２直線の平行, 垂直

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1

２直線の平行, 垂直

１

２直線の平行, 垂直

数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第１節 点 直線 ＞2直線 関係

例題１

解

・異なる２直線  y = m

x + k

,   y = m

x + k

について,  2直線が平行    m

= m

 のとき 

  m

m

= − 1  のとき   2直線が垂直 

例

y = 3x + 1,   y = 3x − 5 ^{（      ）}

y = 2x + 3,   y = − 1

2 x − 7 ^{（      ）}

平行 

垂直 

 3y = −2x−4   y = − 2  

3x− 4 3

点 を通り,直線   に垂直な直線ℓの方程 式を求めよ。

(2, −3) 2x + 3y + 4 = 0

直線 2x + 3y + 4 = 0を変形すると,

直線ℓの傾きを  とすると,m

 −2  

3m = −1

 m = 32 

よって,直線ℓの方程式は

y+ 3 = 3  

2(x−2) y = 3  

2x −6

すなわち, −3x + 2y + 12 = 0

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直線に関して対称な点

２

直線に関して対称な点

数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第１節 点 直線 ＞2直線 関係

例題１

解

 −2y = −x −7 

直線  をℓとする。直線ℓに関して点 と対称な点 の座標を求めよ。

x−2y + 7 = 0 A(1, −1) B

点 の座標を B (p,q)とする。

直線ABの傾きは, q + 1 となる。

p −1 = −2

線分ABの中点( 1 +p

2 , −1 + q 2 )

y = 12x + 72 

q + 1 = −2(p −1)

直線 x −2y + 7 = 0を変形すると,

2p+q−1 = 0・・・①

これを直線ℓに代入する

x −2y + 7 = 0 1 + p

2 −2(−1 + q

2 ) + 7 = 0 1 +p

2 + 1−q + 7 = 0 1 +p + 2 −2q + 14 = 0 p−2q + 17 = 0・・・②

①,②を解くと, p = −3, q = 7

したがって, 点 の座標はB (−3, 7)

y

O x

A(1, −1)

＝

＝

y = 1  

2x + 7 2

□

B(p,q) ℓ

① 直線ℓの傾きを求める。 

② 傾きが垂直なことを利用する。  

③ の中点を求める。 

④ ③を直線ℓに代入する。 

⑤ 連立方程式を解く。

AB

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点と直線の距離

３

点と直線の距離

数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第１節 点 直線 ＞2直線 関係

例題１

解

点 (x

, y

) と直線 ax + by + c = 0 の距離 は d

d = | ax

+ by

+ c | a

+ b

次の点と直線の距離を求めよ。

(1)点  直線    (2) 点  直線    (3) 原点と直線 

(−2,3) y = −3x+ 2 (1,2) 4x−3y−5 = 0

y = −2x + 4

d = |3∙(−2) + 1∙3 + (−2)| 3²+ 1²

(1) y = −3x+ 2 を変形すると,

3x +y−2 = 0 

点(−2,3) 直線 3x+y−2 = 0の距離 はd

= 510 = 5 10

10 = 10 2

d = |4−6−5| 4²+ (−3)²

(2) 点(1,2) 直線 4x−3y−5 = 0の距離 はd

= 75

d = |−4| 2²+ 1²

(3) y = −2x + 4 を変形すると,

原点と直線 2x+y−4 = 0の距離 はd

= 45 = 4 5 5