連載講座111111111川1111111111111111111111111川111111111川111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111川111111川川111酬
証券投資技法の基礎と概要 (3)
一一ーポートフォリオ分析と株式投資分析の基礎(そのわ一一
石井吉文
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.
CAPM と APT 前回は株式投資理論の基礎として CAPM(
C
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Asset P
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c
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Mode) を取り上げた.それは，いわゆ る株式の各銘柄のもつリスクを市場全体のもつリスクで 表わされるものと，それでは表わすことのできない個々 銘柄が独自にもつ個別リスクによって線形的に描写する ものであった. Pt-r= ん (Pm-r)+ αi+ei Pt: 株式銘柄 z の収益率 Pm: マーケットの収益率 r 無リスク利子率 ん:銘柄 t のベータ値 的:銘柄 i のアルファー値 匂:銘柄 i の価格変動誤差項 米国では， 1970年代になると，株式投資におけるリス ク尺度として，それまで一般的であった収益率の分散に 代わって，このベータ値とその他誤差項で表わすこの理 論がとって代わるようになり，いわゆる「ベータ革命」 として多くの投資分析家の聞で取り上げられるようにな った.しかしながらその後，ほぼ時を同じくして，この 理論に対する疑問も提起されるようになった.それは主 に，多くの実証分析の結果，株式価格の変動を単にベー タだけで表わすことが困難であるといった結論が導き出 されたためである.また日本の株価市場を対象とした分 析においても，米国株式市場同様， CAPMの信頼性を 否定する結果が多くなされてきた. (注) CAPM に対する問題提起としてはまず米国で Fama-Macbeth(1973)
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Bl
ack
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Jensen-Scholes 等が，また日本の株式市場においては丸・蝋山( 1974) ，紺 谷( 1978) ，青山(1 979) ，榊原( 1983) 等がある. このように， CAPMの信頼性につ L 、ては実証分析か らは良い裏つけが得られず，むしろその問題点が多く指 いしい よしふみ制ニッセイ基礎研究所 干 100 千代田区有楽町 1-1-1 日比谷ビル
5
2
4
摘されるのみになっているのが現状である. そこで， CAPMが実証分析の立場からむしろ棄却さ れることとなったことにより，株価変動をより実証的に 説明することができる新たなモデルが考えられるように なった. i) その l つは CAPMに新たにマクロ変数を組み込 んだものである. れ -r=ai+ ん (Pm-r) +b
i10
1 +bWj2" ・+向P
t
:株式銘柄 z の収益率 r: 無リスク利子率 ん:銘柄 i のベータ値 ai: 銘柄 i のアルファー値 bij: 銘柄 i の価格変動率の共通因子 j の変動率に対 する感応度 (btj=cov( 豹， Oj)/var(Oj)) Oj: 共通因子 j の変動率(確率変数) 町:銘柄 i の価格変動誤差項 このアプローチは， CAPM におけるベータの説明力 を有効なものとして認識しつつ，むしろ CAPM で問題 点となっている実証分析における説明力不足を補おうと するものである.当然のことながら，このモデルによっ て実証面での適応性は増すものとなった.しかしながら このモデルにおいても，市場の期待収益率の計測等の面 で難点、があるといった， CAPMが本来的にかかえる問 題点、がなんら解決されるものではなかった. ii) ところで，もう 1 つのアプローチは，市場収益率 とは無関係に，複数の変数(因子)によって銘柄ごとの 収主主率を記述しようとするものである. Pi=ai+bitðt+bi202+bi3ð3 ・ "+εtP
i
:株式銘柄 z の収益率 的:定数項 bij : 銘柄 z の価格変動率の共通因子 j の変動率に対 する感応度 内:共通因子 j の変動率(確率変数) 向:銘柄 i の価格変動誤差項このアプローチは. CAPM に比較して実 証面での信頼性をもつものであり.
CAPM
における問題点は存在しない.そこで，最近 多くの分析家によってこの方法を用いた株式 収益率モデルの研究がなされるようになっ た.このアプローチが APT(
A
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Theory) の基礎となるものであ る.2
.
A阿‘の基礎
なお，ここであらためて APT の概要を説 明しておくこととしたい.(
1
)
77 クターモデル
(株式)イメ)
4メ}~
イメ}~
行メ}~
図 1 株式の種々の銘柄の価格変動をみると，それらはまっ ai,
ai: 定数項 (因子) b1 {'2レ4\
b3 b,
i 因子モデル たく独立なものではなく，そこになんらかの，株価変動 EF
: 共通因子の平均変動率 を引き起こす共通した要素が含まれている.たとえばイ bi
: 銘柄 i の価梼変動率の共通因子の変動率に対する ンブレ期待に対して，個々銘柄がそれぞれなんらかの影 感応度 響を受けるような場合，そのインフレ期待は個々銘柄の 0: 共通因子の変動率(確率変数) 株価変動の共通因子とみなされる.なおその共通因子か じ誤差項 ら受ける影響度は銘柄によってさまざまであろう. これらを視覚的に示すと図 1 のように表わされる. • 1 因子(ファクター)モデル なお，図の左側に並んだ 4 つの分布は 4 つの株式の その共通因子(確率変数)として l つだけを取り上げ 収益率分布を表わしたものである.また右側に表わした たものが 1 因子(シングルプアクター)モデルである. ものは 4 つの株式それぞれに共通する因子の変動率分布 なお，その因子として市場全体の変動を取り上げたもの である.この図では共通因子の確率変動に対して，各株 が CAPMであった.一般に 1 因子モデルは次のように 式がそれぞれ係数 b"b
2 • b.. んに比例した変動をする 記述される. ことを表わしている. れ=向 +bt (o-EF)
+6
・多因子(ファ クター)モデル =at+ ん δ+6 各銘柄における共通因子を市場全体の変動(変数)で Pi: 株式銘柄 i の収益率 はなく，経済諸要素の変動(変数)で表わされるような (株式)イメ}~
イ\}~
イメ}~
イメ)
1988 年 10 月号 (因子) 図 2 2 因子モデル何\
P12(イ\
共通因子でみるならば，その因子は 単に l つだけでなく複数のものが考 えられる.よって以上の議論を数式 で表わすと銘柄 i の収益率《は Pt= αt+btlðl+ ・・ +btKOK +εi' ..女 (i=1
,
2
,
3
,… ,
n) となる. 上式中 ， aiは証券 i の期待収益率 である .oKI土株式各銘柄の k 番目の 共通因子(確率変数)であり，その 期待値はゼロである.さらに bikは h番目の共通因子九の変動に対する 銘柄z の価格感応度 (bik=COV( 亨t ， (37)5
2
5
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.ゐ )/var( ゐ))を表わす.最後の εもは共通変動要素に無 関係な株式 i に固有の価格変動誤差項を表わす. 以上を視覚的に示すと，たとえば図 2 のように表わさ れる. なお，ここで表わした図は，共通因子を 2 っとおいて， 先の 1 因子モデルの場合と同様に，各銘柄の収益分布と それらの共通因子の変動分布との関係を視覚的に示した ものである. APT は株価の変動を以上の多因子モデルで、表わすも のであり，また， CAPM で用いられるような市場全体 の価格変動は考慮しない(市場全体の価格変動も個々の 銘柄と同様に，これら複数の共通因子によって表現され るべきものであると L 、う立場である).なお，ここで記述 される複数の変動因子(確率変数)は，市場にある各銘 柄に共通するものであり，またそれぞれの変動は互いに 独立であることを要する.なぜなら，たとえば選択され た 2 つの変動因子の聞になんらかの相関があるならば， 一方は他方の因子によって説明がなされるわけであるか ら，株式の価格変動を説明するにさいし，そのどちらか 一方の変数は必要としなし、からである. つまり，因子ぬとむにおいてそれらが独立でなけれ ば，一方の因子 Oj は Oj=aOi 十 boo
a
,
b: 定数 00: E (0け (0)=0 となる変動因子.というように，他 方の因子んとそれと直角の座標軸をもっ因子ゐによっ て表わされるからである. また，もしここで先の穴式の誤差項 Stを無視て-きるの であれば，穴式より，株式銘柄 i の価格変動は，無リス クの期待収益率と k 個のリスクのベクトルム ， 02,
03,
…，むとの k+
1 個の項に数値を代入することによって 決定されることとなる. 以上， APT の概要を簡単に説明したわけで、あるが， この APT によって株価変動を説明する理論モデんを実 際に構築する場合，まず，その説明変動因子の数，およ びそれらが互いに独立であるかどうかの検証を必要とす る.一般には株式の変動因子としてはその数は実証的に， 4 から 7 個とされているわけであるが，それらは分析の 内容(銘柄サンプリング，あるいは計測期間等)によっ て異なる.しかし，それらは APT が実証分析によって なされるものであることからするなら，むしろ当然のこ ととされよう.また，このことは， APT においても未 だ完全に各株式の価格変動を記述できるものではないこ5
2
6
とを示すものである.(
2
)
A P
T とその仮定条件 以上は，個別銘柄についての議論をしてきたわけであ るが，ここでそれらを組み合せて構成されるポートフォ リオの収益率について考えていきたい.なお銘柄 i の投 資金額を的とするポートフォリオの収益率POはXo ・ Po= .L; Xt ・ Pi=
(.L; xí 的)+
(
.
L
;
.
x
b)
01+ …+
(.L;.xíbíkl ゐ+.
L
;
.
x
ﾔi =xo ・ ao+(xo ・ bt) ム+… +(xo ・ bk)Ok+XO ・ εxo: ポートプォリオの投資金額 Xi: 株式銘柄 i の投資金額 (Xo=
.
L
;
X;) PO :ポートフォリオの収益率 ぁ:株式銘柄 i の収益率 ao,
ai: 定数項 bíj : 銘柄 i の価格変動率の共通因子 j の変動率に 対する感応度 (bij=cov( 仇， Oj)/var(Oj)) bj : ポートフォリオの変動率の共通因子 j の変動 率に対する感応度 Oj: 共通因子 j の変動率 向:銘柄 z の価格変動誤差項 なお，ここで議論の単純化のため，各銘柄の誤差項 Si の分数が等しく σ2で表わされ，また各銘柄の投資額も等 しい (Xi=xO/n) とするなら， このポートフォリオの 誤差項の分散はVar (XO ・ ε)=Var (.L; Xt 向 )=Var (XO/n ・ .L; S;) =x02/n ・ Var(St) =X02 ・ σ2/n
と表わされ，銘柄数が多いほどこの値はゼロに近づく. よってポートフォリオの収益率は
Xo ・ Po=(Xo ・ ao)+ (xO ・ bt) O t+… +(xo ・ bkl Ok となる. さらにここでポートフォリオの収益の期待値を求める ならば ， E( ゐ)=0 (i=1
,
2,
3 ， ・)であるから， E(xo・Po)=xo'ao と表わされる. 次に，ポートフォリオの投資金額の合計が .L; Xt=Xo=o
(もともと投資資金がなく，すべて借入れと空売りに よっているとする)である場合を考えてみよう. ここでもし ， Xo ・ Po> 0 であるとするなら，資金をも たずに収益をあげることができるということであるか ら，どの投資家もこの組合せによるポートフォリオ(空 売りを含む)を考えるであろう.しかしながら市場全体で見た場合，買い手が存在するためには売り手の存在が 必要である.市場参加者のすべてが買い手あるいは売り 手の一方に偏るような場合，市場は明らかに機能しない. そのため，こういったポートフォリオを組もうとする投 資家の収益はゼロに収束しよう. このように APT は，市場が均衡状態にあるときの収 益率とリスクの関係(各銘柄，および，ポートフォリオ の収益率は確率変数(因子)の 1 次式で表わされる)を 表わすものであることを断っておかなければならない. つまり APT は，証券の収益率がファクターモデルに従 うときの市場均衡を表わすモデんである. APT は収益 率がファクターモデルにしたがって生じることに加え て，かつファクターに対する感応度が証券ごとに充分異 なるものであることを仮定ずるものである. (3) 実証分析の方法 APT のファクターモデルは実証分析のうえで成り立 つものであることはすでに述べたわけであるが，それは ロールーロス以降おおむね以下のプロセスにしたがって 作成されている. i) 株式投資収益率測定を 30 グループずつに分けて行 なう. ii) 最尤推定法にもとづく株式収益率の分散・共分散 行列の因子分解 iii)X2検定による最良因子数の決定 (注) 因子分析の基本方程式 ファクターモデル pt=at+btlo，+ ・・・ +btk
Ok+Si
(i=I ， 2 ， 3，"'， n) をP-A=Bo+s
p
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2 2 1 2 LU 足。 1 1 1 2 'o ，。 Ill--till--It--、、 一一B
、、 1htt ， BEE'EEEE ，，，， ft' 1 2 ・ OS0 ・ ，， tees-a ，E ・E・ EEEEE ・E・ --B ・‘ .1 町、 ι、 一一 。。 で表わすならば ， Bo+ ε の分散・共分散行列 Z は 1988 年 10 月号L
:
= E
{(B s
)
(B s
)
'
}
= E
{
(
B
o
o
'
B')+E (so'B')+E (Bos')+E
(s s') =B1B'+0+0+ ゆ =BB'+ ゆ となる.なおここで00'=1
とおいた.以上が因子分析の基本方程式である.なお， 実際の解法については参考文献にゆずりたい. 参ラ考文献• Rol
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皆様ご案内のとおり， 1985 年から太平洋地区の OR ら， APORS 加盟各国から Boardo
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学会連合 (APORS=Association
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Asian-Pacific
Advisers へ参加することが求められており，日本 OROperational Research
Societies) が IFORS の下部 学会からは若山氏のほかに森村英典会長，茨木俊秀教授 機関として発足し，日本の OR 学会がその幹事役を努め (京都大学)が参加されています.これからも同誌を一層 ることとなり，若山邦紘教授(法政大学)が事務局長に もり立ててゆくため，論文の投稿・雑誌の購読について就任されています. ご協力をお願L 、 L 、たします.
