1989年12月20日
保 妻妾2・・・・・・… 1
保険数学2（問題）
1．次の（1）から（5）までについて、それぞれ．匝つの遡択肢のψから．i1三しいものを一つ選んで、所定の解答用紙にその 記号｛（A）から（E〕のうちいずれか一一つ〕を記入せよ。 （40点）
（I〕定常人口において、 し吉a一一X （O≦ ≦a〕、εo宝81のとき、平均年齢は次のうちどれか。
（A）51 （B〕52 （C〕53 ｛D）54 （E）55
（2）次の式のうちで、 口。lに等しいものはどれか。
N…・・D： 註二 Nζ・一Dツ4
（A〕 ・・一…一一・一一一一一 （B〕 ・・一一一一・一一一・一一一・・
D㌘ 叫
N｛一一D普く此 ｛E） 一一 一一一一一 D…
（3）次の式のうちで、 柘川に等しいものはどれか。
（A） 伽一口w一口蜆 （B） 血 ・・口w一・蜆舳 （E〕 π肚 一 〇｝ ・一・o2 ・1一口w，
N＝ D＝A− N：一D㌘石二
（C） …一…一・一…一一一一 ｛D） 一一一一一・一・r
D㌘ D茱
口、サ拮 （C〕 〜 担蜆，1・口は君…αw！ （D） 〜 口w！
｛4〕n年病期、．年払の養老保険（保険金額1、保険金朝來払〕を5年経過時点で解約返戻金・Wに基づ いて払済養老保険 に変更するとき、変更後の保険金柳こ雇も近いものは次のうちどれか。
m・t
ただし、 ・W＝ユV，H一・0，025・一一一・・一一・・… （t≦IΩ〕，・V ；司は純保険料式副王準備金とし、払済養老保険の予 10
定…捧業費は、保険金1に対し毎年O．O02とする。また、d官O．057，ゐ川一10．2，㎡舳ヨ1祠＝7・76とする。
（A）0．一〇 （B）O．仙 （C〕0．42 ｛D）O．イ3 （E）O．〃
（5）2つの死亡表の死力の旧1に μ二芹2μ、なる関係 があるとき、次の式のうちでユp祠 に著しいものはどれか。
ただし、 tp、、 tp二はそれぞれμ。、μ；にもとづくものとする。
（A） tp二 （B） 2ユp；・一ユp （C） ［p二一2−p、 （D） tp■一2tp二 （E） 2ユp鵯一一」p；
2，x歳の子供を被保険者、y歳の親を契約者として次の給何を行う連生保険を考える。
（i〕子供が死亡した場合は、保険金1を保険年度末に支払い、契約は消滅する。
｛ii）班が死亡し、ア供がその保険年度未に生存している場合は、保険年度來に給付金Sを支払い、翌年度以降の保険料 払込を免除する。
この保険の全期払年払純保険料はP、第t年疫未納保険料式剣王準備金は。V ， （契約者生存・中）および。Vω （契 約者死亡後〕でそれぞれ表すものとする。
いま、予定利．率｛に対し実際利郊三・ト△｛、予定死亡奉加 、q。に対し実際死亡率〜一△q。 ．q。一△伽とし、
前保険年度未に粗が生存しているとき、第t保険年度の剰余R。は次の式で近似できる一ことを示せ。
ただし、 （旬蘂．一、1・一・△q蜆．。．I） （q、、し、I・一△q。一いI）≒q亜ルI・q。小1とする。
傑数2… 2
3．x歳加入、保険期間n年、保険金額1の養老保険を、t〔tくn〕年経過時に保険金綴3、斯保険期間n年の養老保険に
次の2とおりの方式により転換することを一考える。 （いずれも保険金期末払）
（a）旧契約の純保険料式劃壬準備金・V，1司を用いて、期間n年の払済保険を賑入し、紘換新契約の保険料は新保険金額、
から払済保険金瀬を差し引いた額に対して計算する。
（b）旧契約の鈍保険料式責任準備金・V、；卍を用いて、期醐m年（mくn〕の間、砿喚蛎契約の保険料の一郡に毎年同額 を充当する。
いま、y o x＋tとして、両方式による年払鈍保険料を印ジ田，≡P 司（c・1：充当期間中，c・2：充当期間経週後）
とし、転換時から窮s保険年度釆純保険料式賢｛工準繍金を責Vヲ川， 圭Vサミ記とする場合、次の間に答えよ。
ただし、予定死亡率、予定利率は紘輝前後で同・・とし、予定事翼費率は考えないものとする。
（1） ヨPリ：吊上圭P、＝卍を求め、その正負を論せよ。ただし、c ！，2とする。
（2） …V、＝吊・・妻Vジ制を求め、その正賞を諭・はよ。ただし、Oくsくnとする。 （20一点、〕
4．次の給付を行う大x歳、葵y歳の犬婦年金保険の年一仏純保険料および純保険料式責1工準備金壱求めよ。
なお、予定死亡率は男女同・一とし、保険料は払込期n月がn年で、大が生存11」毎保険年度始に払い込むものとする。
（i〕夫が死亡した場合には、夫が死一亡した翌年度始から、菱の生存・壱条f牛に毎年Aずつの終身年金を支払う。
（・ii〕犬が保険料払込期間満了時に生存している場合には、 ｛n i l〕年の応当口以降の毎保険年度始に大の生存を条件 に旬年Bずつの終身年金を支払う。 （20、煮）
一24一
1．11〕
12〕
保険数学2（解答例）
。ア。1；（α一エル、．
惇。＝一一＝ ＝一＝81
o α 2
より α＝162
（平均年令）斗1；舳
＝合1；工（α1）血
ぼ）
α
＝一＝54＝（D）
3
。隻1Σび、力：㌧Σぴ，力1｛（。ク1」0）
伸1 ＝O 固 z工十｛一z工・ カ、
＝Σぴ 。。
同 互∫
固ぴ十 ・ 、十 一（ひ工z、）・（リ㌧カユ）
＝Σ 。。
i＝o び1・J、．
看。・llr・1は1 ・刈
○ユ M五一0ユ・あ ＝ ＝（λ）
D㌘
〔3、 α長1工＝σエー。躬・ヲ百
一方 α∬，π＝Σひ一・伽，π
！圭I
＝Σ］ひ1・ 力。・ カ正
；1
＝Σリ」、φ、（ カ，十1力・1へ呈）
！二I
二Σリ1（、力、、斗1カ・・r力桝）
！；1
二α工｝十αJ1一ロー研
であるから
14〕
15〕
（払済養老保険金額）
5W
ん斗5：司十0．O02れユ十5：司 10−5 ・γ1□一002510
ん十5＝司十〇。002δエ十11司
（1書竿）一・・1・青
一（1一夏仏、彗：嵩）十〇．O02む。。：可
＝O．3955… ≒ 40＝ lAl
、㍍＝1一（11カユ）（11カユ）
＝2一カエー（ φ工）一
一方
一；・1・｛
、カニ＝θ
一11・川必 ＝e
一（。 い／
＝（．1力。）
であるから
、㌫＝2、力、rカユ＝（亙）
2．題意から第t保険年度末の2人の生死の状態により，給付と保険年度末Vは次のようになる。
子供 親 給 付 保険年度末V
生存 生存 0 t V三1〕
生存 死亡 S t V〔2〕
死亡 生存
1 O
死亡 死亡
一26一
従って責任準備金の再帰式は次式のようになる。
（、．1γω十戸）（1＋｛）
、休、、．、、（1一。、，．、）（1一、，、、．1）・。γω・（1一ψ・一1）・・H（∫・ハ…①
また実際利率，実際死亡率に従う場合①式に対応するものは，
o〕
（ト1γ 十戸）（三十ゴ十バ）
ω
＝q、十、＿1川〃，十、＿］十（1−qユ十 ＿I＋〃工十 一1）（1−9ツ十1−1＋〃J＋・一1）・〃
②
十（11ユ十H＋〃工十H）（9〃一119用一1）（8＋〃）十沢ゴ・・②
ここでただし書の近似を用いれば②弐は，
1！〕
（、＿1「／ 十戸）（1＋｛十バ）
≒q工十五．r〃ユ十、．I＋（1−q工十H＋〃ユ十H−9，十H＋〃。十H＋9用一・q州一）㍉γ
十（9，、，、、一一9、、、．、一9工、、、I・9、十、．、）（∫十、γ②）十沢 …③
③式と①式の辺々の差をとれば
（、．1γ｛1〕十戸）・バ
≒＿一％十，．、十（一％、、．、十一、，、、一W｛㌧伸一（∫十1γ②）十九
≒一一。、、．、（｝ω）1。ン。ト1（∫・1・②1γω）・凡 故に
沢、≒一｛（、．、γω十戸）十一9、、、．，（1一，Vω）十〃、・1−1（パパL〃離〕十∫）
ω
3．ω 同方式によって購入される払済保険金額は，
〃工：□
ん：η 従って
・・
@
㌔一戸川（吋昇）
〃ユ：1
＝3・Pプ〔
δ。：□ ・・
A
lb〕方式によって保険料の一部に充当される生命年金額は，
〃工＝η
δプn
従って
〃工：η
l／一：ll二 州
②，③より
γ＾ c∵∵
：llll．．
。ツ1ﾅ〕・・
・・
B
（C＝1）
（C＝2）
12） ＝γ，、□は平準払部分と払済保険部分の責任準備金の和であるから，①より，
1γ刊正（・一括〕畑・指仙司
上式の右辺を整理すると
虹jヨー ＿＿一＿＿。④ lV，：η＝3ルη十ルηδツ：η
二γ、＝ηについては充当期間中（O＜s≦m）と充当期間経過後（m＜s＜n）に分けて考え孔 充当期間中の場合
一28一
凸
1γ、、□＝3λ、。。1司rP11η∂・・l1司
＿隻Pゴ：η（∂ツ。ガ司一々ユ・ぺ司）
上式の†芦ツ＝ηI隻戸，：η に③を代入し整理すると
1γツη一・パ、。旧十片砦）・・旧
一3戸。＝η（δ。。、：司一δ。十、1司）
勾十。：司 ・＝3，γソ＝1＋ γ工：1
δ。：；■
また，充当期間経過後の場合
1Vソ：【＝3山1η
④，⑥より，充当期間中の場合
1γ川へ下1γ川（o宗芹α宕早）
・・
D
・・
E
・・
F
上式の右辺の括弧内を基数を用いて整理すると
δ宗芹㌣早一★（ヤ弍守栄弍ニテ）
＿Dツ（〃，一〃ソ十、）（〃，十，一〃片，I）
D｝十。（〃J一〃y＋，、）（〃J一〃ソ十，）
従って上式を⑦に代行して，
凸 D、（〃ツーM｛）（〃ポ 1・・）＞0
：γプηrγ・：η＝山1ηD，、、（〃，一M、。 ）（〃、一〃｛）
また，④，⑥より充当期間経過後の場合
：γソ＝…篶＝正山＝η∂
G芹・・
・・
G
・・
H
⑧，⑨より充当期間中であるか充当期間経過後であるかにかかわらず二γツ：□＿二vツ：ηは正と
なる。
4．求める年払純保険料をPとすると，題意より 収入の現価はP・δ工：η
一方，支出の現価を求めると次の②と③の和である。
l i〕より λ・（め一ぬ。）
（ii〕より B・，．1∂ユ
収支相等の原則により①＝②十③とおくと，
戸・δ、：□＝λ・（右ゾ〜）十月㍉I広
・・
@
・・
A
・・G
λ・（δゾδ工。）十3・。1δ工 （答）
戸＝
δ工：η
次に，求める純保険料式責任準備金を とするとき，次の場合に分けて考える。
ユ）保険料払込期問中（玄≦m）の場合 ω夫κ・妻ツがともに生存のとき，
D｛I．．
バ！＝λ（o｝十rαユ十｝十 ）斗8 α工十パρo・斗1湾η
○用 12〕夫 が生存，妻ツが死亡のとき，
D工十，一．．
〃＝B・ o工十，、一戸。工十！rη ○工十
13〕夫κが死亡，妻yが生存のとき，
γ・・λ・幻十！
2）保険料払込期間満了後（f＞n）の場合 11）夫 ・妻yがともに生存のとき，
，γ＝ん（δ州一δ工。 、州）十月・11州 12〕夫κが生存，妻ツが死亡のとき，
〃＝8・∂用
｛3〕夫κが死亡，妻ツが生存のとき，
一γ＝λ・め十1
一30一
