誘電体増幅器の数学解析

誘電体増幅器の数学解析

著者 藤本 三治

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 6

号 1.2

ページ 12‑25

発行年 1957‑12

URL http://hdl.handle.net/10098/5354

12 

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析

藤 本

且宵治

Mathematical Analysis of Dielectric Amplifiers  Sanji  FUjIMOTO 

The mathematical analysis of dielectric amplifiers， one of circuits containing _non~

linear capacitor Cm is dealt with in this paper. 

A voltage amplification factor A申，0for those basic tuned series and parallel circuits  of the direct coupling no load

， 

1¥在 couplingresistance load and M coupling resistance~

capacitance load can be given by the following equation

， 

A"， 0 = Qo a² C1 V

マ

^. (1) 

Where Qo is  the charge and equal to (1/α) sinh‑¹ (Co αEo ，) a， Co and C1 respectively a  nonlinear constant， the initial capacitance and the capacitince under biasing voltage Eo  of C_n; V the carrier voltage and ηthe functions of carrier frequency and circuit constants. 

However， 

A旬 = A旬，0(1  ‑ k，，)  . (2) 

in case the effective resistance Rt of cicuits varies with the carrier current  ，"zin which  k" being a constant to be decided from  "zvs Rt curve. 

緒

磁気増幅器が発表されて以来，非直線インダクタンスを含む回路の解析が盛んに行われるよう になってきたが，強誘電体の様な非直線容量を含む回路の解析は余り多くなく最近に至って漸く行 われ始めている山。

筆者は非直椋容量のht;¥用回路としての誘電体増幅器に関する抵抗負荷回路及び誘導負荷回路に ついて先に発表したが(21 今回は同調誘電休増幅器回路の直列及び並列基本回路の代表的な二三D 例を挙げてL.A.Pipesの非棋型徴分方程式D解法問に従い，解析してみよう口

2 .  

直 列 同 調 型 回 路 (1) 電 圧 増 幅 度

第 1図の様な直列同調型増幅回路に於てC叩は非直線容量とし，とれに印加される電圧Uと蓄積 される電荷qとの関係を

U =‑L‑sinh a q 

c()a  ^. (1) 

持 福 井 大 学 助 教 授

L  13 

C 

R

。

Eo 

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析

としよう。但しCoは初期容量， aは非直線常数とする。叉素子

C四に加える直流電圧をEo，搬送波電圧を Vc=Vcosωtとし，

搬送波回路D向調素子をインダグタンス L，及び可変蓄電器

C，素子を含む搬送波回路の抵抗を R，搬送波

E

且止用入力高抵

抗を R。ときめるD この回路式は非椋型となり

， . ，

^

、

' 

. . .  

V COSeOt R 

第1図 基 本 直 列 回 路

L q  

^{+ (R十 Lbcosh}

刈 己 +

^{Lbas凶 aq.qll} 

(1 ^I 

s  ¥ ・

b " .  E

。

+ {一十一¥C  Cocoshaq ) ノq + :ca. sinh aq

一 一 一

C.K

一

o 

一

ωVsinωt=O… (2) 

. (2')  或いは sinhaq， cosh aqを第二項迄展開して

t

以上を除き

L"q+ 

{~+L

^b (1+

芸 ぜ ) } ふ

^L

附守十(シ土

⁽¹⁺

子

^q

詰 ) } q 

+ 

~

^(q+

子

^qz)‑j

言 。 一

^{ωVsinωt= 0} 

但し

. (3)  b ‑ 1 /  

一

/(CoRo) 

。

^{= 1十 R /}_/Ro 

と主主る。 Laplaceの変換及び逆変換を用いると上式の解は

. (4) 

¥lノ

￠'  

ふLω 

. e e   /F l¥

︑

EU  

O C Q 

∞よ

+ 

円

向 日

Q 

一 一

口 晶

及びa⁴以上を無視すると Q~

>> 

Q~

であるが

︑

B︐J

F D 

︐/E¥ 

︑ ︐

︐

t﹀

AE EJ

Q 日 = 士

^{s凶 ー1(Co a Eo)} 

ト 会

^sinha Qo 

叉は

. (6)  Ql 

= ω 1

^")2  (1 

+ 

⁵¹⁾ 

E  〆亙干 B~

Qz=‑21kg Qi 

Q2 

=ーぞい

^oQi  24  ^. (7) 

A l 一千 ^DIQ~

Bl+

子

^Fl

Q~

^{ー (8)}

tan 仇 =

. (9) 

. (四) . (13) 

‑… ・ ・

(14)  (i 

= 

2， 3) 

ハV唱i

唱i τ i

︑ ︑

hEE

︐

r

︑ ︑

︐

Ea/

q d q a  

2 2  

噌i唱i

一 一 一 一

1a k/ BJ  

nH  

2L  

︑

︑

1E

︐

Jω 

︐ ︐

︐

tt

︑ ・ ノ

/PLEト

B/

E ‑ l t ω  

ω一2・t一

C

一 一 一

i

‑

D山 巴

︑_l

rJ

︑

₁

r1 一 也

c

α

万

' L ) ' J b

一 4

2

¥ j h / c

一 ︒

ω J 8 /

ヤ 十 九 十

L V

ト / 白 ト

/ c

γ 7 ' i t A

刊/ / 4 1 /

‑ H

一

b

c R

=

J1

一 一 二

/ Q A D R

‑ 1 /  

<Pl = i <Pl ‑ c1Jt 

を得る。イE

レ

α 

14  福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第6巻 第1・2号

C‑cn/ 

I

一/〆工干石 J

瓦EO)ll ^. (15) 

でAi，Biは非直椋常数all_{に関係，Clはパイアス}E。に者ける試料品の静電容量を表わしている司 又，

SE12A1Dl‑BIF!..wl_{=  : a}ll_一一一一  lV ll

品 ω V  

・ ・

^H

・

^H

・ . . . . . . . . . ・

^M

・ . . . . . ・

^H

・ . .

(16)  8 ~ (A.~

+ 

BDll 

ー もIDjll_十 F!!/，一一一n‑;&温/ (i 

= 

2

， 

3) 

. . . . ・

^H

・ . . . ・

^H

・

^H

・ . . . . . . . ・

^H

・ ‑ ・

(17)

/tlA

i:4 

+ 

^Bl 

AiFt 

+ 

BtDt 

adt = A; Dt ‑BiF1  (i=2，3) 

…・…

^H

・

^H

・ ‑ … . . . . . . ・

^H

・ ‑ ・ ・

(国) であるo

一方図より

Eo  b 

̲ = ̲ 1 . . .   ̲ 

~ d q 

1=E;‑E 

sinh a 

q‑EE 

となるので (4)を代入レて (5)を用いると

i 

=  . x  

11 sin (iωt ‑ Oi)  . (19)  ととlこ

Iiニ iωUl Ql 

(i= 1

，

2

， 

3)  /¥t  つ 臼 りn ︑ ︑ ︐ ︐ /

¥ ︐

︐

E﹀ aE EJ

一α一ω

6 7  

711¥ 

一十l

dv  

U 

一 一

Ot = (jJi十 Oi tan Oi 

= 竺

_z 

旦

_ω  ^{(iニ 1，2，3)}

^{. . . ・}

^H

^{・ . . . . . . . . . ・}

^H

^{・ .}

⁽²¹⁾ 

とれより L端 電 圧eLは

e. L ニ Ldi/=Z 

/ d t ¥

Et COS οωt ‑ Ot) 

ノ

EIニ

u

^{ω)llLUtQt (i= 1}

^，

^2.3) 

¥ ︑ ︐ ノ

内FU円

f r u 'h

¥  1

・

2

1p aE

︐ ノ

となる。

一般には SIく く1，(bα)2く くw²，R/R_oく く1なる故 (6)，(20)及び(14)は夫k

Q  ωV/ 

1 ‑‑;‑ /〆昌子 B~ (6 ') 

U_t ..1 

1/ ̲  1/ム 1/

/ C.2  ‑ / C ，‑‑ /.Cl 

¥lノ

¥J J F F   A U A

せ

2 1  

r r t

¥ /

︒¥

•.

•. •.

•

••

••

•. •.

•

•. •.

••

••

••

 

‑

‑

‑

‑

でC2はCとEoむときD試 料 品 の 静 電 容 量Clとり合成と註る。との外に (8)より tan ψ ← Al/ 

判 ー で /Bl ^(8 ') 

を得るo

以上より誘電体増幅器の電圧増幅度を求めようロ基本法に対しての増幅度をAv，口とすれば A  ‑OEI/ ー ムEl/ e

ピ

川 一

/aE_o^ー /ムE

。一

/eo ^. (23) 

で，乙ζにム.E1^{はパイアス} Eoが ムE()だけ変化したとき，とれに応じてのL端電圧El^の変化を 表わし .ell  eoは 夫 々 ムEllムE()が微小交流で与えられた場合を意味する。

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析 15 

さて上式は

~ ^T  ( θ

ハ ハ

^{8U1¥6α aQ()} 

ん.0=ωZ L 〔¥ 1  U ‑ ‑ i8α 十 Q""l

la

ー十一)ー一一一一一一α )  ‑8 

c r o ‑

a Eo  となりとれに上述の関係式を計算して代入すると

( A1D1‑ B1F1 ^.，;.!，  bl::α¥ 

A，世0 ω LU1 ^{V  /} 

〆瓦了平吾干¥

^A ~ ， ~2 ~ A~ 十 Bi^A 2 ， ;:21~ ¹ ω ^w +一一一)a， U~ ノ  l::Cl Qo … (24)  . . a l::Cl Qo V f(ω〉 … … … . . . ・H・......，・H ・. (24') 

fω

^w3 L叫 一 明 治 十

BD

3/l:: 慨

を得， A，官0は搬送波電圧Vに比例し，

Q

口従ってE口に関係するととが分る。

(2)  A，匂0を最大ならしめる L.

今A曽川:を最大ならしめる Lを求めるため

1..  2 ̲ ^I bl:α/ ^I 

sw

:l/  ̲̲̲bs/ ^i. 

s/ 、

k =  b:l  w²α

， 

m = b  u W  ;w²s :; 十T  / ウ/ー十c'‑ / 人co' n11‑‑ / ヲ三C I /  ( 勺チC₂C())  } 

I 

、 〉 … (26) M = 2  

(b<<s 十 1)N=sZ 十 (1/，~

_{¥  / C}

Y 

^{p =  (jJ?十bl::a:.l  )} 

2/ ，  ¥ /  ω C位ノ，

R α一Cb一d

S  . (27) 

と争くと

A~ 十 Bi=úJ' (N一ML 十 PL::l)，  Al 

D

_1‑B1 

F

1= ‑wl::(n‑m L十kL::l) となるからとれを (24)に代入し

。

^Av_/8L ‑^，o/

の ー

v 

t.J..らしめる条件を求めると

rL³十 κ

v

^a+νL十

x=o

であるD ととに

︑13ノ

00   9u  

/t¥ 

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

r 

= 11m十

r

2b2α _， κ= Kl U~ 十 K2bl::α  ν =  "'1 U~ 十 "'2b:l:α

x 

= X1 Ui十 X2b2α 

r1= 2 m P ‑ 3 k M ， κ = m M十 6kN‑ 4nP  ν1  = n M ‑ 4 m N  X1 = 2 n N 

r2=MP. ^K2=

一

(2PN十M2)， Y2=3M N， _X2=ー 2N2...

・

H

・ . .

(31) 

¥

﹄ ノ

︑ } /

ny

ハU

つ 臼

qu

/ ' h

¥ f ' t︑

︑

ttr1

ノ ︑

lk fJ

とする。 (28)の解は

L 

=l‑t 

で lの値は

11 

= 

AL^十 BL' 12= A1AL^十 A2BL'13 

= 

A2AL^十AIBL …… (33)

K一T …・ (32)

AL={-~-PB+ イ(tP41(tp心

^1/

3

^B

ペーかーイ(か r ^{+ (   ~PA)γs}

A₁ 

= す ( ‑

¹ 

⁺ 

^j 

^{〆 3 )} ，

^{A2=f(‑1ー j}

〆 3 )

^{= Ai  吋 <34)}

ν

一 r

n r  PB 

= 会 ( 二 ) 3̲  ‑ i ^{Kr~- 十} f-

16  福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第6巻 第1・2号

であるロ更に D.L=‑(4pjl十27PB²) 

と長くと根の判別は

i)  D^.Lく 0:一実根と共事

r r u

^.r二根

ii)  D.L=O:実の等根

iii)  D. L >  0:異なる三実根

となる。しかし乍ら実際は (28)より

Y

^{円 L2十ICL十 片}

YE=‑tz

^(28f〉

の交点として第2図を用いてLを求め るのが一番便利であるo

前に示した ω2

>  > 

b2 _a ，l.:U_1'. 1 

C仮定に於ては(28)の第二項は省略さ れて

rl L³

十

κ₁L²

十

111L

十

^X1

= 

0 

y 

L 

第2図 L 0 ) 決 定

・

・^H・^H ・(35) となるがこれは実用式である白 R/R口くく1で C2，C等がCoの大きさと余り変らない場合には，

1/

〉 〉 bαR， 1/~2>> ^b αR~. ß/~ ^̲" 

>> 

bR;: 

/C~ .....‑.....‑ / ピ /(C_OC₂₎ 等を (30)に代入し， (35)の右辺がOであることより各係数をC日倍すると

rlニ ω4 ω^:.1 

( 3  b

:.lい

RZ‑X)

_︑

BFJ

AU 

円J

/F t︑

︑ ︑ B E S ‑‑_﹀

4

︐ ノ

日一(%十

2w

J :

R

且 ) ， ぃ

(R

:J十方) 二 /

の様に簡単になるo実際の場合には (28っ と (3D')が用いられるロ

搬送波回路の抵抗がOであるような理想回路では上式で R=Oと告くと 一 ̲ w:.l/  一 一

1 / γ ̲1/ 

rl = ω， "1

一

/'C2'111

一 / ' d '

Al

一

/(ω2cD でとれを (28')に代入すると

(ω:<1 L C_2 ‑ 1)誼 (ω昌LC₂

+ 

1) 

= 

⁰ 

従って

w l.:L C2  1  . (36) 

となるが，とれは回路の共振(同調〉条件でp 乙の点ではAu，oはmax.にならえEい。何となれば 向調線の傾斜の急峻な点でA曹けはmax.になるからであり， max. A町は R=Oを除いた R→O

C場合に表われる。

(3)  A，世0を最大にする搬送周波数ω Lの場合と同様。A"，o/8ω=0を求めると

ハU

一 一

n x 

均P 

54

肝

但し

x =  1 ‑ w² L C2 

を得る。ととで

. (37) 

. (38) 

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析

Po = 

(切)

^{{2 N2 (P2 ‑}

1) 十~

^M2r (1 

+ 白 ) }

P1-M中民一2N 1 (由一1) 十3M 1 市 +Pl)-~叫(1叩)}

FAME(1十Pl)(

剛院)せ

N1M2(

一市吋

6M1M2r(lt

士

^Pl)

巳=‑‑2M1N2t2M川1(1tpl)tN品 目M1M2r‑12M1N3(1

寸

^Pl)

九 =2 M1 

( 9  

N1^十 ZmN1^ー 3N3)  Pij  = 4 M₁N1 

R~C2/ ー Lc2bα/ ー LC2

bs/ 

Plー )'L

，

P2一 /(R2c)

，

r一 /Cl

17 

. (39) 

M 1 うら ^~dL)

^{M2ニ 2州 1}

( 白 一 1 ) ~ . . . . … .  

(件40的〉

N1=

式 品 瓦 計 d 砂 ( F % % 色 i

²

^{一 う 泌 比} 4 4 ^泊 ω J 肘

^N叫斗2

巧

⁼

ラ 勺

^b

む 4 4

2

川

C2²

でで、ある口芙際には y 

Yl  = P/i x3十 P4XE十 P3x + P2， 

1‑ ¥

r 

^(37') 

Y2 = ‑ (P¹二 十 Pn ... _，) 

ー ¥ .x    x.. ^{ノ r}

の交点として第3図から求めればよい。

L O場合と同様な仮定の下ではよ式は簡単とえEり Po‑2 T3 

(l+3T}~)

P1= ‑(6T1+5T3) 

¥  /T

^2) ，  ¥  )，  第 3図 x (ω)の決定

巳 = ‑

(1九 十 叫‑7T3)_， P3=‑2 _{(九十町十九)，}

~

P4 = 3P/i  = 12T2 

(39') 

Tl =  11 ‑ //(_〈.CI

" n

R

" ，  

o〉， T ，..2‑pfC2Rz= 1

; ， : ' ̲ " n " ，  

_〉， Tz:l 一= ^R~/ L<，

・ . . . . ・

^H

・...・

^H

・

⁽⁴¹⁾

の様になるロととで R2→0，T3→0， T2→ ∞ 及 び T2>>T1とすると (37)_は x² (x ‑1) (x² 十 4x 十 1)

= 

⁰ 

x 

= 

^0 or 1 

とたって (36)と一致するロ

(4)  Rが搬送波電流と共に変化する場合c電 圧 増 幅 度 第1図に老けるRをRtと記し，とれが電流iと

Rt  =  R (1 十 ai2)

・ . . . ・

^H

・ ‑ … . . . ・

^H

・ . . . . . ・

^H

・ .

(42) 

x 

の関係にあると仮定するロ乙乙に R_は i=Oのときの回路抵抗，^tJは常数とするo との場合の回路 方程式は

L

石+

(R + L b cosh a q) 'q_十 Lbas凶 aq.q^:.l  (1  I 

s 

~~~t... ^̲ ̲ ¥・ b _{_:~t...__} Eo  十(_~十一coshaq) q十 sinh aq ー←~

¥ Co ‑‑‑‑‑‑....;  ... 

ca ‑...‑.... 

cRo 

(Eo  b  ¥ 

ー ω Vsin ωt十 3^tJ R _{(一一一一}sinhaq‑ q) 

¥ K O   a ノ

(b cosh aq.q

ベ)

⁼ 

^{o  . . . . . . . . . . . . . . . . … … 性}

福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第6巻 第1・2号

となって (2)と比べ最後のt1(JJ項だけが多い。

この場合も同様にして 18 

1j   uH  

fk 

¥ 1 1 1 y  

¥I II

‑/  

E  a 

} 可

i

q/ fi

¥  r ' ' ' ' t

︑

︑ ‑

f

= B  

油

V

一 一 十 回ω 一 一 刻

1一

a

一 〆

Qo  Ql  但し

. (45)  く く 1

ωAl + b  αBl 

s=~σR (1)5 V2 u /  ...1  ^I  " " " ‑LJl 

(A₁:J十BD詰

(ωA1 

>  > 

b tX Bl) . . . . … 性 と~^{(] R (1)6 V2} 

/ " " " i 主

̲1̲̲̲.̲

(Ai 

+ 

BD:l 

となる白

従って電圧増幅度A哩は

( (  ，，:JA1 D1 ‑ B1 Fl  A."  = a2CIQ_o 

。

ω LU1 / _{U I  J.J '‑'1}

_〆亙王

^{A  Q • •} _B^‑r‑._i^Q 

I  _{l .  ¥}  t 

_{III  Ai十 Bi}

\ f_~ ( ~ A1 D1‑B1 F1  D1 ¥ V α

1 i  

十 O JTT';) _ノ‑S 

i 

_{t ¥ A i}ω2 ( 5  一一一一一 j 十一一~

I

…・・ (46)

十Bi A1/ ^I  Ui J) 

︑ ︑

JJ

︐ ︐  

必

/t

︑ ︑

︑

_I

tt l'

k.，，) 

Ai+Bi  ¥  A1 D1‑ BIFl /  (20')の条件の下では上式は

A町。 (1

b=s(5‑27 

A哩

となり， Rを一定とした前の場合(24りに比べて (l‑kり倍となっている^D 即ち回路抵抗がiに 従ってRiに増すと増幅度は k."A町目だけ減少する。

在 者 (45)を用いた場合の増幅度は

A.，，= 

，~主主~Q

^{r(ω2A1 D1ー B;F1}

^{十 世} )‑Sf(5

A1Dl ‑ B1 F1  '/Ai^十Bi

l .

¥ A i  + Bi  ' m )  ^~~ l ¥ A i  + Bi 

ω D1‑b α F 1 ‑ b B I ¥ bi  i )ω2 + 3 ... 2α)I 

TT';  } I ^{a2 Cl Qo V} 

・ . . . . . . . . . . ・

^H

・ . . …

(47) ωAl^十bα B1  / ^{~ I  ~} Ui J) .. ...1 "'<11 

とれを (46)と 比 較 す る と { }の項が異っている。

(5)  出 力 波 の 歪 率 ( i ) 搬 送 波 出 力 の 歪 率

搬送波が非直観素子によって生守、る歪をKとすると

一 出

(22)を用いて

から計算されるが，

E 4

以上は極めて小さいりで i=3迄をとると

K= イ ^{K~2) 十 K73l}

⁼ 

( 内 6 J イ

(U2kEQoY+(tuskzQ1)z(48〉

となる。但し K(2)は第2高調波の基本波に対する割合いで搬送波除去の場合の歪率Ksと略同じで あり， K(s)は第3高調波むそれを表わす。従って

. (49)  K(2l^キ Ks= 

(弘)出

^2Q口Ql

kω=237tL 

^Qi 

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析 19 

である。

(ii) 信 号 波 出 力 の 歪 率

第1及び、第i高調波に対する増幅度A剖 は

r 

b2α _・ 2sQLl ̲ _~2

ん =a2 Cl Qo L 

l

可 7Qt十 ( 叫 77Jj‑aC1QJLh(kl 3)  但し

( Al Dl ‑ Bl Fl  . b2α¥ 

η1 = U₁ Ql ( "'''‑J.'一一

‑1

ー 土 十 一 一 一j

\A~ 十 Bi ^I  W² Ui J 

L. A1D1‑ B1F1 . AtDt‑BtFi，  b2α1 

7J_t=i^llUt

Qd 

_i¥"i~~:(.2.!:-'←土土十 

A i

十Bi I  A/十B/ 十 一 一 一 一I i2ω2U/1 

l

であり，信号波分の出力Erl(i=1‑‑3)は信号波を Esととする Ert 

= 

^A哩tEs  (i 

= 

1 ‑ 3)  であるから歪率Krは

Kr=

イ F シ

^Erl

^{. 〆 ん} 2 + A M

^，口

従って

Kr  ^〆7J

i + 

^7J

ち

¹ . (51)  は

/ 町 駅 九 / 除 s去 咽一一

rh

波E

D送 る 搬

なと

. (52)  が成立つ。

(6)  M結合抵抗負荷回路

第 4図

c

様な回路む方程式は次の様になるo

L L2 (1‑k2)  (q凶 十 品C叫 aq . 

q 3  

^E

。

C 

RL 

十 3a b sinh a q . q q十 bcosh aq・

q )

V  R  /  第4図 M結合抵抗負荷回路

/ ¥ … a fRL ¥ ・ 1fRL 

十 ¥ / 吐(LR_L + L2 R) q十一一(一一一C口 ¥RoL~ 十 戸jJ ~2)L2}sinh a q . q誼 + 一 ー { 一 一。\

¥  ・・ (00 ^I  L2¥    1 (  ^{ー ¥} 

+ 

s L2) cosh a q . q十 (RRL十 一 一 )q十 一 (ßRL 十一^~) cosh aq' q 

ノ ¥ cノ C o ¥ ι1'(0ノ

RC L _q'‑.1. _一一一一cRo RL ₍¥f .LT:' _E<_oU _一一一一CO1  a "sinhaqJ=ωV{R'.u1.  ̲ u.....

 

  '

， ̲

‑.1.1 ^u( ¥ⁿ L sin ωt+ωL2cjos ωt J^. L 

，  …

(53)   

イ旦し

一

L

一v

b

/ 〆 M /  

一 一

ba  . (54) 

今迄と同様に

Al = 

(尚一半)

^+ωZE526(1

ー川市)

Bl 

= 乏

^{(1ー ω2L c2) ‑ω}

長

^(ω2

^{R~- bχ)} 

¥EJノ

FD F I 3    

/{¥ 

︑ ︐

SE・ ︑ ︐

a. ︐ ︐ ︐

福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第6巻 第1・2号 20 

k^o) 

Lk b α  (1 

+ 

L  Lk 

Rk  ととに

. (56)  R 

. (57) 

• (58) 

〆ιB~ イ1 十 (ω 比f

A1‑(ω

弘)

^B1  B1十

ω ( ぅ ι )

^A1 

と長くと

Q l  

tan '11 

を得るo

従って L 中の基本波電流 11は

11 = ω U1Ql 

に (57)を代入して求められるが，一方らは

i

² 

+  (弘)

ⁱ² 

=一主主川

^wt

ー ム )

より

¥B︐ /  

円35 /'t¥ 

︑

_‑

SF t

︑

ft a‑

‑J

ら こ ‑12 sin (ωt一 利

1 

1 1 '  

^W2十b²a²  R.z; 

〆疋干

Bi tan 

v‑RL 

_{‑ /(ωL}

2) 

1₂ = ω 2 M  V  ゆ

=

Ol  ‑ ?JT， 

. (60)  ゆ)

これを用いると

R

.z;端電圧e2は

E2 sin (ωt  1₂ R.z; 

e2 

E2 

とtJ:.る口

¥3ノ

噌i

A O 

f¥ 

︑ .

・ s 'Z

﹀t

a‑

‑

/ ¥ 亘 L2

s 

D

，  = ‑

~ I 1 ‑ W² L C )ー ω......:.1一一

C ¥ ノ K.z;Co 

q ω L2 b ( ¥  

FJ ょこ ω +一 石 一 一(1‑uP LkC) 

Co  K L   C ¥ ノ

乙とで

と告くと

‑・・H・H ・.(62)  A，，=8

ち

d‑dcIQoMVUIJ(AAーB1F1 I  b:.lα )  

暫ー /8E

o

^--CA

1

:.1十 Bl~?j坦

¥←瓦?平吾了一 +ZEUf ノ

︑

3ノ︐F 

9 1M  

月b

ft

¥ 

•

︑ ︐ •

t'lJ

w² 

>> 

b2α 2 tJ:.ら

a:.l  Cl Qo 

V 

fl(ω〉

W3 M  (A₁ D₁ ‑B₁ F₁)/ 

/(A~

+ 

B~)3 /2

A" 

f l C ω

〉

となるがととで

R

.z;→∞，

M=L

J!

‑ ‑ L

と長くと

( 2 4 ' )

又は

( 2 5 )

と同様になる。

信号波のR.z;に消費される電力は

PF=EJa/=EJM

_/R

吋 Vfl(

勾 4 z

. z;  であるから Prmax.の条件は

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析 21 

al=ω2 

~:

^{(1‑w:l L .:rC2)}

^， 

^a2= 

w 

^L2 

( w

^2 Rk

一号)

as =ωLzto%， ド ーωL2

~

^{(1 ‑w2 Lk C )} 

b1 =ω2 R2

一与，い三

^{(1‑W2 L C2)} 

bs = ‑

~

^{(1 ‑ w2 L C )  ，} 

と3まくと

¥JノqJ 氏Ufk 

︑ ︐

︐

E﹀EEEノ

b4 =ω

J i .  

Co 

¥}ノ4 

GU  

J'FL

︑

¥ ︐

︐

E﹀tE

︐ ノ

r 

^(b1 RL

^十

^{al)(bsR計 ψ ( b2RL‑ a2) (b4RL‑a4)} 

^{} 十}

^2{(b1 RL

^{十 仲}

^z

+(bsRL十 as)al‑(b2 RL  ‑ a2)a4 ‑ (b4 RL  ‑ a4) a2 } 

‑6

仏 首 2 r l Y 設たえ手当 l { (

仇 河l)al

‑ (b2 RL ー a2)a2} = 0  より求まる白

(7)  M結合抵抗，容量負荷回路 第5図の回路方程式は次の様になる。

. (65) 

f 

T ̲ 1...  ̲ ̲ ̲ " L   ̲  ̲  r (D ̲  Lr.:/¥) ~l4l

L2 L: r.CL q(5l

十

_L2

l 

L :.rCL b cosh a q

十¥

RCL

十 / R

_L)

J 

^q(4l 

十 L2LιCL b as sinh a q . q4 十 4a b L2 L r.:CL sinh a q . q q 

f 

(CL T  r T  R ¥ L2 /   ̲ ][ r  L:r.

¥ 1   十れず

L2

十

_{L +}

石 川 十

EJVCL+EiE

工)

cosh aq) 

L2 ( n ̲  r  Lι¥ 

ーーは

CL+一一←ー)a2 cosh a q .q3十6a:l b L2L.:rCL cosh a q .q2 q  Co¥ RoRLJ 

十3a b L21山2ι1ιLμ北 山 晶d

C向0 ¥ RoRLJ

十主{。主主+上(主主

_{Co  l L2}

十

L)

1 

^sinh a 

q ・ ~e

^+ r(R

十 』 斗

l‑'  RL ^I  R(J ¥c ノ)~~uu.... ^{':1  ':1}  l¥ RLcノ 1 (L ，. ^ .   1 (CT.  ¥  i 

・ ・

(1 ( 

‑ ‑ : : : ‑i 

.;~

s  +

百一(子L2^十L)~ cosh a q I q十 { ー (

s 

L 目、 ~'\.L J:九O ¥し / ノ . . . . ...  ¥，;0 ¥  

T ¥ 1  )・ 1 (~\

+ ‑Ro

走 c) 

^{cosh a q +} ~

J 

^q一 而JLEo

←可瓦

^sinha q) 

/ ¥ ω L2 

十 ω 

v  ¥ 

w² L2 CL ー 1)sinωt ー ω V  Ircos ωt = O  ^{・・H・H ・.}(66) 

とれをとくと

Qo 

= 士

^sinh‑1

^{( ぃ}

^E

^{日 ) )} 

‑ : ‑ ‑ ‑ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲  ( (67)  Q1=ω~. 1‑./

疋工 B r ^V¥ 

^{/  ，(~ ‑uJ‑..2TL 2C̲ L)¥2 十r ¥}

I

ωL

^‑/R

.，/ L) ¥2  ¥ .1 

AlRLC1ーω2L2c.z;)/CωL2)_ーB

an 

! f

^l= 

-A~+ È~RLCl ^ー ω ^2L 2 cL)/CωL2f ^…

⁽⁶⁸⁾

となるロ但し

Eo 

V  R 

第5図 M結合抵抗容量負荷回路

(69) 

A142R2-bFj) 十 ω古~L ⁽

¹ 

~ w

²

L k C

2) 

‑ w

²

L

2

c L   ( w

^2 Rt‑b 

/~) i 

B1

= 乏 ( 1 ‑

^(t)2LC2)

一

ω

た

^{(ω2Rt‑bF4)ー}ω3L22(1‑dLhCE)) 福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第6巻 第1・2号

22 

であるロ従っ

τ

回路電流の基本波分の iは

i = 11 sin (ωt ‑ 81) 

11 = ω U1 Q l  

となる。一方

L

ニ J L

M s ( ω t  ‑

O 1 )  

¥1J AU 

円ifl¥ 

︑﹃'t

ノ1

一L

=  ‑

12 sin (ωtー ゆ 〉 d U1M V   RL

t I 記 7

^忌

i

1r十て一一ーー ir十 '‑‑L ^.L'‑L 

から定常状態について解を求めると

12 

. (71)  tan?[F =コ ωc~ ^，r...~ωLR^，r一一一旦ーP 

ゆ

=

^{Ol十 型TY} 2

…

⁽⁷²⁾ 

φ)  となる。従ってR_{L端 電 圧}e2は

E

2 sin (ωt 

(t)3U₁ M V  

JAiτR 

e2 

E2 

¥ノqd  

ヴifk 

•

•

︑h

st ra y

D

1

=  ~

^{(1ー 孔C)ーω}

士三‑

^(t)2 L2 

^{C L}   ~

^(1‑(t)2 

^{L k C )}  

F1 

=与

^{(1‑ w:J L2} 

^{C L )   +}

^ω

長引

^{1ー ω2}

^{L k C )}  

ここで

と金くと電圧増幅度は

‑く74)

A^{旬 ̲ .} a2 Cl QoM W3 U1 ^V (A1 

I b

^ー B1F b2α

〕

哲 一 一 一 一 一 一 一 ・一一一一 十一一一一一l

百 一 (A~十 ^BDlj2 ¥  A~

+ 

^{Bi  J  (t):J} 

^{U i  /} 

となりpωII>>b2α2 

t s . . ら

a² Cl Qo V 

f ぷ

^ω〉

ω3 _M (A1 D1 ‑ Bl F1)/ 

/(Ai十B

り

^3/2

A^旬 _¥

司i a止τ r ︐ ノ

rt

¥ 

•

• •

•

︑ ︐ •

tt

ノt

f2(ω〉 となる。

ととで

C L

^→Oとすると (62')と同じ結果となる。又M結合でなく 直接結合すれば(74)又は(74つ で k^ニ1，M=L2=Lと措けばよい。

Eo  V  第6図 基 本 並 列 回 路 R

。

並 列 同 調 型 回 路

第6図は並列同調理!回路である。 ^C2は可変蓄電器.^Csは直流阻止用 及び搬送波通過用蓄電器で試料容量c泊及び、 C2に比べ充分大きいものと

し.Eo.  V を夫々試料に加えるパイアス及び、搬送波電圧とする。

この回路方程式は

3 .  

誘 電 体 増 幅 器 の 数 学 解 析 23 

L (1

十

C2

+ 主 主

cosha q) ‑q  + L a2 _~2 cosh a q・q3

十

R

I 

⁽¹

十皇)

¥ Cs  Co ノ co "¥ Cs^ノ

f (  ...I  C2 ¥  L  I  C2 1 ̲ ̲ ̲ L  ̲  ̲  I  r，  ̲  L cー : " ' 1 ニ "nJ 

十 代

_l ¥ 1 +_{.L  C}':2J_~二一十 ?cosh a q + 3 a ;;  ':2  sinh a q . q 

I 

q

十

_Ric2

s I Co Ro R  Co J .....v"".lJ. U. 'i  ~ u. R CO ~LU.u. u. 'i  'i j吐 t

+寸前十号)}号

s凶 aq・42+(

去十土

{1+

  0 :

⁽¹

^{十 三}

^)}ωhaqJq

11 1  ~\ 1 。

豆、瓦

sinha q‑EojE‑d 

とたるがsinha q， cosh a qを第2項迄展開し

1>>

c2/csであることを用い

t

以上を無視すると L 

f 

_{t ¥ C o}  ⁽¹

十皇

)+4a2EZqzl

可 十

La2Ezdz

十

R (1 

+ 主 主r

+ 

!  a

^2主

~r

^q2 

I  4  Co ^{4 )}   Co  ¥ C o '   ~. Co 

1 

・・ 2 C2 "，..':'2...L ~ (1 ...L

1 

，，2...2¥  ・ 1̲ [  +3a2

一一

Co ^qq ) '":l "1 )  ^q '":l' ^+ R A~... ^a2 ~2 CO 

^r 

I ^q '":l  '^q":l²  

+一

C o ¥ 2

t

1 + _~ a2 q2 ) ノq

一 . . .

Cs~ Ro il Eo 

1 (~I 1 ~2 四3\1

一 一 (Co¥q 十~t J ノa2 q3) } J‑w³ L C2 V sinωt十w²C2 R V cos ωt=O

…

(75勺 を得るo但し

r  = 

^{1 十 一 ] 二 ‑}_RoR c

2  ^. (76) 

とする白押は (4) むように山一般には Q~

> >  

Q~，

^Q口>>Q2， 1 > > 計 百 ' w² R > >つ

17

^{であるので Qo}

^，

^{Q11  Q2}

^， 

Qs等 は 夫 吋 の よ う に な る 。

....s ~'\.o....o

Qc 

= 士

^{s凶 ‑1(Co a Eo)} 

Q1=ffE(1‑s)‑dC2% 

ー ノ

門i

月ifk 

︑_h

gE

﹀4.

︐

J

Q2 = ‑

  : 4

a2K2QoQ~

， 

Qs = ‑ 21 4 _a2K8Q~ ・ H ・-…"'....'"・ H ・. (78) 

と 乙

t

こ

s  a Z / Y  A1F1十 BtDl 1 

8 い

^{2C2Vj Ai}

十m‑p‑

く く 1 ・・……・……^H ・^H ・‑・・ 〈的 Y  J  A 

+ 

E 

ん V

一R 一 十 ^一L

. (80)  K

，  =  vb

^t2 

+ 

Ftl:l// 

，ー /J

瓦仁1‑Btl:l  (i=2， 3) 

A

ベ

^{iωJR(1十7 ¥ )，Bt=} 

^{( z '}

^ωJ 

^{( 川}

k‑μωCl)  ) 

ト(z'作 ( Z "

ω L ‑ W ω C

2)

ト

^{( i F}

ピ )  ミ   . . .

⁽⁸¹⁾ 

k 

= 

1 十 C

イ ち

/  ....1 

. (82)  である凸

又位相角は

B1

十 附 ) ̲ w : (九十FIQ~)

^B1‑A1

悦

tan C{Jl=二 一 ← 一 一 一 一 一 / … … (83) 

Al 守2F 1 Qî) サ(叶a2DIQ~) 寸 Al 十B1%