微積分III演習(2) 配布日：2007年12月12日
微積分 III 演習
−
(2)上限・下限，数列の収束・発散 − 担当：佐藤 弘康
例題
2.1.集合
A =
½ 0,1
2,2
3, . . . ,n−1 n , . . .
¾
の上限，下限，最大値，最小値がどうなっているか考察せよ．
解
.任意の
nに対して，
0≤ n−n1（等号成立は
n= 1のとき）だから，
0が
Aの最小値に なることは明らか（つまり
0は下限でもある）．
また，
n−n1 = 1− 1n < 1であり，
1nはいくらでも小さくできるから，
Aの上限は
1で あると推測される．このことを背理法を使って厳密に証明してみよう．上限が
1でないと 仮定すると，
i) ∃a∈A : a > 1
（
1より大きい
Aの元
aが存在する） ，または
ii) ∃ε >0 ∀a ∈A : 1−ε ≥a
（任意の
a∈Aに対して
1−ε ≥aが成り立つような
ε >0が存在する）
のうち，少なくともどちらか一方が成り立つ．条件
i)が成立しないことは明らか．条件
ii)は任意の
n∈Nに対して
1−ε≥ n−n1が成り立つことを意味している．しかし，これ を計算すると
n≤ 1εとなり，これはアルキメデスの原理
(A)に矛盾する．以上のことか ら，
supA= 1であることが示された．
任意の
n∈Nに対して
n−n1 6= 1だから
1は最大値にはならない．
問題
2.1.次の集合の上限，下限，最大値，最小値がどうなっているか考察せよ．
(1)
円周率の少数第
n位までの値を
anとおくとき，
{a1, a2, . . . an, . . .} (2)二乗したものが
2以下となる有理数全体の集合
(3)
½n2+n n2+ 1
¯¯¯¯ n= 1,2,3, . . .
¾
問題
2.2.集合
Aのすべての元
aについて
a < bならば，
supA ≤bとなることを示せ．
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例題
2.2. limn→∞
1
n2 = 0
を証明せよ．
数列の収束「
limn→∞an =a」の定義は「任意の
ε >0に対して，ある
nε ∈Nが存在 し，
n≥nεならば
|an−a|< ε」が成り立つことである．つまり
∀ε >0 ∃nε ∈N:n≥nε =⇒ |an−a|< ε.
したがって，勝手に与えた
εに対し，
nε ∈Nをどう定めたらよいのかを考えればよい．
¯¯ 1
n2 −0¯¯< ε
を解くと，
n >1/√ε
だから，
nε= [1/√ε ] + 1
とすればよいことがわか る
(ただし，
[k]は
kを越えない最大の整数
)．また，
nεの選び方は一意的ではないので，
「
1/√ε
より大きい自然数を
1つ選び，それを
nεとおく」としてもよい（このような
nεの存在性はアルキメデスの原理により保証される）．
証明
.任意の
εに対し，
nε = [1/√ε ] + 1
とおくと，
n≥ nεを満たす
n ∈ Nに対して
n >1/√ε
だから，
¯¯¯¯ 1 n2
¯¯¯¯< ε.
したがって，
1/n2は
0に収束する．
問題
2.3.次の数列が収束するか発散するかを調べよ（
ε-N論法を用いて証明せよ） ．
(1) limn→∞(√
n+ 1−√ n) (2) lim
n→∞
µ n
n+ 1 + n+ 1 n
¶
(3) lim
n→∞
µ
2n+ 1 2n
¶
(4) lim
n→∞
12+ 22+. . .+n2 n3
(5) lim
n→∞(−1)n
問題
2.4. 2つの数列
{an}，
{bn}に対し，
(1)
数列
{an+bn}が収束するならば，
{an}，
{bn}は共に収束するか？
(2)
数列
{an·bn}が収束するならば，
{an}，
{bn}は共に収束するか？
注意：この2つの主張の逆は常に成り立つ（教科書p.246,定理7.3参照）．
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例題
2.3.数列
{an}が
aに収束するとき，
nlim→∞
a1+a2+. . .+an
n =a
を証明せよ．
解
.仮定から，
ε > 0が任意に与えられたとき，
nε ∈ Nを適当にとると，
n ≥ nεでは
|an−a|< ε
が成り立つので
An =a1+a2+. . .+ann
=a1+a2+. . .+anε−1
n + anε +. . .+an n
=a1+a2+. . .+anε−1
n + (n−nε+ 1)a
n + (anε −a) +. . .+ (an−a) n
( = A(1)n +A(3)n +A(3)n
とそれぞれおく
).ここで，
A(1)nの分子は
nに依らないので，
n→ ∞のとき
0に近づく．つまり「
∃n0ε ∈N : n≥n0ε =⇒ |A(1)n |< ε」．
A(2)n = (n−nnε+1)a =a− a(nεn−1)
より，
n→ ∞のとき
aに近づく．つまり「
∃n00ε ∈N : n≥n00ε =⇒ |A(2)n −a|< ε」．
A(3)3
については
|A(3)3 | ≤ (n−nε+ 1)ε
n ≤ε.
以上のことから，
n≥max{nε, n0ε, n00ε}に対して
|An−a|< ε+ε+ε = 3ε
となり，
Anが
aに収束することが証明された．
問題
2.5.数列
{an}が
aに収束するとき，
nlim→∞
a1+ 2a2+. . .+nan
1 + 2 +. . .+n
は収束するだろうか．収束する場合は極限を求め，例題
2.3を参考にして証明せよ．
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問題
2.6. an >0 (n= 1,2, . . .)，
limn→∞an+1an =r
であるとき，
(1) r <1
のとき，数列
{an}は
0に収束することを示せ．
(2) r >1
のとき，
{an}の極限はどうなるか考察せよ．
実数の連続性に関する命題
¶ ³
(M)
上（下）に有界な非減少（非増加）数列は極限値を持つ．
(A)
任意の実数
K >0に対して，
n > Kとなる自然数
nが存在する．
(W)
実数の集合
A 6=∅が上（下）に有界ならばその上限
supA（下限
infA）が 存在する．
(B-W)
数列
{an}が有界ならば，その適当な部分列
{ank}は極限をもつ．
(C)
コーシー列は極限をもつ．
(K) an ≤ bn (n = 1,2, . . .)
を満たす単調増加列
{an}と単調減少列
{bn}が任 意に与えられたとき，すべての閉区間
[an, bn]に含まれる実数
xが存在する．
(D) {A, B}
がデーデキント切断ならば， 「
Aは最大値を持ち，
Bは最小値を持 たない」かまたは「
Aは最大値を持たず，
Bは最小値を持つ」のどちらか一方 が成り立つ．
µ ´
6
