PowerPoint プレゼンテーション

熱流体工学

5章 気液二相流

千葉大学工学部機械工学科 担当者 武居昌宏 参考図書 熱流体工学の基礎 井口学, 武居昌宏, 松井剛一 朝倉書店, 2008 ISBN 4254231210

液 気 固 固気 気液 固液 固気液 ボイラー 沸騰水型原子炉 復水器・凝縮器 スラリー・高炉・流動 床 医薬品・化粧品 粉塵・煤塵除去 微粉炭・石炭ガス化 メタンハイドレート CO₂ハイドレート ウォータジェット 宇宙・星間物質 プラズマ加工 液晶スペーサ 化学プラント LNG 発電・コージェネ 化学・エネルギー 航空宇宙・加工 エネルギー・環境 医薬・化粧品・電子部品 金属加工 製鉄・化学 バイオリアクター人工臓器 バイオ・農業 エアコン・加湿機・掃除機 氷蓄熱・エコアイス 電力負荷平準化 家電・空調・冷凍機 5.1 混相流の種類と特性

ヒートポンプ

エコキュート https://www.mitsubishielectric.co.jp/ home/diahot/ecocute/product/p_seri es/ http://www.hptcj.or.jp/study/tabid/102/Default.aspx エアコン、冷蔵庫、 圧縮機:圧力↑温度↑pv=RT 冷媒 0℃ -10℃ 15℃ 25℃ 冷気体 -10℃ 0℃ 20℃ 60℃ 熱気体 熱交換器 凝縮熱を放熱 熱液体 冷気液滴二相流 蒸発熱を放熱 膨張弁:圧力↓温度↓pv=RT 高温高圧の冷媒液体をオリフィスから霧状噴射 弁出口温度を検知しオリフィスの大きさを調節 https://ja.wikipedia.org/wiki/ http://panasonic.co.jp/ism/heat_pump/heatpump03.html#scroll

ボイラ

https://www.khi.co.jp/corp/kte/product/genri_boi_hainetsu.html https://ja.wikipedia.org/wiki/ 水管ボイラ:水管の伝熱部 貫流ボイラ:水を循環させない 循環ボイラ:循環ポンプや水温度の比重 差により、水を循環させるボイラ

図5.4 内壁に液体が存在しない 液滴も存在しない 局所サブクール沸騰が発生 さらに下流では飽和状態の核沸騰が 発生小気泡を含む気液二相流 全体が沸騰状態であるバルク 沸騰となり気泡の合体が進み 大気泡化 この間に管壁を蒸気（泡）が 覆う状態(膜沸騰）。 管壁に液膜がなくなり、蒸気 （液滴）流れ（噴霧流）に発展 過熱管路内における気液二相流の発達

IGCC(石炭ガス化複合発電)

http://www.joban-power.co.jp/nakoso_power_plant/igcc/ https://ja.wikipedia.org/wiki/

Channel box

Fuel rod Bubbly flow

Fig. Fuel rodの周りの気泡

Control rod cluster

Upper nozzle Fuel rod

Control rod guide pipe Fuel rod

Lower nozzle

http://www.fepc.or.jp/enterprise/hatsuden/nuclear/

水平管路の流動様式 気泡流 プラグ流 → 流れ方向 → 5.2 管内気液二相流の流動様式 気泡流 _{スラグ流 フロス流} 環状流 → 流れ方向 → 垂直管路の流動様式 環状流 層状流 https://www.pakutaso.com/20 130421114post-2664.html http://www.aquaart.co.j p/index.html アクア・アート

水平管内流における流動様式線図 5.2.4 流動様式

摺動流 堆積流 https://www.toa-const.co.jp/techno/civileng/recycling/g07/ 均質流 砂丘流 (Dune) プラグ流 閉塞 固液、気液二相流の流動様式(水平管路)

5.2.1 沸騰・凝縮現象と気液二相流の発生 図5.3 沸騰による気泡の発生 (a)プール沸騰 (b)サブクール沸騰 (c)飽和沸騰 核沸騰 膜沸騰 熱 _熱 熱 _熱 熱 熱

●相変化を伴う伝熱 伝熱面境界層のかく乱⇒熱伝達率の増加 ●プール沸騰 液体をためた容器内の沸騰 自然対流によって流れが生じる ●強制対流沸騰 対流などの強制的な流れが存在する沸騰 ●サブクール沸騰 飽和温度より低い液体（サブクール状態） 局所的に飽和状態となり管壁から小気泡が発生 離脱しても周りの液体が飽和温度より低いため消滅 ●飽和沸騰 沸騰する液体温度が飽和温度に達している 周囲液体が飽和状態になると全体が沸騰状態 ●気泡流の運動力学 気泡: 浮力、抗力、後流による静圧、重力などにより運動 気泡はジグザグ運動、らせん運動をする 周囲液体: 気泡からのせん断力、温度差(マランゴニ力)など により対流(Convection)が生じる

流束(Flux)の例

流れ 流束 ×[s-1_] (Flux) 流束密度 ×[m-2_s-1_] (Flux density) 運動量 [kg・m・s-1] 運動量流束[N] =力 運動量流束密度[Pa] =圧力 質量[kg] 質量流量 [kg・s-1_] 質量流束密度 [kg・m-2・s-1_] 体積[m3_] 体積流量 [m3・s-1_] 速度分布[m・s-1_] エネルギー[J] エネルギー流束 [J/s]=[W] エネルギー流束密度 [J/(s・m2_)]=[W・m-2_] 熱[J] 熱流束[W] 熱流束密度[W・m-2_] 電荷[C] 電流[A] 電流密度[A・m-2_]

熱伝導(heat conduction)と熱伝達(heat transfer)

熱の仕事当量⇒単位時間当たりの仕事 [J/s]=[W] ●熱伝導⇒温度を均一化する方向[m]に熱エネルギーが移動する現象 フーリエの式

q







k



T

𝑞:熱流束密度 [W/m2]= [J/(s・m2_)] 単位面積，単位時間当たりの熱移動量 k:熱伝導率 [W/(m・K)]

)

(

T

_p

T

_f

h

q







h:熱伝達率 [W/(m2K)] ●熱伝達⇒固体表面[m2_{]と接触流体の間の熱移動} ニュートンの式 Tは同じ物質(連続 体)なので勾配 Tは違う物質なの で差 p T f T :粒子の表面温度[K] :流体の表面温度[K] x x=0 _x=1 連続体 固体粒子 流体

プラントルPr数

●熱伝導方程式 T c k t T f f 2      T a t T ₂     ρ_f:流体密度[kg/m3_{], 𝑐} 𝑓:流体の定圧比熱[J/kg・K] 𝑘:熱伝導率[W/(m・K)] = 熱量の拡散 :温度拡散率(熱拡散率) [m2/s] = 温度の拡散 ●流体運動方程式 u  2_u   v t k c k vc c k v a v p p p







    / Pr 𝜇:粘度[Pa・s] = 力(運動量)の拡散 : 動粘度[m2/s] = 速度の拡散 ●プラントル数:温度拡散率に対する速度拡散率の比 :体積あたり1K温度上げるのに必要なエネルギ [J/m3_・K] f f c  熱量[J]拡散⇒温度勾配があると熱量_{が拡散(フーリエ法則)⇒熱伝導率k} 力[N]拡散⇒速度勾配があると力_{が拡散(粘性法則)⇒粘度μ} 温度[T]拡散⇒温度変化を示す⇒温度拡散率a 速度[m/s]拡散⇒速度変化を示す⇒動粘度ν ●4つの物理量の拡散 f fc k a      

熱伝導率・粘度と温度拡散率・動粘度

水位(温度T)は次の関数 ①n水槽間穴数(熱伝導率k) ②L奥行き(密度ρ_f×比熱c_f) ρ大の流体(ボーリング球)は、 τ_mに よるa_pは小さい⇒減速しづらい⇒速 度が拡散 同体積の密度ρ大とρ小の球を同 じ初速度で転がす。球にかかる 抗力𝐹_{𝐷は同じ⇒しかし密度ρ大} 球は減速しずらい。⇒なぜか? D p F a  𝜏_𝑚＝− μ𝑑𝑢 𝑑𝑦 粘度𝜇 密度ρ_f 速度 u f k T 熱流束密度 力の移動量(運動量流束密度) q 水槽間穴数n http://camellia.thyme.jp/files/html/others/ThermalDiffusivity20131127.html 水位(温度T)変化をn/L (温度拡 散率α=k/(ρ_fc_f))で表すと都合が よい。 ●なぜボーリング球は重いのか? F_D F_D ρ大 u ρ小 u F_Dを粘性応力 τ_mと考えれば 球の減速加速度a_pは、 ρ大の球はa_pが小さい⇒減速しづらい τ_m τ_m

気体 体積V[m3_]

_、

_{管断面積A[m}2_]

_、

_{流体密度ρ[kg/m}3_]、 体積流量Q[m3_/s]

_、

_{質量流量 [kg/s] 、流速（相速度）u、} 比エンタルピh [J/kg] 添字G:気体（相） 添字L:液体（相）

m



図5.6 ボイド率と流動形態 a 混合の割合



_G G _L



G G V V V V V   



(5-1) L G

V

V

V





(a)分離流 (b)分散流 5.2.3 重要なパラメ－タの定義と関係 ●ボイド率α_G[-]: 気液混合体積Vに占 める気相の体積V_G ●管路内流れのボイド率α_G: 管路断面積Aに占める 気相の断面積A_G L G

A

A

A







_G G _L



G G

A

A

A

A

A









●ホ－ルドアップα_L[-]: α_L = 1 - α_G [-] :液相の占める体積割合 α_G + α_L =1、 0 < α_G, α_L < 1 (5-3)

●クオリティx:気液混相流の質量流量に対する気相質量流 量

m



_G 割合

)

(

_{G G G L L L} G G G L G G G

A

u

A

u

A

u

m

m

m

m

m

x



























))

1

(

(

_{G G G L L G} G G G

u

u

u



















[-] (5-5) ●気液二相流全体の比エンタルピー (単位質量あたりのエンタルピ) :h [J/kg] 気相の比エンタルピー:hG、液体の比エンタルピー:hL h=eU+pv [J/kg], eU :内部比エネルギ[J/kg], v:比体積[m3/kg] L L G G

m

h

m

h

m

h











_h

_x

_h

₍

₁

_x

₎

m

m

h

m

h

h



G G



L L



_G



_L









L G L

h

h

h

h

x







[-] [J/kg][kg/s]=[J/s] 単位を確認すると z x y u_G u_L A_L AG G m L m



(

)



1

1

)

(















_e L G L LG L e

x

h

h

h

x

　，　

　　













●熱平衡クオリティx_e : 熱力学的平衡の系でのクオリティ (5-6) v:比体積[m3/kg], ρ:密度 [kg/m3] h:二相流のエンタルピ[J/kg]、h_L:飽和液相のエンタルピ[J/kg]、 h_LG = hG – hL 気化の潜熱[J/kg] ●気体と液体が熱平衡状態 クォリティx と熱平衡クオリティx_e は一致 ●熱平衡状態にないとき 両者は一致しない 熱的に非平衡のとき気泡が発生 ●クォリティは0（液体単相流）と1（気体単相流）の間の値 熱平衡クオリティーは負の値（サブクール液）や 1以上のクォリティ（過熱蒸気）も定義できる h=eU+pvを代入してeU =一定とすると、 x_eが比体積vで書ける

均質流のクオリティxは式(5-5)より 定常の均質流では、 x  const [-] (5-9) [-] (5-7)

))

1

(

(

_{G G L G} G G

x



















均質流:気液が一様に混合して気相速度 と液相速度が等しい流れ ●均質流のクオリティx

))

1

(

(

_{G G G L L G} G G G

u

u

u

x



















[-] (5-5) u_G = u_L z x y u_G u_L A_L AG G m L m ●すべり比（S） : 液相速度に対する気相速度の比 L G u u S  _{[-] (5-10)} 均質流では、 (5-11) ●相対速度u_r:液相速度に対する気相速度との差 [m/s] (5-12) 1  S L G r

u

u

u





d 各物理量と関係 (1) ボイド率－クオリティ式 式（5-10）より、



G _G



L G

S

x

x















1

1

[-] (5.13)

))

1

(

(

))

1

(

(

_{G G L G} G G G L L G L G G L G

S

S

u

S

u

S

u

x





































S

u

u

_G



_L これを、クオリティの式（5-5）に代入して変形すると、 G G G L G G G L G G

S

S

S

x





















(

1

)

1

)

1

(

1

_





_

_



G G G L

S

x









(

1

)

1

1







z x y u_G u_L A_L AG G m L m

(2) 相速度u 気相速度u_G 液相速度u_L [m/s] (5.14) (3) 体積流束密度(見かけ速度) j u A A A u A A u A u A Q Q j j j  _G  _L  G  L  G G  L L  ( G  L)  [m/s] (5.15) 全体積流束密度: j j = j_G + j_{L [m/s] (5.16)} ●均質流のjとα_G (5.17) G G G A Q u  L L L A Q u 



_G



L L L u A Q j   1



G G G G u A Q j  





 

 



j j A Q A Q A Q Q Q Q V V V _G L G G L G G L G G G        / / /



体積流量:Q[m3_/s] z x y u_G u_L A_L AG G m L m A u_G = u_L = uとおくと、

(4) 断面平均量 ボイド率や相速度には管路横断面上に分布がある ボイド率で重みをかけて、断面平均量として扱う η:管断面積A上の局所変数(例えば温度、濃度、速度など) ＜＞:断面平均を表す記号 ー:時間平均を表す記号 ηの断面平均量は





A

dA

A





1

(5.18) 局所ボイド率α_Gで重みをかけた断面平均量、 G G A G A G G dA A dA A         





1 1 (5.19) (5.18) と(5.19)は同じであるとは限らない!! ηが速度uのとき uG1 α_G1 u_G2 α_G2 A u u u  G1  G2 2 1 2 2 1 1 G G G G G G G u u u        G u u  A z x y u_G1 A_L AG G m u_G2

●平均化したボイド率-クオリティ式 断面平均記号を用いると、 G G L G S x x









   1 1 (5.20) ●質量流束密度とクオリティxの関係





x

u

x

u

x

A

A

u

A

m

_{G G G G G G L L G}











1

1













(5.21) 式(5-5)より、

m

m

x

G







Ax

m

A

m





_G



質量流束密度 質量流束密度をボイド率で表すと [kg/(s･m2_)]

x

m

m







G z x y u_G u_L A_L AG G m L m A

（5）平均ドリフト速度 V_Gj ●局所ドリフト速度: ボイド率と相速度 の横断面分布を考慮した速度 [m/s] (5.22) ●平均ドリフト速度

Ｖ

_{Gj:局所ドリフト速度にボ} イド率で重みをかけた断面平均量 管内流れを1次元的に扱う場合に用いる。





G Gj G G G G Gj

u

j

u

V









_

















_(5.23) 表5.3に気液二相流の主要パラメータをまとめて示す。

j

u

u

_Gj



_G



j:体積流束密度(見かけ速度) z x y u_G u_L A_L AG G m L m [m/s] ●浮力F_G:密度ρ_Lの液体中に体積V_G、密度ρ_Gの気体が占め たときの浮力と重力の差は、 _FG 





_L 



_G



_{gVG (5.31)}

図5.9重力場に静止 している気液二相流体 g dz dp

_

  （5.24） これを積分形で書くと、 (5.25) p₀: z=0の圧力[Pa] dz: 微小高さ[m] A: 二相流体柱の底面積[m2_] ρ: 二相流平均密度[kg/m3_] dp: 上下面の圧力差[Pa] αG : ボイド率[-] 5.3 気液二相流の静力学







g

z

p



d

●圧力pと高さzとの関係を表す基礎式 z x y p p A_L AG p p A dz g z ρ (5.26) (5.27)





_G





_L



_G



_G





1







1



z

g

z

p

₀

g

p









_G



_L





_G



_G







gz

p

₀

gz

p







_L





_L





_G





_G



_Z



<α_G>_z:原点からzまでの空間平 均ボイド率 (5.28) z z G Z G



       d <α_G>:位置zの断面平均ボイド率

座標原点O:液面下z₀ 液面（z = z₀）に働く圧力p_z0 z =z₀- H を代入 ⇒ここをp_z0とおく 1  L G   の場合には、 gH p p L Z H G    1 (  0)  _(5.30.2)



z₀ H

 



g



z_{0 0} H



p₀ g p H G Z G G L L       















gH gz₀





gz_{0 0} p₀ gH Z G G L L H G G L L       

















zの代わりに距離Hで表すと z x y p_z0 p₀ A_L A AG g ρ O 液面z₀ z H (5.27)





gz

p

₀

gz

p







_L





_L





_G





_G



_Z



距離H間の圧力差からボイド率が求まる!!



_{L G}



_{G H} LgH





gH





  



₀



0 ₀ 0 0 1 gz p gz Z G G Z G L    









p_z0 p₀

        2 1 1 1 R R p   _[N/m2_{] (5.32)} 楕円形（曲率半径R_{1 、}R₂）であれば [N/m2] (5.33) R p p p _{G L}      2 R₁ σ pL σ p_GR2 V_G ρ_G ρ_L :表面をできるだけ小さくしようとする液体の力 表面張力



R r



R R r A 4 d 4 8 d d    2   2  



R r



w 8 d d 





G L

R

R

p

p

R

2

8

4

2

4













表面積変化時の仕事 球気泡がdr大きくなるときの 表面積変化: ●ラプラス圧δp[N/m2_{] 表面張力σ[N/m]} 球表面張力ｘ距離 内向きと外向きの力が釣り合うので 気液界面におけるラプラス 圧δpは、気泡内圧力p_G と液 中圧力p_Lから dr 半径0.10mmのビール 泡のδpはおよそ1.5kPa p_L p  図5.11 気泡内の圧力 [m2_] [N] [Nm]

図5.12 気液二相流のモデリング 5.4.1 混合体モデル

均質二相流の基礎方程式（１次元） ●質量(mass)保存

 

0          z A A u z u t    _{[kg/(s･m3)]} (5.35) ρ:二相流体の密度、t:時間、 u:速度、z:管路軸方向距離、 A:管路の断面積、 ※管横断面積が一定であれ ば、左辺第3項は0 ●運動量(momentum)保存(運動方程式)









g cos z p z u u t u _{  }                [N/m3_{] (5.36)} :せん断応力[N/m2]



:鉛直方向からの管路傾斜角 図 混合体の基礎方程式 θ z 鉛直方向 z  A  A u  _ 

●エネルギ(energy)保存 ※教科書はかなり特殊なときの式 [W/m3] (5.37) h:均質二相流の比エンタルピ[J/kg]、 cp:均質二相流の定圧比熱 [J/(kgK)] k:均質二相流の熱伝導率[W/(mK)] q :管路への単位体積単位時間当たりの熱伝達量[W/m3] q z h c k z z h u t h p                         



p

c

k

a





𝑎:熱拡散率(温度拡散率) [m2/s] ●3つの方程式系には4従属変数ρ, u, p, hと未知関数τ, qが 含まれる⇒必要な式 1)ひとつの従属変数に関する状態方程式 2) τ, qに関する構成式（摩擦損失および熱伝達の関係） ●飽和状態の二相流状態方程式では、 ρG、ρL、hL

、

hLGは圧 力pの関数

)

( p

Gsat G







(5.42)

)

( p

h

h

_L



_Lsat (5.43) 添字sat は飽和状態

)

( p

Lsat L







_h

_h

_{( p}

₎

LGsat LG



●1)の混合体の状態方程式(ρとhとの関係) ボイド率αGを密度ρで表す (5.38) 気化潜熱： (5.39) 均質流S=1⇒クオリティxとボイド率αGの関係 x x L G G G    1 ) 1 (









(5.40)



_G



_L G G















1







_{L L}



_{G L}



_{L LG} G

x

h

h

x

h

h

h

xh

xh

h





1















_{G L}



LG

h

h

h







G _G



L G _S x x









   1 1 クオリティxを比エンタルピhで表す G L L G

















LG L

h

h

h

x





式(5.13)より LG L G L L h h h          1 1     (5.41) 式(5.38) と式（5.39）を式(5.40) に代入して、xとαGを消去⇒均 質二相流の状態方程式

周りの流体と気泡との間の質 量移動量、運動量移動量、エ ネルギー移動量を考える Γu_k:質量移動にともなう エネルギー移動量[W/m3_] Mu_k:運動量移動量にともなう エネルギー移動量[W/m3_] 気泡 u_L 二流体モデルの基本的な考え方 +Γ 周囲の流体 u_G + Δ u_GM uL – Δ uLM +M H u_G u_G u_L +Γu_G +Γh_{G – Γh} L +Mu_G – Mu_L Γ:気液境界における 質量移動量[kg/ (s･m3_)] M:気液境界における 運動量移動量[N/m3_] H:気液境界における エネルギー移動量[W/m3_] Γu_k:質量移動にともなう 運動量移動量[N/m3_] – Γu_L – Γ – M – H

二流体モデルの基礎方程式 ●質量(mass)保存 (単位体積・時間あたりの質量保存) Γ z A A u z u t k k k k k k k k          (  ) (  )   [kg/ (s･m3_{)] (5.44)} (管路断面積A ＝constの場合 左辺第3項=0) ●運動量(momentum)保存(運動方程式)



 





 









_{   } cos g M Γu z p z u u t u k k k k k k k k k k k k k                     [N/m3_{] (5.45)} Γ:気液境界における質量移動量、 Γの上側符号はk

＝Ｇ、

下 側はk

＝Ｌ

気泡が液体から質量をもらうときをプラス量



_k:せん断応力[N/m2_] M:気液境界における運動量移動量[N/m3_] Γu_k:質量移動にともなう運動量移動量[N/m3_]                         3 2 3 3 m N m 1 s m kg s m m s kg k Γu

H:気液境界におけるエネルギー移動量[W/m3_] Γh_k:質量移動にともなうエネルギー移動量 Mu_k:運動量移動量にともなう エネルギー移動量 ●エネルギ(energy)保存 ※教科書はかなり特殊なときの式













k k k k k pk k k k k k k k k q H Mu Γh z h c k z z h u t h                                  [W/m3_{] (5.46)} h_k:比エンタルピ[J/kg]、c_pk :定圧比熱[J/(kgK)]、 k_k:熱伝導率[W/(mK)] q:管路への単位体積単位時間当たりの熱伝達量 [W/m3_]                 3 3 m W kg J m s kg              3 3 m W s m m N h:比エンタルピ [J/kg] v:比体積[m

_h

_e

_pv

3_/kg] U





●未知関数は τ_G , τ_L , q_G , q_L , Γ , M , Hの合計7個 気液境界における（各保存則についての）移動則（Γ

、

_M

、

_H） 3個の式 壁における摩擦（損失）、熱伝達（係数）に対する関係（τ_G,τ_L, q_G, q_L）4個の式 ●基礎方程式7式: 気液相の保存則6式とボイド率の関係式 ●従属変数はα_k , ρ_k , u_k , h_k , p_k (k=G, L)の10個 この方程式系を閉じさせるためには、10個の構成式が必要 ●（各相）の状態方程式2式 ●相間相互作用1式：気液境界における圧力の跳び条件 （例えば、p_G=p_L ） LG L k G L k L h h h          1 1     (5.41)参照 [Pa] (5.34)参照 L G

p

p

p







1





_L G





(5.47) ●ボイド率の関係式

5.5.1均質気液二相流体の特徴 気体と液体が均一混合、気液間にすべ りなし、どこでもボイド率αが同じ、平均 密度ρをもつ仮想物質の単相流体 L G G G















(

1



)

_(5.48) 1  L G   L G









(

1



)

_[kg/m3_{] (5.50)} ●均質二相流の圧縮率β

p

p

v

v

d

d

1

d

d

1













_{[1/Pa] (5.51)} ρ v  1 [m3/kg] (5.52) のとき 空気の圧縮は容易 水の圧縮は大きな力必要 混じったらどうなる? http://www.jst.go.jp/csc/virtual/find/sound/ 混じったらどうなる? ●均質二相流体の密度ρ ※ρのときはマイナスなし

βG:気体の圧縮率[1/Pa]   1   E a _(5.56) G G G G G

dp

d



_

_







_















1

(5.55) β:圧縮率[1/Pa], E: 体積弾性率[Pa] α_G : ボイド率（0<α_G<1） E 1   ●均質二相流体中の音（微小振幅圧力波）の伝播速度a[m/s] 式(5.50)ρと式(5.55)βを代入 G L G G G G G G L G d dp dp d           (1 ) 1 1 ) 1 ( 1          







(5.57)          p p p L G G G d ) 1 ( d d d d d











均質気液二相流中の音 速はボイド率α_Gに依存 G L G G G a a      (1 ) 1 1    ●気体がポリトロープ変化(準断熱過程近似)過程のとき、 均質二相流中の音速は、 _{※教科書ミスプリ n -> -n} (5.58) n:ポリトロープ指数(n=1のとき等温変化，n=kのとき断熱変化） const  n G p



L G G G L G G G p np d dp a ) 1 ( ) 1 ( 1            式(5.57)に代入すると、





0 1         G n G n G G n G d dp pn d p d











G n G n G G np pn d dp









     1 a_G:気体中の音速

ボイド率αG 密度 ρ, 圧縮率 β, 音速 a 音速a aG ρL ρG βL βG aL 0 1 図5.13 均質二相流体中の音速 ●音速とボイド率 式(5.57) G G G G G

dp

d





























1

●圧縮率とボイド率 式(5.55) L G









(

1



)

●密度とボイド率 式(5.50) G L G G G a a     (1 ) 1  



(1 )



0 d d _{ } u z



G



L 5.5.2定常一次元均質流(二相流のオイラーとベルヌーイ式) u u u T _{G L} L L G /



 1,



 const,  const,  



_(5.59) (5.60) (5.61) ●液相の連続の式 ●二相流のオイラー式



 



0 ) 1 ( d ) 1 ( d d ) 1 ( d       g z p z u u G L G L _G _L const ) 1 (    L G G G x









(5.62) ●クオリティ L G G G G G x       ) 1 (    式(5.59)よりここだけ0





z p z p_L G d d d ) 1 ( d 



_





0 ) 1 ( d d d ) 1 ( d  _{   } g z p z u u G L _G _L dzをかけて整理すると、 (5.65)

0

d

)

1

(

d

d









p

g

z

u

u

L G





二相流のオイラー式

 

g z p z u u      d d d d 式(5.36)で定常、τ=0、θ=0、1-αGを加味

) (ln d d d ) 1 ( d p Φ p p p p p L L G L G L            const 1   G G p Φ   (5.64) ●圧力pのボイド率比

const

ln

2

1

₂









p

Φ

p

gz

u

L L





(5.67) 二相流のベルヌーイ式 第3項は二相流特有の項 積分して p G L G L d ) 1 ( 1              0 d ) (ln d d d 2 1 ₂     p Φ p g z u L L





(5.66) ※Φ はpが入っ ていてもconst

0

d

)

1

(

d

d









p

g

z

u

u

L G





(5.65) 二相流のオイラー式

5.6.1 ボイド率 S x S x x x L G L G G                        1 1 1 1 ) 1 ( (5.68)



G _G



L G S x x        1 1 ●ボイド率-クオリティ式(5.13)の変形 L G L G G x x x x                        1 1 1 1 ) 1 ( (5.70) 均質流S=1





_

_

1 1 1 1      G G G L G x S x     





G L G x x S x    1 1    機器設計でボイド率は重要 分母分子ひっくり返す -1を右辺に移動 分母分子ひっくり返す http://fccj.jp/jp/aboutfuelcell.html

●ボイド率を体積流束jと相対速度u_r (非均質流)で表す。



L _G



L G G G j u j u





   1 ,



L _G



G G L G r j j u u u





     1



1



_G



_r





1



_G



_G



_{G L}



0

G



u



j



j



αGの二次方程式なので、 ●ボイド率と体積流束との関係

j

j

_G G





















_

_

_

_



_{r r r G} r G

j

u

j

u

u

j

u

4

2

1

2



(5.69) jになる点に注意 j=j_G+j_L 相対速度の式(5.12) 体積流束の式（5.15）

0

2













u

_r



_G

u

_r



_G

j

_G

j

_G



_G

j

_L



_G





0

2









G G r G r

j

u

j

u





αGでまとめると

表5.5 ボイド率の相関式 （式（5.72）の係数と指数の値）[10]

モデル

_A

_p

_q

_r

均質流

₁

₁

₁

₀

Zivi

1

1

0.67

0

Lockhart-Martinelli

0.28

0.64

0.36

0.07

Thom

1

1

0.89

0.18

Baroczy

1

0.74

0.65

0.13

●一般的な(非均質流の)ボイド率の相関式とその係数 μ:粘度 1 1 1                               r G L q L G p G x x A











(5.72)

図5.14 気泡流の流速分布，ボイド率分布 5.6.2 相速度とスリップ比 y:管壁からの距離 r:管中心からの距離 u_L :液体流速の半径分布 u_LC :最大流速 u_G:気泡速度の半径分布 u_GC :気泡の最大流速 α :ボイド率の半径方向の 分布 αc :最大ボイド率 半径R円管内を流れる半径分 布をもった定常な気泡流のス リップ比を考える。 r u_L u LC α αc u_Gとu_GC も定義しておく http://www.aquaart.co.j p/index.html アクア・アート

流速u_L、ボイド率αの分布としてべき乗則を仮定すると、流速 とボイド率は、_{※rのほうが一般的!!} m Gc m Lc

R

r

u

u

R

r

u

u

L G 1 1

,





























n _(5.74) c G

R

r

1



















m、nは正の実数、各値を無次元化すると、

R

r

r

R

y

y

u

u

u

u

u

u

c G Gc G Lc L G L











    *

,

,

,

,







_(5.75) (5.73)式，(5.74)式の無次元化した式は、 ※rのほうが一般 的!! (5.73) m m

_u

_r

r

u

L G 1 1

,

   

_

_

_{(5.76) n} G

r

1  

_



(5.77) ●無次元化した流速とボイド率

座標変換  

_











y

r

dy

dr

R

r

y

,

1

,

1

* * (5.78)  L

u



r



dr

1 0

y

1

0

:

,

0

:

,

* *











Rdr

r

R

r

dr

●断面平均ボイド率







        1 0 1 0 * 2 0 2 2 2 2 1 dr r Rdr Rr R rdr R G c G C R G G





















(5.82) ) 1 2 ( 2 2 1 0 1 *   



  n n dr r n n c G   (5.84) 座標の無次元化式(5.75)と、ボイド率分布の無次元化べき乗 則式(5.77)を、この断面平均ボイド率式に代入して整理する と、 水色部分の気泡の面積

座標変換  

_











y

r

dy

dr

R

r

y

,

1

,

1

* * (5.78) 液相と気相の質量流量は













   









1 0 2 0

1

2

2

1

dr

r

u

u

R

rdr

u

m

L G C LC L R L G L L

















(5.79) (5.80) ●液相と気相の質量流量 水色_dr*部分の気相の質量流量  L

u



r



dr

1 0

y

1

0

:

,

0

:

,

* *











Rdr

r

R

r

dr









1 0 * * * * 2 0

u

2

rdr

2

R

u

u

r

dr

m



_G R



_G



_{G G}







_{G GC}



_C



_{G L} 水色_dr*部分の液相の質量流量

●断面平均クオリティxを定数mとnで表す G L G m m m x      _(5.81) 1 2 2     mn n m mn u R m_G





G GC



C















_                          1 1 2 1 2 2 2 mn n m n m n m mn mn n m m u R mn n m mn n m m u R m C LC L C LC L L













 流速とボイド率分布の無次元べき乗則式(5.76)と(5.77)を、液 相と気相の質量流量式(5.79)と式(5.80)に代入すると、 (5.A1) この式に、質量流量式(5.A1)を代入し、uLC=uGCする。

           1 1 1 1 G G L S x x







G G L G S x x









   1 1            G G L S x







1 1 1 1 1 まずはじめに、式(5.20)より、均質流のクオリティと断面ボイド 率との関係は、            G G L x







1 1 1 1 <S>=1のとき、 今考えている流速分布と ボイド率分布があるときで も、この式(5.A2)の形にす る (5.A2)













                                                  G G L c G L c G L n m n mn n m n m n mn n m mn n m mn n m m x          ) 1 2 ( 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 2 ( 2 2 1 0 1 *   



  n n dr r n n c G   n n G c 2 ) 1 2 (     式(5.84)より G L G m m m x      _(5.81) 一方、式(5.81)に、m,n,αCで表した質量流量式(5.A1)を代入 して整理すると、 αCに代入する 流速分布とボイド率分 布があるときでも、式 (5.A2)の形になった!!!

           G f G L K x    1 1 1 (5.83)

)

1

2

)(

1

)(

1

2

)(

1

(

)

2

)(

(

2



















n

n

m

m

mn

n

m

mn

n

m

K

_{f 教科書の(5.85)} K_f :Bankoffの流れパラメータ 定数m,nで表されたり、または、実験によって定められる 8 10 45 . 1 71 . 0     p K_f (p: 圧力[Pa]) (5.88)







m n



n mn n m K _f       ) 1 2 ( 1 2 (5.85) 下記の教科書の式(5.85)は、rの取り方が違う!! 式(5.83)は、式(5.A2)と比べ てKfがついている

●すべり比Sを定数mとnで表す G G G L x x S        1 1 (5.86) ボイド率クオリティの関係式(5.13)より、すべり比Sは、 G f G K S      1 _(5.87)













_G G L G

_S

x

x









1

1

式(5.83)を変形すると、                                    G f G L G G G f G L G f G L K x x K x x K x            1 1 1 1 1 この式を式(5.86)に代入すると 分布があるときの<S>は Bankoffの流れパラメー タとボイド率で表され る!!!

5.6.3 ドリフトフラックスモデル 気相の局所ドリフト速度を断面平均化して扱う方法。気相の ドリフト速度は、式(5.16)の体積流束jとして、式(5.22)より u_Gj＝u_G - j (5.89) この式にボイド率αGで重みをかけて横断面平均化した平均ド リフト速度VGjは、 G G G G G G Gj G Gj j u u V          (5.90) C0を分布パラメータとすると、式(5.90)は、 j C j V G G Gj    0 (5.91) j j C G G    0 （分布パラメータ） (5.93) j体積流束(見かけ速度)とjGは、式(5.16)式(5.17)参照 G j

式(5.90)より、気相の断面平均流速は、 (5.94) G Gj G G G L G L L V j C u u             1 1 1 ) 1 ( ₀ (5.95) 液相の断面平均流速は、 j C V u u _Gj G G G G G     0  断面平均のすべり比は、式(5.94)と式(5.95)より、









Gj G G Gj G L L G G V j C j C V u u S          0 0 1 1 (5.96) 断面平均のすべり比は、平均ドリフト速度VGj 、 分布パラメータC0、体積流束j

、

ボイド率αGで表される G L j j 1 教科書よりもこちらが一般的 j C V u_{L G Gj G} G ) 1 0 1 (       と式(5.94)より よって、

j j C G G 0 1   仮に均質流uG=uLを仮定すると、 平均ドリフト速度 j j_G G 



_(4.98)

1

0



C

(4.99) なお、1/ C₀はK_f :Bankoffの流れパラメ-タに対応する。 の場合のC0と平均ボイド率との関係、 (4.97) 1 0   j j C G G   分布パラメータ 0 0    j C j V G G Gj  平均ボイド率

5.6.4 圧力損失 定常二相流の単位流路長さ当りの全圧力損失Δp_tpは、 (5.100) 位置損失Δp_p 、加速損失Δp_a 、摩擦損失Δp_fから成る。 摩擦損失Δp_fは、 (5.101) Δp_pとΔp_aが与えられると、摩擦損失を求めることができる。 位置損失Δp_pは、







1











g sin



p_p   _{G L}  _{G G}  (5.102) ボイド率が与えられれば求まる。水平管では位置損失は省 略できる。 加速損失Δp_aは、定常であり、かつ質量移動がなければ

0

~

Δ

p

_a f a p tp p p p p        a p tp f p p p p       

(a)単相流モデル 滑らかな円管内の単相流の単位長さの摩擦損失式(ダル シーワイズバッハ式) 2

2

1

1

u

d

p

_f









(5.103) 管直径d、液体密度ρ、液体速度u 管摩擦係数λは、 Re 64  λ _{(層流：0＜Re=ud/ν ＜2300)} (5.104) -0.25

0.3164Re



λ

(乱流：ブラジウスの式 2300＜Re＜105_{) (5.105)} -0.237

0.221Re

0.0032







（乱流：ニクラーゼの式 105_＜Re＜108_{） (5.106)}

二相流でも式（5.103）と同様に、二相流の流速u、密度



、管 摩擦係数



で表す。 G L

j

j

j

u







(5.107.1)

j

j

j

_{L G G} L











_(5.107.2) tp λ λ  _{（実験から0.02～0.03） (5.107.3)} を代入すると、二相流の摩擦損失は、





(

)

2

1

1

)

(

2

1

1

L G L 2 L G L G G L tp G G L tp f

j

j

j

j

d

j

j

j

j

j

d

p







































(5.108)



_G



_L L G G G u j u j   ,  1 均質流を仮定すると、 2乗がない点に注意



_G



 _G _L 1  _G  ρをjで表す点に注意

ΔpG 気相層状流部の摩擦損失、ΔpL 液相層状流部の摩擦 損失、Δpf 二相流の摩擦損失 (b)層状分離流モデル (Lockhart-Martinelli 法) 1次元層状分離水平流について、 L G f

p

p

p











_(5.109)         G G G G G U d U A d 2 4 _            L G L G L U d U A d 2 ) 1 ( ) 1 ( 4  _  (5.112) d_G, d_L 水力学的直径(相当直径) は、 管路内径d、管断面積A, ぬれ縁長さU_G,U_L U A d  4 一般的な水力学的直径(相当直径) は、 層状分離流 → 流れ方向 → 気相 液相 教科書ミスプリ

f L G

p

p

p











●式 (5.109A)の意味 U_G過大評価⇒d_G過小評価 ΔpG 過大評価 そのΔpGにΔpL が含まれる 液相のぬれ縁長さU_L 気相のぬれ縁長さU_G ΔpG ΔpL 液相の面積αGA 気相の面積(1-αG)A        4 2 d A  管断面積A d U_L過大評価⇒d_L過小評価 ΔpL 過大評価 そのΔpLにΔpG が含まれる

25 . 0 25 . 0 3164 . 0 Re 3164 . 0           L L L L L ν d u λ (5.113) 式(5.113) を式(5.110)に代入してΔpGを求めると、 25 . 0 25 . 0 3164 . 0 Re 3164 . 0           G G G G G d u   気相部、液相部の流れが乱流のとき、管摩擦係数はブラジ ウスの式より、 (5.114) G G G G G d u p 2 2





  L L L L L d u p 2 2





  (5.110) (5.111) 気相部と液相部の摩擦損失ΔpGとΔpLは、

75 . 1 25 . 1 0 75 . 1 25 . 1 2 25 . 0 2 2 25 . 0 25 . 0 25 . 0 2 25 . 0 1 1 2 3164 . 0 1 2 1 3164 . 0 2 3164 . 0                                                                              G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G d d p d d d j d j d d d j d d d j d u d u p           G G G j u    (5.115) uGではなくてjGを使うのがポイント!! Δp_G0は、気体のみが管路内全体にわたって流れたときの単 相流の摩擦損失。 α_G=1のとき速度uGはjGと同じ。 j:体積流束(見かけ速度)[m/s] 式(5.16)式(5.17)参照

75 . 1 75 . 4 0           _G G G G k d d p p (5.115) 1 2 2 1 _                            _G G G G G G G G k d d U d d d U d d d    G G_G d U k    ここで式(5.112) を、式(5.115)に代入すると、 U_G,U_Lぬれ縁長さ、d_G, d_L水力学的直径 (5.116) 同様に、式(5.114)を式(5.111)に代入すると、 75 . 1 75 . 4 0 75 . 1 25 . 1 0 1 1                          L L L G L L L k d d p d d p p          G G G G G U d U A d 2 4 _  より、 補正係数