多次元データの視覚的表現について
妻 鳥 敏 山 彦
統計学では，いわゆるl￣デー・タの整理＿】とかl￣データの加工＿lという言葉が よく使われます。これらは母集団（デー・タの源泉）に関する情報を得るために 重要な作業です。データの特徴を把握する方法紅は，おおまかにいって①計算 （Calculation）④図示（graph）の2通りが考えられます。①はデrタを幾つか の代表値に．凝縮（又は変換）して，その代表値でデータの全体的様相を把捉す ることに．なります。平均値，最頻値，中央値，あるいは範囲（レインジ），偏差 （平均偏差，標準偏差，四分位偏差）などが代表値として，よく使われます。 ④はデータを平面上に．図示して，その構造や変化の様子などを視覚的に（ある いほイメ・−汐として．）把握しようというのです。グラフ化の効用については， 法則性の発見や現象の解明等に．関する諸科学の歴史を想起すれば，ここで改め て言及する必要はないでしよう。①，④はそれぞれ紅ちがった表現方法で利点 や欠点がありますが，データ自身の内包している実体をあるがままに．表現す・る 方法であることが肝要です。さて，ここでは，④に．ついて筆者の体験に基づい て，面白い方法を紹介しよう。 （i）星座グラフ まず表1のようなデータが与えられている とする。これを適当な変換で0度から180度 までの角度に変換する。 例えば max†ズり，．方2わ …，．方れJ〉＝g祝 1≦ブ≦た min〈．方1わ．方2ブ，l‥．方乃ブ〉＝gβ 1＜メ・く七 ‘−’iう く表Ⅰ＞1 2 3 点
1 尤11 ∬12．方13．γ1た 2i」方21ズ22 ∬28・・芳如 1 1 3 花 ュ︰．T 3︰・〃 とすると rユ亡 ユ■33 T3i・ ∬昭【Jわ埼＝…旧∬血 αiJ＝砦三笠×1800 （去＝1，2，1‥‥，循） の形で表Ⅰのデータは，表Ⅱに変換される。（このような具体的な意味づけ・く表∬／＼ 1 2 3・…点 が行い易いような変換がよい。） この＜表Ⅱ＞のデー・タに対して た 〟￡＝∑紗メCOSαり ブ＝1 ▲■ 仇＝∑町Sinα官ノ ブ＝1 α11 α1ヱ α13‥ α1た α21 α22 α221…α2た α乃1α乃2 α乃3‥1α乃鬼 （オ＝1，2，…・… ，〝） なる変換を考える Å■ 但し紺プは，各変数の重みと考え∑紺ブ＝1（紺プ≧0）を仮定する。 ∫−＝1 この変換に．より（〝i，ガプ）（去■＝1，……・，〝）の〟個の点を半円の中にプロッ ト（特に星印をつける）したものを星座グラフと呼ぷ。 さて，実際の作図法を具体例で示そう。デー・タとして，5段階評価された学 業成績を用いてみよう。 ＜表1＞ まず最初の変換式ほ
這深岳英，数，国，理，社
αせ戸昔話×1800＝（和一1）×45。
これから＜表Ⅱ＞が作られる。 次に各教科間の重みを，同等とみなして 5 紺1＝紺2＝……＝ ぴ6とおくと ∑ぴ7＝1ロ ブ＝1 ヽ■′ ヽ−′ 、− ノ 君 君 君 A B C ︵ ︵ ′l＼ 1 2 3 4 3 5 5 2 ▲4− 4 3 3 5 1 4 5 4 3 ＜表2＞・ 英，数，国，理，社 ∴ ご二 軌＝紺2＝……＝ 紗6＝− となるから，変換 〝￡＝cos勒， A君】13501800135018001800 〃sinαり B讃 900 450 900 001350 18001350 900135◇ 900によって点♪（〝ブ，〃プ）が半円内に与えられ C君
ることになる。実際A君の星座上の点ダムほ， 3十J盲 ul＝‡｛cos1350十COS1800十COS135O・cos1800・”os1800）＝−・T 旦土蝮 vl＝｛sin900十Sin450・・・Sinl900十SinOO十Sin135◇｝＝ 5 に．よって与えられる。これを半円内に具体的にプロットしやすいように．，次 の様な整理を行う。ガ 座標 点タl 点為 点為 点タ▲ 点鳥 与c倒1350 号（csola50＋・CS01800） 与（cso1350十e501800十eo匂1350） 書（c081350・十脚1800＋e㊥1850■co81800） 阜（cos13SO＋cosl郎○十C関工お○＋cos王800＋cos1800） 与sin900 −（sin900＋8in45。） 古（sin粥＋8in侶。＋＄in900） 与（8in00○＋血亜○＋・8in00○十8bOり i￠il粥○＋＄in450＋8il00○ヰ8inOO＋血1お○） プロット手順 手脛江・・点ア1は原点から4の方向へ平行に・だけ進む0（こと紅同じ）
手取甜2ほ即1から5の方向へ平行にだけ進む0（こと閉じ）
手順3・点鳥ほ点動から4の方向へ平行にだけ進む。（こと綱じ）手臥点P4はが3から5の方向へ平行紅だけ進む0（こと綱じ）
手順5・即5は射4から5の方向へ平行にだけ進む0（こと軋同じ） Pノま＝P5であるから，ここで点夕月がプロットできる。（下図参照） もう1つB君の点斤βとC男の点β。をプロ 3 ツ卜しておこう。 屋座における1−5の横線をェ軸とし， 3の縦線を．γ軸としたとき，点P5の座離卜亭h■掌冬空）
である。 （但し，円の半径ほ．長さ1とする。） さて，こ．のような星座へのプロットの効用は，5次元のデータを2次元の平 面上にプロットして視覚的紅も1定の区別がなされる点にあるが，吏紅プロッ トした点の位置が，円周上の5つのメモリに従って読むとき，丁度5教在の平 均点を示し，円周上からのへだたり具合が，平均点のまわりのバラツキ具合を 示唆していることである。又屋印への道（path）についても着目することができる。我々の例でみると，A君の5教科の平均点はA！旦土生土蔓±旦＝4．6，平 5
均偏差値（14・−4・6回5・−4・6＝＝4・−・4・6回5・−・4・6回5・−・4・6！）＝＝ 0．48 B君の場合も同様にして平均点2．6，平均偏差値0．88であるから，A君は平均点が高く5の軸に近くなっており偏差値（この場合，各教科の安定度とみな せよう）も小さいので円周上に．近ぐなっている。B君の場合，平均は3以下で， 偏差値も0．88とA君より大きいので 教科問にバラツキありと見受けられる。 そのことはQβの方がPAより円周上から，やや遠ざかっていることに．よって 確かめられる。 教育現場でほ，学期の区切りで生徒の成績表が作成されるであろうが．それ をこの星座グラフ紅プロットして：みるならば，各個人の平均点（全体的学力） やバラツキ（学力の不安定さ）が視覚的に把握できるだけでなく，個人のクラ ス全体における位置づけもー一層よく分る筈である。更に毎学期これを行えば， 個人及びクラスの学習成果の記録ともなりうるだろう。 0一色■1
10 20 ユ0 ■0 ，○ らO TO さ￠ 90 1eO llO 120
6さ‘︶Z⊥098765■つ2ユ098765んプ21▲098Tる5◆︶21 ユ qノヽJうっユ⊃2222222222ユュ・心▲▲lユニ．⊥⊃、▲ もう1つこの考えが判別分析へ応用できることを示しておこう。 今，ゐ次元デ・一夕の2群が，それぞれ変換されて次のように与えられたとす る。
く1群＞l1 2
見＜2群＞』1 2
点 β11β12小・‖‖βlた β21β22‥β2た βmlβm2‥β刑 1 2＝︰︰S α11 α12 α1た αgl α22…… α2カ α乃1αれ2α氾たQ乞（〝‡2），ぴ‡2））に．対して
‡：……：〒≡：プ：ご：乞∴．
P乞（〟；1），少‡1））に対して
l■ 頑1）＝∑紺′COSαゎ ′＝1 吋）＝写紺 プSin勒（∠■＝1，・・・ ，〝）＼〆≡〉＝写紗ブSinβ材（∠＝1，…，雛） 7 7 これらP￡，Qもを星座の申にプロットしたとき，2つの群が星座の中で最も よく判別できるような点（∽1，抑2，‥沌仇）を求める問題である。 換言すれば，ゑ次元超平面勘十抑2・＋…・＋以毎＝1上の部分平面ざた＝‡（紺1，甜2， …‘紺ゐ），：紺官≧0，￡＝レい・，ゐ）上の1つの点に対して1群，2群のゐ次のデータ （紗＋研）個が星座上にプロットすることができ，そのようなぶ烏の点の中で星 座グラフの2群が最もよく判別できるような点（仇，…，鋸叛）を捜すことで ある。 具体例で説明すれば，ある大学の入学試験ほ牒教科であり，ある高校からほ （紗十川）人受験し犯人の合格者があったとする。この（紗十研）人の在学中（高 校）の成績を用いて，上記の点（紺1，紺2，…，打た）を求めたとすれば，これら の数値から，どの教科が合格軋有効であるか，等が推察されるであろう。（ii）Faces method（H．Chernoff）
この方法は簡単に．云えば，多次元データを人間の顔に似せて配列すること に．よって作られる似顔の表情を通じて，2次元空間内紅表現しようというの である。 従ってデータの特徴ほ似顔の表情に．現れ，我々がその表情をみて，データ の特徴をつかむことになる。表情のデリケ仰・トな変化や特徴把撞に関して− は，我々個々の人生を通じて1さまざまな表情に．接してきており，その無意 識紅培われた経験が大いに役立つのである。早速その概略を述べてみよう。 まず実際のデータを顔を構成する変数（．方1，．翫，…．方18）に当てほめる場合に は各変数項目が，異なったレイン汐をとるので，次の様な基準化が必要であ る。 すなわちデータの最大，最小値を，基準化の最大，最小値へ変換する1次 変換を求めると，それは，・方り＝（giグー勒）・＋動 よ−＝1，…，18（変数の個数） ∂宅 ・ダニ1，l…紹（デー・タ数） ．焉・電メ である。ここに． 肱，〝わ：オ番目の変数項目 に．対応する生のデ 一夕の最大値，最 但し，実際にデータを用いる場合，規準化されたレイン汐が閉区間の場合， 少し不都合が起こ．りうるので少し広めの開区間が望ましい。 さて，具体的な顔の構成ほ①顔の輪郭⑧藤⑧口 ④目 ⑨ひとみ⑥眉の 6つの部分からなる。 右図が およその 骨格であ るので， 以下の説 明ほこ．の 図に基づ くことに しよう。 ♂ ① 顔の輪郭 戯の中心（原点0）と距離ゐ＊と．方軸との角度β＊（ラジアン）で決めら れる点Pとγ軸対称の点Plによって顔の上邦，下部に分ける。又，顔の
中心から上端，下端の距離をいずれもゐとし，それぞれの点をぴ，エとす る。上顔払邦雄′下顔部クエP′は長軸鶴，短軸∂宜（オ＝ぴ，エ）の比が異なる 楕円をあてはめる。 α髄／み祝＝∬4 （上顔部の楕円の比） α1／∂2＝∬6 （下顔部の楕円の比） が＝与（…1）・ガ（放顔の大きさの倍率） β＊＝（2・・方2・−・1） （ ゐ＝与（…3）・ガ ） 電算機のラインプリンタ一による幻ち出しの場合，横と縦の文字間隔が同 じでないので注意を用する。例えば，上部楕円と下部楕円がP，P′でうま く交わらないようなこ．とが起こる。こ．の辺りほ電算機マニアの腕のみせど ころと思し召せ。 ⑧ 路 線は原点0を中心としでγ軸に．上下ゐ，一方6の長さとする。 芳6のレインジほ（0，1）であるから，界の長さは（0，2ゐ）内に・おさ まることになっている。 蓬）1＿】 口は原点0から下Pmの位置に半径虎の円弧を描く P汎＝・−・ゐ（∬7・十（1・−・，γ7）．寛一8〉 屈＝ゐ／卜方8i ここ．で．方8＝0のとき適当に指定した長さの線分を措き．方8＞0なら上向 きの円弧（スマイル型）．方8＜0なら，下向きの円弧（アンダリ型）を描く ようにする。（注祁→0ならば忍→…となり半径の大きな円が想定され， ゆるやかなか−プの円弧に．なろう。モ直線は円の1部〝が理解される。） 特に忍が顔中におさまるときほAmニ点×胸とし，はみでるときほ」㌔ から楕円までの距離吼を求めてAm＝吼×．方9にする。 はみでるかどうかの判断ほ，日の終点の．γ座標と下顔部楕円のそれを比 較すればよい。しかし，現実には上の処置だけでほ，はみ出ない保障ほな い。
④ 日 日は適当な大きさの楕円をある角度傾けて描く，楕円の中心の位置ほ次 式で与えられる。 ye＝カ〈．れ0十（1鵬．方10）方6〉 ズ￠＝仲ち（1・十2．γ11）／4 （但し勒ほy￠⑦高さでの顔までの距離） （れ0や．方6のレイン汐の関係から目の中心ほ虜より下方にくるこ．とはない〝） 又，日の傾き♂￠，日の幅エβほ．ββ＝（2．れ2・−・1）方／5，エe＝．方14，．ガmin（ズβ，l糀・− ズe）左目ほ．γ座標はそのままでβe，ズeの符号を変え．る。 ⑤ ひとみ ひとみは目の楕円の中心からガ￠＝点e（2．方151−・1）だけ一方軸紅平行紅移動 した位置解とる。（この位置に．関してほ左右対称に．しないことが肝要，その 理由ほ読者におまかせします。）虎8＝エeレCOS2βe十伽2sin2β。（計算略） ⑥ 眉 眉ほ目の中心からyeだけあがったところで傾き鮎とする？ ここに yゎ＝2（れ6十0．3）エe・れ3 βゎ＝戯＋（2∬17L−1）‡
また眉の幅上場エゎ＝点8（響）で与えられ，枇yゎ＝紬エeの
場合や．方16がある範囲内にきたときなど眉が目を“cutぃするようだ。 以上で各部分の説明を終えますが，基準化された変数の（指定した）レイ ンジと顔の構成に．関する特性の対応を表1に．生理しておきましょう。範 囲 変 数 顔の構成に．関する特性 梅 園 変 数 顔の構成に関する特性
（0，D 旦L旦 ∬】。・→㌔ 目の位置 ＿ ∬1−ヰカ （0．5，2） ．が 顔の上半分のα／み 坦過重 ∬18 」型適旦些／∂ （0．5，2） ∬5 顔の下草分のα／∂ （0，1） ∬14−すエβ 目の幅の半分 （0，1） ∬6 鼻の長さ（0，1） ズさ−すカ OU（＝OL）の長さ ■ 餌＿ ．ガ12−す♂β 目の傾き
† （0，1） ズ15 ひとみの位置（0，1） （
一5，5）（0，1） ㌦→α彿†口の幅
r以上はChernoffのFacesmethodに．沿って説明したが，実際ほ変数の多さ
によっては耳や髪なども付加することが可能であろう。又，場合によっては変 数を折半して2粗の顔を描いて，それを1絶とみなすことも考えられる。変数 が18個以下の場合は，どれかの変数を固定して：（つまり定数を与えでおく）おけばよい。しかし，どの変数を固定するのがよいか，あるいは，どの変数を，
どの部分に移すとよいか等々は，多くは体験に基づく問題であろう。この手法の有用性は，利用目的によってこ差異があるのはもちろんであるが，デー・タの特
徴が表情によって捉え．られるばかりでなく，データをいくつかの群に分類する
場合や多変鼻データの系列の変化を指摘する場合など紅有効であろう0データ の微妙な変化も案外捉えることができるかも知れない。筆者も県下（香川県）の土地分類基本調査のデータを使って，この表現方法を利用した体験がある。
（変数の個数12，データ数約600）そして，視覚的分類は，統計的判別分析に＋
分耐えることを実感している0ただ多愚のデータ群を処理するに腰，こ・の方法 は能率的でないので，この辺は今後の研究課題であろう。電算機で措いた衷 情。（資料2）以上，データの表現についてグラフ化の観点から2つの方法を紹介数しまし
た。云うまでもなくグラフ化の効用ほデーー・タの特徴を視覚的に把握したり，伝
達したり，印象づけること紅あります。又，データ解析に先立って解析の方法
や方向に．ネライをつけるために・も利用できます。教育現場で発生するデータに
ていた＿！ことども紅遭遇するにちがいありません。
参 考 文 献 1．Wakimoto，K and Taguri，M（1978）
Conste11atwngraphicalmethods for representing multidimensionaldotaIAn
lvs七Stct．Moth Vol．302．Cbe【nOffu H（1973）
The use of faces to represent pointsin k・−dimevsionoIspace graphical1y．Jour
Amer Statist．Assoc Vol一．63
3い 妻鳥敏彦
メッシュデータの一つの表現とその活用への提案（香川県土地分類基本調査総括報告 審1977）
