll が凸関数であることを示した.この結果は, R. Bhatia-C. DaviSによる行列Cauchy-Schwarz不 等式旧Al/2xBl/2円12 ≦旧AXlr‖ ･ ll IXBlrllを補間するものであり,またcondition number

lLAsH ･ "A sllがS > 0について単調増加であるというA･ W･ Marshal1-Ⅰ･ Oudnの結果を含ん

でいる.次に, I(i)が【0,∞)上の非負の作用素単調関数であり, lHlが正規化されたユニタリ不 変ノルムであるとき,不等式f(FlX=)≦ llf(lXl)llを示した･これをf(i)-tr (0<r≦1)に 適用して,関数p∈ (0,1】一日(AP+BP)1/pHとp>0-‖AT+BPHl/pが単調減少であるこ とを導いた.さらに, ll lAIp+ LBIplIl/pの形の表示を含むH61der型およびMinkowski型のノ ルム不等式を考察した.例えば, llC*A+D*BILと日IAIp+lBtPLll/p･旧Clq+lDlqlll/qの2 つの比較を行った. 出版物【6】の概要:行列に対する種々の平均の(ユニタリ不変)ノルムを比較することは,大変 有用であり活発に研究されているテーマである.行列の平均はHadamard積を用いて統一的に扱 うことがでける.スカラーの平均M(S,i) (S,t>0)が与えられたとき,半正定借nxn行列 H,Kと任意のnxn行列Xに対して,対角化 H- Udiag(sl,S2,-,Sn)U*, K-Vdiag(tl,t2,-,tn)V*･ とHadamard積を用いて, n x n行列の平均M(H,K)Xを

M(H,K)X :- U(lM(si,t3･)] 0 (U*XV)) V*

と定義することができる. Hadamard積は,行列の平均に対するノルム不等式だけでなく,行列論 の多くの問題で強力な道具を与えるものである.次の3つの1径数族に対応する行列(また作用素)

-8-平均については,長い研究の歴史があり,日合一幸崎の以前の共同研究でも詳しく研究された:

α-1  Sα-tα

Ma(S,i) :-ニ｢二×

α  Sα-1 - tct-1 (-∞≦α≦∞),

Aα(S,i) :-去(sail-α･sl-ata) (o≦α≦ 1),

Ba(S,i,:- (空)1/a (--≦α≦-)･

例えば,ユニタリ不変ノルム‖ ･日に対して,算術一対数一幾何平均不等式 ･Hl'2xKl'2日≦日.LIHCXK1-Xdxl=弓"HF ･XKHl･ を精密化するノルム不等式 =Ma(H,K)XHl ≦ ‖Mp(H,K)X‖l (α <β) が証明された. 上述の算術一対数一幾何平均不等式を無限次元のHilbert空間上の作用素に拡張することは難 しくない･しかし,もっと一般の例えばBα(H,K)Xなどの作用素平均を無限次元に拡張する ことは,定義自体からして問題となる.このモノグラフの最初の目的は, Hilbert空間上の作 用素の平均の一般論を構築することであった. H,Kを正の作用素, Xを任意の作用素とし, H-烏JHllsdEs, K - J;jrKllldFtをスペクトル分解とする.行列の場合にHadamard積を用 いた平均の定義の連続版は M(H,K)X

-Ll'Hll"K"

M(S, i) dEsXdEt と形式的に書くことができるが,上の2重積分の正確な意味と,いつM(H,K)XがXの有界写 像となるかを明らかにする必要がある･ここで, M･ Sh･ Birman-M･ Z･ Solomyakによる2重積 分変換の理論とⅤ･ V. PellerによるSchur mdtiplierの特徴付け定理が有効に使われる.これら の事柄についてまとまった説明をしてから,作用素の平均M(H,K)Xに関する一般的な性質を示 した. 2番目の目的は,上に挙げた作用素の平均の3つの1径数族に関して,詳しい研究をすることで あった･族(Met(H,K)Xl-∞≦α≦∞については,ノルム収束

Iim HMa(H,K)XI Ma｡(H,K)X‖l - 0

a 事ao

をあるβ > αoで川Mp(H,K)XIH < ∞の仮定の下で証明した･族(Ba(H,K)XL∞≦α≦∞

については,まずBα(H,K)XがXの有界写像になることを確立してから,上と同様なノル

-9-ム収束を証明した.さらに, (i)あるα>1でⅢMa(H,K)XH<∞,(ii)あるα>0で 侶Bα(H,K)XⅢ < ∞, (iii) WHX+XKHl < ∞の3つのノルム有限条件が同値であることを 示した. 論文【7】の概要: Hilbert空間上の作用素の平均に対するノルム不等式に関する日合一幸崎の共 同研究について簡単に解説した.作用素の平均の間の種々のノルム不等式を導くために,作用素の 積分表示を用いる統一的な方法が有力であることを示した.この積分表示を用いると,ノルム不等 式を証明するだけでなく,いろいろな作用素方程式を明示的に解くことができることも示した. 論文【8】の概要: nxn行列の空間上のノルム1日lは劣加法性(つまり3角不等式) llA+BH ≦ llAH+IIBHとともに･劣乗法性IIABH ≦ IIAl=l.BHを満たすことが多い･ノル

ム･l上目がユニタリ不変のときは,劣乗法性の特徴付けとして,階数1の射影行列Pに対し JJPll ≧ 1であることが知られている.この論文では,このようなユニタリ不変ノルム冊に対し, 4月が半正定植行列のとき,劣乗法性と劣加法性を比較する不等式 llA月日 ノIIA+月日 =AHHB‖二日All+llB=' "AⅢB‖二日All+llB日 を示した.ただし, Ao月は4月のHadamard積とする.さらに,これらを拡張するノルム不 等式や関連するノルム不等式を導いた.これらの証明では, T. Andoの行列Ybung不等式と同じ くAndoのHadamard積に関するH61der型不等式が有効に使われる. (2)自由確率論と自由エントロピーの研究 1980年代初頭にD. Voicdescuが｢自由独立性｣または単に｢自由性｣と呼ばれる新しい確率 概念を導入した.これは非可換代数を用いて定式化されるもので,作用素環の自由横と密接に関係 している.それ以来,この新しい独立性の概念を基礎とする新しい確率論が非常な発展を遂げ, ｢自由確率論｣と呼ばれる新しい確率論の分野として体系化された.自由確率論は古典確率論と中身 は非常に異なっているが,両者の理論構造には多くの強い並行関係が見られる.実際,古典確率論 の自由確率アナロジーが数多く知られている.例えば,正規分布に対する半円分布,中心極限定理 の自由確率版, Boltzmann-Gibbsエントロピーに対する自由エントロピーなど.また,ランダム 行列との密接な関連は,自由確率論の重要な側面である.非可換ランダム変数のランダム行列モデ ルは,自由確率論の多くの場面で本質的な役割を果たしている. 論文【2】では,自由確率論の基本概念,ランダム行列,自由エントロピーなどについて概説し てから,自由群環の3種類の補間/変形理論を解説した･論文【5]では, q-変形von Neumann 環を導入し,それらの非単射性,因子性,タイプ分類などを考察した.さらに,関連して現れる q-0rnstein-Uhlenbeck半群の縮小性を示した.

水尾勝氏とD. Petz氏(BlldapeSt Umiversity of Teclmologyand Economics)との共同研

究【3】では,自由エントロピーを2変数に拡張した自由相対エントロピーを考察した･ 2重対数積

ll空+刷

坦三塁IL <丁

-10-分による表示と行列近似による表示の2通りの定義を与え,それらの同一性をランダム行列の標本 固有値分布に関する大偏差原理を用いて示した.さらに,自由相対エントロピーを使って,コンパ クト台をもつ確率測度に対する摂動理論を構築した.       1 植田好道氏(九大数理学院)との共同研究【4】では,自由積の手法を用いて, (補間型)自由群環 上にaperiodicな自己同型が連続無限個存在することを示し,その接合積の性質を解明した.さら に･自由積作用と自由シフト作用の双対的な関係を明らかにした･ Petz氏と植田氏との共同研究【9】 では, R上の確率測度に対するM. Talagrandの輸送コスト不等式のPh. Biane-D. Voiculescu による自由確率アナロジーを,ランダム行列近似の方法を用いて,より一般な設定で再証明した. さらに, T上の確率測度に対しても,同様な輸送コスト不等式の自由確率アナロジーを与えた. 論文【2】の概要:この論文では,まず自由独立性,ランダム行列,･自由エントロピーについ て解説し●た後, R上のコンパクト台をもつ確率測度に対する自由相対エントロピー(相対エント ロピーの自由アナロジー)を関連するランダム行列の標本固有値分布に関する大偏差原理に基づ いて導入し,それを用いた確率測度の摂動理論を説明した.次に,作用素環静において有名な自 由群環の3種類の補間/変形の理論を解説した･それらは, K. DykemaとF. Radulescuが独 立に導入した補間自由群環, D. Shlyakhtenkoが導入した自由Araki-Woods因子環,それに M. Bo畠ejkDR. Speicherが導入したq-ファンクわーで作られるq一変形von Neumann環で

ある･ '最後に･ ShlyakhtenkoとBo去ejko-Speicherの両方の構成を統合して導入されるq一変

形Araki-Woods環について説明した.

論文【3】の概要: D･ Voiculescuにより導入されたR上の確率測度pの自由エントロピー

∑(〟)

:-丑

log lx - yJ all(X) dFL(y)

はBolt2:mann-Gibbsエントロピーの自由確率アナロジーであり,ポテンシャル論で有用な対数エ ネルギーのマイナス符号に等しい･古典論では, 2つの確率測度p,Vの相対エントロピーS(FL,l,) はKullback-Leiblerダイヴァ-ジェンスとも呼ばれBoltzmann-Gibbsエントロピー以上に重 要である.この論文の動機付けは,自由確率論でも2つの確率測度に対する自由相対エントロピー を導入することであった･試行の結果, R上の確率測度p,Uの自由相対エントロピーの定義として =(IL, i,)

:-NR,

log匝- yld(IL - U)(a)a(p - Z/)(y)

が適当であることがわかった.しかし,上の2重積分は必ずしも確定しないので,もっと正確には

E(p,U, :- Elll-.トNR, log(rx - y恒,a(p - U,(X,a(p I U,(y,]

と定義するのがよい･論文では,この2重対数積分による定義を行列(血crostates)近似に基

づく漸近公式によって正当化した. p,I,をR上のコンパクト台をもつ確率測度として,関数

-ilil-Qu(X) :- 2Jlog匝-yldz/(y)がR上で有限値で連続であると仮定する･ R> 0をp,Z/の サポートがトR,R]に含まれるようにとり,自己共役なnxn行列の空間MSa上の確率測度 (つまりランダム行列)を 1 入n(U; R) :-云exP(-n2trn(Qu(A)))X{"AH≦Rl(A) dA と定める.ここで, trnはnxn行列に対する正規化されたトレース, llAllはAの作用素ノルム, xfllA‖≦Rl Bま集合(A∈ MSa : llAll ≦ Rlの定義関数･ dAはMSa (空Rn2)上のLebesgue

測度, Znは正規化定数とする.このとき, mk(p)をpのk次モーメントとして, n,r∈Nと

E>0に対し

rR(p;n,r,E) :- (A∈Mia : HAH ≦R, Itrn(Ak)-mk(p)L _<E, h≦r)

と定めると,次の漸近極限公式が証明された:

-E(p, U) - ,一浩..0 nli-i log入n(U; R)(rR(p; n,r,E))･

次に,相対エントロピーを用いたGibbs測度の摂動理論の自由確率アナロジーとして,自由相 対エントロピーを用いた確率測度の摂動理論を構築した. CR(トR,R])を区間トR,R]上の実数 値連続関数のなすBanach空間とし, Ju(卜R,R])をトR,R]にサポートをもつ確率測度の全 体とする.上述の仮定を満たすZ/ ∈ Ju([-R,R])に対し, h∈ CR([-R,R])の｢自由圧力｣

C(h,U)をp ∈ Ju(トR,R]) - ∑(FL,Z/)のLegendre変換により

C(h,U) :- sup(-p(h) - ∑(p,U) ‥ p ∈ Ju([-R,R]))

と定義する.自由圧力C(h,Z,)は古典論の圧力関数と同様な性質をもち,逆Legendre変換により

∑(p,U) - sup(-p(h) -C(h,U) : h ∈ CR(トR,R]))

が成立する.任意のh∈CR(トR,R])に対し,変分原理

-uh(h) - ∑(Z/A,I/) - C(h,U)

を満たす唯1つのZ/h ∈.M([-R,R])が存在する･このZ/hをZ,のhによる摂動という･自由相

対エントロピーを用いた摂動Z,hが,行列空間tA∈ Mia : lLAll _< R)上で古典的な相対エント

ロピーを用いた摂動のn一十〇〇の漸近極限として現れることを示した.これの証明では,関連する ランダム行列の標本固有値分布に関する大偏差原理が本質的な役割を果たす.

論文【4】の概要:自由積の手法は,作用素環およびその上の自己同型や作用で種々の興味あ

る性質をもつ/もたないものを構成するのに非常に有力である･この論文では, P,Q,Nをvon

ー12-Neumam環とし･ αを群またはKac環GのN上の作用とするとき,自由積vonNeumann 環M･'- (P⑳N)★Q上の自然に拡張される作用&:- (Idp⑳α)★IdQについて考察した.応 用として･すべての補間自由群環L(F,)が連続無限個の互いに外部共型でないaperiodicな自己 同型で･しかもそれらによる接合積がすべて同型になるものが存在することを証明した.これは J･ Phillipsの有名な結果を補足するものである･さらに,自由Araki-Woods因子環でも同じこ とが言えることを示した･また･コンパクトで余可換なKac環RGの自由積作用とG一自由シフト 作用との双対的な関係を明らかにした.

論文[51の概要: M･ Bo云ejko-R･ Speicherのq-ファンクタ-とD. Shlyakhtenkoのファン

クタ-を統合したq一変形ファンクタ-を導入し,実Hilbert空間とその上の1径数直交変換群の組

(71R, tTt.)に付随してq一変形Araki-Woods環を呼ばれるvon NeumAnn環rq(7iR, Ut)〟を構

成した･このrq(71R,Ut)〟の非単射性,因子性およびタイプ分類について研究した.さらに, q凌形ファンクタ-から定まるq-Ornstein-Uhlenbeck半群rq(e-i), i > oの縮小性を示した. q-シフトの力学的エントロピーについても考察した. 論文【9]の概要‥ 1996年にM･ Talagrandは, Z,をRn上の標準Gauss測度とするとき, Rn上の任意の確率測度FLに対し･ (2次の) Wasserstein距離W(IL,Z/)と相対エントロピー

S(p,U)の間に不等式W(〟,) ≦府が成立することを示した.この興味深い不等式は

｢輸送コスト不等式｣と呼ばれる･ Ph･ Biane-D･ Voiculescuは2001年に, Talagrandの輸送 コスト不等式の自由確率アナロジーとして, R上のコン^･クト台をもつ任意の確率測度pに対し

W(FL, 70,2) _<

-≡(小農dp(I)一芸

を証明した･ここで･竹,2は標準(中心0,半径2の)半円分布であり, ∑(〝‖ま〝の自由エントロ ピーである･この論文では･ Biane-Ⅶicdescuの上の不等式を,もう少し一般的な設定で,ランダ ム行列近似を用いて別証明した･ Q(I)がR上の適当な増大度をもつ実数値連続関数とするとき, Biane-Speicherは自由エントロピー∑(IL)の相対版として相対自由エントロピーEQ(p)を導入 した(これは論文【3】の自由相対エントロピーとは少し違う)･七の∑Q(p)がQから自然に定ま る自己共役なランダム行列の標本固有値分布について成立する大偏差原理のレイト関数に等しいと いう事実は重要である･ pQをQに付随する平衡測度(つまり, ∑Q(FL)を最小化する唯1つのR 上の確率測度)とすると, Q(X)一号X2がR上で凸であるような定数p>oが存在するとき, R上のコンパクト台をもつ任意の確率測度FLに対し W(IL,PQ) ≦ を証明した･ Q(I) -X2/2でp- 1のとき,これはBiane-Voiculescuの不等式になる.

-13-さらに, T上の実数値連続関数Qが与えられたとき,相対自由エントロピー∑Q(p)を導入し,

Q(e√了t)一書t2がR上で凸であるような定数p > -1/2が存在するとき, T上の任意の確率測

度pに対し      く

W(p,pQ) ≦

i義云Q(p)

を証明した.これの証明もランダム行列近似に基づき, D. Bakry-M. EmeryとF. Otto-C. Villami の仕事を合わせて得られる特殊ユニタリ群上の古典的な輸送コスト不等式と,特殊ユニタリ･ランダム行

列の標本固有値分布に関する大偏差原理が使われる･特にQ ≡ 0でp = 0の場合, ∑Q(FL)ニー∑(IL) でありpQ -dO/27'であるから, T上の確率測度pに対しW(p,dO/2打) ≦ √郡が成立 する.

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