操作変数法

操作変数法

誤差項と説明変数の相関

• 説明変数の誤差

• 説明変数から省かれた変数の影響誤差項

• 説明変数が内生変数であるとき

– 連立方程式モデル

---• 誤差項と説明変数の間に相関がある場合には，

係数の推定値はバイアスを持つ

説明変数の誤差

i i i

x

u

y









*



 

v

u

v

i

j

v

x

x

j i i i i i

,

all

for

0

)

,

cov(

,

0

E

*









真のモデル

説明変数x

_i

*は観察できない：そのかわりx

_i

が観察できる









i i i i i i i i i

w

x

v

u

x

u

v

x

y





































誤差項w

_i

の期待値は0，分散は一定。しかし，w

_i

とx

_i

には相

関がある（次ページ参照）

説明変数の誤差(2)

• 説明変数の誤差誤差項と説明変数の相関

OLS推定量はバイアスがある

• 最少二乗推定量

• 特に単回帰の場合

w

X

X

X

y

X

X

X

b



(

'

)

1

'







(

'

)

1

'































































2 2 * 2 * 2 2 * 2 * *

)

var(

)

,

cov(

)

var(

)

,

cov(

plim

v x x v x v

v

x

v

u

v

x

x

w

x

b

説明変数の誤差(3)

• 例）恒常所得仮説

 

0

,

cov



,



cov



,



0

E















i T i T i P i T i T i P i i i P i i

u

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Y

u

kY

C

Y：観察される所得， Y

P

_{: 恒常所得， Y}

T

：変動所得

消費は観察不可能な恒常所得に比例する（kはほぼ1に近い）

消費関数を推計すると，消費性向はケインズ型消費関数の消費性向

（0.6～0.7)と推定される

真のモデル

しかし Y

P

は観察不可能。観察可能な変数は Y

連立方程式モデル

• 例）Keynes型マクロモデル

G

I

C

Y

u

Y

C



















I

G



u

Y



















1

1

1

1

上のモデルからYの均衡値を求めると Yが上のようにきまるとき，ケインズ型消費関数の説明変数は内生変数 Yとuの相関は0ではないcov(Y,u)=2_{/(1-) ≠0} 回帰分析の前提が満たされないOLSの推定はバイアスを持つ

連立方程式 (2)

社会資本の生産性

Y:県民所得，L：労働力，K

P

_{:民間資本，K}

G

_{:社会資本}

社会資本の生産性に関する多くの研究では，低い（場合によっ

てはマイナスの）



₃

の値が報告されている

K

G

は政治的に決定されているかもしれない（過疎地や低所得

地域に手厚い再分配）

_{ K}

G

は内生変数

i i G i P i i i

L

K

K

Z

u

Y









ln





ln





ln







ln

_{1 2 3} i i i G i

Y

POP

v

K





ln



ln







ln



₀



₁



₂

omitted variables

説明変数から省かれた変数の存在

例）賃金方程式

• 真のモデル

ln wage = a + b* educ + c* ability + u

educ: 教育年数，ability :能力（ただし観察不可能）

• このとき

ln wage = a + b* educ + v

を推定すれば，誤差項vにはabilityの影響が含まれる

• 一般に高い能力高学歴が成立

• abilityとeducには相関 vとeducには相関

• 賃金方程式の係数bはバイアスを持つ（教育の影響を過

大に評価）

操作変数法

Instrumental Variable Method

0

)

,

cov(









u

x

u

x

y





0

)

,

cov(

0

)

,

cov(





x

z

u

z

操作変数zを考える。zは次の性質を満たす変数である

























)

,

cov(

)

,

cov(

)

,

cov(

)

,

cov(

)

,

cov(

)

,

cov(

ˆ

x

z

u

z

x

z

u

x

z

x

z

y

z

説明変数と誤差項に相関がある状 況を考える

IV法の推定

操作変数zは次の性質を満たす 誤差項と相関がない 説明変数xと相関がある

操作変数法(2)

• 賃金方程式の場合

ln wage = a + b* educ + u

誤差項uは能力を表す変数が反映

• 操作変数として望ましい性質

(a) u（能力等）と無相関

(b) educ と相関

• どの変数が望ましいかはわからない。cov(u,z)≠0をテストする

ことはできない。

• 操作変数の候補

– 誕生日

(b)が満たされない

– 父親・母親の学歴 (a)が満たされない

– 兄弟の数

(a) も (b)も満たされる?

– 兄弟の数educと相関あり（マイナスの相関），能力と無相関

操作変数法(3)

u

X

y







0

1

plim

1

plim















_















_

u

Z

n

O

X

Z

n

重回帰の場合

 

 



X

X



X

y



X

X



X

u

b

u

Z

X

Z

y

Z

X

Z

b

_IV





























    1 1 OLS 1 1





操作変数の満たすべき条件 操作変数法とOLSによる推定量の比較 誤差項と説明変数に相関がある場合，操作変数法による推定量はバイアスを持 たない（標本数が大きいとき；もちろん，誤差項と相関を持たない操作変数が選べ ればの話）。一方，OLSの推定量はバイアスを持つ。

2段階最小二乗法

Two Stage Least Square Method

𝑦

₁

= 𝛼 + 𝛽

₁

𝑦

₂

+ 𝛽

₂

𝑥 + 𝑢

上のモデルでy

₂

が内生変数である場合，y

₂

をそのまま使うので

はなく，y

₂

を外生変数（操作変数）に回帰させ，その予測値を説

明変数として用い，回帰分析を行う

𝑦

₁

= 𝛼 + 𝛽

₁

ොy

₂

+ 𝛽

₂

𝑥 + 𝑢

ොy

₂

：予測値

• 社会資本の生産性の計測の例

– 社会資本ストックは政治的に決定される内生変数

– 社会資本ストックを決める政治的ルールを計測し（交付税，補助金，

人口，面積，所得等），その予測値を説明変数として用いる

• 操作変数法の一種

– 多くの統計ソフトでは，操作変数を指定すれば， ොy₂を自動的に計算して TSLSの結果を報告してくれる

操作変数法による推定 (mroz.raw)

Quick /Estimate Equation で Estimation settingsの MethodでTSLS を選択すると， Instrument list を記入するダイアローグ が表れる。 ここに操作変数を記入 操作変数のリストには 自動的に定数項が含ま れる（入れない場合には， Inclde a constantの チェックをはずす）

OLSの結果

Dependent Variable: LWAGE Method: Least Squares

Date: 05/08/17 Time: 22:43 Sample (adjusted): 1 428

Included observations: 428 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.185197 0.185226 -0.999844 0.3180 EDUC 0.108649 0.014400 7.545126 0.0000 R-squared 0.117883 Mean dependent var 1.190173 Adjusted R-squared 0.115812 S.D. dependent var 0.723198 S.E. of regression 0.680032 Akaike info criterion 2.071309 Sum squared resid 197.0010 Schwarz criterion 2.090276 Log likelihood -441.2600 Hannan-Quinn criter. 2.078800 F-statistic 56.92892 Durbin-Watson stat 1.984707 Prob(F-statistic) 0.000000 既婚女性の教育の収益率の分析 誤差項と教育年数EDUCには相関がある かもしれない（能力の高い人ほど高学歴） この場合，EDUCの係数は能力の効果も 含んで計測される

Dependent Variable: EDUC Method: Least Squares

Date: 05/08/17 Time: 22:45 Sample: 1 753

Included observations: 753

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 9.799013 0.198537 49.35603 0.0000 FATHEDUC 0.282428 0.020888 13.52079 0.0000 R-squared 0.195769 Mean dependent var 12.28685 Adjusted R-squared 0.194698 S.D. dependent var 2.280246 S.E. of regression 2.046261 Akaike info criterion 4.272558 Sum squared resid 3144.574 Schwarz criterion 4.284839 Log likelihood -1606.618 Hannan-Quinn criter. 4.277289 F-statistic 182.8116 Durbin-Watson stat 1.943639 Prob(F-statistic) 0.000000

操作変数として，父親の教育年数 FATHEDUCを選択

Dependent Variable: LWAGE

Method: Two-Stage Least Squares Date: 05/08/17 Time: 22:46

Sample (adjusted): 1 428

Included observations: 428 after adjustments Instrument specification: FATHEDUC

Constant added to instrument list

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.441104 0.446102 0.988796 0.3233 EDUC 0.059173 0.035142 1.683850 0.0929

R-squared 0.093438 Mean dependent var 1.190173 Adjusted R-squared 0.091310 S.D. dependent var 0.723198 S.E. of regression 0.689390 Sum squared resid 202.4601 F-statistic 2.835350 Durbin-Watson stat 1.968194 Prob(F-statistic) 0.092943 Second-Stage SSR 221.9799 J-statistic 6.04E-42 Instrument rank 2

操作変数法の結果

教育の収益率はOLSより低めに推

計された

Rでの操作変数法

• ivreg( )を用いる（パッケージAERが必要）

library(“AER”)でロード

ivreg(y~x1+x2+x3 | z1 + x2 +x3)

x1に内生性，操作変数としてz1,x2,x3を選んだ場合

• tsls( )を用いる（パッケージsemが必要）

パッケージsemをインストール

library(“sem”)でパッケージsemをロード

tsls(y~x1+x2+x3, ~z1+ x2 +x3)

tsls( モデル式 , 操作変数のリスト）

操作変数のリストは ~ z1 + x2 + x3 のように書く

Rでのmissing value の扱い

データセットの中 に欠損値が含ま れている場合 データのimport の画面で， n.a.stringsの欄 に欠損値の数値 （文字列）を指定 する 左図は欠損値 が”.”の場合 欠損値としてよく 使われるのは -999 のようなありえな い数値

Rでの欠損値

後から欠損値を指定する場合

データフレームmroz中の変数x

• 欠損値が-999の場合

– mroz$x[mroz$x == -999] <- NA

• mroz$xはベクトル:その要素が-999に等しいものにNA（欠損値：

Not Available)を代入するというコマンド

– いきなり置き換えるのが危険な場合は別の変数にxを代入してから行

う

• mroz$y <- mroz$x としてからmroz$yについて上記の代入

• 欠損値が . のような文字列の場合

– 変数xは文字列のベクトルとして読み込まれる

– mroz$x[mroz$x ==“.”] <- NA として （文字列は” “ で囲む）

– mroz$x <- as.numeric(mroz$x) で数値データに変換

注意

• 操作変数の選択基準

– 説明変数と相関

• これはデータからチェックできる）

– 誤差項と無相関

• データからチェックできない

• そう考えるのがもっともらしい

• 操作変数の数 推定する方程式の説明変数と（少

なくとも）同じ数を指定

• wage2.raw のデータで，educ を被説明変数，sibs

を説明変数にした回帰分析を行って，sibsとeducに

相関があることを確かめよ。

Card：教育の収益率の測定

• 賃金方程式の推計

– 説明変数：教育年数，経験年数，人種，地域

– 教育年数は賃金方程式の誤差項と相関がある?

• Omitted variable の問題 （能力: 能力が高い高学歴）

• 教育年数は親の所得，家庭環境によって決まる内生変数?

• Card(1995) は，教育年数(educ)の操作変数として，

17歳時に大学の近くに住んでいたというダミー変数

(nearc4)を選択

– nearc4 は教育年数と相関があった（大学への進学が容

易）

– nearc4 は本人の能力とは無関係だと考えられる

Card：教育の収益率の測定 (2)

• card.rawのデータを用い，次の賃金方程式をOLS

で推計

– 被説明変数

ln(wage)

– 説明変数

教育年数（educ），経験(exper), expersq, 黒人ダミー，

地域ダミー（smsa, south,..)

• educ を nearc4 で回帰し，相関があることを確か

める

• 操作変数法で賃金方程式を推計し，OLSの結果と

比較する

– 操作変数 経験(exper), expersq, 黒人ダミー，地域ダ

ミー（smsa, south,..)，nearc4