イ ン ド数 学 史 研 究 (II)
-Aryabhatiyabhasya に 於 け るkarapi-林
隆
夫
O. イ ン ド中 世 の 代 表 的 数 学 テ ク ス トで 用 い ら れ る語 karani は, 無 理 数 を 指 す と い う従 来 説 に 反 し て 平 方 根 を と る 対 象 と し て 想 定 さ れ た 数 を 指 し て い る, と い う事 実 は 既 に 指 摘 した1)。 と こ ろ で こ の 語 は, 数 学 的 内 容 を 盛 り こ ん だ ま と ま つ た Skt. テ ク ス トと し て は 最 も古 い こ と で 知 られ る諸 Sulbasutra (Sulba)〔6-3 C. B.C.〕 と 後 世 の 数 学 書 と に 共 通 な 数 少 な い 術 語 の一 つ で あ る。 従 つ て 両 期, 即 ち Sulba の 時 代 と Aryabhatiya (ABh)〔499 A. D.〕 以 降 の 時 代2), の 数 学 の こ れ ま で 殆 ん ど 明 ら か に さ れ て い な い 歴 史 的 関 係3)を 探 る 場 合, 語 karni が 重 要 な 鍵 の 一 つ に な る で あ ろ う。 こ れ が こ こ で 再 び 語 karani を と り あ げ る 理 由 で あ り, テク ス ト と し て Bhaskara lの Aryabhatiyabhasya (Bhasya)〔629 A. D.〕 を 選 ん だ の は そ れ が 数 学 的 内 容 を 散 文 で 記 述 し た も の と し て は 最 も 古 い 時 代 に 属 し, Brdhmasphutasiddhanga (BSS)〔628 A. D.〕 と 同 時 代 と は い え, 凝 縮 さ れ た 韻 文 表 現 に は 期 待 で き な い 貴 重 な 情 報 を 多 く提 供 す る か らで あ る。
語 karani は, ABh自 体 に は 全 く見 られ な い に も か か わ らず Bhdsya に は 省 略 形 や Den. (後 述) も含 め て57の 用 例 が あ る。 た だ し こ の 小 論 で は, 出 版 本 の 編 者 に よ つ て 補 足 さ れ た 部 分 と Bhaskara Iの 引 用 す る gatha と に 現 わ れ る9例 は 原 則 と し て 扱 わ な い5)。 ま た 通 常 の karani と い う語 形 の 他 に, 短 母 音-1に 終 わ る 形 が3例, -ika に 終 わ る形 が4例 見 ら れ る6)が, こ れ ら の 語 形 の 相 違 は karani の 概 念 と 関 わ る レ ヴ ェ ル の も の で は な い の で そ の 形 態 論 的 議 論 は 省 略 す る。 I. 表 記 法: 或 る数 が (狭 義 の) karani で あ る, 即 ち 平 方 根 が と られ る べ き で あ る が 正 確 な 平 方 根 が 得 ら れ な い, と い う場 合, 後 世 で は 専 ら そ の 数 字 の 前 に "ka"な る 文 字 を (k a2 の如 く) 冠 し て 通 常 の 数 と 区 別 す る7)。 一 方 Bhasya で は 大 別 し て 次 のA, B二 種 の 表 記 法 が 用 い られ る。 A a) karanyah (Nom. pl.)+F〔9例 〕8) b) ka°+F〔6例 〕9) B karaninam (Gen. p1.)+N〔2例 〕10) こ こ でFは 数 字, Nは 基 数 詞 で あ る。Aa), Bの 何 れ に 於 て も複 数 形 が 用 い ら れ
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て い る が, こ の こ と は 問 題 の karani を 大 き さ の あ る 量 と し て 把 握 し て い る こ と を 示 す11)。A b) は 明 ら か に A a) の 省 略 形 で あ る12)。 ま た A a) の 特 別 な 場 合
と してFが 帯 分数 (Pr/q) の と き は次 の よ う々
こ表 わ され る こ と もあ る.
A a)' karanyah+P karanibhagas ca+r/q〔1例 〕13)
II. 演 算: 四 則 計 算 がkaraniを 含 む 場 合, 通 常 と 異 な る 計 算 法 が 必 要 と な る。 そ れ ら は 既 に BSS (XVIII, 37d-39c) で 殆 ん ど14)定 式 化 さ れ て い る。Bhasya で は, 特 殊 な 場 合 の 和 と差 の 計 算 法 を 教 え る gaga15)が 引 用 さ れ て い る 以 外 定 式 化 さ れ た 表 現 は 見 当 ら な い が, そ れ ら の 計 算 法 の 知 識 を 物 語 る 語 句 が 見 ら れ る。 先 ず 「和 と 差 」 は aranzsamasa (p. 74), そ の 計 算 は karanisamasakriya (p. 74), そ れ を 教 え る規 則 は karanipraksepasutra な い し °vidhana (p. 73) と 呼 ば れ る。 次 に 「二 つ の karni に 対 し て 積 が あ る 」 お よ び rkarapi の, 非 karani に よ る 積 は な い 」 と い う表 現16)は 乗 法 の, ま た 「半 分 に す る と い う の で, こ の 場 合 <被 除 数 が> karani だ か ら, 2の karani 即 ち4で 割 る 」 と い う表 現17)は 除 法 の, そ れ ぞ れ 正 確 な 知 識18)を 前 提 に す る。karani を 含 む 計 算 一 般 は karniparikarma (p, 44) で あ る。 こ れ ら は karani を 含 む 四 則 計 算 が, BSS (Bhasya の 一 年 前) で 定 式 化 さ れ る 以 前 に 広 く且 つ 正 確 に 流 布 し て い た こ と を 予 想 さ せ る19)。
III. 概 念: Bhasya に 於 け る 語 karani の 概 念 に は 三 つ の 側 面 を 区 別 し得 る。 A. 平 方 根 が 要 求 さ れ る と い う側 面。ABh II, 7cdは 球 の 体 積 をV=S√S(S は球 の 中 心 を通 る切 断面 の面 積) と教 え る。 こ の 計 算 を 実 行 す る 場 合, 面 積5の 平 方 根 を 求 め ね ば な ら な い。 「と こ ろ で 面 積 (5) は 根 が と ら れ ん と す る と き karani 性 を 帯 び る。 何 故 な ら karani は そ の 根 が <要 求 さ れ る も の> だ か ら20)。」
B. 正 確 な 平 方 根 が 得 られ な い と い う側 面。 直 径2の 球 の 体 積 を 計 算 す る 場 合,
先 ず ABh II, 10; 7ab に よ り21)S=3 177/1250が 得 ら れ る。 そ こ でV=S√Sを 適 用 す る た め に は こ の 数 の 平 方 根 を と ら ね ば な ら な い が 「完 全 平 方 数 で は な い か ら 」 正 確 な 平 方 根 を 持 た な い。 そ こ で 平 方 根 の 計 算 は 行 な わ ず に 「根 と し て は そ の 数 自 身 」 を 考 え, た だ し これ は rkarapi の 状 態 に あ る もの と 理 解 し よ う」 と い う22)。 ま た 円 周 の 長 さ を 正 確 に 求 め 得 る か 否 か に つ い て の 想 定 討 論 で, 肯 定 的 立 場 に 立 つ 対 立 論 者 が 「直 接 知 覚 (pratyaksa) に よ つ て 量 れ ば, 直 径1の 図 形 (円) の 周 は10 karani (再す) で あ る 」 と い う の に 対 し て, 否 定 的 立 場 に 立 つ 著 者 は 直 接 知 覚 と い う判 断 基 準 に は 肩 す か し を く わ せ,「 然 ら ず。<あ な た は karani な る 語 を 用 い た が> karani は そ の 値 を正 確 に述 べ る わ け に は ゆ か な い も の だ か ら 」23)とい う。
な お こ れ らA, B二 側 面 は, 後 世 の 註 釈 者 た ち が 語 karani を 定 義 す る 際 に 必 要 十 分 条 件 と し て 採 用 し て い る24)。
C. 平 方 と い う側 面。Bhasya で は, 平 方 を 意 味 す る 同 義 語 の 一 つ と し て 語 karani が あ げ られ て い る25)。 こ の 側 面 が 生 き て く る 例 の 一 つ はIIで 引 用 し た 除 法 に 関 す る表 現 の 中 に 見 ら れ る 「2の karani 即 ち4で 」 と い う条 で あ る。 も う 一 つ の 例 はIII. Aで 引 用 し た 部 分 の 直 後 に 見 ら れ る Den. (karanyate) で あ る。
即 ちV=S√Sで 正 確 な√Sが 得 られ な い 場 合, √SのSは 平 方 根 を と る 前 の 状 態
即 ち karani に し て お く。 然 る に, karani に karani で な い 通 常 の 数 を 掛 け る こ と は で き な い の で 「面 積 (上式 中根 号 の前 のS) が karani 化 さ れ る (karanyate)。 」 そ の 結 果 実 際 に 行 な わ れ る 計 算 は 「面 積 の 平 方 に 面 積 を 掛 け る 」(v2=S2・S) こ
と に な る26)。 こ れ はV=S√Sの 計 算 を karani の 次 元 即 ち 平 方 次 元 で 行 な う こ と に 他 な ら な い。
こ の よ う に 平 方 の 観 念 を 語 karani に 付 与 す る の は Bhaskara Iに 限 ら な い。 Bijaganita の 註 釈 者 Krsna〔16C. 末 〕 は こ の 語 の 定 義 と は 別 に 「karani は 平 方 の 形 を と る 」27) と 一 度 な ら ず 述 べ て い る。 更 に Varahamihira〔6C. 中葉 〕 は 天 文 学 書28)の 中 で, ま た Sripati〔ca 1000 A. D.〕 は 数 学 書29)の 中 で, こ の 語 を 単 な る 平 方 の 意 味 に 用 い て お り, そ の 際 前 述A, Bの 二 側 面 は 全 く関 わ り が な い30)。 と こ ろ で Blzasya で は 語 karani の 初 出 に 際 し て 「耳 (z) と 腕 (x, y) の 同 一 性 を 作 る (karoti) か ら karani で あ る 」31)とい う典 拠 不 明 の 引 用 が あ る。 数 学 的 文 脈 で は 「腕 」 は 図 形 の 辺,「 耳 」 は 長 方 形 ま た は 直 角 三 辺 形 の 対 角 線 を 指 す の が 普 通 だ か ら, こ の 文 は い わ ゆ る 「三 平 方 の 定 理 」(x2+y2=z2) を 念 頭 に 置 い て 発 せ られ た に 相 違 な い。 こ こ で 注 目す べ き は, 直 角 三 辺 形 と語 karani 及 び 動 詞 √kr の 三 者 を 結 び つ け る 発 想 で あ る。 こ の 発 想 は Sulba で 一 般 に 認 め ら れ る。 例 え ば 三 平 方 の 定 理 は Sulba で 「長 方 形 の 斜 辺 (の は, 側 辺 (x) ど 横 辺 (y) と が 別 々 に 作 る (kurutah) も の を 両 方 と も 作 る (karoti)」32)と表 現 さ れ る。 こ こ で 省 略 さ れ て い る√krの 目的 語 は, そ れ ぞ れ の 辺 を 一 辺 と す る正 方 形 な い し そ の 面 積 で あ る33)。 そ れ 故 例 え ば 一 辺 の 長 さ が1の 正 方 形 の 対 角 線 は dvikarani「<面 積>2<の 正 方 形>を 作 る も の 」34)と呼 ば れ る。 こ の よ う に, Bhasya の 引 用 文 は そ の 用 語 が 新 し く な り表 現 が 多 少 抽 象 的 に な つ て は い る が 基 本 的 発 想 と い う点 で は Sulba と 共 通 で あ る。 そ し て そ の 共 通 性 は, 両 者 で 用 い ちれ て い る 動 詞4kr に 潜 在 的 に せ よ平 方 の 観 念 が 含 ま れ て い た と 仮 定 す れ ば, よ り明 確 に な る。 実 際, Bhdsya の 引 用 文 で 省 か れ て い る主 語 を 「平 方 」 に類 す る も の と 考 え て も 不 都 合
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は 生 じ な い し, Sulba で の 「<正方 形> を 作 る 」 と い う観 念 か ら 「平 方 す る 」 と い う観 念 へ の 移 行 は 極 め て た や す い35)。 一一方 こ の 仮 定 は, Vkr か ら派 生 し た 名 詞 krtiが 後 世vargaと 共 に 平 方 を 意 味 す る 最 も あ りふ れ た 語 と し て 用 い ら れ て い る事 実 を も説 明 す る。 最 後 に 以 上 を ま と め て, 従 来 い わ れ て き た 平 方 根 の 観 念36)
で は な く, 平 方 の 観 念 こ そ Sulba の karani と 後 世 の karani と を 結 ぶ 意 味 上 の
媒 介 項 で あ る, と い う 仮 説 を 一 応 の 結 論 と し て お く。
1) 林,「 イ ン ド数 学 史 研 究(1)」 印 仏 研 Vol. XXVI, No. 1 (1977). Hayashi, T., "Ka-rapl in the Karapi-Operation", JSHS, 16 (1977). な お Aryabhata II は こ の 語 を 「最 大 公 約 数 」 の 意 味 で 用 い る が 彼 独 自 の 用 法 で あ り他 書 に は 見 ら れ な い (Mahasidd-hanta XVIII, 65)。 2) Bakhsali Mss. の 著 作 年 代 は3-4C. と も12C. と も い わ れ る が, 何 れ の 年 代 も そ の 立 脚 点 が 充 分 説 得 的 で は な い。 従 つ て 今 こ れ を 保 留 す れ ばSkt. 文 化 圏 に 於 け る イ ン ド 数 学 史 の 流 れ は, Sulba の 後 ABh に 至 る ま で の6-7C. に 亙 る 文 献 上 の 空 白 期 を は さ ん で そ の 前 と 後 に ひ と ま ず 区 分 し得 る。
3)
Cf. Kaye, G. R., Indian Mathematics, 1915, p. 9; Pottage, J., "The Mensuration
of Quadrilaterals
and the Generation of Pythagorean
Triads", AHES, 12 (1974),
p. 337; Chakravarti,
G., "Surd in Hindu Mathematics",
JDL/ UC, 24 (1934) art 8,
pp. 57-58.
4)
Aryabhatiya with the Com. of Bhaskara I and Somesvara, ed. by K. S. Shukla,
1976. な お 言 及 に 際 し て は 同 書 の 頁 数 を 用 い る。
5) 前 者 に 関 し て は そ の 妥 当 性 に 問 題 は な い と し て も重 要 な 用 例 は 含 ま れ な い か ら で あ り, 後 者 に 関 し て は 筆 者 に Pkt. の 処 理 能 力 が な い か ら で あ る。
6) -i に 終 わ る3例 は 全 て comp. の 前 分 と し て, ま た -ika に 終 わ る4例 は 全 て 数 詞 を 前 分 と す る Bv. comp. の 後 分 と し て 用 い ら れ て い る。-i: pp, 59, 61, 73. ex. r-anitvat. -ika: Pp. 59, 72. ex. astottarasatakaranikena avalambakena. な お Skt. 文 献 中 karani と い う語 形 を 用 い る の は 現 在 知 ら れ る 限 り, Jaina 系 の 数 学 者 Mahavira
の 著 Ganitasarasangraha〔ca 850 A. D.〕 の み (VI, 88cd-89ab)。 7) Cf. Hayashi, T., op. cit. p. 56.
8) pp. 56, 59, 62, 68, 74. ex. karanyah 2304. 9) pp. 73, 74. ex. ka°90.
10) p. 75. ex. karaninam sastisatatrayam.
11) 双 数 形 が 見 ら れ な い の は2を karani と す る例 が た ま た ま な か つ た か ら と思 わ れ る。 整 数1は (狭 義 の) karani と は な り得 な い か ら 単 数 形 が な い の は 当 然。 な お, 後 世 例 え ば Bijaganita〔1150 A.D.〕 な ど で は 複 数 形 な い し双 数 形 は, 複 数 個 な い し 二 個 の karani を 指 す 場 合 に の み 用 い ら れ る。 12) た だ し こ の 省 略 表 現 が 写 本 の 筆 写 生 ま た は 出 版 本 の 編 者 に よ つ て な さ れ た 可 能 性 も な い わ け で は な い。 13) p. 62. karanyah 31 kaxanibhagas ca 12683983/1953125000.
14) 乗 法 に 関 し て は 分 配 則 の み (BSSXVIII, 38cd)。
15) p. 74 (恐 ら く) 二 つ の karapi, K1=10a2, K2=10b2に 対 し て 統 合 (samasa) の 結 果 をKと す る と, (√K1/10±√K2/10)2×10=K.
16) karapyoh sarpvargo 'sti (p. 56). karapinam akarapibhih sarpvargo nasti (p. 61). 17) ardham ity atra karapitvad dvayoh karanibhis caturbhir hriyate (p. 59).
18) kararpi Kと 非 karani 即 ち 通 常 の 数Rと の 間 の 掛 け 算 (k×) や 割 り算 (k+) はR を karapi 次 元 に 変 拠 て か ら 行 な う. i.e. Kk×R-K×R2, Kk+R-K÷R2.
19) Sulba に 於 て は 語 karapi は 頻 繁 に 用 い ら れ て い る が, 後 世 の よ う な karani 計 算 は 勿 論 の こ と, 数 と し て の karapi の 概 念 の 存 在 さ え 疑 問。
20) tat punah ksetraphalarp mulakriyamanarp karanttvam pratipadyate yasmat ka-raninam mula <m apeksitam> (p. 61).
21) 円 周 をc, 半 径 をrと す れ ば, c/2r=62832/20000 (ABh II, 10), s=(cr)/2 (ABh II, 7ab).
22) ...<dve> viskambhaksetrasya yat phalam 3177/1250 tasya mulam etad eva karaptgatam as'uddhak. rtitvdt pratipattavyam (p. 62). な お こ こ に 見 ら れ る 語
karapi-gata に つ い て は, cf. Hayashi, T., op. cit., p. 59. 23) naitat, aparibhasitapramanatvat karaptnam (p. 72). 24) Hayashi, T., op. cit. p. 57.
25) vargah karapi krtir vargapa yavakarapam iti paryayah (p. 47).
26) ...ksetraphalarp karageyate...ksetraphalavargah ksetraphalena gupita iti (p. 61). 27) karapya vargarUpatvad iti (ad BG 34).
28) The Paficasiddhantika, ed. by O. Neugebauer and D. Pingree, IV, 2-5. 29) Gageitatilaka bor Sripati, ed. by H. R. Kapadia, pp. 50-51.
30) ま た 天 文 書 Satyasiddhanta で は 太 陽 の 高 度 及 び 天 頂 距 離 の 正 弦 を 求 め る 過 程 で 生 ず る 或 る 量 を karani と 呼 ぶ (III, 30) が, こ の 命 名 も 平 方 の 観 念 に 基 づ く と 思 わ れ る。cf. Burges, E., "Translation of the Saryasiddhanta", JAOS 8 (1866), note on III, 28-34 (pp. 256-259).
31) karpabhujayob samatvam karoti yasmat tatah karapi (p. 44). 32) APastambas'zalbastitra I, 4.
33) Cf. parsvamanya krte caturas're yavat ksetrarp bhavati tiryahmanya ca tad ubhayam akspayarajjub karoti (Kapardibhasya ad Ap Sul. 1, 4).
34) dvikarani=√2. 女 性 語 尾 を と る の は 元 来 図 形 を 形 ど つ て 地 面 に 張 ら れ た ロ ー プ (rajju, f.) を 修 飾 し た か ら。 な お こ の comp. に 対 す る Datta の 分 析 は 誤 り で Thibaut の 解 釈 が 正 し い。Datta, B., The Science of the Sulba, 1932, p. 188; Thibaut, G., The Sulbasditras, reprinted from JASB 1875, pp. 7-8.
35) Cf. vargah samacaturasrah「 平 方 と は 正 方 形 の こ と で あ る 」(ABh II, 3a). 36) Thibaut, G., op. cit. p. 48; Datta, B. & Singh, A. N., History of Hindu
