「解析学序論２（含演習）」

解析学序論２（含演習）

No.0 2012.9.26

担当：市原

日本大学 文理学部 学科専門科目

「解析学序論２（含演習）」

2012

年度 後期

水曜

1

時限 （

9:00 – 10:30

），木曜

3

限（

13:00 – 14:30

） コード番号

: 0203

担当： 市原 一裕（いちはら かずひろ）

研究室：

8

号館

B-218

号室

[email protected]

http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/index-j.html

講義について

•

^演習（

50

点）＋ 試験（

50

点）で評価．

•

^{試験は，中間試験（}

20

点）＋期末試験（

30

点）とし，自筆ノートのみ 持ち込み可

.

講義・演習予定

•

^第

1

回：オリエンテーション，

§

1.

一変数関数の積分，

1-1.

区分求積法からリーマン積分へ

•

^第

2

回：

1-2.

リーマン積分の定義，基本定理，基本性質

•

^第

3

^回：

1-3.

^{微分積分学の基本定理}

•

^第

4

回：

1-4

広義積分とガンマ関数

•

^第

5

回：

1-5

曲線の長さ，回転体の体積・表面積

•

^第

6

^{回：中間試験}

,

^試験解説

•

^第

7

回：§

2.

多変数関数の積分，

2-0

面積とは

•

^第

8

回：

2-1

多変数関数の積分とは（重積分）

•

^第

9

^回：

2-2

多変数関数の積分の計算（累次積分）

•

^第

10

回：

2-3

多変数関数の置換積分（重積分の変数変換）

•

^第

11

回：

2-4

重積分における広義積分

•

^第

12

^回：

2-5

多変数関数の積分の応用（曲面の面積）

•

^第

13

回：

2-6

微分積分学の基本定理の一般化（グリーンの定理）

•

^第

14

回：期末試験

•

^第

15

回：試験返却，解説など

1

^{一変数関数の積分}

1.1

区分求積法からリーマン積分へ

復習

:

高校では．．．

積分とは，「微分の逆操作」（つまり，原始関数を求めること）と定義．

そのあとで，実は，それで「面積が求められる」ことを（ちゃんとした証明なしに）学ぶ．

もともとは．．

本来，「積分＝面積を求めるもの（求積法）」だった．

つまり，微分と積分は全くの別物！！

（微分とは，「瞬間の変化率（例えば，速度，接線の傾き）をもとめるもの」，）

これらが「逆操作」であること ⇒ 大発見！！ （ニュートン，ライプニッツ（

1670

年頃））

定理

1 (微分積分学の基本定理)

微分と積分は逆操作（詳しくは，またあとで）．

解析学序論２の目標：微分積分学の基本定理を理解する 前半：一変数の場合

後半：二変数の場合（グリーンの定理）

今日これからすること

とにかく（一変数関数の）積分を「ちゃんと」した定義する（リーマン積分という）．

高校のように，微分の逆操作としてでなく「面積をもとめるもの」として

B.

リーマン（

Riemann

）が

1854

年に定義

復習（高校では．．）

面積を求める方法 ⇒ 区分求積法

f : R → R

，一変数関数，y

= f(x)

S: x

軸，

x = a

，

x = b

，

y = f(x)

のグラフで囲まれた面積

S = lim

n→∞

n−1

∑

k=0

(

f (a + b − a

n k) × b − a n

)

区間

[a, b]

を

n

等分して小さな長方形に分割し，その面積（たて×横）の総和の極限

この区分求積法で積分を定義して良いか？  ⇒ 実は良くない．

例

1

f(x) =

{ 1 x

は有理数

0 x

は無理数

という関数を考えてみよう（グラフはすぐにはかけない）．

（１）区分求積法で

0〜2

の部分の面積を求めてみる．

( ) ( )

（^2k

n は有理数だから

f(

^2k_n

) = 1

なので）

= lim

n→∞

n−1

∑

k=0

( 2 n

)

= lim

n→∞

2(n − 1)

n = 2

（２）区分求積法で

0

〜

√

2

の部分の面積を求めてみる．

（途中略（上と同様））

= lim

n→∞

n−1

∑

k=0

( f (

√ 2k n ) ×

√ 2 n

)

（^√2k

n は無理数だから

f (

^√_n^2k

) = 0

なので）

= lim

n→∞

n−1

∑

k=0

0 = 0

同様に考えると，

√

2〜2

の部分の面積も

0．

従って，このままだと，

∫

^√2 0

+

∫

2

√2

=

∫

^√2

0

が成り立たない．

つまり ，このままでは「区分求積法」は積分の定義として不適切ではないか．

⇒ どうしたら良いか．．．．

なにが悪かったか考えてみると，「

n

等分」しただけなのが安易すぎた？

より一般の分割を考えてみてはどうか？

区間の分割

閉区間

[a, b] ⊂ R

に対して，

{ x

₀

, x

₁

, · · · , x

_n

| x

₀

= a, x

_n

= b, x

₀

5 x

₁

5 · · · 5 x

_n

}

を区間

[a, b]

の分割という．以降，しばしば

∆

で表す．

例

2 { 0, √

2, 2 }

は，区間

[0, 2]

の一つの分割

記号の準備 ：区間

[a, b]

の分割

∆ = { x

₀

, x

₁

, · · · , x

_n

| x

₀

= a, x

_n

= b, x

₀

5 x

₁

5 · · · 5 x

_n

}

に対して，

∆

i

:= | x

i

− x

i−1

| | ∆ | := max

1≤i≤n

∆

i

（

∆

_iは分割された各小区間の幅，

| ∆ |

はそれらの最大値）

リーマン和

f : [a, b] → R

，関数（有界（発散しない）としておく）

区間

[a, b]

の分割

∆ = { x

0

, x

1

, · · · , x

n

}

に対して，

P

₁

∈ [x

₀

, x

₁

], P

₂

∈ [x

₁

, x

₂

], · · · , P

_n

∈ [x

_n−1

, x

_n

]

（区間

[a, b]

内の

n

個の点．各小区間から

1

点ずつ）をとる．このとき，

∑

n i=1

(f(P

_i

) × ∆

_i

)

を（分割

∆

と点

{ P

_i

}

に関する）

f

のリーマン和という．これを

Σ

_∆で表す．

Σ

_∆とう表し方は，ちょっと省略しすぎ？ 正確には，

{ P

_i

}

もいれて

Σ

_f,∆,{Pi}と書くべき．．． リーマン和の図形的な意味：小長方形の面積の総和 ⇒ その極限が求めたい面積の近似

リーマン積分

f : [a, b] → R

，関数（有界（発散しない））に対して，

ある実数

I

が存在して，

?

∀ ε > 0

に対して，ある

δ > 0

が存在して，

| ∆ | < δ

をみたす任意の

∆

と，

∆

の小区間から

1

点ずつ 任意にとった点たち

{ P

i

}

に関して，

| Σ

∆

− I | < ε

が成り立つ

とき，fは区間

[a, b]

で（リーマン）積分可能といい，この

I

を

∫

_b

a

f (x)dx

とかく．

注意

1 ?

がなりたつとき，簡単のため，

|∆

lim

|→0

Σ

_∆

= I

または

Σ

_∆

→ I ( | ∆ | → 0)

などとかくときもある．ただし，この

lim

は，いままで学んできた数列の極限ではないので，注意するこ と．（数列の極限の性質は（そのままでは）使ってはダメ．きちんと証明してからなら使える）．

注意

2

実は，

f

がリーマン積分可能ならば，

∫

b

a

f (x)dx

は区分求積法で計算した値と一致する．

（つまり， リーマン積分可能とわかっていれば 区分求積法で計算してもよい）

1.2

リーマン積分の基本定理と性質

（今日の目標）リーマン積分の性質を調べておこう

定理

2 (

連続関数は積分可能

)

関数

f : [a, b] → R

が閉区間

[a, b]

で連続ならば，

f

は

[a, b]

でリーマン 積分可能．

注意

3 [a, b]

で連続，でなくても，例えば，有限個の点において不連続，くらいでも積分可能．つまり，

{

連続関数

} ⊂ {

積分可能な関数

}

．

ちょっと大変だけど，（90分かけて）上の定理を証明してみよう．

1.2.1

定理の証明の準備

１年の微積の復習（一様連続）

一様連続（

uniformly continuous

）

関数

f

が閉区間

[a, b]

上で 一様連続 とは，

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. | x − x

⁰

| < δ

をみたす

∀ x ∈ [a, b]

と

∀ x

⁰

∈ [a, b]

に対して，

| f (x) − f (x

⁰

) | < ε

が成り立つこと．

定理（教科書

P 37

）

f

が閉区間

[a, b]

で連続

⇔ f

は閉区間

[a, b]

で一様連続

閉区間上でのみ，この定理はなりたつ．つまり，例えば，開区間

(a, b)

については成り立たない例がある

（例えば，y

= 1/x

など）

上の定理を使って，次の補題を証明する．

定理

3 (

補題（教科書

P52

）

)

関数

f : [a, b] → R

が，閉区間

[a, b]

上で連続であるとき，

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t.

| ∆ | < δ

かつ

| ∆

⁰

| < δ

をみたす任意の

[a, b]

の２つの分割

∆, ∆

⁰について，

（小区間内のどのような点

{ P

_i

}

，

{ P

_j⁰

}

をとったとしても）

| Σ

_∆

− Σ

_∆0

| < ε

が成り立つ．

補題の証明

∀ ε > 0

が与えられたとする．

このとき，

f

は

[a, b]

で連続なので，

[a, b]

で一様連続（上の一様連続性の定理より）だから，

∃ δ > 0 s.t.

| x − x

⁰

| < δ

をみたす

∀ x ∈ [a, b]

と

∀ x

⁰

∈ [a, b]

に対して，

| f(x) − f (x

⁰

) | <

_4(b^ε_−a) が成り立つ

この定数

δ

について，補題で示すべきことが成り立つことを，これから示す．

そこで，

| ∆ | < δ

かつ

| ∆

⁰

| <

₂^εをみたす任意の

[a, b]

の２つの分割

∆ = { x

₀

, x

₁

, · · · , x

_`

} , ∆

⁰

= { x

⁰₀

, x

⁰₁

, · · · , x

⁰_m

}

をとってくる．

このとき，

x

₀

, · · · , x

_`

, x

⁰₀

, · · · , x

⁰_mをすべてあわせて，小さい順に並べ直してえられる分割

∆

⁰⁰

= { x

⁰⁰₀

, x

⁰⁰₁

, · · · , x

⁰⁰_n

}

を考える．（つまり，

∆

⁰⁰のほうが

∆

より「細かい」分割になっている）

さて，２つの分割

∆

と

∆

⁰⁰に関して，それぞれの小区間たちから点

{ P

_j

}

，

{ P

_i⁰⁰

}

を任意にとる．このとき，

| Σ

_∆

− Σ

_∆00

| = |

∑

` j=1

f(P

_j

)∆

_j

−

∑

n i=1

f (P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

|

ここで，

∆

⁰⁰のほうが

∆

より「細かい」分割になっているので，

D

_j

= [x

_j−1

, x

_j

]

，

D

_i⁰⁰

= [x

⁰⁰_i−1

, x

⁰⁰_i

]

とおく と，

D

_j

= ∪

D⁰⁰_i⊂Dj

D

⁰⁰_i となっていて

,

このことから，

∆

_j

= ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

∆

⁰⁰_i

となっていることを使って上式を書き直すと

|

∑

` j=1

f (P

_j

)∆

_j

−

∑

n i=1

f (P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

| = |

∑

` j=1

f(P

_j

)



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

∆

⁰⁰_i



 −

∑

n i=1

f(P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

|

さらに２項目の和の取り方をかきかえて

|

∑

` j=1

f(P

j

)



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

∆

⁰⁰_i



 −

∑

n i=1

f(P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

= |

∑

` j=1

f (P

j

)



 ∑

D_i⁰⁰⊂Dj

∆

⁰⁰_i



 −

∑

` j=1

∑

D_i⁰⁰⊂Dj

f (P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

|

整理すると

|

∑

` j=1

f(P

_j

)



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

∆

⁰⁰_i



 −

∑

` j=1

∑

D⁰⁰_i⊂Dj

f(P

_i⁰⁰

)∆

⁰⁰_i

| = |

∑

` j=1



 ∑

D_i⁰⁰⊂Dj

(f (P

_j

) − f (P

_i⁰⁰

)) ∆

⁰⁰_i



 | =

∑

` j=1



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

| f(P

_j

) − f(P

_i⁰⁰

) | ∆

⁰⁰_i





ここで，上式の

P

jと

P

_i⁰⁰は，ともに，

P

j

∈ [x

j−1

, x

j

]

かつ

P

_i⁰⁰

∈ [x

j−1

, x

j

]

．さらに，

| ∆ | < δ

より，

| x

j−1

− x

_j

| < δ

であって，このとき定数

δ

のとりかたより，

| f (P

_j

) − f (P

_i⁰⁰

) | <

_4(b^ε_−a)

以上より，

| Σ

∆

− Σ

∆⁰⁰

| =

∑

` j=1



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

| f (P

j

) − f(P

_i⁰⁰

) | ∆

⁰⁰_i



 <

∑

` j=1



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

ε 4(b − a) ∆

⁰⁰_i





= ε

4(b − a)

∑

` j=1



 ∑

D⁰⁰_i⊂Dj

∆

⁰⁰_i



 = ε

4(b − a) × (b − a) = ε 4

つまり，

| Σ

∆

− Σ

∆⁰⁰

| <

^ε₄

同様にして，

| Σ

_∆0

− Σ

_∆00

| <

₄^ε あわせると，

| Σ

∆

− Σ

∆⁰

| ≤ | Σ

∆

− Σ

∆⁰⁰

| + | Σ

∆⁰

− Σ

∆⁰⁰

| < ε 2 < ε

（補題の証明終わり）

この補題の証明をみると，「一様連続性」の大事さが少しはわかると思う（単に「連続」だけでは証明で きないでしょう）．

1.2.2

定理の証明

f : [a, b] → R

を

[a, b]

上で連続な関数とする．

Step 1:

（連続関数は区分求積可能）

∆(n)

を閉区間

[a, b]

を

n

等分してできる

[a, b]

の分割とする．このとき，

lim

_n→∞

Σ

_∆(n) は（小区間内の どのような点

{ P

_i

}

をとったとしても）ある実数

I

に収束する．

Step 1

の証明

∀ ε > 0

が与えられたとする．

このとき，補題より，

∃ δ > 0, s.t.

| ∆ | < δ

かつ

| ∆

⁰

| < δ

をみたす任意の

[a, b]

の２つの分割

∆, ∆

⁰について，

（小区間内のどのような点

{ P

_i

}

，

{ P

_j⁰

}

をとったとしても）

| Σ

_∆

− Σ

_∆0

| < ε

が成り立つ．

そこで，^b−a

δ

< N

₀

∈ N

となる（十分大きな）自然数

N

₀をとると，

m, m

⁰

> N

₀をみたす任意の

m, m

⁰に対して，

b−a

δ

< m,

^b−_δ^a

< m

⁰より，^b−a

m

< δ,

^b_m⁻₀^a

< δ

かつ

| ∆(m) | =

^b−_m^a

, | ∆(m

⁰

) | =

^b_m⁻₀^aなので，

| ∆(m) | < δ

かつ

| ∆(m

⁰

) | < δ

．

すると，定数

δ

のとりかたより，m, m⁰

> N

₀をみたす任意の

m, m

⁰に対して，（∆(m)と

∆(m

⁰

)

の小区間 内のどのような点

{ P

_i

}

，

{ P

_j⁰

}

をとったとしても）

| Σ

_∆(m)

− Σ

_∆(m0)

| <

^ε₂

< ε

が成り立つ．

つまり，

{ Σ

_∆m

}

m=1,2,··· はコーシー列．

コーシー列は収束するので，ある実数

I

が存在して，I

= lim

_n→∞

Σ

_∆(n)

Step 1

の証明終

Step 2:

最後に，f がリーマン積分可能，つまり，次を示そう．

ある実数

I

が存在して，

∀ ε > 0

に対して，ある

δ > 0

が存在して，

| ∆ | < δ

をみたす任意の

∆

と，

∆

の小区間から

1

点 ずつ任意にとった点たち

{ P

_i

}

に関して，

| Σ

_∆

− I | < ε

が成り立つ

実数

I

は

Step 1

で得られたもの（つまり，区分求積法で得られた値）とする．

∀ ε > 0

が与えられたとする．

このとき，

δ > 0

を

Step 1

で見つけた定数（つまり，補題を使ってみつかった定数）とする．

| ∆ | < δ

をみたす

∆

と，

∆

の小区間から

1

点ずつとった点たち

{ P

_i

}

を任意にとる．このとき，

| Σ

_∆

− I | < ε

が成り立つことを示せば良い．

ここで，^b−a

δ

< N

₀

∈ N

となる（十分大きな）自然数

N

₀をとると，（

Step 1

で示したように）

n > N

₀な らば

| ∆(n) | < δ

．従って，

| ∆ | < δ

という仮定をあわせて，補題より，

| Σ

_∆

− Σ

_∆(n)

| <

^ε₂ ．

一方で，

{ Σ

_∆m

}

m=1,2,···は

I

に収束するので，（十分大きな）自然数

N

₁をとると，

n > N

₁ならば

| Σ

_∆(n)

− I | <

ε 2 ．

よって，

n > max N

₀

, N

₁ となる

n

をとってくると，

| Σ

_∆

− I | ≤ | Σ

_∆

− Σ

_∆(n)

| + | Σ

_∆(n)

− I | < ε 2 + ε

2 = ε

以上より，閉区間

[a, b]

で連続な関数

f

は，

[a, b]

でリーマン積分可能．

定理の証明終 注意

4

これまでの証明（特に最後の証明）で，リーマン積分可能な場合，区分求積法で積分の値が求めら れることの証明もできている（演習）

1.3

微分積分学の基本定理

ニュートンとライプニッツによる（

1650

年頃）

「微分（グラフの接線の傾き）

⇔

積分（グラフの囲む部分の面積）」これらが逆操作！！ 目標：微分積分学の基本定理を証明しよう

1.3.1

準備

以下，

f : I → R

をある関数とする（ただし，

I

は

R

上のある開区間）．

以下は，高校でも習った（はず）．

定理

4 (

平均値の定理

) a, b ∈ I

とし，

(a, b)

で

f

が微分可能ならば，

∃ c ∈ (a, b) s.t. f

⁰

(c) =

^f(b)_b⁻₋^f(a)_a

（

a

から

b

までの平均の変化率に等しい瞬間の変化率をもつ点

c

が存在する）

良く似た形の定理が，積分でも成り立つ．

定理

5 (積分の平均値の定理) a, b ∈ I

とし，[a, b]で

f

が連続ならば，

∃ c ∈ (a, b) s.t. f (c) =

_b−¹_a

∫

b

a

f (x)dx

（

a

から

b

までの

“

値の平均

”

に等しい値をもつ点

c

が存在する）

（「値の平均」＝「

a

から

b

までの面積」

÷

「底辺の長さ（

b − a

）」）

方針：fが連続であるという仮定しか使えないので，使える定理は「中間値の定理」くらいしかない．．． 中間値の定理（をすこし一般化したもの）

閉区間

[a, b]

上で連続な関数

f

について，

f

の

[a, b]

での最大値を

M，最小値を m

としたとき，

∀ γ ∈ [m, M ]

に対して

γ = f (c)

となる点

c ∈ I

が存在．

これを使うことにすると，あとは，

m <

_b−¹_a

∫

b

a

f (x)dx < M

を示せばよい．．．

（証明）

f

が

[a, b]

で連続より，

f

は

[a, b]

の最大値

M

と最小値

m

をもつ（最大値・最小値の定理）．

つまり，

m ≤ f(x) ≤ M

（

∀ x ∈ [a, b]

） このとき，積分の基本性質より，

∫

_b

a

mdx ≤ ∫

_b

a

f(x)dx ≤ ∫

_b

a

M dx

ここで等号成立となるのは，

f(x)

が定数関数（つまり

f (x) = k

（定数）（

∀ x ∈ [a, b]

））のときのみ．

このとき，定理はなりたつ（各自で証明してみてください）．

等号が成り立たないとき，

∫

_b

a

mdx < ∫

_b

a

f(x)dx < ∫

_b

a

M dx

よって，

m(b − a) < ∫

_b

a

f(x)dx < M(b − a)

． つまり，

m <

_b−¹_a

∫

b

a

f (x)dx < M

がなりたつ．

従って，上の中間値の定理より，

∃ c ∈ (a, b) s.t. f (c) =

_b−¹_a

∫

b

a

f (x)dx

（証明終）

1.3.2

定理と証明

定理

6 (

微分積分学の基本定理

) f

を閉区間

[a, b]

で連続な関数とする．このとき，以下が成立．

（１）^d

dx

∫

x

a

f (t)dt = f(x)

（

∀ x ∈ [a, b]

）

（２）G(x)を

f (x)

の原始関数（つまり，G⁰

(x) = f(x)

を満たす関数）とするとき，

∫

b

a

f (x)dx = G(b) − G(a)

（（１）の証明）

F (x) = ∫

x

a

f (t)dt

とおく．

（あとは，

F (x)

を微分したら

f(x)

になることを示せば良い）

x

lim

⁰→x

F (x

⁰

) − F (x)

x

⁰

− x = lim

x⁰→x

1 x

⁰

− x (

∫

x⁰ a

f(t)dt −

∫

x a

f(t)dt) = lim

x⁰→x

1 x

⁰

− x

∫

x⁰ x

f(t)dt

ここで，積分の平均値の定理より，

∃ c ∈ (x, x

⁰

) s.t. f(c) =

_x0¹_−x

∫

x⁰ x

f(t)dt

これより，

lim

x⁰→x

F (x

⁰

) − F (x)

x

⁰

− x = lim

x⁰→x

1 x

⁰

− x

∫

_x⁰

x

f(t)dt = lim

x⁰→x

f(c) = lim

c→x

f (c) = f(x)

（最後の等号は

f (x)

は連続より） （（１）の証明終）

（（２）の証明）（方針：f(x)のリーマン和を考えれば．．．）

f

を閉区間

[a, b]

で連続より，

[a, b]

で積分可能．

従って，リーマン積分可能の定義より，

ある実数

I

が存在して，

∀ ε > 0

に対して，ある

δ > 0

が存在して，

| ∆ | < δ

をみたす任意の

∆

と，∆の 小区間から

1

点ずつ任意にとった点たち

{ P

_i

}

に関して，

| Σ

_∆

− I | < ε

が成り立つ．

（この

I

が

∫

b

a

f (x)dx

）

∀ ε > 0

が与えられたとする．

このとき，上を満たすような

δ > 0

が存在する．

| ∆ | < δ

をみたす任意の分割

∆ = { x

0

, x

1

, · · · , x

n

}

を取ってくる．

（方針：f

(x)（つまり G

⁰

(x)）がでてきて欲しいので平均値の定理を使ってみる）

このとき，

G(x)

に関して平均値の定理を使うと，

i = 1, 2, · · · , n

について，

∃ P

i

∈ (x

i−1

, x

i

) s.t. G

⁰

(P

i

) =

^G(x_x^{i)−G(xi−1)}

i−x_i−1

書き換えると，

∃ P

_i

∈ (x

_i−1

, x

_i

) s.t. (x

_i

− x

_i−1

)f (P

_i

) = G(x

_i

) − G(x

_i−1

)

が，

i = 1, 2, · · · , n

について成り立つ．

これら全ての和をとると，

∃ P

₁

∈ (x

₀

, x

₁

)

，

∃ P

₂

∈ (x

₁

, x

₂

)

，

· · ·

，

∃ P

_n

∈ (x

_n−1

, x

_n

) s.t. ∑

_n

i=1

(x

_i

− x

_i−1

)f (P

_i

) = ∑

n

i=1

(G(x

_i

) − G(x

_i−1

))

書き換えると，上のような点

{ P

_i

}

に対して，

∑

_n

i=1

(x

_i

− x

_i−1

)f (P

_i

) = G(x

_n

) − G(x

₀

) = G(b) − G(a)

ここで，左辺は点

{ P

_i

}

に対するリーマン和

Σ

_∆なので，仮定より，

| Σ

_∆

− I | = | (G(b) − G(a)) − I | < ε

が成り立つ．

任意の正の実数

ε

に対して，

| (G(b) − G(a)) − I | < ε

が成り立つ，ということは，つまり，

| (G(b) − G(a)) − I | = 0

が成り立つということ（各自で証明してみなさい（

ε-δ

論法の練習問題））．

従って，G(b)

− G(a) = I = ∫

_b

a

f (x)dx

（（２）の証明終）

1.4

広義積分とガンマ関数

今後の予定：積分の応用を２回（

10/17

，

10/24

）

⇒

中間試験（学部祭あと，

11/7

（水）

9:00

〜 今日の目標

高校までの積分の拡張として「広義積分」を学ぶ

1.5

^広義積分

高校のないようではない定積分

（１）有界でない関数の積分（発散するような） （２）有界でない範囲での積分 例

3

（１）

∫

1

0 1 x

dx

高校のようにすると，

∫

₁

0 1

x

dx = [log x]

¹₀

= log 1 − log 0

 （

log 0

って？？）

これではわからない．

（２）

∫

_∞

1 1 x

dx

高校のようにすると，

∫

_∞

1 1

x

dx = [log x]

¹₀

= log ∞ − log 1

 （log

∞

って？？）

では，どうしたら良いだろうか．．．いったん文字で置いて，極限として考えれば．．．

広義積分

1. f : (a, b] → R

，

(a, b]

で連続な関数 このとき，

∫

_b

a+ε

f(x)dx

を考えて，

ε → +0

のときの極限が存在する時，

lim

ε→+0

∫

b

a+ε

f (x)dx

を

∫

b

a

f (x)dx

と書くことにする．

（

x = a

で

f

が定義されていなくても良いことに注意）

2. f : [a, ∞ ) → R

，[a,

∞ )

で連続な関数 このとき，

∫

_M

a

f (x)dx

を考えて，M

→ ∞

のときの極限が存在する時，

lim

M→∞

∫

_M

a

f(x)dx

を

∫

_∞

a

f (x)dx

と書くことにする．

同様に，区間

[a, b)

や

( −∞ , b]

についても定義する．

例

4

（１）

∫

1 0

√1

x

dx = lim

_ε→0

∫

1 ε

√1

x

dx = lim

_ε→0

[2 √

x]

¹_ε

= lim

_ε→0

(2 − 2 √ ε) = 2

（２）

∫

_∞

1 1

x²

dx = lim

_M→∞

∫

_M

1 1

x²

dx = lim

_M→∞

[ −

¹_x

]

^M₁

= lim

_M→∞

( −

_M¹

+ 1) = 1

1.6

広義積分の応用（ガンマ関数）

ガンマ関数ー広義積分を利用して定義される関数

・

1729

年、数学者オイラーが最初に導入

・階乗の一般化になっている

応用（ガンマ分布）  （確率統計序論１でやった（らしい））