2016年度・前期・数理解析・計算機数学３ 1
● 第３回レポート問題
問題C-1は必ず解答すること. それ以外の問題から１問を選び解答すること.
★ 問題
すべての問題で,適切な例に対するプログラムを書くこと. すべての計算（議論）は倍精度浮動 小数点数で計算すること. また,行列N ×N 行列DN, 行列TN, ベクトルbN ∈RN は以下で定 義されたものとし,プログラムでは,N = 10およびN = 20で正しい結果が得られる必要がある.
さらに,DN は全ての固有値が相異なることは仮定してよい.
C-1 (20点)連立一次方程式DNbN =xを,以下の方法で解くプログラムをそれぞれ書きなさい.
方法：Gaussの消去法, LU分解を行った上で解く方法, Jacobiの反復法, Gauss-Seidel法,
SOR法. ただし, SOR法ではω= 1.75と設定してよい.
C-2 (10点)行列TN の核の基底を一組求めるプログラムを書きなさい.
C-3 (10点)行列DN の最大固有値および最小固有値と,それに対する固有ベクトルを求めるプロ グラムを書きなさい.
C-4 (20点) 行列DN の全ての固有値と固有ベクトルを求めるプログラムを書きなさい. ただし, 固有ベクトルは, 第N 成分が1となるものを出力すること.
C-5 (25点)正定値エルミート行列Aに関する連立一次方程式を解く SOR法は,ω∈(0,2)なら ば収束することを証明しなさい.
DN =
−2 1
1 −2 1
. .. . .. . ..
1 −2 1
1 −2
TN =
−2 1 1
1 −2 1
. .. . .. . ..
1 −2 1
1 1 −2
, bN =
sin(Nπ+1) ... sin(Nkπ+1)
... sin((N+1N π )
★ 締め切りと提出方法
締め切りは２０１６年７月２７日（水曜日）１７時とする.
• メールの送付先は[email protected]し, Subjectには, 文字列「レポート提出」
を含むこと. また, Subjectには問題番号を書くこと.
• 電子メールの発信者は, “nagoya-u.ac.jp”のアドレスであること.
• プログラム, PDFファイル,図版の電子データはメールで提出すること.
• 図版および数学的な内容を記述したレポートは, PDFファイルにまとめて提出することが望 ましいが, それができない場合には紙に書いて（図版はプリンタで出力して）提出してもか まわない.
Jul. 13, 2016, Version: 1.0 [email protected]
2016年度・前期・数理解析・計算機数学３ 2
• プログラム中には「問題番号, 学籍番号, 氏名」をコメントとして記入すること. PDF ファ イルまたは紙で提出するレポートには,「問題番号,学籍番号,氏名」を記入すること.
• PDFファイルの用紙サイズ,および, 紙で提出する用紙サイズは A4とする. （特に理由が ない限り, A4縦おきであること.）紙で提出する場合には, 片面であること.
• 図版を単独の電子データで送付する際のファイルフォーマットは, PDF, EPS, SVG, JPEG, PNGのいずれかとする.
★ 採点基準
当初に説明した通り,以下の基準で採点するが,中間的な点をつけることもある. また,非常に良 いレポートにはボーナス点を与える. （A:100%, B:60%, C:0%と考えて良い.）なお, 今回の満点 は 30点とし,それを越える点はボーナス点とする.
A 数値計算が正しいプログラムによって行われ, その考察が適切であるもの.
B 数値計算は正しいプログラムによって行われているが,その考察に少々問題があるもの. または,数学的背景は正しく記述されているが, プログラムに小さな誤りがあるもの.
C それ以外.
★ 注意事項
以下の注意事項に沿わないレポートは採点から除外する.
• 提出方法に従わないレポートは採点の対象とはしない. 特に,電子ファイルのファイルフォー マットに注意すること.
• 提出するレポートおよびそのプログラムは,自分で作成したものに限る. 特に,他人書いても らったプログラムや,「インターネット」で拾ってきたプログラムをレポートとして提出し てはならない.
このような場合には, 採点から除外するだけでなく,不正行為として直ちに不可と判定する.
• プログラムは, 浮動小数点演算がIEEEの規定に沿う言語で記述すること. （Cなら問題な い.）また,プログラム中には,何をしているプログラムか,各部分が何を実行しているのかを コメントとして記入すること. コメントが全くないプログラムは採点対象としない. コメン トが不適切であったり, コメントが無いことにより何をしているのかが読み取れないプログ ラムは減点対象とする.
★ 一言
レポートは,できたからと言って,「よしできたぁ！」とすぐに出すのはやめましょう. 数日後に もう一度自分の書いたレポート（プログラム）を見直して,自分で何を書いているかがわかるかを 考えてください.
以上
Jul. 13, 2016, Version: 1.0 [email protected]
