Finite çat group scheme

(1)

F p -algebra

^の上の

Finite çat group scheme

^{の変形の例}

数学専攻津野祐司

Yuji TSUNO

はじめに

p

^を素数

, A

^を標数

p > 0

^{の環とする}

.

^このとき

, ñ 2 A

^に対して

N = Ker[F Ä ñI : G

^a;A

! G

^a;A

]

と定義すると

, N

は

A

の上の有限平坦群

scheme

である

. Saidi

は「

On the degeneration of Artin- Schreier-Witt theory

」の中で

N

に係数をもつ

cohomology

を計算して

,

完備離散付値環の上に定義された代数曲線の被覆の研究に応用した

.

この研究に啓発されて

, N

の

Cartier dual G

を具体的に記述すること

,

^{ある条件の下で}

G

^に対する

Kummer

理論の類似が構成できることを述べたい

.

1 .

^結果１

記号

1.1. A

を環，

ï 2 A

とし，

G

^(ï⁾

= Spec A[T; 1 1 + ïT ]

とおく．

T 7! T ä 1 + 1 ä T + ïT ä T

によって乗法を定義すれば，

G

^(ï⁾^は

A

^{の上の可換な}

group scheme

^{となる．単位元は}

T 7! 0

^{によって，}

逆元は

T 7! Ä T =(1+ïT )

によって与えられる．さらに，

group scheme

^の準同型

ã

^(ï⁾

: G

^(ï⁾

! G

^m;A を

U 7! ïT + 1 : A[U; 1

U ] Ä! A[T; 1 1 + ïT ]

で定義する．

ï

^が

A

^{において可逆なら，}

ã

^(ï⁾^{は同型．一方，}

ï = 0

^なら，

G

^(ï⁾^は

G

^a;A^に他ならない．

記号

1.2. A

^を

F

^p^代数，

ñ 2 A

^とする．

N = Ker[F Ä ñI : G

^a;A

! G

^a;A

]

^{とおくと，}

N

^は

A

^の上の可換な

ånite çat group scheme

^．実際，

N = Spec A[T ]=(T

^p

Ä ñT )

^{で，加法は}

T 7! T ä 1 + 1 ä T

で与えられる．

補題

1.3. A

^を

F

^p^代数，

ñ 2 A

^，

N = Ker[F Ä ñI : G

^a;A

! G

^a;A

]

^{とする．さらに，}

R

^を

A

^代数，

a 2 R

^とする．

a

^p

= 0

^なら対応

U 7!

pÄ1

X

i=0

a

ⁱ

i! T

ⁱ

は

R

の上の

group scheme

の準同型

N ä

^A

R = Spec R[T ]=(T

^p

Ä ïT ) ! G

^m;R

= Spec R[U; 1=U ]

を定義する．さらに，対応

a 7!

pÄ1

X

i=0

a

ⁱ

i! T

ⁱ

は

f a 2 R ; a

^p

= 0 g

^から

Hom

RÄgr

(N ä

^A

R; G

^m;R

)

への一対一写像を与える．

1

(2)

記号

1.4. p

を素数とする．整係数多項式

X

^p

+ Y

^p

Ä (X + Y )

^p

p = Ä

pÄ1

X

i=1

1 p

í p i ì

X

^p^Äⁱ

Y

ⁱ

を

W (X; Y )

で記す．

記号

1.5. A

^を

F

^p^代数，

ñ 2 A

^とする．

G = Spec A[T ]=(T

^p

)

^に

T 7! T ä 1 + 1 ä T + ñW (T ä 1; 1 ä T ) = T ä 1 + 1 ä T Ä ñ

pÄ1

X

i=1

1 p

í p i ì

T

^p^Äⁱ

ä T

ⁱ

によって乗法を定義すれば，

G

は

A

の上の可換な

ånite çat group scheme

．実際，

G

の単位元は

T 7! 0

によって，逆元は

T 7! Ä T

によって与えられる．

命題

1.6. A

^を

F

^p^代数，

ñ 2 A

^とする．

N = Ker[F Ä ñI : G

^a;A

! G

^a;A

]

^の

Cartier dual N

^_^は

G = SpecA[T]=(T

^p

); Å : T 7! T ä 1 + 1 ä T + ñW (T ä 1; 1 ä T )

に同型．

定理

1.7. A

を

F

^p^代数，

ñ 2 A

とする．

ñ = ï

^p^Ä¹

(ï 2 A)

なら，

G

は

Ker[F : G

^(ï⁾

! G

^(ï^p⁾

] = Spec A[X]=(X

^p

); Å : X 7! X ä 1 + 1 ä X + ïX ä X

に同型．

2 .

^結果２

記号

2.1. A

^を環，

ï 2 A

^とし，^，

B = A[ p

ï ] = A[t]=(t

²

Ä ï )

^{とおく．このとき，}

Y

B=A

G

^m;B

= Spec A[U; V; 1 U

²

Ä ïV

²

]

で乗法は

U 7! U ä U + ïV ä V; V 7! U ä V + V ä U

Y

B=A

G

^m;B ^は函手

R 7! (R ä

^A

B)

^Çを表現する．また，自然な埋め込み

R

^Ç

! (R ä

A

B)

^Çは対応

U 7! T , V 7! 0

が定義する射

i : G

m;A

= Spec A[U; 1

U ] ! Y

B=A

G

m;B

= Spec A[U; V; 1 U

²

Ä ïV

²

]

によって表現される．

記号

2.2. A

の上の

group scheme G

_B=Aを

G

_B=A

= Spec A[X; Y ]=(X

²

Ä ïY

²

Ä Y ) (a)

^乗法

X 7! X ä 1 + 1 ä X + 2ïX ä Y + 2ïY ä X; Y 7! Y ä 1 + 1 ä Y + 2ïY ä Y + 2X ä X;

2

(3)

(b)

^単位元

X 7! 0; Y 7! 0;

(c)

^逆元

X 7! Ä X; Y 7! Y:

によって定義する．対応

X 7! U V

U

²

Ä ïV

²

; Y 7! V

²

U

²

Ä ïV

² によって準同型

Y

B=A

G

^m;B

= Spec A[U; V; 1

U

²

ïV

²

] ! G

_B=A

= Spec A[X; Y ]=(X

²

Ä ïY

²

Ä Y )

を定義すれば，

group scheme

^の完全列

0 Ä! G

^m;A

Ä!

ⁱ

Y

B=A

G

^m;B

Ä! G

_B=A

Ä! 0

を得る．

さらに，

2

が

A

の上で可逆なら，対応

T 7! 2(X + p

ïY )

によって

B

の上の

group scheme

の同型

õ : G

_B=A

ä

^A

B = Spec B[X; Y ]=(X

²

Ä ïY

²

Ä Y ) ! G

^ò ⁽^p^ï⁾

= Spec B[T; 1 1 + p

ïT ]

が定義される．

õ

の逆射は

X 7! 2T + p ïT

²

4(1 + p

ïT ) ; Y 7! T

²

4(1 + p

ïT )

定理

2.3. p

^を素数

> 2

^，

A

^を

F

^p^代数，

ñ 2 A

^とする．

ñ = ï

^(p^Ä¹⁾⁼²

(ï 2 A)

^なら，

G

^は

Ker[F : G

_B=A

! G

B=A~

] = Spec A[X; Y ]=(X

²

Ä ïY

²

Ä Y; X

^p

; Y

^p

);

Å : X 7! X ä 1 + 1 ä X + 2ïX ä Y + 2ïY ä X; Y 7! Y ä 1 + 1 ä Y + 2ïY ä Y + 2X ä X

に同型．

3 .

^結果３