多次元〔α,β,γ〕 : Langevin方程式に関する一考察 (陵水六十年記念論文集)

17Jr

多次元［α，β，γ］一Langevin方程式に

        関する一考察

中  野  裕  治

工  Y．Okabeによる［α，β，γ］一Langevin equationは， T一正値性を持つ正

規定常過程の時間発展を記述する確率微分方程式として，高く評価されてい

る．しかも［α，β，γコーLangevin方程式は，その適用範囲が広く，次のよう な代表例をあげることができる，  C1）統計力学におけるMori方程式と本質的に異なるものであり， R． Kubo の「非線形拡散過程の定常状態に対する揺動散逸定理を求める」問題に解を与 えるものとなった．  （2）有限区間を知った時の予測の問題を，三つ組［α，β，γ］で定まる非線 形微分積分方程式を導くことによって，具体的に解くことができる．これは， Krein−Dyエn−Mckeanの予測問題にはあらわれないものである，  （3）三つ組［α，β，γ］で定まる方程式を導くことによって，Kdv方程式の 多重ソリトン解を求めることができる，  さらには，方程式自体の持つ美しさと自然さから，その他の分野への応用が これから広がっていくものと思われる．

 d次元定常正規過程を

  X＝（X（t） ＝：（Xl（の，X2（の，…，Xd（の；t∈R） とする、開集合D（⊂R）に対し，

 176 彦根論叢 陵水60年記念論交野（222・223号）    H（D）＝［X（の；t∈D］（closed linear hUll） と定義し，    H＋＝H（（0，00）），H『 ＝・H（（一〇〇，0）） とおく。さらに，時間反転作用素Tを，つぎのように定義する．    T（X」（の）＝Xi（一t）（t∈R，ブ＝1，…，d）．  このとき，Xに対して， T一正値性を定義しよう．  定義 Xが7L正値性を持つとは， S＝・PH・TPH＋が非負であるときをいう． ここで，PH・はH＋上への射影作用素である．  この定義は，Y． Okabeにより，つぎのより理解しやすい定理にまとめられ た．  定理2．1（〔1〕）．Xが7L正値性をもつ必要十分条件は， Xの共分散関数 Rが，［0，0。］上の有界なd×d一行列値のボレル測度σによって，    R（t）一∫，。，．．， ・一1…a（・・）（t∈R） と表現されることである．  一次元では，XがT一正値性をもつことと， Xが［α，β，γ］一Langevin方程式 の解になることは同値である（〔2〕）．  多次元の場合，つぎのような方程式を導入し，この方程式を［α，β，γ］一Lang− evin方程式とよぶ（〔3〕）．    （e・・ ）dX（の一（一βx（の＋∫t．。・（・）x（t＋・）d・）dt＋・dB（t）．  ただし，次の仮定をおく．

 （2．1） αとβは対称なd×d一正値行列である．

 （2．2） ある自然数N，d×d一非負値行列μ（n）（1≦諺≦N）および正i数9n        ガ （9i＜…〈qπ）が存在して，γ（S）＝ΣPt（n）eS4n．        れヨユ （、．3）β一当Ft（”）が翻一正値行列である．        n＝＝τ 9n  以上の条件のもとで，次の定理を得る（ただし，d＝2およびα＝1とする），  定理2．2（〔3〕）．方程式（約の解がただ一つ存在する．

 （ii）ある自然数M，正数Pn（幽く…＜Pif）および2×2一非負値行列Kn

      多次元［α，β，γコーLangeVin方程式に関する一考察  177 （lgnEgM）が存在し，    （p 一 （i，”） 1一 fO一 ．． et（s r（ds）） ri ’ 一 ；“；！一一， 一p；5tlbeFi℃ （℃EC’）・

 （11D （紛の解XがT一正値性をもつ必要十分条件は

   （…）誕1壽乾一業、一舗叢（・璽M）・

。・・一当姦K・          （1くn＜M）とおく，    ；，fi：t＝1 Pn十P’m  Mf｛：3のとき， XがT一正値性をもつことと，σ（の（1≦∫≦：M）がたがいに 可換であること同値である（〔3〕）．  M＝4の時には，P，＝i（1〈z〈4）とすれば，σω（！福≦4）が非可換かつ （2．4）が成り立つKi（1≦z≦4）が存在する（〔4〕）．  本稿の目的は，M≧4の場合を一般化することであり，次の定理を得る．  定理3．1．正数A（1《z〈4）を任意に与えた時，σ（t）（1≦z≦：4）が非可換か つ（2．4）が成り立つKi（！≦z≦4）が存在する．

 証明A＜ちく九くPiとする．

（2．4）から，次の式をうる．  （3．1） ［Ki，K3十aK2］＝O．  （3．2） ［K2，K3十βKl］＝0． ここで・・一

P鰍ll解：1・β一一葬多：li多豊1・

   Ki一隠］， al＝：÷＋一1必・b・ ・・ 一E−14（lS｛i≦三4） とおく．  C，＝e，C，＝0， Cs＝一βc， d，・＝d， d，＝γdとすれば，（3．1）と（3．2） からC，＝（β一1）c，d3＝一（β＋αγ翼， d4 ＝＝（β＋αγ一1一γ）dを得る．そこで， d（≒0）として   ma」 （i， lr［，iig＋ar1，lp＋crr−i−r1）1d1〈一li

 178 彦根論叢 陵水60年記念論文集（222・223号） を満足するものを選ぶ。その4に対して，

   蘇壱一穿（・≦・≦・）

が成り立つ。（≒0）をとる．このように。とdを選べば，Ki（1≦ガ≦：4）が定理 を満足することは明らかである（証明終り）．  定理は，M≧5の時も成立する．簡単のため， M＝5かつPi＝i（1≦ゴ≦5） の場合を証明しよう．  （2．4）から得られる5つの方程式をまとめると， （3・3） ［Ki＋一firK3＋tK4，K2］＝O・ （3．4） ［K，＋gK，＋一il；一一K．K，］＝O． （3 ． s ） ［K，＋一g−K，＋？t K，， Kl ＝O．

M・4の場合と同様に，

   K，＝＝［gll bCi］， a，＝t＋td，， b，一一t−td， （lsgim〈5） とおく．  （3．3），（3．4），（3．5）はいずれも行列の可換性に関するものであるか ら，C2＝0として， M・・4のときを参考にして求める．たとえば，

    Cl  航嚇×l

    c211 O ［5d2N−tXE

C3 C，1 C5

L＼

in’XM｛tLi

 o

 l   ！

T×一拓一・

 l    i

 10

k／・鉛1

d3 1＝ 4 d， ／ 1   1 sr×一Q 1   1

一τ×了

 一11×17 2×5×7×8

 1

×MQ とすれぽ，K、（1≦∫≦5）は求める性質を持つ．  定理3．1は，多次元［α，β，γ］一Langevin方程式が， 質的に異なることを主張するものである． 一次元の方程式と本

      多次元［α，β，r］ 一Langevin方程式に関する一考察  179        参考文献 （1） Y． Okabe： On a stationary Gaussian process with T−positivity and its associated    Langevin equation and S−matrix． J． Fac． Sci． Univ． of Tokyo．， Sec． IA， 26， 115−     165 （1979）． （2） Y． Okabe： On a stochastic differential equation for a statienary Gaussian    process with T−positivity and fluctuation−dlssipation theorem． 」． Fac． Sci・ Univ・    of Tokyo．， Sec． IA， 28， 169−213 （1981）． （3） Y． Nakano and Y． Okabe： On a multi−dimensional ［cr， P， T］一Langevin equation・    Proceedings of the Japan Academy．， 59， Ser． A （1983）． 〔4〕 Y．Nakano and Y． Okabe：On a 2−dimensiona1［α，β，γコーLangeivn equation：to    appear in Lecture Notes in Math． Springer−Verlag．