成形プロセスは繊維配向に影響を及ぼし物性を変化させるだから繊維配向を予測したい! 微細構造の予測 成形プロセス 構造 物性 マイクロメカニクスのモデル化

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繊維配向と繊維長のモデル化:計算手法の背景にある概念

Charles Tucker

Department of Mechanical Science and Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign

成形プロセスは繊維配向に影響を及ぼし物性を変化させる

だから繊維配向を予測したい！

成形プロセス

物性

構造

微細構造の予測

マイクロメカニクスのモデル化

この講演では、



流動起因の繊維配向の二つの定性則を示します。



Autodesk Moldflowにおいて繊維配向がどのように表現および計算されているかを説

明します。



異なる繊維配向計算モデルの背景にあるアイデアを示します。

(Folgar-Tucker, RSC, ARD)



実験値からこれらのモデルの材料パラメータを決定する方法について説明します。

主要な内容



繊維配向モデルの始まり (Jeffery’s equation)



定性則と繊維配向現象



Jefferyモデルの問題点とその解決策

(Folgar-Tucker, orientation tensors, RSC, ARD)



繊維配向モデルオプションとモデルパラメータ設定に関するアドバイス



Predicted the viscosity increase by

adding spherical(球状) particles to a

Newtonian fluid (1911):



=



₀

+ 2.5



すべてはEinsteinから始まった！

Jefferyは繊維配向モデル化の父



George Barker Jeffery, 1891-1957



Fellow of the Royal Society



Professor of Mathematics,

University College, London



“We have extended [Einstein’s] work to

the case of particles of ellipsoidal(楕円)

shape.”

E. C. Titchmarsh, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 4 (Nov., 1958), pp. 128-137

Jefferyは単一の楕円粒子を解析した

仮定:



ニュートン流体



粒子遠方からの線形流速場



浮力と慣性力を無視

正確な閉じた解法!

よって:



粒子には外力が働かない

 粒子は流体とともに移動



粒子には外部トルクが働かない

 粒子はJeffery式に従い回転する

Jeffery則は二つの繊維配向則を与える:

剪断流:

繊維は剪断方向に整列する

拡張流:

これらの二つの規則は射出成形における

すべての

繊維配向現象を説明します！

剪断流:

繊維は剪断方向に整列する

拡張流:

繊維は拡張方向に整列する

例 1: 成形品全体でシェル層で流動方向に強く配向する

x

z

x

z

表面

裏面

シェル: 流動方向に整列

コア: ランダムもしくは直交流動

(流入口による)

中間面

2

h

shell shell core 裏面 中間面 表面

plaque

disk

肉厚方向の剪断

により

シェルで流動方向に配向

面内拡張流により流動直交のコアを形成

例 2: 半径方向への流動の場合、コアは厚く流動直交方向に配

向する

例 3: 厚肉平板ではコアが厚くなる – この現象が謎だった！

30 wt % glass fiber PBT (GE Valox 420)

90 mm 80 m m A B C 1.5, 2.0, 3.0, 6.0 mm

2 mm thick

6 mm thick

薄肉平板は予測通りの流動



Short shots, 80



90



2 mm plaque



計算に用いる仮定は下図のような流動パターン(上方からの視点)



肉厚方向のみ(

xz

)剪断が発生:

流動方向に整列する(シェル)

x

y

肉厚平板は異なる流動



Short shots, 80



90



6 mm plaque



肉厚平板は実際には下図の様な流動パターン (上方からの視点)



ゲート近傍の半径方向の流動が横方向に整列するコアを形成

x

y

ゲート近傍の半径方向流動を含む



80



90



6 mm



謎が解けた!

Jeffery則がいつも定性的に正しければ、

単一繊維の配向はベクトル

p

もしくは 角度 (θ

, φ

) によって記

述されます



剛直な軸対称の繊維



単位ベクトル p (もしくは角度

θ,φ

)

1

3

2

p

φ

θ



変形率 (流体形状変化)



渦度 (剛体回転)

Jefferyの定量式: 繊維は速度勾配に応じて回転する

1

3

2

p

は粒体形状に依存

単一の剛体繊維においてはJefferyの式は完璧！

shear rate increasing

重要な特性: 剪断速度の変化によりパスは変化せず配向の割合

のみ変化します。



_

0_ 30 60 90 time

重要な特性: 剪断速度の変化によりパスは変化せず配向の割合

のみ変化します。



_

0_ 30 60 90 time

問題 1: とても大きな歪によってもJefferyが示す

ようには繊維は整列しない

 同心円筒間の単純な剪断流れ

 シリコン油中のナイロン繊維

 着色したトレーサ繊維

Folgar and Tuckerによる実験 (1983)

繊維は絶対に完全には整列しない。。。。

 繊維は互いに衝突する  各繊維間の相互作用は双方の配向をJefferyのパスから 移動させる  多くの小さいランダムな変化は拡散挙動になる  拡散率は剪断速度に比例する は繊維配向分布

このモデル化のために、 rotary diffusion をモデルに追加した

大きな C_I 値は配向の定常状態を少なくする

F. Folgar, PhD thesis, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1983 Rotary diffusionは高い配向領域を低い配向領域に移す

l/d = 83, volume fraction 0.04%

少しのrotary diffusion効果の追加により、実際の繊維配向分布

を精度よく再現

l/d = 16, volume fraction 8% strains of 84 and 140

問題 2: 実際の形状において三次元的な配向分

布関数を誰も計算できない。。。。。

解決策: 局所的な配向分布を配向テンソルを使用して表現

 配向テンソル

A

_ij: 近隣すべての繊維についての積p_i

p

_jの平均 例:  5つの 独立項, なぜなら かつ  4次のテンソルが必要

1

3

2

p

φ

θ

テンソル表現は繊維の配向状態をとても効率的に切り取ります

aligned

2-D random

shell layer

1

3

テンソル表現は配向主方向も与えます

aligned

2-D random

shell layer

1

3



配向テンソルの等価な発展式 (Advani & Tucker 1987):



4次のテンソルのために

closure approximation

(閉包近似)

を使用



大きな

C

_I

値は定常状態において整列を小さくする

どのように使用するか:



コアの配向を無視 (表面スキンも無視)



シェル層の流動方向配列(

A

₁₁

)に合うように

C

_I

を調整

(単純な剪断流れにおける定常状態配向)

A

₁₁

= 0.83

 Aの他の構成部分に選択の余地は無い 

C

_I 値は閉包近似に依存(ここではhybridを 使用)

問題 3: 繊維はJefferyの予測よりももっとゆっくり

整列する

現象: 長い流動長ではよく特性を予測、しかし短い場合には良く

はない

 エッジゲート PBT 30% glass fiber  流動方向(E₁₁)および流動直交方向(E₂₂)の弾性率を測定  繊維配向予測結果を用いて弾性率を予測 WL2h (mm) Experimental (GPa) Predicted (GPa) 762793 E₁₁ 8.8 8.6 762793 E₂₂ 4.6 4.3 751253 E₁₁ 7.7 8.6 751253 E₂₂ 5.4 4.3

2h

W

L

E

₁₁

_E

22

問題: 標準モデルでは短い平板ではコアの厚みを小さく見積もる



E

₁₁

を大きく見積もり、

E

₂₂

を小さく見積もる

 30 wt % glass fiber PBT (GE Valox-420-1001)  80902 mm  遅い充填速度

平板の厚いコアは単純な剪断中ではゆっくりとした配向速度論を

示している

1

3

simple shear flow, C_I = 0.008

裏面 中間面 表面

shell

core

SRF理論は繊維配向の進展をより遅くすることを可能とする

 仮説: 繊維は平均値よりも低い局所的な歪がかかる

 樹脂が過剰な“スリップ層” がほとんどの歪を吸収

 繊維は局所的な歪速度に基づきJefferyタイプの動 きに追随

 Strain Reduction Factor (SRF) = (fiber strain rate / total strain rate)

SRF理論は短い平板に対してよい対応 . . .



Fit data by choosing SRF=20

 PBT, 30% glass  80902 mm  slow fill speed



例: SRFは剛体回転において敏感に応答しない



SRF理論は一般的な3D流動において信頼性がありません



同様な予測を得られる

客観的な

モデルが必要

. . . しかしSRFもおかしなことが起こります

flow rotates at 100 RPM

SRF = 20の場合、繊維は5RPMで回転!



単純な剪断においてSRFのような挙動



おかしな挙動が起こらない

より良い理論を構築するために、配向の主方向、主要値のアイデ

アを使用

Aの変化

回転主方向

主要値の変化

同じままにしておく

k

= (1/SRF)による遅延

Aの新しい等式

RSC model

RSCは短繊維成形でよい予測を得ることができる

PBT, 30% glass,



= 1/20

どのように使用するか(RSC)



シェル層の

A

₁₁

を設定するために

C

_I

を使用(それまでと同様)



SRFをコアの幅が合理的になるまで増加する(一般には

k

= 1/10 ～ 1/30)



下流の結果はゲートのすぐ内側の配向により敏感になるでしょう

core

shell

core

shell

shell

shell

長繊維熱可塑性樹脂 (LFTs) は短繊維材料と比較し、シェルの

配列はより小さく、コアはより厚くなる

L_fiber = 0.2-0.4 mm L_fiber = 10-13 mm

SFT

LFT

RSCはいくつかの構成部分を予測しますが、すべてではない

• predictions

• GF/PP LFT data

• Slow-filled, glass-polypropylene, 3 mm thick, ISO plaque

• RSC model,



= 1/30,

C

_I

= 0.03

 Folgar-Tucker と RSC モデルは繊維間の相互作用が

等方性の回転分布を引き起こすと仮定しています。・・・とても恣意的！



C

_I はスカラー

 Anisotropic rotary diffusion はさらに一般的

 スカラー値C_I をテンソル C で置き換え

 数学的にいかに記述するか?

ARD モデルは

C

_I

の代わりに5つのパラメータを持つ(!)



相互作用係数

C

_I

はテンソルC で置き換え



C は配向状態と流動タイプに依存 (e.g., 剪断 vs. 伸長)

ARD/RSC モデルはLFT実験データと良い一致をもたらす

•  = 1/30, b_i= (0.0007848, 0.02357, 0.01, 0.000011676, -0.003) • Slow-filled, glass-polypropylene, 3 mm thick, ISO plaque

• RSC

• ARD-RSC

 Startup of simple shear flow

しかしARD パラメータを間違えると非物理的な挙動を示す

• A₁₁ • A₂₂ • A₃₃ • A₃₁ • A₂₃, A₁₂

どのように使用するか (ARD):

 5つのパラメータが必要: b1, b₂

, b

₃

, b

₄

, b

₅  シェル層にある目標とする配向テンソルを選択(単純な剪断流れにおける定常状態) これで3つのパラメータを設定  残りの2つのパラメータは良い挙動を示すように選択します:  定常単純剪断流れにおいて配向が安定  拡散係数は常に正の値  解は他の流れ (平面 & 二軸伸長)に物理的な妥当性がある  テストを実施したARD パラメータのみ使用 – 推測で用いないこと! 流動方向 肉厚方向 傾き



Jefferyによる二つの規則は実質的にすべてを説明します:



剪断流は流動方向に繊維を整列させる



拡大流は拡大方向に繊維を整列させる



配向テンソルは計算を可能とします



短繊維材料:



シェルにおいて正しい流動方向に配向するように CI 値を設定



正しいコア厚さとなるようにRSC要因を設定



長繊維材料:



ARDはシェルの3つの配向構成要素を設定することで使用可能です



RSC要因は正しいコア厚さとなるように設定

講演サマリー: 繊維配向のモデル化

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LFTの成形中には重要な繊維の損耗が存在します

pellet careful processing poor processing

• 応力と全歪の増加により繊維の破断が増加

• 繊維長分布の定量的なモデルは存在していなかっ た

繊維破断のモデル化は始まったばかり

現象  多くの応力、多くの歪 = 多くの破断  幅広い繊維長分布  長繊維は破断する可能性が高い 戦略  微細構造を定量化するための変数を選択  これらの変数が従うべき保存則を確定  微細構造の進展の力学的側面のための構成則を開発

繊維長分布(FLD)微細構造を定量化

 繊維長:

 = 単位体積あたり繊維数と繊維長

 すべてのFLDを記述

破断後にできる親子の繊維に破断率を定義する

 = の時間内に長さ の親が破断する確率

 = 長さ の親から長さ の子が発生する確率

繊維長分布は質量保存則に従う必要がある

長さl_iの繊維 の変化率 長さl_iの親の破断 による減少分 長さl_i の子の生成 による増加分 10 6 4 10 6 4

 単純な剪断条件下では繊維は定期的に圧縮されます。

 Dinh と Armstrong (1984) は繊維長l_i の中心における流体力学的な圧縮力を示した。 (



は抵抗係数)

 古典的オイラー座屈理論により重要な座屈力が得られます。

典型的な流体力学的な力では座屈によってのみ繊維を破断する

1

Tension Zero Compression Zero

 繊維長 において、期待される座屈  無次元の剪断速度およびテンソルD  長い繊維はより簡単に破断する  高い応力は破断を促進する  剛性のある繊維は座屈に抵抗力がある (carbon vs. glass)

流体力学的座屈は応力と配向に依存する

座屈式と配向分布の組み合わせにより破断確率を得る

 仮想破断率(破断確率)  安定した単純な剪断条件下の配向を用いて数値的に評価  結果として良好な近似 0 1

どの部分に繊維の破断が発生するのか？

ガウス分布を推測

 は の平均と標準偏差 によるガウス分布

 により正規化

このモデルにより合理的なFLDが得られます

1.0 sec 0.5 sec 1.0 sec 2.0 sec 4.0 sec Conditions IC: 1000 fibers 6 mm long Parameters

金型充填のために、移流項を追加し、各ノードでFLDを解く

 現在のところ、ノードあたり130変数が存在(!)  初期条件としてゲート直下には実験的なFLDを使用してください  3つの調整可能なパラメータ

x

z

肉厚方向の平均繊維長のデータの予測値はよく合致

x

z

平均繊維長は流路に沿って、また、肉厚方向で異なります

x

z

GF-PP center-gated disk (PNNL AF3D) の予測値は良い

fountain 1 fountain 2

結論-繊維長モデル

 このモデル構造と初期段階としての結果は有用です。  破断確率P_iのモデルを改良することによって改善が期待されます。  流れのタイプと配向状態依存(D, A)が含まれている？  体積率と長さの依存性の理解  計算速度向上のためにモデルの単純化もしくは変更が必要  ノードあたり130個の変数 = 計算時間が長すぎる!  繊維配向の計算ルーチンはノードあたり5変数を使用

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