【論 文 】 UDG ：691
．
32 ：666．
97 ：624．
042 口本 建 築学 会 構 造 系 論 文 報 告 集 第39S 号・
1989 年 4 月繰 返
し
載荷
を
受
け
る
コン
ク
リ
ー
ト
の
応 カ
ー
ひ
ず
み
曲線
の
表 示 式
に
つい て
要素
分
布
モデ
ルを
用
いた
コ ンク リ
ー
ト
の応カ
ー
ひ
ず
み
曲
線
の解 析
そ の
2
正 会 員 正 会 員 正 会 員永
江
永
津
在
島
村
末
麻
和
徳
＊ 里＊ ＊生
＊＊ ＊1．
序 コ ンク リー
ト は粗骨 材とモ ル タル か らなる複合 材 料で あ り， コ ン ク リー
トの応 カー
ひず み曲線は初 期 応 力の レ ベ ルか ら非線形性状を示す こと は よ く知ら れて い るIL2 ） 。 こ の よ う なコ ンク リー
トの 挙動を明ら か に す る た め に は，
個々のマ クロな現 象 を検 討 するだ け で なく，
種々 の 荷重に対す るコ ン ク リー
トの 変 形や破 壊 機 構 をコ ン ク リー
トの内 部 構 造の変化と関連づ け て総 合 的に検 討す る こ と が重 要であ る。 従 来か ら，
各研 究 者によっ て繰 返し 載 荷を受け るコ ンク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線の表 示 式 が，マ クロ な 現象と して実験 的 見地 から提 案され て き た。
しか も， 最近の実験 技 術の発 展に よっ て精 度の高い実 験 デー
タ が得ら れ る よ うにな り，
繰 返 し載 荷を受け るコ ン クリー
トにつ いてか なり正確な応 カー
ひずみ 曲線の表 示 式が 求め ら れてい る3L4 ） 。 し か し，
繰 返 し載 荷 を受け る コ ン ク リー
トの ひ び割れ進 展 過 程 （損 傷 過 程 ｝ や破 壊 過 程と繰返 し載荷を受け るコ ン クリー
トの応 カー
ひずみ 曲 線な どのマ クロな現 象との関 係は必 ずしも明ら か で は な い。
前 報 駅その 1 ）におい て，
筆 者の ひ と り は単 調 載 荷を 受け るコ ンク リー
トの破 壊 過 程 を 種の確 率 過 程で あ る と考え， コ ンク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線の表 示 式 を定 量 的に求め た。
本研究で は，
同 様の手 法を用い て繰 返 し 載荷を受け るコンク リー
トの破 壊 過 程に確 率 過 程 論 を適 用し6則，
繰返 し載 荷を受ける コ ン ク リー
トの応 カー
ひ ずみ曲線の表示 式を提 案す る。
本 提 案 式は，
で きるだ け 物 性に忠 実に半 理 論 式 を求め ， 単 調 載 荷お よび繰返し載 荷を受け るコ ンク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線 を統一
的に 表現し よ う とし たもの で ある。
2．
繰返 し載 荷 を受 け るコ ン クリー
トの破 壊 過 程 と 力 学モ デル 前 述の よ うに コ ン クリー
ト は圧 縮 載 荷の初 期レベ ル か 零 近 畿 大学 助教 授・
工博 ＃ 近 畿 大学 大学 院 生 ＊ ＃ 近 畿 大学 教 授 〔1988年8月 4 日原 槁 受理、
IY89 年 1 月 20日採用決 定｝ ら微小ひび割れ が発生し て い る。
そ の ため一
軸圧 縮状態 にあ るコ ン ク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線は かな り早い段 階から非 線 形 性 状 を示す。
同 時に単 調 載 荷を受け るコ ン ク リー
トは，
ボン ドひび割れ の累積に よっ て非 線形性状 を顕 著に示 し は じ め る比例限 界状態か ら，
コ ン ク リー
ト の体 積が減 少か ら膨 張へ と転化す る臨 界 応 力 状態 を経て 最 大 耐 力に達 して も，
さ らに ひずみの 増 大 と と もに応 力 の低F
を続け るとい うひずみ軟化材料と しての特徴を示 す。 こ の現 象 をひずみ軟 化 機 構と呼ぶこ と に す る。 ま た繰 返し載 荷を受ける コ ン ク リー
トの 応 カー
ひずみ 曲線の一
つ である再 載 荷 曲線は繰返 し 回 数の増 加と と も にその形 状に変 化がみ られる。
す な わ ち，
最 初は上に 凸 の曲線か ら，
次 第に直線と な り，
や がて下に凸の 曲 線を 示し， 破 壊 近 傍に な る とS
字を描く と言わ れて いる8 ）。 さらに，
繰 返 し載 荷の履 歴 を 受け たコンク リー
トの圧縮 強 度は，
繰 返 し載 荷の履 歴 を受けて いない処 女 試験 体の 強 度に比べ て 5〜
15％ の増 加 傾 向を示 すとの 報 告 もあ るtJ｝。
こ れ らの現象が どの よ う に して生 じ る か は 必ずし も 明確で はない。
しか し，
その 原因につ い て は既 往の研 究による と， 繰返 し載荷を受け ることに よリコ ンクリー
ト内 部に微 小ひび割れ が無 数に発生・
蓄 積し応 力緩 和を 生 ずる とい う説，1 やコ ンク リー
ト内部の 空隙や ひび割れ が閉 塞する ために コ ン ク リー
ト内 部が均 質 化さ れ，
応 力 集 中 点で応 力緩和 を生じ る とい う説10）な ど が種々 に提案 され ている．
いずれの 仮 説によ る もの であ れ， こ の よ う な応 力回復を伴うマ クロ な現 象をこ こ で は，
ひずみ硬 化 機 構と呼ぶこ と に す る。
以 トの こと か ら，一
軸圧縮 状 態で単 調 載 荷 を受ける コ ン ク リー
トの応 カー
ひ ず み曲 線はコン ク リー
トの ひずみ 軟 化 機 構だ け に支配 さ れ る。
し か し，
繰 返し載 荷を受け るコ ンク リー
トの応 カー
ひずみ曲 線は載 荷 応 力レベ ル や 繰返 し回 数な どによ るひび割れの進 展，
累 積などの コ ン ク リー
ト内部の損傷過程に影 響を受ける た め コ ン ク リー
トの ひずみ 軟 化 機 構 だ けでな く，
ひずみ硬 化 機 構にも支 配され るこ と が わ か る。一 1
σ H 要 素 要 素 εy 図
一
1 D・
H 要 素モ デルの概念図 E そこで， ひずみ軟 化 機 構 とひずみ硬 化機 構とい う二つ の機 構に力 学モ デル を仮 定 し，
い わ ゆる要 素 分 布モ デル を適 用し て みよ う。
モ デ ル の設 定に当た っ て は，
前 報と 同様に， コ ンク リー
トの損 傷 過 程に基づい て繰 返し応 カー
ひずみ関 係の本 質 を抽 出す る かぎりで き るだけ単 純で ある こと， また モ デル に含まれ るパ ラメー
タ は で き る だ け少な く， しか も実 験 的に決 定で き ることの観 点か ら選 ぶ こ とに す る。
コ ンク リー
トの ひずみ軟 化機 構を 示 す 要素．
モ デルと し て 図一i
に示す よ う な完 全弾塑性 体モ デル を用い， D 要 素モ デル と呼ぶ ことにす る。D
要 素モ デル は， 降 伏ひ ずみ まで は弾 性 変形，
それ以 後は塑 性 変形 をし，
やが て は破 壊に至る と仮 定し た。
すべ ての要 素で弾 性 係 数E
。 が 等しく， 降 伏ひずみ εyおよ び破 壊ひ ¢二
み ε。が そ れ ぞ れ の要 素で異 なる もの とみな され た もの で あ る。
ま た，
コ ンク リー
トの ひずみ硬化機 構を示す要素モデル も 図一
ユ に示 し，H
要 素モ デル と呼ぶこ とにす る。
H
要 素モ デ ル は，D
要素モ デル が転 化し た もの で あ り， 降 伏ひず み まで は応 力を負 担せずひずみ だ け が進 展し， そ れ以降 は弾性 変形 をし ながら負 担 応 力を増大さ せ，
や がて は破 壊に至 る もの と して単 純化 し た 要素モ デル である。
こ こ でH
要素モ デル の弾 性 係数は， 繰返 し載荷に よっ て応 力負担を 回復し た要．
素の 負担剛性の 大き さ を表す もの で あ り，
各 要 素に よ り 大 き さ が 異 な る が，
簡 単 にす る た め 取 り敢えずすべ ての要素で弾 性 係 数をinE
。 と仮 定して いる。
こ の m を硬 化係数と呼ぶこ と に す る。
3．
繰返 し載 荷 時の 応 カー
ひずみ 曲線の 解 析3．1
基．
本仮 定 繰 返し載 荷を受け るコ ンク リー
ト試 験体の損 傷 過 程お よ び破壊 過程と要 素 分 布モ デル を構成 す る D 要素モ デ ル やH 要 素モ デル との 関 係につ い て，
幾つ かの基本 的 な仮定を 設 け ることにする。
（1） 単調 載荷を受け るコ ンク リー
ト試 験 体は，
降 伏 ぴずみ お よ び破 壊ひずみ の異な る多数のD
要 素モ デル か ら構成さ れ，
し か も並 列的に存 在す るい わ ゆ る 並列型 モ デルを 仮 定 す る。
（2
）D
要 素モ デル は，
ひずみ レベ ルに応 じ て，1
）一
2
．
一
ま だ降伏して いない要素，
2）降伏し たが破壊し て い な い 要素，
3）破壊 して し まっ た 要素，
の3
つ の状 態 に分 け ること ができ る が， その 割 合は，
ひずみレベ ル （載 荷 応 力レ ベ ル ）を確率変数に し た確率過程論に従っ て決 定 さ れ る。
（3
＞ 繰 返し載 荷を受け るコ ンク リー
ト試 験 体の ひ ず み硬 化機構は，
繰 返し載荷によっ て 各要素の ひずみが降 伏ひずみ を 超え る とD 要 素モ デル がH 要 素モ デル に転 化す る機 構と して仮 定さ れ る。 （4 ）D
要 素モ デルが H 要 素モ デル に転 化する割 合 は，
ひずみ レベ ル （応 力レベ ル） と繰返 し回 数を確．
率変 数と す る確 率 過 程 論に従っ て決 定さ れ る。 た だ し，
ひず み レ ベ ルと繰返し 回数と は確 率的に独 立であ る と す る。
以 上の基 本 的 な 仮 定に基づいて繰 返 し載 荷 を 受 ける コ ン ク リー
トの応 カー
ひずみ曲線の表示 式を 理論的に求め るに は，
包 絡線・
弾．
性 係数の変動・
残留ひずみ・
再載 荷 曲線・
除 荷曲線を 定 量的に明ら かにす る 必要が あ る。
3、
2
包 絡 線 繰 返し載 荷を受け る〕 ン クリー
トの応 カー
ひずみ曲線 の ピー
ク時の点だ け を取り，
それ をつ ないだ曲 線を 包絡 線という。 こ の包絡線と単 調載荷を受け るコ ンク リー
ト の応 カー
ひずみ曲線との 関係につ い て は，
過 去におい て 様々な 研究が な さ れ，
若干の 相違 は あ る が，
こ の 両曲線 は ほ ぼ一
一
致す る と考え ら れて いる。
そこ で本 研 究では， 前報で求め た単調載荷を受け るコ ンク リー
トの 応 カー一
ひ ず み 曲線式 を 包絡 線に適 用 す る。
こ こ で，
確率過 程 論 を 用い て求め た応 カー
ひず み曲 線を最 大 応 力お よ び その時 の ひずみ で柑 対化 し た相 対応 力S
と相対ひずみX
を用 い て表す と 包絡 線は，
S ；E
〔X
十Xy’
αxp
）e一
αxβ
…・
・
…・
……・
・
…・
…
（1
｝ で示さ れ る。
こ こ で，
E＝
eα バ1＋Xジα）（
1−
t7y
）
・（
1一
丸
）
2蔵
α＝一
一一一
一
一
一一一
2
と な る。 パ ラ メー
タ a，
βは，
確 率 過 程 論に おい て ひず み に依 存する推 移 確 率 λ（ε）が，
パ ワー
関 数厩 βで表さ れると き，
i一
α＝＝一一
一
．
一
；β＝
β＋1 β＋1 で示 さ れ る パ ラ メー
タ である。
E は相 対 化さ れ た応 カー
ひずみ関 係の弾 性 係 数 を 示し，
Xs は相 対 化され た降 伏ひずみ であ る。 また，
包 絡 線の．
実 用 式に は，
簡 単な表 示 式である次 式 を提 案 する。S ＝
EXe axp・
r・
▼
・
7・
7r・
7P・
・
…
rP・
・
7r・
7P・
・
…
rr・
・
・
・
…
（2） こ こ で，
E＝
・
ea ；α三
1／β 以上，
パ ラ メー
タ βとXv．
が求 まれ ば，
α，
E
ともす1
．
0 の 0．
S 懐o，
6 0．
40．
2O．
0 「 丶 7 Il、
、
、、
、．
β50．
5、
’ ’ 「1
コ ン
フ
7
イ
ー
ン
トコ
ン
ク
、
リー
卜 ト 1 β昌
1，
0 普通コン列一
ト iゆゆ
一
一
．
XyXy＝
o．
20．
襠
o．
40 1 β営
2．
0 0 1 2 3 4 相 対ひ ずみ X 図一
2 パ ラメー
タβ，
Xeに よ る包 絡 線の変 化］1 べ て求ま り，
提案式に お け る未 知の パ ラ メー
タは 2つ と な る。
ま た 実 用 式 で は未知の パ ラ メー
タ は βだ けで あ る。
さ ら に前 報で述べ た ように，
パ ラメー
タβは推 移 確率か ら求めた もの である が，Weibull
分布に お け る 形 状のパ ラ メー
タ と本 質 的に 同等の もの であ り，
コ ン ク リー
トの均 質 性の程 度 を表す。
こ こで，
包絡 線の一
例を 図一
2に示し た。
3．
3 弾 性 係 数 繰 返 し載 荷 を受け たコ ンク リー
トの コ ン ク リー
ト内 部 の損傷過 程の大 き さ はマ クロ的に は弾 性 係 数の変化 を通 して推 定で き る。そこで，
繰 返し載 荷 を 受ける コ ンク リー
トには ひずみ軟化機構とひずみ硬 化 機 構と が共 存する の で，D
要素モ デル とH
要素モ デル を 適用す る。 繰 返し 回数と と もに，
各 要 素は D 要 素モ デル か らH 要 素モデ ルへ と転 化し，
最 終 的に はH 要 素モ デル の挙 動が卓．
越 し，
両 要 素モ デル の割 合がコ ンク リー
ト全 体の損 傷 過 程 を 支 配 する と仮 定で きる．
ま ず始めに降 伏ひずみ εy およ び破 壊ひずみ εりの異な る多 数の D 要 素モ デ ル が 並 列 的に存 在する コ ンク リー
ト試 験 体に対して， 繰 返 し載 荷に よっ てD
要 素モ デル が降 伏 現 象 を 起こ し，H
要 素モ デル に転 化す る確率を 考え る。
こ こで， あ る ひずみレベ ル ε （試験 体に生 じ るひずみ ） におい て，
繰返し 回数 N が 1だけ増 加し て N 十1とな る と き，D
要素モ デル に と ど まっ た状 態か らII要 素モ デルに転化し た状態に推 移 する確 率 （転 化 速 度 〉 をすべ て等しい と仮 定 し，
λ（ε，
遅 ）で表す。
こ こ で ひずみ レ ベ ル ε と繰 返 し回 数 N と が確 率 的に独 立で あ る と仮定 して い るの で，
転 化 速 度 λ（ε，
N ）は， λ（ε．
N ）＝
λ〔ε）・
λ（N ）・
・
・
…
t・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（3
） で表され る。 こ こ で転 化 速 度に パ ワー
関 数 を 適 用 し，
λ（ε｝＝ie
β λ（ハ1−
1）＝ γ（ハ1−
1）∂ を用いる。
（
1V一
ユ）回の繰 返し載 荷を受 けたと き，D
要素モ デル に と ど まっ た状 態，H
要素モ デル に転 化 し た状態に あ る確 率を それ ぞ れP
、（N −
1），
P，（N−
1） とし て一
般 化 す れば，
次の よ うな微分．
方 程 式が な り たつ。
Pl
〔κ．
】b＝一
λ匸（ε，ハ」− 1
）曾
PICN
一
且トP
爺一
1）＝
＝一
酬ε，
N．
1］PntN−
】1十 λn−
1［t，
〃−
tlPn−
ICN−
1，
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4 ） こ こで， （4 ）式に （3）式を代入し て，
こ れ を解くと，Pl
｛N．
．
1］＝ e一
α εeγN−
1）d・
・
……・
…………・
・
…・
……
（5） i γ と なる。 た だ し，
α＝一
；γ＝＝
β＋1 δ ＋1 β器
β十1 ；δ＝
＝
δ 十1 と おい た。
ま た，
P2（N−
1＞は， D 要素モ デ ル に と ど ま ら な かっ た確 率で もある ので，
P2〔N−
1）＝ ・1− P ，
（N −
1｝＝
1−
e’
°εβ゜「”’
1 ’d……・
…一 ・
……・
・
（6） とお け る。
し た がっ て，
D 要 素モ デル お よ びH 要素モ デル の弾 性 係 数をE
．，
E， とし て，
D 要 素モ デルで構 成さ れ るコ ン ク リー
ト試 験 体がN 回 目の繰 返 し載 荷を受け た場合 の弾 性 係 数 E，
，を求めれ ば，E
揮＝E
ゲP1
〔N−
】き十E
バP
跚一
11＝ Ede
−
aε nXN−
1 〕σ 十E
九・
（1−
e一
α εex「v−
1戸 ）・
・
…
《
7
） の よ うに な る
。
また， 相 対 ひずみ
X
お よ び相 対 降 伏ひずみ Xs を 用 い て，
（7 ＞式を整理 する と0
〈X
〈為 の と きの コ ン ク リー
ト試 験体の弾 性 係数Ed
は，
E
ん＝
0なの で E．＝
Ed・
P，rN−
1］＝Ee
−
axβコN−
1）e・
・
・
・
・
…
一・
… r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（8） X ≧
Xy
の ときの コ ンク リー
ト試 験 体の弾 性 係 数 EM は，
E¢＝
0な のでEhN＝Eh ・
P
，，N．
．
L）＝
mE （1−
e−
axnXN−
1，e ） ＝ m （E −
EdN）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
…
tt・
・
…
（9 ＞ と な る。 こ こ で，
ひずみ硬 化の大 きさを表す重要なパ ラ メー
タで ある硬 化 係 数 m 自 身も，
弾 性 係 数 と 同様に載 荷 応 力レベル と繰 返 し回数と に よっ て変動す るこ と が考 え ら れ る が，
簡 単にす る た め普 通コ ン ク リー
トでは一
定 とし て扱っ た。
S 0 ＼ Xp ：残留ひずみ Xe：
彈 性ひずみ Xo ；除荷 開 始ひ ず み （全 ひ ず み ） Xpx ● Xo 図一
3 残 留ひずみ X．
の概 要 x一
3
一
3
．
4 残 留ひずみ 残 留ひずみ は， 載 荷 応 力 （ひずみ）の大き さだ けで な く， 繰 返し 回数 が 増え る につ れ て増 大して い くこ とはよ く知ら れて い る。
この こ とは，
残 留ひずみ が弾 性 係 数と と も に繰 返 し載荷を受ける コ ン ク リー
トの 内部 損 傷の程 度を評価す るパ ラ メー
タの ひ とつ であること を 示して い る。 繰 返し載 荷を受け るコ ン ク リー
トの再載荷 曲線・
除 荷 曲 線お よ び残 留ひずみ の概要を図一3
に示す。
同 図か ら わ か るよ うに，
除荷す ることに よっ て減少す るひずみ（弾．
性ひずみ ）をXe
， 残 留ひずみを為，
除 荷 時の ひずみ （全 ひずみ） をX。 とする と次の 関係が成り立つ 。X 。
；X
ρ＋Xe これ を変形し て， xρXe
i
＝
＝
Jlo
十X
。 こ こ で，X
。／X
。は， 全ひずみ に対 する弾 性ひ ず みの割 合を示し たもの であるが， 繰 返し載 荷 を 受 けて もな お降 伏 し な かっ た要 素の割 合 を 表 し て い る。
すな わ ち，
Xe
／X
。 は前 節 （3．
3 節 ）で述べ た よ う に繰 返し載 荷を受 け た と き にD
要 素モ デ ル に とど まる確 率P
，（N
）で表 すこと がで き る。 そこ で，
次の よ うに 示さ れ る。
鑑
一
1−
？
．一
且 ・…『
……・
・
……・
一 ・
一 ・
（・・）ま た
，P
監〔N
）は除 荷 時の ひずみ （全ひずみ）X
。や繰 返 し 回 数 N に よっ て変 化す る の で，
こ の式を変形 す る と繰返 し 回数N
回目の残 留ひずみXPN
は，
X
．N；X
。（1−
evraxPXN−
uσ ）・
………・
…・
・
…一
（11
） で示 さ れ る。
3．
5 再 載 荷曲線 繰 返し載 荷を受け たコ ン ク リー
トのN
回 目の再 載 荷 曲 線1よ，
〔N−
1）回 目まで に変化 し た弾 性 係 数と残 留ひ ずみ に支 配 され る。 こ の弾 性 係 数は 〔N − 1
）回目 ま で の繰 返 し載 荷によっ て コ ン クリー
ト内部に疲労 損傷 が蓄 積され， 繰返 し回 数と ともに低 トす る。 よっ て，N
回 目の繰 返し載荷は，
（N−
1）回 目まで の繰 返し載荷に よっ て内 部に疲 労 損 傷の 履歴 を受けた コ ン クリー
トを新しい 処 女 試 験 体とみ な し，
あ ら た め てN
回 目に単 調 載荷を 行っ た もの と考え る こと ができ る。
そこ で，
各ひずみレ ベ ルでの コ ン ク リー
ト試 験 体の弾性係 数は，（8 ）式，
（9） 式か ら求め，
これ らの関 係を 用い て単 調 載 荷 を受け るコ ン ク リー
トの 場 合と同 様の 方 法で相 対 応 力S
と相 対ひ ずみX
の関 係 を’
求 める。（
N −
1） 回の繰 返 し載荷に よっ て D 要 素モ デル とH
要 素モ デルと が並 列的に混在す るコ ンク リー
ト試 験 体に 単 調 載 荷 を加え た場 合，
載荷応 力レベ ル （ひずみ レ ベ ル ） の増 大と ともに，
要素モ デルの負 担 剛 性 （弾 性 係 数 ）の 変 化か ら，
（1
） D 要素モデルが卓 越し た状態 0≦X ＜ X。
一
4
一
（ll
）H
要 素モデルが卓 越し た状 態 Xy≦X
くXb
（丗） 要 素が破 壊し解 放された状態X
≧ Xb の 三つ の状 態 変 化 が考え られる。
こ の こと は，
繰 返 し載 荷に よっ て内部 に疲労損 傷の履 歴 を受けた コ ン ク リー
ト の 破 壊 過 程を二段の確 率過 程で モ デ ル化し たこ と を意 味 す る。 そこで、
（1
），
（tt
），
（皿 ）状 態にある確 率を そ れぞれ P，（ε），Pz
（ε），
P3
（ε）と すれ ば，
次の差 分 微 分 方 程 式が成り立つ 。Pl
【ε1＝一
λi［ε）’
Plle
）・
…・
……・
（12 ）P；lim
＝
nt
Lt）／E］・
Praε
）十煽一
itE）
・
Pn−
u£）
こ こで， 推 移 確 率で ある 降 伏 速 度 λ（ε）に パ ワ
ー
関 数 石♂ を用い て，
（12）式に代 入 すれ ば，
次の よ うな解が 得ら れ る。PI
（ε｝＝
e一
厚P，（ε）
＝
α ε βe−
a‘”……・
・
…………
（13 ） P3（ε）＝
1−
e一
α εβ
一
α εβθ一
〇 εβ
こ こ で，
定 数万，
βを整 理し直し，
新し く， i一
α一一
；β＝
β＋1 β＋1 とし た。
また推 移 確 率はすべ て等しい と して解い た。
し た がっ て，
（N−
1） 回の繰 返 し載荷に ょっ てD
要 素モ デルとH
要 素モ デ ルと が並 列 的に混在す るコ ン ク リー
ト試験 体に単調載 荷 を加え た場 合，
コ ン クリー
ト試 験 体に負荷さ れ る応 力 σ は，
σ
；E
。 ．p
、，．）・
ε＋IE
。。Ey＋E。M
ε一
εy）lp
、ce）・
・
一
（14）と なり
，
（14
） 式に （13
）式を代人 し，S− X
関 係で表 すとs
＝
E、 ．Xe−
aX”
＋IE
。．X
。＋E
献x − x
必x
β ε闇
a ’β これを 変 形して，
・− E
。．Xe
−
axf ’ ・・［
（E一
躍一
（
E 一
刎誌
’E
の
刈
・
・…−
axp……・
…・
・
…………・
……・
・
（15
｝ と なる。
ま た，
単 調 載 荷を受け るコ ンク リー
トの応カー
ひずみ 曲 線の実 用 式と して，
前 報で は次 式を提 案し た。 ∫＝EXe −
aX β こ の実 用 式か ら繰 返 し載 荷を受け るコ ン ク リー
トの N 回 目の 再 載 荷 曲 線 を 求 めるには，
〔15｝式の 中で 為＝
0 と してや れ ば よい。
この こ と は，
繰 返し載 荷を受け るコ ンク リー
トの破 壊過 程に．
．
椴 の確 率過程を 適用し たこ と を意 味す る。 そ して次の よ う な．
実用 式が求ま る。s ・
＝E
、，NXe−
aX目
＋m （E − E
。 。）αXf
’＋1e一
αxf’
しか し，
再載荷曲線はコ ンク リー
ト内部の疲 労 損 傷に よっ て残 留ひず み が蓄 積さ れ，
必ず しも原 点か ら立ち 上 が る も ので は ない。
N
回 目 の再 載 荷 曲 線で あ れば，
（N
−
1）回 目の繰 返 し載 荷による残留ひずみ点か ら，
（N 一
1
）回 目の弾性 係数に影 響さ れ な が ら，
再 載 荷曲線は立 ち上が る。 す な わ ち，
各 繰 返し載 荷 曲 線の原 点は，
前 回 の残 留ひずみ点まで平 行 移 動さ せ る ことに よっ て解 決さ れ るc、
以 上か ら，
（15）式 を 変 形 して，
・
一
脳 θ一
噸 糀［
（E一
眺《
E一
皿泣
1
・の
Xy
］
・
・Xs
…−
a ・“・
………・
・
……一 一 …・
（16 ） と なる。
こ こで，Xs
＝X − XnN．
．
1 ｝であ るe この 〔16
）式が本研究で提案す る再載荷 曲線 式で あ る。
ま た，
同様に，
s ＝E
。 、x
。e一
αx・β＋m （E−
E． ．｝・x。 f’＋1e−
aX・t’
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17） が，
本 研 究で提 案する実用式で ある。
3．
6 除 荷 曲 線 式 繰 返 し載 荷 を受け たコ ンクリー
トの損傷過程と除荷曲 線の挙 動 との関 係 は 必ずし も 明 ら かで は ない。
しか し一
般に は， 単調載荷 時の応 カー
ひずみ曲線の立ち 上 が りこ う配と除 荷開始 時の接線こう 配 が ほ ぼ一
致し，
繰 返し回 数に関 係な く，
除 荷 曲 線は常に下に凸な曲線と な る。 し かも除 荷 開 始 時のひず み が大きいほ ど大 き く湾 曲 する と 言わ れて いるn 以 ヒの こ とか ら，
図一
4に示す ような除 荷 曲 線 式 を次の よ うな手順で誘 導し た。
（1） 除 荷 曲 線の基 本 式に， 単 調 載 荷 を受け たコ ン ク リー
トの応 カー
ひずみ曲線を適 用す る。
（2｝ 除 荷 曲 線を載 荷 曲 線の原 点 対 称 式と み な す。 （3
＞ （2
＞で求め た式を除荷 点 （X
。，S
。）まで平 行 移 動さ せ る。
（4） 除 荷 曲 線は，
除 荷 点 とX
軸 上の残 留ひずみ点 （XaN−
1｝，
0｝を通り，
残 留ひずみ点で極 値 をとる下に凸 の曲線とし て，
境 界 条 件を決める。
すな わち， ま ず 除 荷 曲 線の基 本 式に実 用 式で あ る （2） 式 を採 用す る。
こ こ で，
除 荷 曲 線が弾 性 変 形す ることか ら相 対 降 伏ひずみXy
を無 視し た。
次に，
（2 ）式 を原 点対称に し， 除 荷曲線の原点が除 荷 開 始 点 （X
。，S
。）に一．
致す る よ うに 平行移 動させ る と，
S
＝
30−
E （Xo一
丿【）ε一
α x・
一
ηf・
…
『
・
・
・
・
…
一・
・
・
…
（18） と な る。 ただ し
，
（18）式は X 軸 上の残 留ひずみ点 （X
、、・
N．
1），
0） S1，
0 o．
5 o．
o 0 1 2 図一
4 除荷 曲線の概要 1X を必 ず 通り，
そ の点で極値を持た ねばな ら ない。
その た めの境 界 条 件，
X
zaX
”N−
11 の と きS ＝0
譲
L
＿一
・ に よ り，
次 式が求まる。
E
「
X
。．X
”N−
、語
一
a．。
一
、、1．
．
11F……・
……・
・
…
（19＞ 1α
＝
β（x。−
XAN−
1，） ま た，
（18
）式に （19
＞式を代入 し てパ ラ メー
タβだ けの式に変形す る と，
S
＝
Se
（1− XRe一
毒ば冷一
1） ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
・
…
一
・
・
・
・
…
（20） た だ し
，
Xo− X
XR；
Xo− x
”N−
11 とな る。
こ れが除 荷 曲 線の提 案 式で ある。
4
．
繰 返 し載 荷 時の応 カー
ひずみ曲線の考察 4．
1 提 案 式の パ ラメー
タにつ いて 本論で提 案する包 絡線・
弾 性係数・
残 留ひずみ・
再載 荷 曲線・
除荷 曲線の各式に使用さ れ たパ ラ メー
タ につ い て述べ る。 〔1） パ ラ メー
タ β，
Xy パ ラ メー
タ β，
Xy は，
前 報で述べ た よ うに単 調 載 荷 曲 線お よび繰 返し載 荷 時の包 絡 線の形 状を決 定づ けるパ ラメー
タ である。
為 は比 例 限 界 応 力 度に対 応す る相 対 降 伏ひずみ とし て用い る。．
般 に コ ン クリー
トの比例限 界 ひずみ 度は応 力 比 に し て0．
40〜
0、
60で あ ること が よ く知ら れ て お り，
そ れ に対応す るひ ずみ度は0．
20〜
0．
40に相 当す る。
し か もXyの変化は応カー
ひずみ曲線 に対して極めて鈍 感であ り，
本 論で は，
Xy＝
0．
20とし て行っ た。 βは確 率 過 程 論か ら求 めたパ ラ メー
タで はあ るが，
Weibull 分 布 式の形 状のパ ラ メー
タ と本 質 的に同 等の もの で ある。
形 状の パラメー
タは一
般に均質性 係数 と も呼 ばれ，
材 料の種 類や品 質に よっ て決 定さ れ る材料 定 数で あ り，
物理的 意 味が 予 測で き る。一
般に，
βが 大 きい ほ ど均質性は高いが， 図一
2に示す よ うに既 往の実 験 結果 か ら推 定す れば 普通 コ ン ク リー
トで はβ＝0，8−
L5 ，
高靱性コ ンク リー
トの繊 維 補 強コ ン クリー
トやコ ンフ ァ イン ドコ ンクリー
トで はβ＝
O．
6〜
O．
8の とき 包 絡 線と よ く一
致す る よ うで あ る。
（2） パ ラ メー
タ γ，
δ パ ラメー
タ γ，
δは （3） 式にお ける推 移 確 率 λ（N ），
す な わ ち D 要 素モ デルが降 伏して H 要 素モ デル に転 化 して い く 速度が繰 返し回 数 N に依 存する程 度を表すパ ラメー
タ と して求め たもの であ り，
繰 返し載 荷 を 受ける ことに よ リコ ンク リー
ト内部に生 じ る疲 労 損 傷の程 度を 表す弾 性 係 数や残 留ひずみの 提案式に用い られる。 こ の．
− 5 一
こ とは， パ ラメ
ー
タγ，
δ が 繰返 し載 荷に よる コ ン ク リー
ト内部の疲 労 損 傷に のみ影 響 を 及ぼ す ことを示し て い る。
そこ で，
残 留ひずみの測 定 値か らγ，
δを 決 定す る方法を示す。 残留ひずみの提案式 〔（ll
）式〕の両辺 を除荷開始ひず みXo
で割り，
XPN
／Xe
＝F
（X
）と お く と，
F
，m＝
1−
2−
axeTNe を得る。 さ らに，
変 形して両 辺の対 数を2
回と れ ば，
1；
t
παx
彳γ十 δtnA
厂lat
，、 1一
馬 と な る。
こ こ で，
1
Y ＝
1
。’
in
1− F
［mx
＝
lnN
；B ；
αx
奮γ と お け ば， 上 式は直線 式y ＝
δx
十B
に変 形できる1％ そこ で， 測 定値よ り各繰返 し回数ごとの残留ひ ずみXpN
と除荷開始ひずみXe
を読み取 り，
X
軸に1
。N
， Y 軸に 哉 らi1
／（1−
F （x ））｝を表す。 得ら れ た直線の 傾 き よりδ，
Y 切 片 より γを 求 めるこ と がで きる11） 。 パ ラメー
タ γ，
δを 求める ために用い た残 留ひずみの 測 定デー
タ は，
中野・
岡 本に よる普 通コ ン ク リー
ト の実 験デー
タ で あ り， 除 荷 開 始ひずみX
。が一・
定である定ひ 一 ＝ H 苣同
一
〇．
o§
L−
o．
41H−
o．
8一
1、
2一
1．
6一
2．
o一
1 o 1 ご■
X＝
InN 図一
5 パ ラメー
タ γ，
δの決定 法 2．
s馨
1。搴
田05 o
．
o O12 き 456789 塾〔〕 1緬 繰 返 し回数 N 図一
一
6 普 通コ ン クリー
トにつ い て の残 留ひずみ X．の検討4L12 ） 〔β＝
1．
G Xy＝
0．
2 γ＝
0．
2 δ‘
e．
5） ずみ繰 返し載 荷の デー
タ を用い たL2 ）。 そ の結 果 を 図一
5 に示す。
そ れ に よ る と最小二乗法に よっ て直 線 式を示せ ば，Y ＝
0．
521X−
1．
828 で表さ れ，
普通コ ン クリー
トな の で，
β≡
1．
0
を用い れ ば，
γ＝
0．
162 δ＝
0．
521が求ま る。 ここで，
実 用 的な立 場か ら平 準 化する ため本論で は，
普通 コ ン ク リー
トに対 し て，
β；
1．
0 γ＝
0．
20 δ＝
0．
50を用い る。
こ こ で決 定したパ ラメー
タの値 を も とに （ユ1）式 を用 い て残 留ひずみを計 算し，
定ひずみ およ び 漸 増 ひずみ繰 返し載荷 時の実験 値と 比較し た もの を図一
6に示す。 そ れによ る と，
中野・
岡本の定ひずみ繰返し載荷 時の デー
タ か ら求め たパ ラ メー
タγ，
δを用い て計 算し た残 留ひ ずみ は同一
の試 験 体の漸 増ひず み繰 返し載 荷 時の残 留ひ ずみだけ で な く，
ほ か の試 験 体を用い た谷 川・
小 阪の実 験デー
ダ〕と もよ く．
一
致す る こと がわ か る。
（3） パ ラメー
タm パ ラ メー
タ m は，
繰 返し載 荷 を 受ける コ ン ク リー
ト の損 傷過程の一
つ で ある ひずみ硬 化機 構の大き さ を表 し，
再 載荷曲線の形状に影 響を及ぼ す。
図一7
にパ ラ メー
タm の 値の変 化 によ る 再 載荷曲線の形状を 示 す。
そ れ に よ る と，
m＝
1．
0
の と き はひずみ硬 化 機 構 を無 視し た 場 合で あ り，
m が大きいほどE
に凸 な曲 線か ら直 線， 下に凸の曲 線へ の移 行過 程 が早く な るこ とが わ か る。
特 に，
m＝
O．
5の と き は2回 目の再載 荷曲線が高 応 力 域に おい ては極 端な曲線を描く。
以上のこと を踏ま え，
再載 荷曲線の形 状がで きるだ け実 験デー
タの再載荷曲線の形 状に類 似する よ うに パ ラ メー
タ m の 値を求め れ ば よ い。
さ らに精 度 を 上 げる に はパ ラ メー
タ m を載 荷 応 力 や繰返 し回 数の変数と して取り扱う必 要が あると考えら れ る。 4．
2 繰 返し疲労損傷過 程と繰 返し回 数N
との関 係 まず，
残 留ひ ずみX
ρ と繰返 し回数N
との関係がパ ラ メー
タ γ，
δ に よ り どの よ う に変動す る かを 考 察し て 5 み る。
定ひずみ繰 返 し載 荷を受け た と きの 残 留ひずみX
ρ と繰 返し回 数 N との 関 係か らパ ラメー
タ γ，
δの影 響 を調べ た のが図一
8で あ る。 そ れ に よ る と．
パ ラメー
1．
a の RO・
8 物 o．
6o．
4e．
20．
O o 1 2 相 対ひずみX 図一
7 パラ メ・
一
タ m による再 載 荷 曲 線の変 化 〔β＝
1．
O Xy＝
〔炉．
2 γ＝
0．
2 δ＝
O．
5） 5一
6
一
タ γは残 留ひ ずみ
Xp
の繰 返 し回 数1V
に対 する変 化 率 （傾き）に は余り影 響を及ぼ さず，
N＝・
1の と きの残 留 ひずみ の み に影 響 を 与 え ること がわ か る。
逆に，パ ラ メー
タ δ は残 留ひずみX
ρ の増 加 率に大 きな影 響 を及 ぼ す。
こ の ことを利用し てN ＝1
の残 留ひずみが実 験 値 と一
致 す る よ うに γを決 定 し，
そ れ以 降の値が よ く一
致す る よ う に δ を決めれ ば，
実 験 デー
タ が少ない 場 合で もパ ラ メー
タγ，
δを 決 定 する こと がで き る。
図一
9は こ の 方 法により高 靱 性コ ン クリー
トの繊維補強コ ンクリー
ト やコン フ ァインコ ンク リー
トにつ いて小 阪・
谷 川の デー
タ か ら γ，
δ の値 を 求め，
γ＝ 0．
4，
δ＝
0．
1の とき の残 留ひずみ の実 験 値と計算 値と を比 較 し たもの である。
ま た包 絡 線の形状よ り両コ ンク リー
トはβ＝
0．
8とし た も の であ り，
これに よ る と，
両 者ともよ く一
致す るこ と が わ かる。 ま た，
弾 性 係 数 E．と繰 返 し 回数N
との 関 係に も同 様の検 討を試み る。
定ひずみ繰返 し 載荷を受けたと きの 両 者の 関 係か らパ ラメー
タ γ，
δ の影 響 を 調べ た のが 図一
10で ある。
そ れに よ る と，
弾 性 係 数の場 合は N＝
2 回目か ら疲労 損傷過 程の影 響 を受ける とい う こ とを除け ば， パ ラ メー
タ γ，
δ が弾 性 係 数に 及ぼす 影 響は残 留ぴ ずみ の場 合と同様の傾 向を示すこ と が わ か る。
4．
3 既往の実 験 値との比較さ
〔
1
：
翻
、鴨
O、
2．
o e 1 2 5 4 5 6 7 8 9 10 11 繰返し回数N 図一
8 パ ラメー
タ γ．
δ に よ る残 留ひずみ の変化 （定ひずみ） 3．
a爵
25 躰2．
o 肆 1、
51
：
o．
e O 1 2 3 4 5 6 ？ S 繰返 し回数N 図一
9 残留ひずみ に お け る実 験 値 と 計 算 値の比較 （小 阪・
谷 川 ）13 ｝（1 ） 普 通コン ク リ
ー
トの場 合 図一11
に普 通コ ン ク リー
トにつ い て の 中 野・
岡 本の 実 験による応 カー
ひずみ曲線と，
本 提 案 式によ り導い た 応 カー
ひずみ曲 線 を 示し比較す る。 普 通コ ン ク リー
トの 場 合．一
般に， パ ラメー
タ値と して β＝
1．
O，
Xy
＝O．2，
γ＝
0．
2， δ＝
0．
5， m ＝0．
6 を提 案し たが， こ こ で用い た普 通コ ンク リー
トの パ ラ メー
タ βの値は，
本実験デー
タ と 包 絡 線の 形状が よく一
致す る よ うに β＝ 1．
4 とし た。
こ れ ら か ら実 験 値 と提 案 式 と を比較す る と，
漸 増ひ ずみ繰返 し載 荷・
定 応 力繰 返し載 荷・
定ひずみ繰 返し載 荷の各 応 カー
ひずみ曲 線と もお おむね よ く一
致して いる こ と が わ か る。
残 留ひずみ につ い て は
，
定 応 力 繰 返し載 荷の場合に実 験デー
タ よ り や や小さ く な る傾 向が ある もの の， 漸増ひ ずみ繰 返し載荷・
定ひずみ繰 返し載 荷の場合は比較 的よ く一
致 してい る。
再 載 荷 曲 線の 形 状につ い て は， パ ラメ
ー
タm の値に よっ て漸増ひずみ繰 返 し載 荷・
定 応 力 繰 返し載 荷の場 合，
最初の繰 返し回 数N＝
2のと き は高 応 力 領 域で多 少 実 験 デー
タか ら はずれ る傾向が あ る が そ れ以 外は ほぼ一
致す る。 し かも，
上に凸の曲線か ら次 第に直 線 とな り や がて下に凸の曲 線を示す傾 向も十 分に表 現され てい る。
ま た，
定ひずみ繰返し載 荷の場 合は全 般 的に よ く一
致 し 3種 類の 中で は よ り忠 実に表 現できてい る。
そ の他
，
弾 性 係 数 や除 荷 曲 線の形状につ い て も，
図一
llか ら見る か ぎり比 較 的よ く一
致 し実用 的に は許 容 範 囲内に あ る と言え る だろ う。
ま た，
Xy＝
0と し た実用 式の場 合と実 験 デー
タと を比 較し たのが図一
12で あ る、
こ れ らも図一
11と 同 様の傾 向を示すこと がわ か る。
解析に用い たパ ラ メー
タの値は 提 案 式の場 合と 同 じであ る。 〔2 ） 高 靱性コ ンク リー
トの場 合 繊 維 補 強コ ン ク リー
トやコ ン フ ァイン コ ン ク リー
トな どの高 靱性コ ン ク リー
トは，
コ ンク リー
ト内部に補 強 繊 維や補 強 鉄 筋を介 在させ，
ひび割れの進 展を阻止し た り 2．
5 醍 2．
0 国 迷 重．
5 1．
e 05 OA 1 5 55 0穫
一
．
1．
II斗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ， 10 11 繰 返し回数N 図一
10 パラメー
タr，
δ に よ る弾 性 係 数の変 化 （定ひずみ ）一 7 一
§
（
粁 璽・
任）
槨 ゼ e 紺 鰍 ！ 触 齬 罧 e 預 曜 部 型 ー 区 積 瞭 昭 周σ
．
（
O 0．
O O．
署
O 丙 O．
N四
．
O．
、
O ‘ O、
齢
麟 鰥 樟 編 ⊃ 凶唱
駆 鴫 胴 b 側 兮 訳）
り O、
【
OO．
鴨
Oφ
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、
O．
サ
0 →〇
四
〇．
卩
8一
ρ 8四
） § ／ 巴o § し 旨 1■
「 ［嚠
．
，
層
I
I 「
．
脚
．
旨幽
脚
1昏
唱
．
卩
1111伽
駅 但 臠 瑚 甦 只 壇 展田
O．
匹
O ● 3 O嘘
．
O．
岡
01四
〇
．
F
OO8囲
0 § ） § ／ 田り § 臼（
。
諛）
殉 O．
」
Od O 鱒 O，
サ
O 扁凵
oo8一
88ny N （tUt ，
．
Jan
｝ρ ON P．
一
〇
怛 騒 O 鰻 騨 弋 菊 O 聾 疑 11．
1．
111 ー奮
蔭
1
ト一
．
．
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卜
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O，
n ON O．
一
〇
〇
・
8囲
§ § § （、［D ／別 ） D（
。
§ 輸 8曽
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8 8m 呪 ‘、
w，iSl》⇒ §．
呂一
層
§ § ‘【
四
コ
’s4）ρ 8℃
W 喬一
（
粁 匿・
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麿 訟 S → へ 1 振 鱗 艦 e 蟹 瞭 輯 ；1
函 冨 蛛 翠 廻 騒 ⊃ 園 瓔 兎 や 6 製自
，
h
O頃
O “ O，
胃
O 掃 ON O．
門
0 0田
OO一
ρ O 昌 ）羃
／ 口08 寸G
O．
h
O ● O“
麟 騨（
。
訳冒
蛤
O サ O、
冖
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O一
、
〇
潭 悩 園 謎 R −4q 製 O．
卜
O．
ψ O 雨 O ぜ Od ON O、
一
〇
〇 W8
一
ρ罠
鶏
8 す く、or）／ 別） O．
h O．
O O．
瞬
（
9 訳》
噂 O ぜ O 面 O．
N O．
一
〇
怛 繕 ⊃ 唄 誰 鴫 制 ゐ 興 矯O，
h 呂 靄 9 0．
n 昌 O，
一
〇
〇 S一
§
OO 瞬 0 ⇔マ
ρ ‘．
ぽ ）／ 剛）（
。
遠 嶋 8卩
§ § 〔ttU，
！s輔｝ρ § 8【
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o ト ●．
oい
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ー o 罧 § c、
U・・iSxj b § O8一
§ § 〔躍田 ，〆8畦）ρ
8呵
一
8
一
り 匹 ＼ b 1
