フーコー振子の簡単な説明法

フーコー振子の簡単な説明法

宮 坂 忠 昭

( 平成 6 年 9 月 2 9 日 受理)

Ways of Simple Explanations of Foucault Pendulum Motion Tadaaki MIYASAKA

AFo u c a u l tp e nd u l u mu s e dt oe xp l ai nt h ee a r t hr o t a t i o ni sat e a c hi n gma t e a r i a l si n ma n ya p p l i e dp hy s i c st e xt bo o ks . Obs e r v e r so ft h eNo r t ha n dSo u t hPo l e se a s i l yu n d e r ･ S t a n dt h ec ha n ge so fpe n d u l u m mo t i o n,b u tt ho s ewhoa r ebe t we e nt hepo l e sa ndt he e q u a t o rha ved i f B c ul t yo bs e r vl n gi t sc ha n g e s .

Whe nwee xp l a i ns o meo ft h ec ha n ge si nt h es i t ua t i o no f仇eFo u c a u l tp e nd u l u m , t h i spa p e re n a bl e sust ogi v eo ne xpl a nat i o no f仇e mb yr e c o g ni z i n gt hef a c t仇a tl a n d s u r f a c ee xi s t so nt hes u r f a c eo fac i r c u l a rc o ne .

Asar e s u l t ,al o to fs t ud e n t sa r es a t i s f ie dw it h t h i se xpl a na t i o no fFo u c a u l t p e n d u l u mmo t i o ni t s e l fi np r a c t i c a le d uc a t i o no fa p p l i e dp hy s i c s .

1 . 緒 言

フーコー振 亭

は,■ 大 きな質量 の振 り子 と長いひもを用意すれば長時間にわた り振動

が 持続するので,地球の自転現象を示す実験 としてよく用い られている.

例 えば,極点 ( 北極)での振 り子の運動 について考 えると,振 り子の振動面 は地球の回転 軸 ( 地軸)に対 して一定に保たれ るか ら , 1 日 1 回転す る地上から観 ると,振 り子 の振動面 が逆向き ( 時計方向)に回転 してゆ くのは,r 容易に説明で き,ふ っ学生に理解 され る.

しかしなが ら,観測点が 日本のように極点 と赤道 との間にある場合には,振動面 の変化 は 極点のそれあ ように簡単でな く,その説明にはなかなかの困難があった. これを解決す る方 法 として,緯度 ( e) ,が 9 0 o( 極点) <e< Oo( 赤道)の地点においては,観測者の立つ地面 が頂角 2βの円錐上 にあるとみなし, この円錐面上にフーコー振子 を置 くことで思考 を進 めると,振動面が変化 してゆ く過程が容易に説明できることがわかった. また具体的には, 紙 とマ ッチ棒があれば更にわか り易いフーコー振子が教材 として用 うることが可能 となる.

これは 2 βを自由に変 えられ る円錐をつ くることで,極点 ( ♂‑9 0 o ,平面)か ら赤道 ( β=

Oo ,円筒)までの全ての地点の振動面 の変化す る様子が,机上で簡単に直視 で きるもので あ り,広範囲の学生への物理,天文教育の一方法 として報告す る.

I1 9 9 4 年 3 月春季 ･第 4 1 回応用物理学関係連合講演会にて発表

日 基礎専門 応用物理 教授

7 6 _{宮 坂 忠 昭}

2･ 理

革

緯度 ⑳の地球の全ての地点の接線の うち,南北方 向のものを連ねてゆ くと,地軸を中心軸 とす る頂角 2⑳の円錐形が得 られ る. これは球にさまざまな角 で接するような円錐帽子である図 1. この地点 にお ける観測者 は,頂角 2⑳の円錐上 と地球 との接点 を地表 として ,1 日で 1 周す る円で生活 していると 考 えられ る. これ を図 2 で示す と,地球の自転 の向

きに①か ら④へ と観測者はその位置を円錐上で移動 し,かつ フT ‑コ‑振子を観ているのであると考 える 図 3,B.㊥‑9 0 9 においては{ この円錐は平面 とな り,極点での接平面図 3,A,⑳‑ Oo においては, 赤道を接線 とす る円筒 になる図 3,C.

さて,観測者 と共に円錐上を移動す るフーコー振 子 は観測者か らどのよ うに見 えるのだろ うか.振 り

チカ

ラ

子に作用する力の うち コリオ リカ と空気による抵抗 力を無祝 し,地球 による重力のみを考 え早と,エネ ルギー,運動量が保存 され るか ら,振 り子 の振動面 は変わ らない.従 って,観測者 は,( 彰で南北 に振 ら せた振動面を②〜④ と観てゆ くと,次第に南北 よ り ずれはじめるように見 える.それは,北半球では時 計回 り ( 右回転)であ り南半球では反時計回 り ( 左 回転)である.

観測者の観 る振 り子の振動面のみかけ上 の変化を 考 えるために,円錐の側面図 と平面図を図 4 に示す.

振動面を南北方向にとると,振動面は側面図の三角 形 ABC で示 され る.平面 図 で は,点 P で の振 幅 BC は t 秒後,地球 の 自転 角 Cとす ると O ‑ut 回 転 し,点 P は Q に移勤 し,振幅 は B′ C ′ とな る. こ の とき振動面 は平行移動 しているから BC/ /B′ C ′ で あ り,従 って B' C ′ は南北方向より wt だけはじめ と ずれたことになる. これを観測者は点 P か ら Q に移

った とき,振 り子 の振動面 が 8‑ ut ,右 回転 した よ うに見 るのである.

次 に, この平面 図におけ る変化角 6‑u iが円錐 面上でい くらの角に相当す るかを求めればよい. こ のために図 5 ( a ) において,円弧 PQ と円錐の頂点 0

を結ぶ扇形 PQO とその投影扇形 P QO ′ を考 える.

図 1 緯度⑳の地点 と頂角2㊥の 円錐との関係

図 2 観測者の移動と 振動の変化

図 3 極点,赤道上,およびその

中間点での振 り子の運動

図4 円錐上の振 り子の

運動とそ の平面図

(ら)

図 5 地球の回転角 β と円錐上の回転角 β ′の関係

観測者 の緯度 ㊥に相 当す る,円錐 頂角 の半 分 を ⑳ とし,

OP‑OQ‑I ,QO′ ‑r とすると,共通円弧 PQ について扇形 PQO の投影図が扇形 PQO ′ となる,従 って平面的に扱 った, 振 り子 の変化角 βは円錐上では β′ に対応 し,観測者 は β′ を 振 り子の変化角 とみなす.

この β′ を求め るために,図 5 ( b) に振 り子 の振動 方向を矢 印で示 し,観測者が点 P か ら Q に移動 した場合を示す.地球 の角速度を G 7とす ると,

△PQO ′ において

S‑r e ( 1 )

△ PQO において

S=l e' ( 2)

( 1 X 2 ) よ り

r e‑l e ′ ∴ e' ‑手 e ( 3) ここで図 5 よ ^り

† ‑ s i n ⑳ ( 4 ) ( 4 ) 杏( 3) に代入 して

e' =e ･s i n ⑳ ( 5 )

つ ま り緯度 ⑳における振 り子 のみかけの変化角 β′ は平面 的変化角 Cの s i n ⑳倍である.地球 の自転角速度を G 7 ,振 り 子のみかけの角速度を G ) ' とすれば,

6‑ u t , e' ‑a ) ′ t ( 6) ( 6) を( 5) に代入 して

G 7 ' i ‑ ul s i n ㊥ ∴ u ′ =G 7 ･ S i n ⑳ ( 7 ) 地球の自転周期を T ,振 り子の振動面 の周期 を T ′ とす る と,

u ′ ‑ % , ‑ ‑ ♀ ^{( 8 )}

( 7) に代入す ると

% ‑

( 9)

･ T ′ ‑ 孟 a o

が得 られ る. ㊥ ‑0 つ ま り赤道上では T′ ‑∞,振 り子の振動面 は変化 しない.緯度が増す につれ,みかけ上 の周期 T ′ ほ,地球 の自転周期 2 4 時間,(1時間で 1 5 0 北半球 では振動面 が 時計回 りに変化) に近ず き , ⑳‑9 0 o つま り極点においては ,T′ ‑T で, これに一致す る.

因みに長野高専 ( 応物研究室)で は北緯 3 6 度 4 0 分 2 8 秒,( 東経 1 3 8 度 1 4 分 1 4 秒) を ㊥に代

7 8

D A

(c)

図 6 円鉦の作成法

＼

' ＼

(b)

図 7 緯度と北極星の位置

宮 坂 忠 昭

入す る と,角速度 △ β′ は 1 時間で 8. 9 5 度,周期 4 0. 2h で実 験値 と一致す る.

3. 教 材 利 用

1 . 日的.紙 とマ ッチ棒 を用い簡単な工作 をす ることに より, フーコー振 り子の振動面の変化を理解す る. また 自分の住 む地点の緯度を地球視野から把握す る.

2. 材料.学生 4 0 人分. ケソ ト紙程度の厚紙 ( 使用済のカレ ンダ) , 1 辺2 0 c mの正方形に切 った もの,マ ッチ棒,( 先端 が赤 が よい) 4 0 0 本,探せ ば大箱 ( 約 1 0 0 0 本入 り)が入手 可能,虫 ピンが代用できるが,教官の教卓実験以外は避 け

る,セ ロテープ1 0 本,あらか じめ学生に渡 し,机 のコーナ ーに ,∫ ‑2 0 m m位に切 った ものを 1 0 枚軽 く貼 りつ け用意 し てお く,‑サ ミ,紙をあらか じめ γ‑1 0 c mの円につ くって おけ ば不 要.教示 用 と して,な るべ く大 きな地球 儀 と

OHP があると更によい.

3. 工作.紙を 3 つ折 りにすると図 6 ( a) のように 4 5 度の直角 三角形ができる.折 り中心の反対側 を切 り γ‑1 0 c m の扇形 をつ くる.開 くと同図 ( b) になる.

次に AO に OD を重ね る と円錐 がで きる. .この場合 ∂‑

9 0 0 であ り円周の 3 / 4 を円錐の底面円周 としているか ら O‑s i n‑ 1 ^{∴ ⑳‑4 8. 6 0}

( 2 ㊥‑9 7. 2 つ

の頂角をもつ円錐が得 られたことになる図 8 ( C ) . この緯度 は 北半球 のパ リに相当す る.本校 ( 長野) は ㊥‑3 6. 6 0 であ る か ら s i n3 6. 6 0 = ;0. 6 として円周 の 4 / 1 0 を折 り込 めば,長野 の 緯度に相当す る円錐が得 られる.

円錐ができたなら,円錐面内側に接す る球を意識 しなが ら, 地軸は円錐頂点 と球中心を通 っていることを理解す る.そ し て球 と円錐 の接線 こそ,緯度 ㊥の地点を示 し,観測者 は こ の接線上を東方に移動 してゆ くことを理解す るだろ う.

本論 よ りはずれ るが,我々の住む地点 の緯度 ⑳ は,図 7 ( a ) に示す よ うに作 った円錐の斜面を水平に持つ と,円錐の軸

と水平面 とのなす角 ⑳がそれを示す ことを教 える.そ して,

その方向に北極星が輝やいていることも.他 に ⑳を示す に

紘,同図 ( b) のよ うに円錐軸を水平にして持つ と,円錐斜面 の

方向がそれを表わ している. この方法の方が極点に近ず く程

円錐角が大 きくな り,北極星の位置が次第 に高 くなってゆき,

極点では天頂に位置するのが理解 し易い.

さて,折 り目を蔓ねた AD 点 をセ ロテープで 固定 した後, マ ッチの頭 が円錐 の頂点 を向 くよ うに この重ね･ 合わせ線上 にマ ッチをセ ロテ ープ で貼 りつ け る図 8 ( a ) . これで フーコー振 り子 の 運動方向を示 し, この場合 は南北方向 に振 らせ,

これが実験観測の出発 である.勿論重ね合わせ 線 に直角 にマ ッチを貼 って もよ く,その場合 は 東西方向に振動 の出発 を定 めたのである.

2 本 目のマ ッチは,地球 は東 に回転 してい る か ら,観 測 者 はそ の位置 は F, B と移 動 す る と 考 え , F の位置 に ,AD 点 のマ ッチの向 きとで きるだけ同 じ向 きに貼 りつけ る. 仙 巾t H lに.向 きを変 えないで貼 ることに多少むつ か しく蛸ず る学生 があ るか もしれないが, y･ 行

働す る. i . う指申す九 は問瀧 はない. マ ッチの本 数が あ j t は ,AD と F の r L uに も貼 るとよい.

F におけ る南北方向を確認すれほ, マ ッチの 方向はかな りずれていることが判明す るで あろ う.観測者 は, これを ｢ 掘 り子 の振動面 が時計 方向に回 った｣ とみ なす ことを強調す る.

残 りのマ ッチを次々 とセ ロテープで,方 向を 変 えない よ うに貼 りつけてゆ き最終 の 7 本 目は A D 点 に もどる. そ してマ ッチの頭 は出発 点の 向 きと 1 直角だ け西 にずれていれ ば正解 で あ る.

つ ま りマ ッチの頭 は地球 の自転 と共 に時計方 向 に 回 りは じめ, 1日で 3 / 4 回転 ( 3 7 r / 2 r a d ) し た ことになる. これは, は じめの円か ら残 した 折 り重ねの しない円周 の割 り合 いに一致す る.

例 えは図 6 ( b) において ACを重 ねれ ば 1 / 2 の 円 図 9 フーコー振 り子説明用円錐 周をマ ッチ棒 が移 ってゆ くわ けで 1 / 2 回転す ることにな る. これは ⑳‑3 0 の場合 に相 当す る.

さて最後 に,重ね合わせた AD 点のセ ロテープをはが してみ よ う.図 8 ( b) に示す よ うにマ

ッチの頭 はすべ ては じめ と同 じ方向にそろい,かつ平行 のはず である. この よ うに重力 のみ

が作用す る振 り子 の運動 は実 に単純 な動 きを してい るが,地球 とい う回転す る座標 系 では,

振 り子 の振動面 が変化 してい くよ うに見 えるだけであ ることを強調 したい. また現 実 には回

転す る系では,向心力に ともな うコ リオ リカ が存在 す る訳 で この運動 の取扱 いは厳密 な運動

方程式 にゆだね るべ きであろ う. しか しフー コー振 り子 の一番の魅力 は,我 々の地球 が動 い

ていることを知的 に感 じとれ ること,更 に緯度 を通 して地球 は丸 い球 なのだ とフー コー振 り

子 自身が教 えて くれ ることだ ろ う. これ らを少 しで も学生 に感 じて もらえることは.世界各

地で活躍す る将来 を考 えて も意義 があ る.

H n _{宮 坂 . l i} l . [ l l i

4. 具 体 例

図 9 は長野 に相当す る緯度 3 6. 6 度 にお ける振 り子の振動面の変化を示す 円錐で あ る.使用 済み の カ レソダ用紙 を半径 1 5 0m mの円に切 り,マ ッチの間隔は約2. 4 時間 ごとで振動面 の変化 を示 し , 1日で 約21 5 0 時計方向に同 るよ うに観測 され る.

この工作 は約1 5 分で終了す るので5 0分授 業内にゆ っくり収 まる教材である.

図1 0は OI I P n]に作った ｢7‑ コ‑舶 図 1 0 ( )U l ) 川‑ /一･ J‑掘 りr 一 説I y ] 誰 子説明用円錐｣である.適r y ] の紳 rの ア

ク リル仮 (ワイシャツ等化桃内郡 も流川T T I f T E) を‑ ' I L ･ 狩 1 0 n m mのI T ) にUJり ,､ I L ･ 千 草. 分だけ切 れ 臼

を入れ ることで, 円山な頂角の円錐が糾 られ る.梓】 の切合, 光 一 ､ r述べた1 / ･ I I r u J . 1 分 ! T f ね合わ せた もので,頂角 2 ⑳ 9 7. 2 度 J t ' J 朋3 0 相 和を; 1 ‑ < すためである. L I I ' 1 ‑ 緒 0 日Ⅰ 'に; J r l lいて,マ ッチの 貼 りつけ刊 厩や,終 7した後に,並ね合わせを解 き平面状でマ ッチのなら ぴ J j ‑ な ど教示す る のに都合 よい.

5. 結

フーコー振 り子の振動面の変化が,緯度 によって異 なるのはなぜか,観測者が極点にお る 場合はわか り易 いが,赤道 と極点の間で この疑問に簡単 に答 える方法を述べた. これは緯度

㊥な らば頂角 2 ㊥の円錐 をつ くり,観測者が この円錐表面 を地表 とみな して移動 してゆ くと 考 えれば,振 り子の動 きをマ ッチで示す ことによ り簡単 に観測者が観 る振動面の変化 を示 し うる方法であ り, この方法 は地球 自転 を示す フーコー振子が応用物理教育 の有効 な教材 とし て利用可能 なことを意味す る.

また円か ら円錐をつ くる際,重ね合わせた分 を除 いた弧長 (円錐底面円周)の,重ね合わ せ前 の全 円周 に対す る割合 と,地球 の自転周期角 27 rとの桝 が振動面 の 1口に変化す る角 を示す ことも明かに した.

現在 この方法を利用す る授業を低学生 ( 高専 2 年生)か ら 4 年生 まで実施 中で,学生 の反 応,理解度等 も調査中である. また 3 年生の応川物理実験の 1課題 として も採用を検討｢ Pで,

これ らの結果 は機会があれは報告 したい.

参 考 文 献

1 ) 原島 鮮,基礎物理学 1,学術図書出版.

2 ) 戸田盛和,力学,岩波曹店.

3 ) 宮坂忠 昭 :応用物理教育分科会会誌 ,Vol .1 3,No .1,1 9 8 8.