一般化された安藤日合の定理によるフルタ不等式の
$-$般化前橋工科大学 亀井栄三郎
1. 安藤– 日合の定理からフルタ不等式へ $A,$ $B$ は
Hibert space
上の positive operators とします。まず久保安藤 [14] によって導入された作用素平均 ($\alpha$-powermean) の定義を与えておき
ます。
$A\#\alpha B=A^{3}(A^{-\}}BA^{-\}})^{\alpha}A^{\}}$ for $0\leq\alpha\leq 1$
.
安藤 日合 $[1],[10]$ は次のような量るを示しました$[3],[5]$。
Ando-Hiai Theorem: For $A,$ $B>0$,
$(\mathrm{A}\mathrm{H})$ $A\# aB\leq I$, $\Rightarrow$ $A^{r}\#\alpha B^{r}\leq 1$ holds
for
$r\geq 1$.
私達はこの定理を次のように–般化しました。
Theorem A. Fora$\in(0,1)$ fixed,
(GAH) $A\#\alpha B\leq I$ $\Rightarrow$ $A^{r}\#\infty 1-\epsilon\cdot+\alpha rB^{\iota}\leq I$ for $r,$ $s\geq 1$
.
今回はこの定理の有効性について紹介します。まずフルタ不等式 $([6],[7],[9])$ についてです。
Furutainequality: $IfA\geq B\geq 0$, then
for
eachr $\geq 0$,
(F) $A^{\mathrm{R}^{f}}\mathrm{q}\geq(A^{r}\pi B^{\mathrm{p}}A^{\prime\iota}\pi)q$
holds
for
$p$and
$q$ such that$p\geq 0$ and$q\geq 1$ utth$(1+r)q\geq p+r$.
これを
a-power
mean
を使って表すと次のようになります$[2|,[11]$。(F) $A\geq B\geq 0$ $\Rightarrow$
$A^{-r}\#_{p}1+_{f}rB^{\mathrm{p}}\leq A$ for $p\geq 1$ and $r\geq 0$
.
私達の結果は次です $[11],[12]$。
$(\mathrm{S}\mathrm{F})$ $A\geq B\geq 0$ $\Rightarrow$
$A^{-r}\#_{\mathrm{p}}1\not\in_{r}B^{p}\leq B(\leq A)$ for $p\geq 1$ ud $r\geq 0$
.
前回私達が示した結果は、$(\mathrm{A}\mathrm{H})$ から $(\mathrm{S}\mathrm{F})$が導かれ、よって (F)がえられる、 更に (F) から $(\mathrm{A}\mathrm{H})$
も導くことができる、 というものでした。
ここでまず、 $(GAH)$ を使うと $(F)$ は直ちに導かれることを示しておきます。
Proposition.
$(GAH)$ implies $(F)$
.
Proof.
Since
$A\geq B\geq 0$ isequivalent to$A^{-1}\#_{p}\iota A^{-:}B^{\mathrm{P}}A^{-\}}\leq I$,
(GAH) leads$A^{-(r+1)}\#$ $.\mathrm{r}\pm 1$ $A^{-:}B^{p}A^{-:}\leq I$ for $r\geq 0,$ $p\geq 1$
.
$\frac{\emptyset}{(1-1_{)+^{f}}\lrcorner\underline{1},\mathrm{p}\mathrm{p}}$
数理解析研究所講究録
Thisis equivalentto
$A^{-(r+1)}\#_{pf}f+^{1}A^{-\}}B^{p}A^{-\}}\leq I$
.
So
we
have$A^{-r}\# 1*_{f}rB^{p}\leq A$
.
2.. フルタ不等式の–般化 $(\mathrm{A}\mathrm{H})$ から安藤
.
日合 [1] は次の $(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0})$ を示しました。$(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0})$ $A^{-1}\#\iota,$ $A^{-:}B^{p}A^{-\}}\leq I$ $\Rightarrow$ $A^{-r_{\#_{p}}}\mathrm{A}(A^{-:}B^{p}A^{-\}})^{r}\leq I$ for
$p\geq 1$ and $r\geq 1$
.
$(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0})$ これを受け古田は$(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0})$ と (F) を繋ぐ次のようなフルタ不等式の–般化を与えました $([8],[9])$
。
Grand Furuta inequality:
If
$A\geq B\geq 0$ and $A$ is invertible, thenfor
each $1\leq p$ and$0\leq t\leq 1$
,
$(\mathrm{G}\mathrm{F})$ $A^{-r}\#_{\frac{\iota-\iota+r}{(p-l)\cdot+\prime}}(A^{\overline{T}^{\underline{l}}}B^{\mathrm{p}}A^{\overline{T}^{l}})^{\iota}\leq A^{1-\mathrm{C}}$
holds
for
$t\leq r$ and$1\leq s$.
この不等式に関しても私達の得ている結果は次のような形です$([3],[113],[14])$。
(SGF) $A^{-r+l}\#_{\frac{1-*\neq r}{(p-l)\cdot\neq r}}(A^{t}\mathfrak{h}_{*}B^{p})\leq B(\leq A)$
holds for$t\leq r$and $1\leq s$
.
ここで $\#$ は $\alpha$-Power
mean
と区別して次のように定義します。$A\mathfrak{h}_{r}B=A^{\}}(A^{\mathrm{i}\#\mathrm{r}}BA)^{r}A^{1}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}r\not\in[0,1]$
この不等式 $(\mathrm{G}\mathrm{F})$ の重要性は$t=1,$$r=s$ のとき $(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0}),$$t=0,$$s=1$ のとき (F) となることです。 ここでは、(GAH) を使うことで $(\mathrm{S}\mathrm{F}),$ $(\mathrm{A}\mathrm{H}_{0})$ を繋ぐ不等式として次を与えておきます。
Theorem.
If
$A\geq B\geq 0$ and$A$ is invertible,then
for
each$1\leq p$ and$0\leq t\leq 1$, $A^{-r+t} \#_{\frac{1-l+\prime}{(p-l)\cdot+\mathrm{r}}}(A^{t}\mathfrak{h}_{*}B^{p})\leq A^{t}\#\frac{1-l}{p-1}B^{\mathrm{p}}$holds
for
$t\leq r$ and$1\leq s$.
Proof. if $A\geq B\geq 0$
,
then $A^{t}\geq B^{\mathrm{t}}$ for $t\in[0,1]$ by the L\"owner-Heinzinequality. For
$p\geq t>0,$ $B^{t}\leq A^{\}$ which i8 equivdentto $A^{-t}\#\iota,$ $A^{-f}B^{\mathrm{p}}A^{-i}\leq I$
.
By(GAH), we have $A^{-tr_{1}}\#$ $\underline{tr}\iota$$(A^{-\}}B^{\mathrm{p}}A^{-:})^{\iota}\leq I$ for
$r_{1},$ $\epsilon\geq 1$
$\frac{}{(1-\mathrm{A}_{)\cdot+^{\mathrm{p}}}arrow r,p},$ ’
Let$r_{1}= \frac{r}{t}$
,
then$A^{-r} \#\frac{r}{(p-|)\cdot+r}(A^{-\mathrm{i}_{B^{\mathrm{p}}A^{-\mathrm{i}_{)^{\partial}=(A^{-\mathrm{i}_{B^{p}A^{-:})^{\iota}\#-l}}}}}}\tau^{4}\mathrm{p}-l+.\cdot rA^{-r}\leq I$
.
Thi8 isequivalentto
$(A^{t}\mathfrak{h}_{\ell}B^{p})\#\neq,\mathit{5}^{t}+_{r}.\cdot A^{-r+t}\leq A^{t}$
.
Hence
we
have the conclusion bythe following calculations.$\leq$
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assures
$(B^{r}A^{P}B^{r})^{1/q}\geq B^{(p+2r)/q}$ for$r\geq 0,p\geq 0,q\geq 1$ with$(1+2r)q\geq$$p+2r$,
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Maebaehi
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