<4D F736F F F696E74202D208DDE97BF955D89BF8A778AEE F8BF38AD48C512E B93C782DD8EE682E890EA97705D>

材料評価学基礎

• 材料科学の枠組み

• 基礎編

– 格子、晶系、空間群（対称性）

– いろいろな結晶の構造

– 結晶と逆格子（回折結晶学）

– Ｘ線と結晶

• 応用編

– 電子顕微鏡、放射光、中性子線

格子（

_Lattice）

• ３次元の周期的な

点

の配列

c

b

a

R



n

₁



n

₂



n

₃

a

b

c



 

• 点のまわりの環境が同一である，空間の

点の無限の配列

• 格子定数

（

_{Lattice parameters}

or Lattice constants）

a, b, c,



,



,



• 単位胞（unit cell）

５つの二次元格子（5 two dimensional lattice）

180°回転すると元の 図形と重なる →2回回転対称軸（2） 90°回転すると元の 図形と重なる 60°回転すると元の 図形と重なる →6回回転対称軸（6）

対称性を考える

５つの二次元格子にみるその他の対称性

この面を鏡と考えると 元の図形と重なる

6 この二つはともに ２回回転対称を持ち 同じ鏡面を持つ 格子点が単位胞に２個 さらに格子定数を示すa, b,



は同じ →同じ晶系 格子点は単位胞に１個 →単純格子 →

５つの二次元格子にみる

５つの二次元格子（5 two dimensional lattice）

対称性という考え方から二次元では_{5つの格子を考えられる}

対称性 晶系 単位胞に求められ る格子定数の条件 ブラベー格子の形 1 or 1 Oblique p 2 or 2 Rectangular =90º p, c 4 or 4 Square a=b_=90º p 6 or 6 Hexagonal a=b_ =120º p

三次元の結晶に許される対称操作

• 恒等

1

• 反転対称

• 回転

• 鏡面

• 回反

1

2

3

4 6

m

2 3 4 6

対称性 晶系 単位胞に求められ る格子定数の条件 ブラベー格子の形 1 or 1 Triclinic（三斜晶） P 2 or 2 Monoclinic （単斜晶） ==90º * P, C 3つの垂直な 2回軸 or 鏡面 Orthorhombic （斜方晶，直方晶） ===90º P, I, F, C 4 or 4 Tetragonal （正方晶） a=b_{===90º} P, I 3 or 3 Trigonal （三方晶） a=b ==90º =120º P Rhombohedral （菱面体晶） a=b=c_ ==** R 6 or 6 Hexagonal （六方晶） a=b ==90º =120º P 4つの3回軸 Cubic （立方晶） a=b=c_{===90º} P, I, F * 2 nd setting, 1 st settingでは==90º ととる

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c b c

Triclinic _{Monoclinic Monoclinic-C}

Orthorhombic Orthorhombic-C Orthorhombic-F Orthorhombic-I

Tetragonal Tetragonal-I Trigonal-R _Hexagonal

14のBravais Lattice

単位胞に格子点が一つしかないものを

a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

Triclinic _{Monoclinic Monoclinic-C}

Orthorhombic Orthorhombic-C Orthorhombic-F Orthorhombic-I

Tetragonal Tetragonal-I Trigonal-R _Hexagonal

14のBravais Lattice

その格子の形を示す

F：面心格子 I：体心格子

Point Group（点群）

3 ₆ 2 m m C₃ 3 _C 6 6 C_2v mm2

Point Group（点群）

3 ₆ 2 m m C₃ 3 _C 6 6 C_2v mm2 →32個の結晶学的点群

結晶構造（Crystal Structure）

+ = Lattice（格子） Orthogonal (Ortho-primitive) 3 atoms (A, B, C)

1 /unit 3 /basis 3 /unit

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ Im3m (空間群) Cubic-I (Cubic-body center) 4 atoms (White)

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ Pm3m (空間群) Simple Cubic (Cubic-primitive) 4 atoms (White)

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ Pm3m (空間群) Simple Cubic (Cubic-primitive) 8 atoms (White)

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ BCC str. Im3m (空間群) A2, cI2 Cubic-I (Cubic-body center) 1 atom (White)

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ BCC str. Im3m (空間群) A2, cI2 Cubic-I (Cubic-body center) 1 atom (White)

結晶構造

Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造） ＋ ＝ CsCl str. Pm3m (空間群) B2, cP2 Simple Cubic (Cubic-primitive) 2 atoms (Yellow, White)

BCCの格子を持つ結晶の構造

＋ ＝ Im3m (空間群) hexamethylenetetramine Cubic-I (Cubic-body center) 22 atoms (N, CH₂) Lattice（格子）＋Basis（基本単位）＝Crystal Structure（結晶構造）

三次元の結晶に許される対称操作

• 回転

1, 2, 3, 4, 6回回転軸

• 鏡面（m）

• 反転対称（

）

• 回反（

）

• これらの対称操作を組み合わせてすべての点群

の対称操作がでてくる

• さらに並進の対称操作（らせん、映進）を加え空

間群の対称操作を表すことが出来る

6

,

4

,

3

,

2

,

1

1

Space Group

結晶は対称性をもとに230種の空間群に分類できる 最初の記号は格子の形を示している

結晶を対称性で分類

• 結晶を対称性によって分類する

• 7つの晶系

• 14のブラベー格子

• 32の結晶学的点群

• 230の結晶学的空間群

• 世の中の結晶は230の空間群のどれかに

分類できる

→ これまで見てきた結晶構造の空間群を見てみよう

材料評価学基礎

• 材料科学の枠組み

• 基礎編

– 格子、晶系、空間群（対称性）

– いろいろな結晶の構造

– 結晶と逆格子

（回折結晶学）

– Ｘ線と結晶

• 応用編

– 電子顕微鏡、放射光、中性子線

Typical Crystal Structures (1)

FCC

A1, cF4 Fm3m

Cu, Ag, Au, Al, Ni

HCP A3, hP2 P6₃/mmc Mg, Zn, Cd BCC A2, cI2 Im3m

Graphite type Str. A9, hP4 P6m2 Diamond Str. A4, cF8 Fd3m C, Si, Ge

Typical Crystal Structures (3)

m

I 34 -Mn



cI58 Centered atom+

Truncated tetrahedron+ 4 atoms+cuboctahedron

Typical Crystal Structures (4)

m Fm 3

Heusler type str.

Ni MnGa, Cu MnAl Fe3Al, Fe3Si, Cu3Al

m Fm3 L2₁, cF16

Typical Crystal Structures (4’)

m Fm 3

Heusler type str.

Ni MnGa, Cu MnAl Fe3Al, Fe3Si, Cu3Al

m Fm3 L2₁, cF16

Typical Crystal Structures (5)

m Pm3

Cu₃Au, Ni₃Al P /_{AuCu, FePt}4 mmm

L1₂, cP4 _L1

Typical Crystal Structures (6)

-brass I43m Cu₅Zn₈ D8₂, cI52 Two tetrahedra+ Cuboctahedron+6 atoms

Typical Crystal Structures (7)

Rutile Str.

C4, tP6 P4₂/mnm

Typical Crystal Structures (8)

ZnS type Str., B3, cF8 F43m ZnS, ZnSe Wurztite Str. (ZnS), B4, hP4 P6₃mc ZnS, ZnO SiO₂ (cristobalite) type Str. C9, cF24 Fd3m SiO₂

Typical Crystal Structures (9)

Fluorite type Str., C1, cF12 Fm3m CaF₂, CdF₂ CsCl type Str., B2, cP2 Pm3m CsCl, CsBr NaCl type Str., B1, cF8 Fm3m NaCl, KCl, LiF

Typical Crystal Structures (10)

CsCl type Str., B2, cP2 Pm3m CsCl, CsBr_, BCC Str., A2, cI2 Im3m

Fe, Na, Mo, V

Perovkite Str.,

E2₁, cP5 Pm3m

Typical Crystal Structures (11)

Quart (high temp phase)

C8, hP9 P6₄22

Group （群）

• 任意の二つの操作の積はセットの要素である

PQ=R

• その要素の中に恒等要素 1 をもっている。そして

P1=1P=P

• ある要素 R に対してその逆の操作がありR

1

，

RR

1

=1 となる。

• 操作の積は結合則を満たす。 (PQ)R=P(QR)

Quasicrystal

準結晶の発見により D. Shechtman 、2011年ノーベル化学賞受賞 → 1992年に国際結晶学会（IUCr）は 「結晶」の定義を回折図形を考慮した考え方に変更した これまでの考え方が否定されたわけではない 結晶からの回折を理解することは必要である

面（

_{Miller index）}

等価な面 {hkl} (hkl) a b c a/h b/k c/l d010 d₀₂₀ ) 110 ( (012) ) 010 ( ₍₀₂₀₎

Cubicの(100)と等価な面

} 100 { 対称性 a b c ) 1 00 ( ) 010 ( ) 00 1 ( ) 0 1 0 ( ) 001 ( ) 100 (

Tetragonalの(100)と等価な面

} 100 { 対称性 b c ) 0 1 0 ( ) 00 1 ( ) 010 ( ) 100 (

Hexagonalの場合

a b c ) 100 ( ) 00 1 ( ) 10 1 ( ) 0 1 0 ( _{等価な面 {100}} ) (hkil ) (h k i    と表すことがある わかりやすくするため として ) 00 1 1 ( ) 10 1 0 ( ) 010 1 ( ) 100 1 ( ) 0 1 01 ( ) 0 1 10 ( ) 010 ( ) 0 1 1 (

方向

[uvw] 等価な方向 _<uvw> a b c ] 120 [ ] 1 1 0 [ ] 1 1 1 [

Cubicの[100]と等価な方向

] 100 [ ] 00 1 [ ] 0 1 0 [ ] 010 [ ] 1 00 [ ] 001 [   100 対称性 a b c

Tetragonalの[100]と等価な方向

  100 対称性 b c

等価な面と方向

• 対称性によって等価な面の数は異なる

• 面によって等価な面の数は異なる

同様に

• 対称性によって等価な方向の数は異なる

• 方向によって等価な方向の数は異なる

面と方向

等価な面 _{hkl} (hkl) a b c a/h b/k c/l _[uvw] 等価な方向 _<uvw> b c