論 文
重ね長方形板の接触応力
（昭和56年8月19日受理） 水口義久 吉峯鼎 竹田裕治Contact Stresses in Laminated Rectangular Plates
YoshihisaMINAKUCHI KanaeYOSHIMINE HiroharuTAKEDA
Abstract The contact problem of two laminated rectangular plates subjected to a symmetric l・ad i・c・n・id・・ed・Th・tw・dim・n・i…1th…y・f・1・・ti・ity i・u，ed・。 an。ly，e the contact stresses and deformations in the case where the laminated rectangular plates are compressed from either side with local uniform pressure． By neglecting shearing stress ・nth…nt・・t…f・・e，・n・x・・t・・1・ti・n・ati・fyi・g th・・em・i・i・g b。und。，y、。nditi。n、 i， ・bt・i・・d・N・m・・ical・a1・u1・ti・n・a・e・arri・d・ut f・・v・・i・u・rigiditi。， and h。ight、。f th・・e・t・ng・1・・pl・t…1…d・・t・i・v・・tig・t・th・u・ef・lness・f th・th。。，eti。a1。n。1y，i，， th…ntact・t・ess i・mea・u・ed・xp・・im・nt・11y by・・i・g th・p・essu・e−・en・iti。。 pi。， att。，h。d t・th・・ect・ng・1・・p1・t・・A・a・e・ult， it i・c・n丘・m・d th・t the exp・・im・nt・1・e・ult・ag，ee well with the theoretical ones．
1．緒
言 最近の各種工業の発達に伴う機械の精密化や軽量化 に対する要求ならびに漏洩事故防止などの観点から， 機械や装置の結合部における接触応力状態を正確に把 握することが強度設計に際して重要になってきた。従 来の研究によれぽ，機械構造物の結合部として最も基 本的な弾性平板の接触応力に関する研究としては，半 無限体と無限帯板あるいは長方形板との接触問題1）−6） や二つの弾性帯板の接触問題7）8）などがある。 しか し，実際の問題を扱う際には，板の端の影響を考慮に 入れた重ね長方形板の結合問題における応力解析が必 要となることもしばしば見受けられるので，その解析 法を明らかにしておくことは工学上重要と思われる。 この場合，同一の材質からなる重ね長方形板の応力解 析は，単一一の長方形板を解析することによってなされ ているが9）−11），異種材質からなる場合についての研 究はあまり見当たらない。 そこで本研究では，板厚や材質の異なる二つの重ね 長方形板に左右対称な圧縮荷重が作用する場合につい て，長方形板の形状や材質および負荷が接触面応力や 変形状態に及ぼす影響を検討するため，接触面の摩擦 を無視して二次元弾性理論に基づいて解析した。ま た，一方の長方形板に引張型測圧ピンを取付けて接触 面応力を測定し，計算結果と実験結果を比較検討して 接触状態を明らかにした。2．理論解析
2．1基礎式と境界条件 図一1に示すように，板厚や材質の異なる二つの重 ね長方形板の上下境界面に，全荷重がWで，しかも ッ軸に対称な垂直荷重ヵ＠）が作用する場合を考え y ＊現在大平電業（株） Pω る E1，ソ1 2α 1 ざ O d2，レ2 H Pω 2／ 図一1 解析モデル一112一
る。長方形板の応力解析にあたっては，直角座標（X， y）表示によるAiryの応力関数Xを用いると・応力 （aa−， a・」，τx，J）および変位（U， V）は次式で表される。 ∂2X む＝怩Q− ∂2Xび ℃了万2− ∂2X τXty ＝＝ ’ ﾝx∂y u−．」−1 ．．u．（ v−！Ey−（ （1）
：嶽覧；｝②
ここでEば縦弾性係数，レはボアソン比であり 7272X＝0，72ψ＝0，〆・一コ陽…一護・＋芸
である。 図一1において，接触面応力を万＠）と仮定しこの ラ（X）およびP（X）をフーリエ級数を用いて表すと， 接触面に摩擦がない場合の境界条件は次のようにな る。なお上付き添字（1），（2）および下付き添字1，2 はそれぞれ長方形板1，IIの値に対応することを示 す。 （i）長方形板1において翼i竃i三繧1：：：：8｝
（ii）長方形板IIにおいてli》i蓑ii：篭1：：：：8｝
（iii）接触面において y＝0：ay（1）＝a・y（2） ツ＝0：が1）＝が2） （iv） 力の釣合いより ∫L， P（・）dx−w ここで 一♪＠）−b・’＋勲…（s tUlx）一嗣一町靹…（s7t −xl）
b・・一一?轣F、カ＠）dx b・・t−一ﾛレ＠）…（一乎り4エ
（3） （4） （5） （6） （7） なお，bott，δノ’は境界条件より決定される未知係数で ある。 2．2 長方形板の応力解析 長方形板1の応力解析にあたり，まずY1＝y−hi と座標変換した後，境界表面x・＝±1，Yl＝±hlでせ ん断応力τ．，yl（1）＝0を満足する応力関数Xlを次のよ うにおく。 X1＝＝⊥A。X22＿
＋顯晶〔｛・h（a・1）＋・・1・h（… 1）｝・h（a・X） −sh（αnのαπxsh（αn x）〕cos（αn Yl） ＋ξ1誌〔｛・h（λ・・h1）＋R・ h・ ch（Z・ hi）｝・h（Z・・y・） −sh（λs hl）λ，ツl sh（λs Yl）〕cos（λ， x） 霞毒〔｛c・h・（・・ 1）＋B・1・h（B・1）｝・h（B・ r） −sh（βnのβn x sh（βn x）〕sin（βnツ1） ＋ξ、景〔｛・h（Z・hl）＋Z・・h1 sh（Z・ h・）｝・h（栂1） −ch（λ、 hl）λ、 or、 ch（λ・ yi）〕c・s（λ・ x） （8） ここでA・，An， C・， En， G・は未知係数であり，ch， shはcosh， sinhの略記号を示す。また 輪一l…7｝・一（2n−1 2h，）π・λ・子 4、＝sh（αnl）ch（αnの十αnl 2s＝sh（ズsh1）ch（λshl）十λsh1 、 dn＝sh（βnl）ch（βnl）十βnl 9−”s＝sh（λ，h」1）ch（Zsh，）一λsh， を表す。 式（8）を式（1），（2）に代入すれば応力および変位が 求められ，境界面上における応力σ。（1），a，」1（1）および 変位が1）は，フーリエ級数展開をほどこし，整理す れぽ次式となる。 ｛ax（1）主一・ 一_1｛An＋熱・α｝…（a・・Yl） 一碧1｛ ooEn＋ΣP、。 G、 s≡1｝・i・（・n Yl） （9） ｛a・1（i・｝？」1−±・・1−A・一菖｛妻1Ω・・瓦＋蘇｝…（Z・ X） 干ξ、｛誉1◎・・五・＋6・｝…（λ・ r） （1・） ｛V（1）｝，、・…±hi−21it fy，＋h1）＋去 ｛干蕊十・h・（Z・・hi）｛言・去・h2鋼）｝c・s（λ、 x） （11）
ここで昭和56年12月 山梨大学工学部研究報告 第32号 4（一一一・ 1）s＋nZshl（ηπ）2sh2（lsh，） PSn＝ 2S｛（ηπ）2＋（Z、 hl）2｝2 PSn＝ 4（一・）s＋n＋・Z・・h1｛（2〃；1）a｝2ch・（R・ h1） 2ns＝ 蕊｛｛（2Z’；r’）π｝2＋（Z・ h・）・｝2 4（一一 1）s＋nαnl（sa）2sh2（αnl） i2ns＝ dn｛（Sπ）2＋（ev。 1）2｝2 4（−1）s＋n＋1βnl（s7ピ）2sh2（βnl） dn｛（Sクご）2十（βnの2｝2 さて，これら式（9），（10）を境界条件式（3）に等置 すれば，次の関係式を得る。 ヒヌコ ∠Lo＝bo’， An＝一ΣPsn Cs， En＝一Σ1）Sn Gs s＝1 s＝1 −｛ooΣ9，tS An＋C・n＝1｝一｛菖銚瓦＋蘇｝−b・t −｛ Σ9n・．A，・＋C・n＝1｝＋｛星銚瓦＋己｝−b・・t （12） 次に，長方形板llの応力解析ではッ2＝bl＋h2と座 標変換し，式（8）におけるor1， h，をY2， h2に，さら にλsを除く他の記号Ao， An， Cs， En， Gs，απ，βn， dn，2s， dn，2sにダッシュを付した式からなる応力関 数x2を用いればよい。この応力関数を用い，境界条 件式（4）を考慮して長方形板1の場合と同様な解析を 行えぽ，長方形板皿の境界面上における応力a。（2）， OY2（2）および変位V（2）は次式のように求まる。 co co ｛σ。（2）｝。一士F一Σ｛Aπ’＋ΣP・πノC・’｝c・s（αnt Y2） n＝1 s＝1 oo co 一Σ｛Ent＋ΣP、nt G・t｝sin（βn’Y2） （13） n＝・1 s＝1 ｛・・，…｝・・一士h2一賑鞭1鋼鮎ひ｝…（R・a） F，；1｛ Σ9n，’En’＋G・’n＝＝1｝…（R・ v）（・4） ｛V・2・｝・・一士h2一
aiY2−h2）＋音
｛干、盤：÷・h・（Z・−h・）量晋十鍵（R・h2）｝ cos（λs x） （15） 式（13），（14）を式（4）に等置して次の関係式を得 る。鷲讃i隷；1：｝
（16） 最後に，境界条件式（5），（6）に所要の応力および 変位を代入すれば，次の係数方程式が得られる。 co oo Σ2n、 An＋C・一Σ9η・ErG・ n＝＝1 n・＝1 co t co ＝Σ 2ns’An’十Cs’十IE］ 2ns「 Ent十Gsノ （17） n＝1 n＝1 記慕÷・h2（R・ hi）盲蒙え・h・（λ・ h・）｝ 一毒｛二盤；去・h・（Z・・h・）遇寵賦彪）｝ （18） このように得られた式（12），（16）∼（18）よりbsttを 消去してCs， Gs， C，t， Gs’に関する4重無限連立方程 式を解けぽ，すべての未知係数が決定される。よって 得られた係数を式（9）∼（11），（13）∼（15）に代入すれ ば，長方形板1，皿の各境界面上の応力および変位は 求まる。 2．3等分布圧力を受ける場合 重ね長方形板の形状や材質が接触面応力に及ぼす影 響を調べるために，ここでは実験との比較も考慮して，負荷P（x）は幅2a，奥行きbの長方形領域内
に等分布圧力Pが作用する場合を考える。すなわち， P（X）は次式で表される。 カ＠）一｛P（°≦1「1≦・） （、90 （a＜1cl≦の） したがって式（19）を用いれぽ，式（3），（4）における 負荷ヵ＠）のフーリエ係数bo「， b・tは次式となる。 a bo’＝一一Z−P桔一豊証（乎り
また式（7）よりW＝2abカ
｝ （20） （21） したがって，式（20），（21）を用いて2．2節にそって 解析すれば，負荷が等分布圧力を受ける場合の解析モ デルの応力および変位は求められる。3．実験方法
解析モデルの実用性を確かめるために，測圧ピン法 を用いて接触面応力を測定した。図一2は実験に用い た長方形板の寸法を示し，長方形板IIには中央から10∼110mmまで10mm間隔に11個の応力測定用測圧
ピンの取付け穴を設けてある。また長方形板の両面は 研摩して接触面での平面度が2μm以下で，表面あら さについては1μm（R。）m。xに仕上げた鋼材（S45C） および1．5μm（Rα）m・xに仕上げた鋳鉄材（FC 25） を用いた。表一1には実験に用いた4種の組合わせに一114一
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2u6 τ27 2〔｝6 206 E。 GPa 206 Lteti 2〔｝5 21）6 レ．C 0．3 ［）．3 11−：｛ 1）．：3 レ．： ［1．：∼ n−：｛ D1．3 〔｝．：1 B］ock （tCrPa；＝Tn2kgf／m）・・21） ・：°9：目・ Nllt2‘A．‘ ｜＿《．i‘tl 、、．i‘1’1 ．．．．．．． ．．． ．．．．．．． ．．．、． NLLI I．． Nut 2 St「ミLi” ”n岬s．ｩ
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奥行き45mm，高さ40mm）を重ね合わされた長方
形板の両端面に設置し，圧縮用ねじで締付けて荷重 Wを作用させる。図一6はその実験装置を示す。荷重 と各測圧ピンのひずみとの関係は，荷重が10kNで 出力ひずみが約95μとなるように止めねじで調整し， 予荷重を加えた後に49kN（＝5tf）まで負荷して測定 する。なお実験に際しては，長方形板やブロックなど の表面はアセトンで十分脱脂して清拭した。 4．計算結果と実験結果との比較および考察 数値計算は2a＝ 20 mm， b＝45mm，21＝240mm， ×10−6 160 ・§ お Contact stress（MPa） 0 −5 −10 −15 −20 −25oL−＿＿⊥＿L＿⊥＿一」
0 10 20 30 40 50 Load（kN） 1kN＝102kgf lMPa＝0．102kgf／mm2 図一7 測圧ピンの較正曲線 ×10−6 180 ・§ 奏 2α＝20mm 1／α＝12 2み1／α＝3．0 ん2／ん1＝1．5 E2／E1＝1へ62 10 20 30 40 50 60 Load W（kN） 図一8 負荷時の測圧ピンに生ずるひずみ レ1・・＝ Y2＝0．3一定とし，種々の板厚や縦弾性係数につ いて行った。なお，応力および変位の値は実用上十分 な精度が得られるように，フーリエ級数の項数を40項 とって計算した。図一7は長方形板IIのエ＝20mmの 位置に設定した測圧ピンの較正曲線であり，横軸の接 触応力は荷重を較正曲線用ブPックの断面積（45×45 mm）で除した値を示す。ここで止めねじ2（A）， 2（B）はそれぞれ長方形板皿の板厚が30mmおよび 45mmの場合に用いる曲線を示している。この曲線 において，ひずみは立ち上がり時に少し乱れを生ずる が・荷重が約3kN以上になると荷重の増加とともに ほぼ直線的に増加している。図一8は，表一1中のNo．2 の組合わせによる重ね長方形板に負荷したときの測圧 ピンに生ずるひずみの測定結果である。図から明らか なように，負荷の増加に伴うひずみの増加は，測圧ピ ンが負荷位置から遠くなるにつれて小さくなって， x≧50mmの位置では減少する傾向を示している。こ のことはx≧50mmになると接触面が分離し始める ことを示唆している。接触面の応力分布は，図一8の 測定曲線とこれに対応する測圧ピンの較正曲線におけ る直線部分の傾きの割合いから決められる。図一9に は接触面の応力分布について，実験結果を，○，△印 で，また計算結果を実線で示す。解析モデルと実験に おける負荷条件は異なるが，接触面応力に及ぼす影響 は少ないと考えられる。計算結果と実験結果を比較す ると両者はかなりよく一致しており，また実験におけ る接触面の分離点は計算による接触面の分離推定点 （（ay）・y−oの符号が負から正に変わる点とする）より やや負荷位置に近い所で生じていることがわかった。 次に，板厚や材質および負荷が接触面の応力分布に及 ぼす影響について述べる。図一9（a）より，縦弾性係 数比E2／E， ・1．0一定の場合，板厚比h2／hlが小さ くなると最大接触面応力は著しく大きくなり，接触面 の分離推定点は負荷位置に近づくことがわかる。図一9 （b）はh2／hl＝1．5一定とし， E2／Elを変化させたと きの結果で，E2／Elが大きくなると最大接触面応力 は大きくなり，接触面の分離推定点は負荷位置に近づ く傾向にある。また図一9（c）はh，／h， ＝＝ 1．0，E2／Ei ＝・1．0および負荷領域の大きさを一定にして板厚のみ を変化させたときの結果で，板が薄くなると最大接触 面応力は大きくなり，接触面の分離推定点は負荷位置 に近づくことが示されている。図一10は長方形板の上 端面・接触面および下端面における変位の計算結果を 示し・図一10（a），（b），（c）の条件は図一9（a），（b）， （c）における条件と同じである。なお図一10（c）では， 一116 一1．2 1．0 0．8 ミ0．6 ご 1 0．4 0．2
0
01234567
x／α （a）板厚比の影響（E2／Ei＝1．0） 0．7 0．6 0．5 0．4 ミ ↑o．3 0．2 0．10
9 0 言 ＼こ一〇．4 吉 工一〇．8 ε 一1．2 A O．4 ぎ 這 0 1i S−o．4 1．2 言 ミ…o．8 恩 ↑ 0．4 ≡ 3 0 ＼；：； 1：1 ；：1 0．3 E2／E、＝12 6 3 1．62 1 y P E、，・12・ る E・，・・Ol 云 ρ Q1 1／d＝12，2h，／α＝3 三醐二｝62｝・・p・一Num．
1 ：t／t・Ltl、t012345’67
x／α （b）縦弾性係数比の影響（h2／h，＝1．5）01234567
x／α （a）板厚比の影響（E2／El＝1．0） 三 ミミー0．4 迂 ti−0．8 二 ∪−1．2 R O．2 ミ 崎 O h ε一〇．2 1．2 ミ ミ 0．8 隅 苧o．4 三 △ 0 1．2 1．0 0．8 ミo・6㌦4
0．20
01234567
x／α （c）板厚と荷重幅との比の影響（h2／h，＝1．0， E2／El＝1．0） 図一9 接触面の応力分布 長方形板1，IIの板厚は等しく上下対称な変形をする ため，長方形板Rの変形のみを示した。 5．結 言 本研究では，板厚や材質の異なる二つの重ね長方形 板に左右対称な圧縮荷重が作用する場合を理論解析 E2／E1＝12＼6
1．62 12 1．62 1．C 1201234567
x／α （b）縦弾性係数比の影響（ん2／h，＝1．5） 9 0．4 言 這 o § ε一〇・4 1．2 三 ミミ 0．8 再 § 0．4 と ε 001234567
x／α （c）板厚と荷重幅との比の影響（h．／h，＝1．0， E2／El＝1．0） 図一10 変形状態昭和56年12月 山梨大学工学部研究報告 第32号 し・板厚や縦弾性係数および負荷が接触面応力や変形 に及ぼす影響を明らかにした。また測圧ピンを用いて 接触面応力を測定し，計算結果と実験結果を比較して 次の結論を得た。 （1） 接触面応力に関する実験結果は計算結果とか なりよく一致し，また計算結果による接触面応力が負 から正に変わる点（接触面の分離推定点）の近くで接 触面の分離を生ずる。 （2）縦弾性係数比が一定の場合，一方の板が薄く なると最大接触面応力は大きくなり，接触面の分離推 定点は負荷位置に近づく。 （3） 板厚比が一定の場合，縦弾性係数の比が大き くなると最大接触面応力は大きくなり，接触面の分離 推定点は負荷位置に近づく。 （4） 板厚比，縦弾性係数比および負荷領域が一定 の場合，板が薄くなると最大接触面応力は大きくな り，接触面の分離推定点は負荷位置に近づく。 最後に，本研究を遂行するにあたり，有益な御助言 を頂いた東京工業大学の小泉尭教授，渋谷寿一助教授 ならびに本学機械工学科の沢俊行講師に感謝の意を表 します。また本実験に御協力頂いた本学卒業生の小林 i義典，田中淳史の各氏，ならびに実験試料の製作にあ たった本学機械工場の職員の方々に厚くお礼申し上げ る。 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8） 9） 10） 11）
