最適消費税の新「逆弾力性命題」

最適消費税の新「逆弾力性命題」

その他のタイトル A New Inverse Elasticities Rule of Optimal Consumer‑goods Taxation

著者 鎌苅 宏司, 村田 安雄

雑誌名 關西大學經済論集

巻 54

号 2

ページ 219‑231

発行年 2004‑09‑30

URL http://hdl.handle.net/10112/12815

研究ノート

最適消費税の新「逆弾力性命題」

鎌 村

苅 田

宏 安

司 雄

要 約

代表的個人の複数財に対する最適消費税率を従価税のもとで導出した

Ramsey ( 1 9 2 7 )  

Diamond ( 1 9 7 5 )

A t k i n s o n = S t i g l i t z ( 1 9 7 6 )

Ramsey

しかし、かれらの分析は補償需要の価格弾力性を前提としており、現実的な政策論を行う ためには制約が強くなる。そこで本稿は、

S a l a n i

( 2 0 0 3 )

キーワード：補償需要の価格弾力性；普通需要の価格弾力性；従量税；従価税 経済学文献季報分類番号：

0 2 ‑ 2 6  :  0 2 ‑ 3 3  :  1 3 ‑ 1 1  :  1 3 ‑ 1 5  

（目次）

1 .  

2 .  

3 .  

4 .  

5 .  

6 .  

7 .  

1 .  

Ramsey ( 1 9 2 7 )

2 2 0  

54

2

( 2 0 0 4

9

会について導出した。（第

2

Diamond ( 1 9 7 5 )

所 得 の 社 会 的 限 界 効 用 の 概 念 が 重 要 な 説 明 要 因 と し て 登 場 し た 。 さ ら に

A t k i n s o n = S t i g l i t z ( 1 9 7 6 )

逆弾力性命題をより一般化した。（これらの議論の流れは、本稿の第

4

6

S a l a n i

( 2 0 0 3 )

3

7

2 .  

消費財の最適課税ルールを最初に提示したのは ^Ramsey

( 1 9 2 7 )

( 2 0 0 0 )

§ 1 0 . 1

いま第

i

(commodity)

u

u 

= 

』

と表される。ここに純効用とは消費効用から生産不効用を差し引いた差額を意味する。した がって

u

au 

j

― =  

になる。消費者均衡と生産者均衡の状態を想定するので、

x ,  

x J

( q )

Xjの 限 界 生 産 費 =

  , x

^{( p )}

(2) 

( 3 a )  

j t

j

1

qi=Pi+ t i

( 3

b )

(2)

ー ＝ OU 

o x ・  

( j   =  l ,   2 ,   ・ ・ ・ ,  

(4) 

(4)

{ ) t i   82u  a t j  

. . .

 ‑ =   =‑..  ‑・

枷

j 8 x i 8 x j   o x i   ^{( i ,   j}  =  ^{l  ,  2  , . . .  ,} 

⁽⁵⁾ 

が成立する。そして効用極大の十分条件

( d 2 u

ati  a切

ど

i L j

L i L j   a 尋 j X

j X ^< 

⁽⁶⁾ 

となる。

以上の市場均衡を前提として、政府がその税収式

( f l

111, 

R=  L

(7) 

J=l 

の制約の下に、 (1) の効用

u

A三

u ( x 1 , ・  ・  ・ ,  

について、つぎの

1

i

笠＝晨＋入（心

^{, x}

⁼⁰ 

(8)

(4)

ti ―入

at.  ^{＝三— O}

L 

¹

( i   =l,  m) 

(9) 

を得、これより下記の関係が導出される

((6)

(7)

＾ 

t1  tm 

R 

三＝＝昆:::

_(=~

=  ^‑0 

^{0  ( 9 ' )}  

(9)

ところで任意の財の税率が別の財の需要量（＝供給量）の変化によって影響を受ける程度 は無視できる程に微小であると想定しよう。その場合にはすべての

i

j

atj 

ー 8 x i   =0 ^{( i}

^{j ; i , j=l,  ・ ・ ・ ,   m)} 

である。いま財

X ;

c / > / x ; )

^{X ;}

^{J ; (}

( 3 a , b )

ti= q i   ‑Pi=

x i )‑JJxJ 

となる。したがって (10)式を考慮に入れると、

2 2 2  

5 4

2

( 2 0 0 4

9

L .

X  

_O ^{a t} _X ^J _i     ^{= X i}

^{a t i   =}  xi{(/>~(xi) ‑f f ( x i ) }  

i

であるので、

(9)

ti 

=  ‑0 

x i { ￠ : ( x i )  ‑f : ( x i ) }   ( i  

t

ti=μ;p;=μJ;(x;)  (i=l,  . . .  ,  m) 

をとるものと想定すると、 (11) 式によってつぎの関係が保たれる。

< / J i ( x i )   = ( 1  + μ i ) f ; ( x ; )   ( i   =  l ,   . .   ・   ,

i

釦

iP i  

釘三—――

8 p i

0 )  

と定義し、またその財の需要の自己価格弾力性を

‑8xi  q i  

Pi 三—

8 q i   X i  

(> 

0 )  

J ; ( x i )   1  xi== — J i

鴫；（叫

1

￠ i

Xi~- P i  

が成立する。ただし

( 1 8 )

J

;   ( x ; ) ' = a  

8 p i

X i ( 1 9 )

( 1 2 )  

( 1 3 )  

( 1 4 )  

( 1 5 )  

( 1 6 )  

(17) 

( 1 8 )  

( 1 9 )  

(14)・(15)・(18)・(19)

( 1 3 )

0= 

X が り り ( x i )‑X i .  

( x i ) 生 X i   且 （ 叩 ）

ー (1+叫

X i ￠ 化 （ 叩 ） I i

￠ i ( x i )

＝ 仏1  1 

ー +

+叫一

Ci  Pi 

( i  

( 2 0 )  

そして、これをいについて解くと、つぎのように整理できる。

μ i  

—+- ^{E i   Pi  1 ‑ ‑} ゜ ^Pi  ゜ ^{( i   =l,  ・ ・ ・ ,}  

^{( 2 0 1 )}  

いま税率が微小である場合には、

0

( 2 0 ' )

0

μ 1 μ m  

=・・・=  _{1  1} 

—+- ‑ + ー ^{( 2 1 )}  

釘

P l ・ c m Pm 

が成立する。

( 2 1 )

「逆弾力性の命題」と呼ばれている。

さて、上に解説されたラムゼイ逆弾力性命題は、各財の供給と需要の各価格弾力性の逆数 に、最適な消費税の従価税率が大体において比例するであろうと結論付けた。

我々はこの命題をより厳密な意味において再構築することを試みるが、多くの関連論文と 同様に、我々も需要の価格弾力性についてのみ取り扱い、供給は自ら需要に見合うものと想 定される。

3 .  

議論の出発点で、

S a l a n i

( 2 0 0 3 )

S a l a n i

1

j

i

m

いま労働者の賃金率は全員同じと想定し、それを 1と置き、それに比例所得税が税率 (1

‑/ 3 )

第

i

n1、

こ仇+~

因 = { 3 y i   ^{( 2 2 )}  

J=l 

と表される。ここに第

i

j

x /

を/と記している。ここで

2 2 4  

5 4

2

( 2 0 0 4

9

t j  

^{( 1  ‑ ( J} ₍ ⁾ ₃   ^{p j}

^{T j} ( 2 3 )  

( 2 2 )

m 

こ仇＋も）

x ;   ^{=  Y i   ( 2 4 )}  

J = l  

これが今から採用される新形式の消費者予算制約式である。今後は

q j  

p j   +  t j ,   q

( q z , Q 2 ,  

q 』 ( 2 5 )

政府の税収必要額を Rとすると、政府予算制約式は下記のように表される。

t (

^{; x }}

^{/ 3 ) y ' ) =  R  ( 2 6 )}  

i=l 

ここに

I

( 2 6 )

R

( 2 6 )

個人の予算制約式

( 2 2 )

( 2 2 )

m  m 

LPj 吋= f 3 y i  ‑ I :   ^己

j = l   j = l  

となるので、

( 2 6 )

( 2 4 )

m  m 

が—区 Pj吋=

I :  

j = l   j = l  

に等しいことが分かる。ゆえに

( 2 6 )

こI とち

x ; ^{= R}  

i = l   j = l  

( 2 6 ' )  

に書き換えられ、これは新形式の政府予算制約式である。

比例所得税率

(1‑/3)

t

( t i ,   t 2 ,  

t m )

q

( T 1 , T z ,  

T

の m

+l

4 .  

第

i

x'= (対，対，．．．，ぷ）

と労働供給

l

( 2 7 )  

u'=が(xi,

y

^{( i}

^{1  ,  2  ,  . . .   ,  / )}  

この消費者の間接効用がは下記のように定義される。

vi (q)三

max

u ; ( i , y

= 

( 2 8 )  

( 2 9 )  

q・i

( 2 5 )

q

( 2 7 )

( 2 4 )

( 2 9 )

いま第

i

が三竺

_{a y i}   ( 3 0 )  

と記すと、ロワの恒等式によって次式が成立する。

a v i  

, ・・・・‑=‑

8 q j  

x j ( 3 1 )  

政府は予算制約式

( 2 6 ' )

W(q)=W(

( q ) , v 2   ( q ) ,  

l ( q ) )   ( 3 2 )  

q

t

A =   W(q) 

I : T ^{( q j}

^{P j )}

( q )‑ R}  ( 3 3 )  

つぎのようになる。

〗塁塁＝→苫（叫＋喜鸞）

^{( 3 4 )}  

ここで

Diamond ( 1 9 7 5 )

i

a i

fJvi ^が

と定義して、

( 3 4 )

( 3 1 )

( 3 5 )

I  I 

m 

L , ‑ 1   a i

, ‑ 1   (j‑1 ^t

さらにスルツキー方程式

8xi 

J 

‑ = S i  ‑ x i ‑J  8qk  jk  k 

{ ) y i  

を

( 3 4 ' )

( 3 5 )  

( 3 4 ' )  

(36) 

226  関西大学『経済論集』第

54

2

( 2 0 0 4

9

m  I 

1 

□心ぷ＝心aix~) 苔吋＋苫心t誓

＝区 ( b i‑1 )

^{( 3 7 )}  

i = l  

ここにがは下記のように定義されている。

b '

j = l  

( 3 8 )  

( 3 6 )

1

x /

( 3 7 )

Diamond ( 1 9 7 5 )

(7)

入は政府にとっての予算資源の費用のシャドウ・プライスを表すので、

( 3 8 )

1

i

2

i

A t k i n s o n = S t i g l i t z ( 1 9 7  6 )

5  . 

いま第K財への需要総量をふとし、その平均を出と記そう。すなわち

I 

x k

^{出 三 ふ} / I ^{( 3 9 )}  

i = l  

またがの平均値を

丘 こ か / I ^{( 4 0 )}  

i = l  

と記し、

Diamond ( 1 9 7 5 )

( c o v )

'Yk 三 cov(舟—，旦）＝言 (f-

  ) 1

= 

bXk  ‑l 

(41)式より次式が得られる。

立ix~/ふ＝訊l+ 叫

^{( 4 1 ' )}  

i=l 

sjk 

= 

( 3 7 )

( 4 1 ' )

‑ Lts

^{1  ‑ b ( l  +叫}

^{( 4 2 )}  

( 4 2 )

Diamond ( 1 9 7 5 )

(1)

(8)

A t k i n s o n = S t i g l i t z   ( 1 9 7 6 )

( 5

( 4 2 )

( d i s c o u r a g e m e n t  i n d e x )

各消費者の第k財需要がその需要総量

x k

T

O

' " ' / k

k

( d i s t r i b u t i v ef a c t o r )

( 4 2 )

m 

—こ沈ち／咋=

^{1  ‑ b i}  

= 

( 4 3 )  

j=l 

この

( 4 3 )

i

i

1

Ramsey ( 1 9 2 7 )

( 4 3 )

6 .  

ラムゼイの最適消費税の逆弾力性命題は、全消費者が単一性を保持する場合であり、それ に加えて、任意の財に課税される消費税が別の財の需要に影響を及ぼさない場合において大 体成立する。そのような場合には、

skj 

= 

であるので、

( 4 3 )

i

‑ sk山 /xk 

=  l  ‑ b  ( k   =  l ,   2 ,   . . .  , 

( 4 4 )  

228  関西大学『経済論集』第54巻第2号 (2004年9月）

いま第 k財の補償需要の価格弾力性を肛と記すと、

Pk= ‑Skk幻xk

( 4 5 )  

である。

( 4 5 )

( 4 4 )

( 2 5 )

t叶(pk+tk) = (1 ‑b)/ pk  ここで従価税率を

1 1

tk  =μ ゅk

であるので、

( 4 6 )

Ilk/ (1 +Ilk)= (1‑

b )  / 

( 4 6 ' )

/J,k 

= 

( 4 6 )  

( 4 7 )  

( 4 6 ' )  

( k   =  l  ,  2,  . . .  , m)  ( 4 8 )  

( 4 8 )

「逆弾力性命題」を提示している。

つぎに任意の財の消費税が他財の需要に影響を及ぼさない場合に、多様な消費者が存在す る社会において、

( 4 8 )

( 4 2 )

( 4 9 )

ー

t s !

^机

⁼ 

^{m)  ( 4 9 )}  

i=l 

こ こで

I 

ぶ^k三

Ls ^{ふ / I ( 5 0 )}  

i=l 

と置くと、

( 4 9 )

—ふtk/出 =1- 机 1+ 叫 ^(k 

= 

( 4 9 ' )  

そして第k財の補償需要の「平均価格弾力性」を

Pk 三—ふq喜K

^{( 5 1 )}  

と定義して、前述の従価税率μ.kを用いると、

( 4 9 ' )

( 5 1 )

μ.  =  ( i  ̲  r , ( i ¥ ^{叫 ー} ・ r l

⁼ 

^{( 5 2 )}  

( 5 2 )

A t k i n s o n = S t i g l i t z ( 1 9 7 6 )

(7)

( 4 8 )

上述の tkが比例所得税を組み込んだ消費税である点に留意して、次節で本来の最適消費 税について新「逆弾力性命題」を構築する課題に取り組まなくてはならない。また

( 5 2 )

( 5 2 )

7 .  

本節では、本来型消費税の最適消費税率についての「逆弾力性命題」が確立される。いま 本来の消費税 Tkを第

k

q /

^{( 2 3 )}

qk^三 pk十 冗 ={3qk 

( 5 3 )  

となり、これに対応する補償需要の対価格変分は、

s主ニ ^釦j OXj  dqk 

‑ ― = ‑‑ ^{( 5 4 )}  

Jk  aq:  oqk  d

j 

= 

になる。ここでは代表的消費者について表すので、添字

i

i

i

補償需要の自己価格弾力性を本来型消費価格によって定義しても、

( 5 3 )

( 5 4 )

( 4 5 )

Pk= ‑s:k<パ／叫

^{( 4 5 ' )}  

りの関係式

( 2 3 )

( 5 3 )

も =((1^ー

{ 3 ) q t +  { 3 T j )   I  { 3   ^{( 2 3 ' )}  

( 4 4 )

( 2 3 ' )

( 5 4 )

‑s:k((l ‑/3)q: 

+ 

1  ‑b  ^{( 4 4 1 )}  

( 3 8 )

( 2 3 ' )

i

2 3 0  

5 4

2

( 2 0 0 4

9

b  = 

+ 

f 3 ) q j *  

入 j=l 

になる。ここでスルツキ一方程式 釦j

=  s ; k   ^Xk 

•...   , , , • —

a q :   ^{8 ( f 3 y )}  

から次式を導出する。

釦j

B ( / 3 y   l  =  ( s ; k  

釦J

8 ( f 3 y )   ^{( 3 8 ' )}  

( 5 5 )  

( 5 5 ' )  

b

( 5 5 ' )

j=k

( 3 8 ' )

( 5 5 ' )

を代入した時にはbはつぎのように表される。

b=

^{( J ) q :}  

( s : . ‑

^{/ x ,}  

( 5 6 )

( 4 4 ' )

a  axk 

0  =  1  ‑‑ +  ( ( 1  ‑ / 3 ) q :   +  /3Tk) — /xk

入

a q :

になる。

いま第k財の普通需要の自己価格弾力性を 釦 k

  q :

ら三—

_{a q :}   ― 

と定義し、

( 5 8 )

( 5 7 )

缶k a 

，

．

  ー ・ 一,. "' 

＊ ^{荘 =}

1  ( 1   / 3 ) c k  

qk  ^入

を得る。ここで第k財の本来型消費税の従価税率を

μ k

T k / P k

と記し、

( 5 3 )

( 5 9 )

μ ;  

*  ( 3

{ 3 ) c k   1  +μk

に書き換えられる。そして

( 5 9 1 )

1 ‑ ‑ ‑(a  1 ‑(

3 ) E k  

μ :  

荘 ー

1 ‑ ‑

( 5 6 )  

( 5 7 )  

( 5 8 )  

( 5 9 )  

( 6 0 )  

( 5 9 ' )  

( 6 1 )  

(61)式において、らが大きいほどμ;が小さくなることは明白であるので、本来型消費税の 最適従価税率の「逆弾力性命題」がここに確立された。 (61)式右辺には消費税率が含まれ ていないので、ここでの逆弾力性ルールは完璧であり、最適な従価税率の決定式になってい

る。

〔謝辞〕 本稿の作成にあたり鎌苅宏司は、大阪学院大学より平成

1 6

参考文献

〔

1

A t k i n s o n ,  Anthony  B . ,   and J o s e p h  

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3

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〔

4

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