不確定力学特性を有する梁の応答と信頼性に関する考察

【論　 文】 UDC ：624

．

014

．

2 ；519

．

2 ：62

−

192 日本 建 築 学 会 構造系論文 報 告 集 第409 号

・

1990 年 3 月

不確定

力学

特

性

を

_有

す

る

_梁

の

応

_答

_と

_信頼性

に

_関

す る

考 察

正 会 員

高

　

田

　毅

　

士＊ 　

L

序

　

最 近， 構 造物の確 率 応 答 （stochastic 　response ）

，

信 頼 性の問題 が 多方面か ら 盛 んに論じられ_， 数多く貴 重な 成 果が報 告 されつ つ あ る。 まず始めに不 確 定な外 力を 扱っ た研 究につ いて見る と

，

地 震， 風の よ う な荷重は

，

時 間

，

空 間 的に著しい不 規 則 性 を有し， 古く か ら研 究の 対 象であっ た

。

この よ うな外 乱は時間 領域にお け る定 常 ある い は_{非 定 常}な確 率 過 程 （stochastic 　_{process＞とし} て モデル化さ れ るの が通 例であり， 構 造 物の確 率応答は 不 規 則 振 動 理 論 を用い て評 価さ れ るIL2 ）

。

ま た

，

不 規 則 外 乱が空 間 的に_変動す る ような問題は_{不 規 則位相差}入力 の _{問題 となり} ， これ も地 震入力 を受 ける橋 梁のよ う な大 型 構 造 物に対し研究が進んで い る3L4 ）

。

　

一

方，構 造物の材料 特 性が不 確 定な場 合を次に考え る。 空 間 的に変 動す る材料 特性も不 規 則 外 力 同様

，

確率過 程 あ るい は確 率 場 （stochastic 　

field

_）5 ）と し て 取 り 扱 わ れ る。 中桐ら 6 ｝_は 材料 定数が 空間 的にば らつ _{く問題に対し}

，

材 料 特 性 を 離 散 化確 率場 （

discretized

　stochastic 　

field

） と して取り扱っ て

，

有限要素法と摂 動 法を利用 して数 多 くの応 用例を示し た。 最 近

，

著 者 η がこ の よ う な離散 化 を行わ ずに局所 積分 （

local

　integral_＞の概念を用い て 新しい確 率 有 限 要素法を定式 化し て い る

。Bucher

ら8 ♪ は曲げ柔 性が空 間 的に_変動す る簡 単な梁 構 造 物の_{確率 応} 答を

，

有 限要 素 法の よ う な離散化 手 法 を用い ずに

_，

構 造 物の_{静 定}

_，

_{不 静 定}の 区 別 をし な がら解 析 的に取り扱っ て い る

。

　し か し な が ら

，

これ ら の 既往研 究で は

，

構 造 物の任 意 点に お け る確 率 応 答 （主に

_，

その_{平 均 値}と分 散 ）の評 価 が中心 と なっ て い るもの の_{， 新}しい_{確 率 場 とし て}の応答 の_{取 扱}いが不 十 分である

。

つ _{ま り}

，

_{空間 的}に変 勤す る材 料特性が確率 場と して扱わ れて い るよ うに

，

構 造 物の応 答 も 空間 的に変 動し_， 新たな確率場と して考え な け れば な ら ない _。 　こ れ らの こと よ り

，

確 定 系の_{不 規 則 振 動 解 析}と不 確 定 系の解 析と は_， 時間 的

，

空間 的な確 率 過 程， 確率 場と し て理 想化さ れ る基 本変動 量 よ り

，

系の_{応 答}の形 成す る確 本報 告の

一

部は

，

19S9年H本建築学会 大会で発 表し_た

．

宰 _{清 水 建} 設 株 式 会 社 　 大 崎 研 究 室

・

ユニ修 　（1989年7月 10日原 稿 受理

，

1989 年 12 月 19日採用決定 ） 率過 程

，

確 率 場の特 性 を 評価す ること に外ならない。 す な わ ち

，

不 規 則 振 動 解 析 も不 確 定系の解析も

，

対 象とす る 問 題 は まっ た く異な るもの の_{， 本質的}には同 じ もので ある と考えら れ る。 そこ で

，

本 研 究の 目的は

，

不 確 定 構 造 物の解 析が不規則 振 動 解 析とアナロ ジ

ー

が ある こ とを 小 すことで あ る

。

　 と ころで

，一

旦

，

時 間， 空 間 的に変動す る確 率 応 答が 得ら れ れば

，

そ れ ら が規 定し た限 界 状 態 （

limit

　state ） に至ら ない 確率とし て構 造 物の_信頼性が論 じら れる

。

不 規則外乱が作用 する確 定 構 造 物の動 的信頼 性の問 題は以 前よ り数 多くの_{研 究}が あり

，

究 極 的には定常ある い は非 定 常 確 率過 程の 交 差（level　crossing _）の_{問 題}に帰 着 する

。

　

不 確 定構造物の_{信 頼 性 を扱}っ た研 究に限っ て み ると_， 確 率 有 限要素法を用い て構 造 物の信 頼 性を論 じ た もの や9 ）

・

1°〕 tBucher らの解 析 的 研 究 を 発 展 さ せ たもの 等が 挙 げられ る11］

_。

　 し か し な が ら

，

これ らの既 往 研 究では

，

部材の危 険 点 に お け る種々 の_{限 界 状 態}に対する_{信 頼性}を取り扱っ てい る が_．それ は_{部 材}と して の信 頼 性 とは異な るもの である

。

な ぜ な ら

，

前述 し た ように確 率 応 答は空 間 的に相 関 を有 しな が ら変動 し

，

こ れも新た な確率場と なり

，

危 険 点 以 外で も限 界状態を超え るこ_{と も あり得る か らである}

_。

_部 材と して の信頼性は

，

あ る確 率 場 （応 答〉が決め ら れ た 区 間 内 （部 材 内）で規定し た限 界 状 態に至 ら ない確 率に 等し い

。

こ れ は

_，

_{不 規 則 振 動 理 論}で発展 し た き た初 通 過 問 題 （

first

　excursion 　_{problem ）を解 く}こ とに外な ら な

い

。

　

以上の ことより， 本 研 究の前 半で は， 簡 単な不 確 定 構 造 物 を対 象に

_，

その材料特性が空 間 的に変 動し た場 合に

，

応 答が形 成す る確 率 場の_{特 性}を考 察し，

Bucher

ら の解 析 的 手 法を_{不 規 則 振}動 理論との アナロ _ジ

ー

の_{観 点}か ら整 理で きる ことを示す

。

次に

，

後 半の部 分で， 部材とし て の信 頼性 を評 価す る た めに不 規 則 振 動理論で発 展して き た 初 通 過 理論が 適用 可 能で ある こ と を示 す。 な お， 対 象 と す る構造物は

，

確 定 静 的 荷 重 を受け る 空間 的に変 動す る曲 げ柔 性 を有す る梁 部 材とし

，

その た わ みに関す る部 材とし て の信 頼 性を 論 じる

。

　2．

空 間 的に変 動す る力学特 性 を有 する静 定 梁の応 答

　

以 ドの定 式 化は

，

文 献8）

，

11）と基 本 的に同 じであ る

が

，

不 確 定 構 造 物の 問 題が不 規 則 振 動 理 論との アナロ ジ

ー

がある こと を示すに は_最適な もの で あり

，

かつ

，

4 節で述べる部 材 全 体と し ての信 頼 性 を論じ る上で必 要 不 可 欠である。 　 2

．

1　梁の変 動曲げ柔性の確 率 表 現 　 曲げ柔性

1

／

El

が梁長にわ た り変 動 する問 題を考え る。 変動す る曲 げ柔性が次 式で示さ れる よ うに 1次 元 確 率 場で理 想化できる とする

。

　　

　

古

一

意

ロ＋ノω ｝

………・

…・

……一 ・

…tt

（

1

） こ こ に 1_／

El

_。は_曲げ柔 性の ア ンサ ンブル平均く1／

EI

＞ で 位 置x に よ ら ない と し，

f

（x｝は変 動 量 を表し

，

その 平 均 値が零〈ノ（x）〉＝

0，

自 己 相 関 関 数

Rff

（ξ）

一

く

f

（x ＋ξ）

f

（X＞〉を持つ 1 次_{元 正規}均 質 確 率 場と仮 定す る。 　

2．

2

静定梁の確 率 応 答 　始めに確 定 分 布 荷 重 ρ〔x｝が作 用す る確 定 長さ

L

を も つ静定_{梁 を}考え る

。

こ の場 合

，

応 力 分 布が曲げ柔 性に依 存し ない ことを利用 し て任 意 点 x に お け る た わ み応 答 ベ ク トル u（x）・＝

IW

（x）T（x）

lt

は初 等 力 学よ り以 下の式で 記 述で きる

。

　

　

　

u（x）

一

腮 ｝

一

_．

4L

　h（x

，

　t）｛i＋

f

（t）

1

・…

…

（・） こ こに_， W （x）

，

．

T（x）tdW _（x）／

dx

_{。よ各々 た わ み}

_，

_{た わ} み角と し，

h

（コc，t）は以 下の式で与え ら れ る確定関数 と す る

。

　

　

　

h

（x

．t

）

_「

瑞

1

：

鯰

_：

ljl

・・

一 ・

一 ……

（・） こ こで

M

（x）は分 布 荷 重 p（x）が作 用 しだ時の曲げ モ

ー

メ ン ト分布 （確

走

量 ）， h試x

，

　t）

，

　

hKx ，

　t）は各々

，

た わ み， た わみ角に関して

，

x 点に単 位 力を作 用させ た時の

t’

点の 曲 げモ

ー

メ ン トを表す

Green

関 数で あ る

。

　

f

（

t

） が正規確率場である か ら_， 式 （2）のた わ み

，

た わ み角 は正 規 性 を有する

。

また

，

式 （2 ）の _被積分項ゐ_内，

f

（

t

）の みが確 率 量であ る か ら

，

応答は動的問 題と同 様

，

畳 込み_積分 （convolution 　integration_）で表 さ れ たこと に なる

。

つ ま り

，

_梁の応 答u（x｝は 入 力 を

f

（x）と する系 の出 力と解 釈で き る

。

　

次に た わ み_， た わ み 角の _相互 共 分散関 数行 列

R 。

u （x

，

y）

＝

〈

lu

（コ匚）

一

くu（x）〉目u（y）

’

_一

〈u（y）〉_ド〉は式 （2｝より容 易に以下 の式で表 現で き る

。

　

　

R

論

，

y）

−

XL

_．

（

Lh （x

_，

_t，）

ht

（y

，

　t

，

）

Rf

．（t21ti）

dtidt2

　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

．

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） こ こ に

一

ヒ添 字 tは転 置ベ _{ク ト}ル を表す。 上式に見る よ 　 　 　 lt うに

，

応 答の相互 共分散 関数行列は異 なる 二 つ の点 x

，

yの 関 数 とな り

，

そ れ らの 差 （x」_{y）の関 数とな らな}い

。

つ _ま

OP

’

，

た わ み， たわみ角 応 答は 空間 軸に関して不均 質 （非 定 常 ）な正規 確 率場 と な る

。

こ の不 均 質 性は

，

境 界

一

₆₈

一

条件

，

荷重条件に由来し， 不 規 則 振 動 理 論にお け る系の 初 期 条 件， 入力 条 件に相 当す る もの と考え ら れ る

。

　2

．

3　スペク トル表 現 法

　

一

方，

f

（x）の 自 己 相 関 関 数

Rrr

（ξ）とパ ワ

ー

スペ _{ク ト} ル 密 度 関 数 Srf（x｝の _間に は

，

次の

Wiener・

Khintchine

の関 係 式が あ る

。

　　　

・・ 〔ξ）

一

∫

：

・・ （・）eS ・ed ・

…一 …一 ・

・

一・

・

一

（・）

　　　

・〃 ω

一

岩∫

：

・〃 （ξ）・

−

t・ed ξ

…・

・

…・……

（・） た だ し

，i

は虚 数 単 位と す る。 上 式 を用い ると式 （4 ） は以下の よ うに ス ペ ク トル表 現で き

Q

。



_、

　

　　

R

・ ・（副

イ ∬

ゐ（

岬 幽

ε・）

　　　　　　　　

・

f

_：

・・ω・ 一

一

t

・

・ 麟

dt

・

、

積 分の互 換 性に よ り，

　

　　

Ruu

（x

，

　y）

一

∫

1

［

∬

＾（・・

，

　ti）e・…

dtl

］

　

　　　

　　　　

・

［

∬

ht（y

．

…）e

−

i

・

…

司

・r・（・）

d

・

　　　　　　　

−

f

_：

_H

_（

_釦

・）

H

・ t（y，・

ix

）

s

” （x）

dz

　　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

…

　

r・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

7

） こ こに，

H

｛x，　

ix

）は次 式に示す

h

（x

，

　t）の tに関す る フ

ー

リエ 変換を_， ＊ は共 役 複 素 数 を 示 す。

　

　

　

・孀

一

ぜ

_、

∫

：

臨

鱸

_：

lll

幽

…

（・） ただし

，hw

（x

，

　t）

，

　

h

，（x

，

　

t

）は 0≦x≦L で値をもち

，

ぞ れ以 外では 零 と する

。

式 （7）の表 現は

，

動的問題で は 式 （4 ）が時刻 歴 解 析による不 規 則 振 勤 理 論とする な ら

，

周 波 数 応答 解析に基づ く不 規 則 振 動 理 論に相当し

，

H

（x

，ix

＞は周波 数 応 答 関数12Jと呼 ばれ る

。

　 2

．

4 　片持ち梁の例

　

静 定 梁の例 題 として

，

今

，

最 も簡 単な片 持ち梁を考え る

。

図

一

1に示

、

す よ うに

，

自由端に集中荷重

P

が作用 す る場 合を想 定する

。

ま ず

，

初 等 梁 理 論に よ り， 片持ち 梁の たわ み

，

たわ み角に対して二っ の

Green

_{関 数}が容 易に導 か れる

。

　

　

　

h

・… t・

七

 

黒

芝

瓢

、

・

一

_（・_・

　

　

　

h

・（・

・

t）一

島

（，

碧

亂畿

2

。）

…・

……・

_（1・）

z

P

↓

厂

xw （x） ト

ー

　L

− 一一

丁

一一

r

−

→ （曲 げモ

ー

メン ト は撓み が上 側凸 を 正 とする） 　図

一

1 不 確 定 力学 特 性を有す る片持ち梁

今

，

f

（x）の 自己相関関数を以 下の もの と す る。

　

　

　

・〃 ・ξ・

一

σ 2

諾

舌

1

｝

i

…・

一 ・

……・

…一

_…

₁₁

_） こ こ に

，b

は相 関の度合い を制御する正 値の パ ラ メ

ー

タ

，

σ は

f

（x）の標 準 偏 差と する

。

．

とこ ろで

，

こ の自己相 関関 数に等 価 なパ ワ

ー

スペ ク ト ル_{密度 関数}は以 下の式で表さ れ る

。

　

　

　

・“ ω一 ・・

亨

…

一

…

…・

・

…・

……・

…・

・

…・

・

…

_（

12

_） 図

一

2は 上式 と文 献 13）の _{手 法}を用い て 発 生 さ せ た

f

（x）のサン プル関 数の例で あり

，

図

一

3

，

4は その サン プルを用い て式 （2）の積分 を行っ て得ら れ る応答の

一

例である

。

これ は， ひ とつ の

f

（x）のサ ンプル関 数 を入 力と し た直接 積分法に よる時 刻歴応答解 析に相 当するも の である

。一

方

，

式 （4）の 二重積分 を実 行 すれ ば， 応 答の_{相 互 共 分散 関数行列が求 めら れ る}

_。

_図

一

₅

〜

_{7に は} ， 応 答の標 準 偏 差 を4　

OOO

_{回の シ ミ}ュ レ

ー

ショ ン結 果と式 　 　 　 3

．

0 ミ 2』

§

、

．

。 匪　0

・

0 ミ ト

ー

Lo

・

、

₋

₂

_．

_D 　

−

3

．

00

、

00

，

20

．

4_b

，

6　　　　0

．

B 　 　 　 無 次元 化 座 標xtL 　 図

一

2　

f

〔x）のサンプル_関数 の例 02 　 　 　 01 　 　 　 00 　 　 　 01 　 　 　 02 0 　 　 　 　 　 0 　 　 　 　 　 D 　 　 　 　 　 O 　 　 　 　 　 O 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

ア

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

、 司

、

匙 亀

_、

「

こ ≧ 4 麟 匪 ミ ト A ⇒ e 崎 韓 1

．

0 　 O

．

OO

・

2　　　　m

．

4　　　　0

．

6　　　　0

，

3　　　　1

．

0 　 　 　 無 次 元 化 座 標xiL 図

一

3　た わ み変動AW ｛x）の サンプル閧数の例 rs　O

．

Oヨ

孕

芭

ミ

… 2 旨

警

… 1

容

。

．

。。

　

e 韓

一

〇

．

Dl 　 　 O

．

00

、

と　　　　 O

．

4　　　　囗

．

G　　　　　口

．

e　　　　　1

．

0 　 　 　 無次元化座標xtL 図

一

4　た わ み角 変 動AT （x＞のサン プル関 数の例 （

4

）の数値積分を行っ た結果 を 比較 して い る

。

こ れ ら よ り

，

両 解 析が非 常に良い

一

致を示して い る ことが わ か る。

b

値の影 響につ い て見る と

，

大き い

b

／

L

値ほ ど 応 答の分散は大き く な る

。

これ は変 動する曲 げ柔性が長さ 方 向

一

様に 変 動す る 問 題 に 近づ くこ とを 意 味す る

。

Bucher _らs〕_{は現 実 的に}

_b

_{値 を測 定す} る ことは困難であ ること か ら

，

静 定 構 造 物に対し

，b

値が無 限 大になる_場 合が応答の _{分 散}の上 限 値と な ること を示して い る

。

また

，

図

一6

よ り

，

た わみ角 応 答の_{非均 質性}は

，

b／L 値が大き く な る ほ ど顕 著であるこ と も観 察さ れる

。

　

次 式は式 （8） を用いて

，

片持 ち梁の 捌τ

，

iz

）を解 析的に求 めた もの である

。

　 　 　

H

幽

，

ix

） 　 　 　

H

（x

，ix

）＝ 　 　 　 　

・

…・

…・

…・

…・

………

（

．

13） 　　　 　　 　　　

HKx ．

　

i

κ） こ こ に

，

　

　

　

H

・（x

・

・

ix

）

「

姦

｛

詈

（

1

＋e… ｝ 　 0

．

a6 詮 　 　 　 　 £ 寒

　　

1

…

1

  黶 　o

、

oo 　G

．

C　　　　O

．

2　　　　囗

．

4　　　　G

．

6　　　　巳

．

B　　　　L

．

n 　 　 　 無 次 元 化 座 標x 起 図

一5

　た わ み変 動の標準偏差 （片 持ち梁

1

　 ロ

　

Iロロ

ご

一

1

−

1

一

靈

・・ 。 　 　 　 O

・

OO

・

2₀

、

40

，

6　　　　0

，

8　　　　1

．

0 　 　 　 無次元化座UtxtL 　 図

一

6　た わ み 角変動の標準偏 差 〔片 持ち梁 ） 1

．

口o 　 　 　 　 　 　 蜘 ε

粛

擘 靨 ξ

竃

讐

靈

　 0

．

80 　 　 0

．

0自

．

E　　　　　O

．

4　　　　　0

．

5　　　　　0

、

B　　　　　1

．

D 　 　 　 無次 元化座 標xlt 図

一

7た わ み と た わ み角の相 関係 数 （片 持ち梁）

　

　

　　

　

　　

　

＋

（

L

　 　 27 ＋ ixs

）

（1

−

e ・xx_）

一

去

・・

｝

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一

・

・

・

…

　（14）

　

　

　

H

．（x

，

・

ix

）一

孟

｛

（

裟

一

吉

）

（e・rc

−

_・）

− tti

　

eSxxl 　 　 　 　

．

甲

．

．

・

・

・

…

　

一・

・

鹽

・

・

・

・

・

…

　

呷

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15） これ らの絶 対 量 を 梁の _{中央 （}x

＝

O

．

5L ）

，

自 由 端 （x

＝

L ） で x に関して プロ ッ ト した もの が図

一

8

，9

で あ り， さ ら に図に は式 （12）で表さ れる パ ワ

ー

ス ペク トル密 度 関 数 もプロ ッ ト した

。

両 図よ り， 協〔x

，ix

）

1

は

，

　xが大き く な る と す ぐに減 衰し て し まい

，

曲 げ柔 性の変動に含まれ る高い_{波 数}成 分は応 答に影 響 を与えに くい こ とがわ か る。 　

3．

不 静 定 梁の確率応答

　3．

1

静 定 基 本 系の選定と不 静 定 力の導入

　

確 定荷重 p（x）が作 用する_不静 定 梁の場 合で は

，

梁 内 に生 じ る応 力 分 布は変動す る材 料 定 数に依存し， 結 果 と して_確率量と な る

。

以 下には文 献8 ）

，

11 ）と同様

，

静 定 基本系を選 び， 境 界 条 件に適合するよ う な不静 定力を導 人 す ることに よ り応 答を評価す る。

　

今

，

n 次の_不静 定 次 数を 有 する梁の た わ みお よびた わ み角 分布は，重ね合わ せの 原理 よ り以 下の よ う に表 せ る

。

　　　

矼（x）

＝

矍 o（x）十Σ］

B

鳶ロ配（x）

・

・

一・

・

・

・

・

・

…

　

r・

一・

・

・

…

　

一

_（16＞ 　 　 　 鳶

＝

1 こ こ に Ue（x ）は確定 荷 重 ρ（x）に対す る静 定 基 本 系の た わ み応 答ベ ク トルで式 （2）より算出さ れ る。 蝋 gじ）は， ん番 目の確 定 単位 力が静 定 基 本 系に_作用 した と きの た わ み応 答ベ ク トル である

。

し た がっ て

，

tts（x）（

i

＝

O

〜

n） o

．

E 40 2

（

」 期

丶

  S

丶

一

薫

_、

_．

こ ミ 圭

コ

　 blt

≡

T

．

o

 

5rκ

κ

，’‘02b ／4丿 　 2 匚 L

＝

＝

XX biL

＝

σ

．

1 O

．

O 　 O　　　　　　TO　　　　　　20　　　　　　ヨO　　　　　　dO50 　 　 　

．

L 図

一

8　た わ みの周 波数 応 答 関数

IH

．

（x

，

　ix）

1

o

．

6 　 　 4

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　 2 　 　 0 　 　

　

　

　

　

　 　 　 　 　

　

ロ

バ

_、

_。

周

丶

差 三 ミ 菟 玉 0

．

0 　 ［

．

＼

・

_btL

＝

t

．

0 SffCxJ　t‘02　bJ4， 　 　 2 　 止 正 　

謬

冨

　 κ X 　 　 ＼ 　 　 ＼

、

btL

＝

O

．

7

丶

ンベ ・ 寧 ニ

ー

　

一．

．

一

一

図

一

9 　 ID　　　　　　 20 　　　　　　 10 　　　　　　 40 　　　　　　 50 　 　 　

κ

t たわ み角の周 波 数応答関数

1

　Hr_（X

，

酬

70

一

は その定 義よ り正 規 確 率 場と なる

。

また_， B配は h番 目 の不 静定 力を表す確 率変数で， 以 下に示す境 界で の変 位 適 合 条件を満 足し な け ればな らない

。

　

　

　

　

訓

1

：

：

i

：

之

］

ll

−

₁

・・

…・

一

一

……

・

17

・ こ こ に δtit （

h

≠0）は

h

番目の 確定 単 位 力 が 静 定 基 本 系 の x

＝

Xk に作 用した時の ‘番 目の_境界での変 位 成 分 を 表し下 式で評 価 され る。

　

　

　

磁 一

∬

ん絋

諮

編 ε）

d

君

・

…・

…・

……・

…

（

18

） また

，

δ‘。は荷重 p （x）が静 定 基 本 系に作 用し た 時の

i

番 目の変 位 成 分を表す

。

　

　

　

s、。

一

∬

即 ）

窘

孥

）

dt ……・

一………・

…・

（

19

） こ こ に_，

M

。（t）

，

　

hs

（Xt，　t）は， 各々， 静 定 基 本 系に荷重 p（x｝が作 用し た時の

t

点の曲 げモ

ー

メ ン ト分 布および

i

番目の確定単位 力が作用し た時の

i

番 目の境 界での変 位成 分 を表 す。 し た がっ て， 式 （17 ）の 煽 と δtk は正 規 確 率 変 数と な る。 し か し な が ら， 式 （17） を解い て得 ら れる不 静 定 力B，は確 率変数 とな るが， 逆 行 列の操 作 を含ん でいる た め

，

もは や

，

正規性を有しな い

。

言い換 え れば

，

不 静 定 力は 正規確率 変数 δtκとは線 形 関係に な い こと を意 味し

，

結 果と して

，

式 （16）で与え られ る た わ み応 答 u（x＞は正 規 性を有さ ない非 均 質 確 率 場とな る

。

この非 正 規 型 確 率応 答を解析的に （統 計 的に対 する〉評 価す る場 合に は静 定 梁と違っ て厳 密 解は得ら れず

，

何 ら かの近 似 が 必 要と な る。 　 3

．

2　1次 近 似 法に よ る応 答 評 価

　

今

，

式 （16｝を基 本正規確 率変 数に関して_， それら の 平均値回りで Taylor展 開し1次項ま で取る と以 下の よ うにな る

。

　

　

　

・ω 勃 ω

」

＋

盞

箸

）

1

濤

＆（・）

一瓦

ω ｝ 　 　 　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（20） こ こ に

Xi

（x）は

，

式 （16）に_含まれ る確 率 変 数で Uo｛x）

−

_Un（x＞および crtiCに対 応し て お り，　m は こ れ ら の確 率 変 数の総 数である

。一

旦

，

応 答 が 線 形 近 似 され れ ば

，

応 ρ ／ 図

一

10　不確 定 力 学特 性を有す る両端 固定 梁 Bl

歪

納

． 　

一一

一ラ

　x 図

一

11 静定基本系と不 静定力

答の相 互 共 分散関 数行列は容易に計算される

。

　

　

　

R

・・

（・

．

・・〉

一

舗

響

1

階

）

1

｝

t＜Xt（x）・_・（Y）・ 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

…

　

，

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

21

） 　3

．

3　両端固定の不 確 定梁の例 　例題 と して_{， 図}

一

10の_確定分布 荷重 p を支え る両 端 固定梁を考え る

。

今， 静 定 基 本 系と し て右 端 自由の片持 ち梁を 選ぷ と すると， 図

一

_{11に示 す二 つ の} 不静定力

B

、

，B

，が存 在する

。

こ の時， 曲 げ柔性の 自己相関 関 数 は式 （

11

）の もの を用い る

。

　図

一12〜14

は各々

，

た わ み

，

たわみ角の標 準 偏 差お よびそ れ らの_{相関 係 数}の空 間 的分 布 を式 （21）で得られ る も の と， シ ミュ レ

ー

ショ ン法 （サン プル数

＝

4000） で得ら れ た もの と を 比較し た もので ある。 両 者は良く

一

致 し

，

式 （

20

）の_{線形 近 似}を行っ て も十 分な精 度 を与え ること が わ か る

。

　

4．

動 的 信 頼 性 理論の適用 　 　 　 o

，

ooo5 　 　 詮 　 　 禽 　 　 so

．

Dou4

1

一

　　

壟

゜』 °°2

　　

譲

。。。。1 　 　 § 　 　 　 口

．

ODOD 　 D

．

0 　 　 　 　 0

、

2　 　 　 　m

．

4　 　 　 　 0

．

6　 　 　 　D

．

B 　 　 　 　 1

．

D 　 　 　 無 次 元 化 座 標xiL 図

一

12　た わ み変 動の標 準 偏 差 （両 端 固 定梁 ） ヨ 　 　 　

　

　

　

ヨ 　 　 　 　 　

　

_む 　 　 　 　 　

　

ど 　 　

　

　 　

　

ヨ 　 　 　 　

　

　

ロ ユ

　

　

　

　

　 　

　

し 　 　 　 　 　

　

ほ

　

　

　 　 　 　

　

ロ 　

　

　

　

　

　

　

ロ

　

　

　 　 　 　

　

ロ oo 　 　 oD 　 　 oo 　 　 　 oo 　 　 oo 　 　 囗0 0 　 　 　

　

　

　

D 　 　

　

　 　

　

O 　 　 　 　 　

　

O 　 　 　 　 　

　

O 　 　 　 　

　

　

O 、 輪

、

馬 S

、

匿

〜 拠 驛 鮒 聴 S 皿 漕 驛 　 　 口

．

B 　 　　 　 O

．

2　 　　 　 　D

．

4 　　 　 　 0

．

6 　 　　 　 0

，

3 　 　　 　 　1

．

D 　 　 　 無次 元化座標xlL 図

一

13　た わ み角 変動 の標 準 偏 差 （両端 固定梁） L

．

0

§

麟 ロ

’

5 奮

5

コ

・

° M 　

−

o

・

5 　

−

1

．

c 　 　 O

．

O 　 　 　 　 D

．

2 　 　 　 　 0

．

4 　 　 　 　 囗

．

E　 　 　 　O

、

S　 　 　 　 ：

．

0 　 　 　 無 次 元 化 座 標xlL 図

一

14　た わ みとた わ み角の相 関 係数 〔両 端 固 定 梁 ） 　4

．

1　 非 定 常 確 率 過 程に対 する初 通 過 理 論 　こ こ で は

，

梁の た わ み に関する信 頼 性につ い て考 察 す る

。

従来の信 頼 性解析で は， い くつかの危 険 点 を考え て， そ れ らの点で の閾 値 超 過 確 率 を考 えてい た

。

しか し なが ら， 序に示し た よ うに

，

たわ みその もの も式 （2）

，

（16） に見る よ うに確 率 場と な り， 梁の た わみが危 険 点 以 外の ところで規 定した閾 値 を超え る こと が十 分 考え ら れる

。

そ こ で

，

部 材 全 体と して の た わ み に関する信 頼 性 を評 価 する必 要 が ある

。

これには， たわみ

W

（x）が 閾 値 を超 過 する確 率 を評 価する こと も考え られ るが， たわ み の平 均 値 〈W （x）〉が零と ならず

，

空間軸 x の関数と な る こ と か ら， 本 論で は， た わ みの平 均 値か らの 変 動 量

AW

〔x）

＝

曜（x）

一

く

W

｛x｝〉が 閾値 a を 梁の全 長の どこかで

一

度で も 超え る確 率を評 価して み る

。

こ れ は

，

た わ み の平均 値 く

W

（x）〉を 設 計 値と考え た場 合， 全 長の どこか で た わ み が 設 計 値 よりα 以 上 大 き くな る確 率 を 評 価し てい るこ とに な る

。

　 　 　

Pf

（L

．

　a）

＝prob

　

IA

　va_（x_）〉α ：0≦x≦

L

ト

・

…

（22） 上式で定 義さ れ る確 率 ρ

XL

，

α）は

，

正に不 規 則 振 動 理 論にお け る初 通 過 確 率で あり

，

こ の確 率 を求める の に初 通 過 理 論が適 用できる

。

　 前 述し たよ うに

，

梁の AW （x｝は

一

般に非 均 質 （非 定 常 ）で非正規 性を有する確 率 場と な る

。

し か し な が ら

，

非 定 常

，

非 正 規 型の確 率 過 程に対す る初 通 過 確 率の厳 密 解を得ること は困 難であること から

，

現 在 まで に多 数の 近 似 式が提 案さ れ て い る

。Shinozuka

ら14｝は

，

非 定 常 確 率 過 程に対 する初 通 過 問 題に関して既 往の研 究 を ま とめ て いるの で参 照 していた だき たい。 　 本 報で は

，

不 規 則 振 動 理 論で発 展し て き た動 的 信 頼 性 の手 法 を不 確 定 構 造 物の信 頼 性 解 析に応 用で き ることを 示 すこと が第

一

の 目 的で あるため

，

こ こ で は_， 梁の た わ み

，

た わ み角の 二 乗 平 均 値 σ鼠コヶ）

，

σtKx ）お よ び そ れ らの 相 関 関 数ρ〔x）を用い て比較的 簡単に評価で き る

Shino−

zuka の 上， 下 限 値 ’5 ） を 用い て式 （22 ）の確 率 を求めて み る

。

　

Shinozuka

は， 非 定 常な確 率 過 程

AW

〔x）が片側閾値 α を （0 ，

L

＞の 間で 超え る確 率 を 以下に 示す上限値 Pu（L

，

α）と下 限値 Pt（L

，

α）で規 定し た

。

　　　

P・（・

．

・

イ

・（・識

………・

………・

…・

・

（23） こ こ に_{， σ}（α

，

X｝は

，

　　

　

・（・

，

x＞・

∬

・ ・φ（a

，

AT 」

・x）

d

（・T）

・

…・

一 ・

（24） で

，il

（

Ava ，

AT

；x）は x 点に _おけ る AW ｛x）と AT （x｝

（

d

　（

dx

AW

）

）

・鵑 確率跛 関 数・ あ る

．

　

＝

h

’

，

下 限値pl（

L

，α）は次 式で与 え ら れ る

。

　 　　Pi（

L

，α｝

・

＝

max ［problAW （x）＞a｝］

…・

……・

（25）

　 　 　 o≦ ¢ ≦L

る と， これ らの 同時確 率密 度関数φは以 下の式で与え られ る

。

　 　 　 1 　 　 　φ（AW

，

AT ；x）

＝

　　　　　　

2　nσ

。

。

。

》

Vi

「

7

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

・

_exp

_卜

、（、

≒

・ ）

｛

（

÷

」）

t

　　　

　　　　

　　　

一

盆ρ

鬻

丁・

（

AT σr

）

t

｝

］

　 　 　　 　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

・

…

　（Z6 ＞ こ こ に _p（x_）は非 定常正 規 確率場 AW （x_）と

AT

〔x_）の_相 関 係 数 とする

。

上 式 を式 （24 ）に代入 し， い くつ かの大 小 関 係 を考える ことに より

，

以 下の式が誘 導さ れ る

。

詳 細は文 献16 ）を参 照され たい

。

　

　

醐 ・

晴

∬

器

［

直

ヲ

　

　

　

　

　

　

　

・

exp

｛

一

、（

1

≒

）

（

訓

　

　　　　

　　

・・（・

1

師

昜

exp

｛

−

S

（

；

）

’

1

］

dx

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

−r9・

…

　

r『

・

・

…

　（27） こ こ に H（ρ｝はHeavisideの 単 位ス テ ップ 関数と する

。

ま た

，

式 （25 ）は次の よ うに書くこと ができる

。

　　　

Pi（

L ，

a）

−

1

−

・

（

藷

）

・

…一 ・

………・

…・

・

一 ・

（

28

） こ こ に

，

茜は aw の

0

か ら

L

の_範囲で の最 大 値であ り

，

Φ〔x）は標 準正規確率分布関数で以 下の式で定義さ れ る。

　

　

　

・（x_）

一

毒

一

∫二

exp

（

一

豹

・・

…一 一 ・

（

29

） 式 （27）

，

（28）は対 象 とする確 率 場

AW

（x）

，

△

T

（x）が 正 規 性 を有する こと が条 件と され る

。

しか し な が ら， 3 節 で示 し た よ うに_， 不 確 定梁の

AW

（x），　

AT

（x）は正規確 率 場と な らず

，

式 （20 ）で線 形 近 似さ れ た応 答の_{確率 特} 性

，

σ鼠コc）

，

σ知 ）お よびそ れ らの相関関数 ρ〔x）を用い る こと に す る

。

こ こで， 式 （

28

｝で与え ら れ る超 過確率の 　 　 　10e が が

（

ロ

、

己 愈 掛 鯉 唄 頻 擘 　 　 　 　 1口

．

コ

　 　 O

．

ロロ　 　 　 O

．

OS 　 　 　D

．

］O　 　 　 　O

．

IS　 　 　 ロ

．

2n 　 　 　 閾 植qκρL3！Ete） 図

一

15　た わ み に関する初通 過確 率　p．（L

，

a）（片 持ち梁 ｝

72

一

lom が が ？

_．

モ q 儺 酬 蟲 噸 擘 　 ID

’

s 　 　 O 　　　　　2XIQ

．

4_4X 見0

‘

4_6×10

．

4_8XlO

’

4₁ ×103 　 　 　 閾 値ai （pL4tE’

ll

図

一

16　たわ み に関する初通 過 確 率ρメL

，

α）（両 端 固 定 梁 ） 下 限 値は

，

aw が最 大と な る点 を 危 険 点 と 考え た時の確 率に外な ら ない

。一

方， 式 （27 ＞の 上 限値は，

APV

（X） を正 規 確 率 場 と仮 定し た時の部 材 全 体 （

0

〈x ≦

L

）での 超 過 確 率 を表して お り， 両 者の差 が 有 為であ る程

，

危 険 点に_関する_信頼性よ り も， 部材 全体と し て の信 頼 性を論 じる必 要 が ある

。

　4

．

2 計 算 例 　図

一

15は図

一

1の片 持 ち梁の た わ み応答に_関し て

，

式 （22 ）で規 定 し た初 通 過 確率と閾値の_関係を式 （

27

）

，

（28） とシ ミュ レ

ー

ショ ン結 果 （サン プル数＝ 4000 ） を 比 較し た もの で両者はよ く

一

致する

。

片 持ち梁の ケ

ー

ス で は， 初通 過 確率の上下限 値は ほ ぼ同じ値 とな り， 片持 ち梁の_部材と し ての_信頼性は

，

た わ みの分散が最大と な る点 （図

一5

を参照 す れば， 自由端 ）を危険点と して評 価し て も さ しつ か え ない

。

　

一

方

，

図

一

16は図

一

10に_示す両端固定梁の_例であ る。 こ こで も

，

同 様の_{比 較}を行っ た。 シ ミュ レ

ー

ショ ン結 果 は

，

上 下 限値の ほ ぼ中間に あ る もの の

_，

図 を良く み る と

，

閾値αの大きい ところで

，

下限 値に寄っ てお り

，

さ ら に α の _大きい とこ ろで， 下 限値を下 回っ てい る。 この 原閃 と し て は， 式 （27 ），（28 ）が正 規 確 率 場 を対 象に成 立 して い るの に対し， た わみ応 答 が 非 正 規 性 を有するこ と に起因 する もの と思わ れ る

。

な お_， 図

一

16は閾値の 小 さい範 囲で_， 単

一

の危 険 点で たわみ に関 する信 頼 性 を 評 価 するの は不 適 切で

，

部 材と して の信 頼 性を評 価す る 必要が あ ること を示して いる。 　 片持ち梁

，

両端固定梁共

，

式 （27 ＞

，

（28 ）の_{初通 過確} 率の上下 限値は_， シ ミュ レ

ー

ショ ン結果 と よい対 応 を示 し て お り

，

初 通 過 理 論が十分に適 用 可 能で ある こ と を示 してい る

。

　

5．

結 　 論 　 本 報 告では

，

簡単な梁 部 材を対 象に

，

その 力学 特 性の

空間 的 変 動に より不 確 定な応答が生 じ る機 構につ いて考 察し_， さ らに_{部 材}としての た わ み に関 する信 頼性の_考え 方 を 示し た。 結 果 と して

，

　

1 ）曲 げ柔 性が_{空 間的}に_{変 動 す}る_梁の応答は

，

曲 げ柔

　　

性の_変動にかか わ る基本確 率 場 を入 力と す る系の 出

　　

力と解釈で き

，

し たがっ て

，

こ の問 題は不 規則 振 動 　 　理論と等 価とな る

。

　

2 ）

　

曲げ柔 性 を均 質 確率場と仮 定して も， 応答は

一

般

　　

に非 均質

，

非正規 確 率 場と なる。

　

3） 梁の た わみ で規 定した部材と して の信 頼 性の_{問 題}

　　

は初通過 確 率 を 評 価 すること に等しい こと

，

が示さ 　 　れ た

。

　

今 後は

，

本研究の知 見を踏まえ

_，

_{よ り複 雑な不確定 構} 造 物を_対象と して

，

その確 率 応 答

，

信 頼 性につ い て研 究 を進め るつ も りで ある

。

　 謝 　辞

　

本 研 究を進 め る に _当た り

，

Wen

−Fang

　

Wu

_博士

（

National

　

Taiwan

　

University

，

　Dept

，

　of　

Mechanical

Engineering

_）の_有益な助言 を得た

。

こ こに感 謝の意 を 示す次第です。

参 考 文 献

1）Li・

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　Y

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K

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西 橋 秀

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Shinozuka

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1986

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_… i・ Fi・1d… dTh 。i，　Digi，。1

　　

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加 Stnt砌 觚 ’伽 雁，、

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り

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，

　　

P・・ceedi ・_g・ ・fth・ 9出 WCEE

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　V・L擱

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767

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772

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15） Shi・… k・

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… t・ ・al　Di・i・i・n

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：Probability　of　Structural　Failure　under

　　

R・・d。mL ・・di・g

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J

。 ・m ・且・fE・gi・e・・i・gM ・・h・・i。，

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90

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　No

，

5

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　_pp

．

147

−

170

，

1964

SYNOPSIS

UDC:624.014.2:Sl9.2:62-192

RESPONSE

VARIABILITY

AND

RELIABILITY

OF

BEAMS

WITH

UNCERTAIN

MECHANICAL

PROPERTY

by TSUYOSHI TAKADA. OhsakiReseaTch Institute,

zu Corporation,Member of A.I.

J.

The

response variability and reliability of

linear

beams

due

tospatial variation of mechanical _propertyis

inves-tigated.

Assuming

thatbeam

bending

flexibilityconstitutes one-dimensional, norrnal, stochastic

field,

the

covar-ianceftinctionsassociated with

deflection

and

defleetion

angle can

be

evaluated by means of the _procedure

analo-gottstotherandom vibration theory.

The

present

paperclearly shows thatthe response can

be

expressed

in

terms of the convolution

integration

inyolyingthe origina! stochastic fieid and the resulting response,

in

general,

ex-hibits

non-homogeneity and non-normality under the condition mentioned above, For those resulting stochastic

fields,

theprobabilitythatthe

beam

deflection

stays ina specified threshold

is

estimated

by

using theclassical

first

excursion theory which

is

capable of dealing with the non-homogeneity

(non-stationarity)

of the

deflection

field.

Two

kinds of

beam

structures are analyzed as numerical examples ;a cantilever and a

both-end

fixed

beam.

The

response statistics and the reliability associated with thebeam

deflection

are evaluated along with the cor-responding

Monte

Carlo

simulation.

As

theresults, the_proposed analytical _proceduregivesus very close results

tothose

from

the simulation.

Through

this

fundamental

study, the

following

concLusion

is

obtained ;

1. the _problem of stochastic

beams

is

analogous tothatof therandom vibration of

deterministic

systems

jected

to random

input,

2. the classicat

first

excursion theory can exactly

be

applied to estimate the re!iability of

beam

response.