運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー

(1)

普遍教育専門基礎科目普遍教育専門基礎科目普遍教育専門基礎科目

普遍教育専門基礎科目(07322103)(07322103)(07322103)(07322103)

物理学物理学物理学

物理学B( B(特 B( B( 特)) 特特 )力学入門 ) 力学入門11 力学入門力学入門 1 1

劉浩劉浩劉浩劉浩

Physics BI: Introduction to Mechanics 1

(2)

［［［

［授授授授業業計業業計画計計画・画画・授・・授業授授業内業業内容内内容］容容］］］

１１１

１...座.座座座標標系標標系、系系、位、、位位位置置置置ベベベベククトククトルトトル、ルル、、、速速速速度度、度度、加、、加速加加速速速度度度度ななどななどのどどのベののベベベククククトトトトルル表ルル表現表表現現現２２２

２...物.物物物体体の体体の運のの運動運運動動動とととと運運運運動動の動動の第のの第１第第１１１、、、、第第２第第２、２２、第、、第第第３３３３法法則法法則の則則の関のの関関関係係係係おおおおよよびよよび慣びび慣性慣慣性性性座座座座標標系標標系系系３.運動方程式から運動の変化は力積で表せる力積と物体の衝突

４.１次元の運動、運動方程式の積分により直線上の運動、単振動等５５５

５...力.力力力とと運とと運動運運動エ動動エエエネネネネルルルルギギーギギー及ーー及び及及びびびポポポポテテンテテンシンンシャシシャャャルルルルのの保のの保存保保存性存存性性性６６６

６...抵.抵抵抵抗抗を抗抗を受をを受け受受けけけるるるる物物物物体体の体体の２のの２次２２次次次元元元元運運動運運動動動７７７

７...円.円円円運運動運運動と動動と向とと向向向心心心心力力力力及及び及及び遠びび遠心遠遠心心心力力力力８.中間試験

９９９

９...力.力力力のの変のの変化変変化と化化とととエエエエネネネネルルギルルギーギギーとーーとととのののの関関係関関係、係係、仕、、仕仕仕事事事事とと運とと運動運運動エ動動エエエネネネネルルルルギギーギギーのーーの関のの関関関係係係係 111

10000...力.力の力力のポののポテポポテンテテンンンシシャシシャルャャルとルルと保とと保存保保存存存力力力力 111

11111...ケ.ケプケケプラププラーララーのーーののの第第１第第１、１１、第、、第２第第２、２２、、、第第３第第３法３３法則法法則と則則ととと万万有万万有引有有引力引引力の力力ののの法法則法法則則則 111

12222...惑.惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動動動とと中とと中心中中心力心心力の力力の関のの関関関係係、係係、中、、中心中中心力心心力力力とと面とと面積面面積速積積速度速速度度度 111

13333...太.太陽太太陽の陽陽の引のの引力引引力力力とと惑とと惑星惑惑星の星星の運のの運運運動動動動、、人、、人工人人工衛工工衛星衛衛星星星、、中、、中心中中心力心心力と力力とととククーククーローーロンロロン力ンン力力力 111

14444...角.角運角角運動運運動量動動量、量量、、、角角運角角運動運運動量動動量ベ量量ベベベククククトトルトトルのルルの性のの性質性性質質質 15.期末試験

(3)

運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー

Chapter 3:

(Motion and Energy)

F=ma=d ² r/dt ² ：

力と運動に具体的な形を与える。

(4)

ニュートン力学の運動３法則

慣性座標系における運動方程式：

F= dp/dt =d(mV)/dt

=ma=mdV/dt=md

²

r/dt

²

運動方程式の建て方と解け方・力の釣り合い（方程式建て）

・積分（解を求める）

運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分

・初期条件（解を定める）

o i

j k

軸軸軸 x軸軸軸軸

y軸

P(x,y,z)

r(P)

(5)

１次元の運動とエネルギー１次元の運動とエネルギー１次元の運動とエネルギー１次元の運動とエネルギー

＠直線上の運動＠斜面に沿う運動＠単振動

＠エネルギー保存

２次元の運動とエネルギー２次元の運動とエネルギー２次元の運動とエネルギー２次元の運動とエネルギー

＠放物体の運動

＠円運動（円錐振り子）

＠２つの単振動の組み合わせ＠仕事とエネルギー

＠力のポテンシャルとエネルギーの保存

運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー Chapter 2:

(Motion and Energy)

(6)

１方向の運動：１方向の運動：１方向の運動：

１方向の運動：

運動方程式：運動方程式：運動方程式：

運動方程式：

m ^d ² ^r/dt ² =f(r,v,t) m ^d ² ^x/dt ² =f(x,v,t)

直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動 Chapter 3-1:

(Motion along a straight line)

m f

x

(7)

力が力が力が

力が働かない場合：働かない場合：働かない場合：働かない場合：

f=0

v=v

₀

,

等速運動等速運動等速運動等速運動

力が一定の場合：力が一定の場合：力が一定の場合：

力が一定の場合：

f=f

₀

a=a

等加速度運動等加速度運動等加速度運動等加速度運動＠自由落下：＠自由落下：＠自由落下：

＠自由落下：

0

,

f=mg

力が力が力が

力が速度に比例する場合：速度に比例する場合：速度に比例する場合：速度に比例する場合：

f=-mg-bv

mdv/

最終速度は？最終速度は？最終速度は？

最終速度は？

dt=-mg-bv (b>0)

直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動 Chapter 3-1:

(Motion along a straight line)

(8)

速速速

速度度vv度度vv にに比にに比例比比例す例例すすするる抵るる抵抗抵抵抗cc抗抗cmmmcmvvvv ((((ccc >>>c > 000))0)を)ををを受受受受けけけけなながなながらががら落らら落落落下下下下すするすする質るる質量質質量量量mmmmのの物のの物体物物体体体ののの

の運運動運運動動動をを考をを考え考考えるええる．るる．．．以以下以以下の下下の問のの問に問問に答にに答答答ええなええなさななさいささい．いい．．．（（（（鉛直上方を正の方向と））））

（（（

（１１）１１）））運運動運運動方動動方程方方程式程程式式式をを導をを導き導導きなききなさななさいささいいい．．．．

（（（

（２２）２２）））ttt===t=0000ででvvででvv====vvvv₀₀₀₀ののののとときととき，きき，運，，運動運運動方動動方方方程程式程程式の式式の解のの解を解解ををを求求め求求めなめめなさななさいささいいい．．．．

（（（

（３３）３３）））時時間時時間が間間が十がが十分十十分分分にに経にに経過経経過し過過したししたとたたとととききのききの速のの速度速速度（度度（（（終終端終終端速端端速度速速度）度度）））vvvv_∞_∞_∞_∞をを求をを求め求求めなめめなさななさいささいいい．．．．せよ

＊＊＊

Chapter 3-1 ＊ : 直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動

(力が速度に比例する場合)

解答：

（１）落下速度と抵抗の方向は正反対，物体に働く力は重力と抵抗力の合計で，

-mg-cmvとなる．

（２）（１）の運動方程式について時間tに対して積分する．

初期条件，t=0におけるv=v₀により，

(9)

力の力の力の

力の釣り合い：釣り合い：釣り合い：釣り合い：

F

_N

= N-mgcos θ

F

_x

= mgsin θ - f = mdv/dt

発展問題：摩擦力

(friction)

＠静止摩擦力：

f

₀

= µ N= µ mgcos θ , µ =tan θ

_m ＠すべり摩擦力：

fs < f

^max₀

= µ µ µ µ

_max

N

斜面に沿う運動斜面に沿う運動斜面に沿う運動斜面に沿う運動 Chapter 3-2:

(Motion along a slope)

N

mg f

θ x

(10)

フックの法則フックの法則フックの法則

フックの法則 (((( バネバネバネバネ ): ): ): ):

（仮定：微小変位）（仮定：微小変位）（仮定：微小変位）

（仮定：微小変位）

f = -kx

運動方程式：運動方程式：運動方程式：

運動方程式：

md ² x/dt ² = -kx d ² x/dt

＠常微分方程式の一般解：＠常微分方程式の一般解：＠常微分方程式の一般解：

＠常微分方程式の一般解：

2 +(k/m)x =0

位相

Chapter 3-3: ^: ^単振動 ^単振動 ^単振動 ^単振動

(Simple oscillation)

m

バババ

バネネ：ネネ：：：

f

o

x

(11)

単振動は周期的運動単振動は周期的運動単振動は周期的運動単振動は周期的運動

振幅振幅振幅

振幅

, , , ,

(periodic motion)

位相（初期位相）位相（初期位相）位相（初期位相）

位相（初期位相）

, , , , a

周期周期周期

周期

, , , ,

δ

T=2 π π√ π π √ √ √ (k/m)

、振動数、振動数、振動数、振動数

1/T

、角振動数、角振動数、角振動数、角振動数

ω ω ω ω

単振動の変位と速度を求め単振動の変位と速度を求め単振動の変位と速度を求め単振動の変位と速度を求め

x = asin( ω ω ω ω t+ δδδ δ ) v =?

初期条件

: x

₀

, v

₀

Chapter 3-3: ^: ^単振動 ^単振動 ^単振動 ^単振動

(Simple oscillation)

m

バババ

f

o

x

(12)

振り子振り子振り子 Chapter 3-3: 振り子

(Simple pendulum)

本質は１次元運動本質は１次元運動本質は１次元運動本質は１次元運動

::::

（仮定：微小変位）（仮定：微小変位）（仮定：微小変位）

（仮定：微小変位）

sin θ = θ , s= θ l

運動方程式：運動方程式：運動方程式：

運動方程式：

md

²

s/dt

²

= -mgsin θ d

²

θ /dt

²

+(g/l) θ

＠常微分方程式の一般解：＠常微分方程式の一般解：＠常微分方程式の一般解：

＠常微分方程式の一般解：

=0

位相

θ

s l

T

mg

(13)

［［［

［授授業授授業計業業計画計計画・画画・授・・授業授授業内業業内容内内容］容容］］］１１１

１....座座標座座標系標標系、系系、位、、位置位位置ベ置置ベクベベクトククトルトトル、ルル、速、、速度速速度度度、、、、加加速加加速度速速度な度度などななどどどののののベベクベベクトククトルトトルルル表表表表現現現現２２２

２....物物体物物体の体体の運のの運動運運動と動動と運とと運動運運動の動動の第のの第１第第１、１１、第、、第第第２２２２、、第、、第３第第３法３３法則法法則則則のののの関関係関関係お係係およおおよよよびびびび慣慣性慣慣性座性性座標座座標系標標系系系３.運動方程式から運動の変化は力積で表せる力積と物体の

４４４

４...１.１次１１次元次次元の元元の運のの運動運運動、動動、運、、運動運運動方動動方程方方程式程程式の式式ののの積積積積分分に分分によにによりよより直りり直直直線線線線上上の上上の運のの運動運運動動動、、、、単単振単単振動振振動等動動等等等衝突

５.力と運動エネルギー及びポテンシャルの保存性６６６

６...抵.抵抗抵抵抗を抗抗を受をを受け受受けるけける物るる物体物物体の体体の２のの２次２２次元次次元運元元運運運動動動動７７７

７....円円運円円運動運運動と動動と向とと向心向向心力心心力及力力及び及及び遠びび遠心遠遠心力心心力力力８.中間試験(６月８日)

９９９

９...力.力の力力の変のの変化変変化と化化とエととエネエエネルネネルギルルギーギギーとーーとのととの関のの関関関係係係係、、仕、、仕事仕仕事と事事と運とと運運運動動動動エエネエエネルネネルギルルギギギーーーーのの関のの関係関関係係係 111

1000..0..力力の力力のポののポテポポテンテテンシンンシャシシャルャャルとルルと保とと保存保保存力存存力力力 111

1111..1..ケケプケケプラププラーララーのーーの第のの第１第第１、１１、第、、第２第第２、２２、第、、第第第３３３３法法則法法則と則則と万とと万有万万有有有引引引引力力の力力の法のの法則法法則則則 111

1222..2..惑惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動と動動と中とと中心中中心力心心力の力力の関のの関係関関係係係、、、、中中心中中心力心心力と力力と面とと面面面積積積積速速度速速度度度 111

1333..3..太太陽太太陽の陽陽の引のの引力引引力と力力と惑とと惑星惑惑星の星星の運のの運動運運動、動動、、、人人人人工工衛工工衛星衛衛星、星星、中、、中中中心心心心力力と力力とクととクーククーーーロロロロンン力ンン力力力 111

1444..4..角角運角角運動運運動量動動量、量量、角、、角運角角運動運運動量動動量ベ量量ベクベベクトククトルトトルのルルの性のの性質性性質質質 15.期末試験

(14)

概念：エネルギーとは、概念：エネルギーとは、概念：エネルギーとは、

概念：エネルギーとは、

運動エネルギー：

1/2 mV ²

位置エネルギー（ポテンシャル）：

mgh

エネルギー保存:

1/2 mV ² ₊ + ₊ + mgh=

一定

Chapter 3-4:

(1D motion and energy)

A

B

E

θ r h₀

H

(15)

数学的表現：数学的表現：数学的表現：

数学的表現：

運動方程式より導出、運動方程式より導出、運動方程式より導出、

運動方程式より導出、

m d

²

x/dt

²

=f(x), f(x):

位置

_x

だけの関数

m(dx/dt) d

²

x/dt

²

dt = f(x)dx (1)

mv dv/dt dt = f(x)dx (2) 1/2m d v ² = f(x)dx (3)

1/2mv ² = ∫∫∫∫ f(x)dx + 1/2mv

₀

運動エネルギーの変化＝力の仕事運動エネルギーの変化＝力の仕事運動エネルギーの変化＝力の仕事運動エネルギーの変化＝力の仕事

2 (4)

Chapter 3-4:

(1D motion and energy)

(16)

運動エネルギーと位置エネルギー：運動エネルギーと位置エネルギー：運動エネルギーと位置エネルギー：

運動エネルギーと位置エネルギー：

運動エネルギー(Kinetic energy)：

K=1/2mv ²

位置エネルギー(Potential energy)：

U(x)=- ∫∫∫∫ ^xf(x)dx

f(x)=-dU/

全エネルギー全エネルギー全エネルギー全エネルギー

dx

力学エネルギー：力学エネルギー：力学エネルギー：

力学エネルギー：

( Mechanical energy)

：：：：

E = K+U = 1/2mv +U ²

全エネルギー保存の法則

( Law of conservation of ener )：

Chapter 3-4:

(1D motion and energy)

(17)

重力の位置エネルギー

((((

１次直線図示

))))

：：：：

f = -mg

1/2mv E = ² + mgx = mgh

v=?

バネの位置エネルギー（２次曲線バネの位置エネルギー（２次曲線バネの位置エネルギー（２次曲線バネの位置エネルギー（２次曲線

図示）：）：）：）：

f = - kx

_1/2mv ^{E =} ² ^{+ 1/2kx} ² ^{= 1/2ka} ²

v=?

演習問題：例題１

エネルギー積分と運動の関係 E =

1/2mv + 1/2mx

² ²

１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例

Chapter 3-4:

x h

m

バババ

f

o

x

(18)

単振動の相平面

(Phase plane)

：：：：

f = - kx

E = 1/2kx 1/2mv ² ² +

² /(2E/k) + x v ² /(2E/m) = 1

１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例１次元運動エネルギーの例

Chapter 3-4:

m

バババ

f

o v x

x a

b

v

x

(19)

一般の力：：：：

f = f(x)

フックの法則を満たさない振動

エネルギー保存：エネルギー保存：エネルギー保存：

エネルギー保存：

E = 1/2mv ² + U(x)

フックの法則は破綻？

１次元の一般の運動１次元の一般の運動１次元の一般の運動１次元の一般の運動

Chapter 3-4:

m

バババ

f

o

x

E

U U K

A B

微小振動

運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー

物理学 物理学 物理学

物理学B( B(特 B( B( 特)) 特 特 )力学入門 ) 力学入門11 力学入門 力学入門 1 1

Physics BI: Introduction to Mechanics 1

運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー

Chapter 3:

(Motion and Energy)

F=ma=d 2 r/dt 2 ：





F= dp/dt =d(mV)/dt

=ma=mdV/dt=md

r/dt



運動方程式（微分方程式）を積分 運動方程式（微分方程式）を積分 運動方程式（微分方程式）を積分 運動方程式（微分方程式）を積分





運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー 運動とエネルギー Chapter 2:

(Motion and Energy)



 m d 2 r/dt 2 =f(r,v,t) m d 2 x/dt 2 =f(x,v,t)

直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動 Chapter 3-1:

(Motion along a straight line)

m f

x

 f=0

v=v

,

 f=f

a=a

,

f=mg

 f=-mg-bv

mdv/

dt=-mg-bv (b>0)

直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動 Chapter 3-1:

(Motion along a straight line)

＊ ＊ ＊

Chapter 3-1 ＊ : 直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動 直線上の運動



F

= N-mgcos θ

F

= mgsin θ - f = mdv/dt



(friction)

f

= µ N= µ mgcos θ , µ =tan θ

fs < f

= µ µ µ µ

N

斜面に沿う運動 斜面に沿う運動 斜面に沿う運動 斜面に沿う運動 Chapter 3-2:

(Motion along a slope)

フックの法則 フックの法則 フックの法則

フックの法則 (((( バネ バネ バネ バネ ): ): ): ):



f = -kx

運動方程式： 運動方程式： 運動方程式：

運動方程式：



md 2 x/dt 2 = -kx d 2 x/dt

2 +(k/m)x =0

Chapter 3-3: : 単振動 単振動 単振動 単振動

(Simple oscillation)

m

f

o

x



, , , ,

(periodic motion)

, , , , a

, , , ,

δ

T=2 π π√ π π √ √ √ (k/m)

1/T

ω ω ω ω



x = asin( ω ω ω ω t+ δδδ δ ) v =?

: x

運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー

物理学物理学物理学

物理学B( B(特 B( B( 特)) 特特 )力学入門 ) 力学入門11 力学入門力学入門 1 1

運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー

F=ma=d ² r/dt ² ：

運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分運動方程式（微分方程式）を積分

運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー運動とエネルギー Chapter 2:

m ^d ² ^r/dt ² =f(r,v,t) m ^d ² ^x/dt ² =f(x,v,t)

直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動 Chapter 3-1:

f=0

f=f

f=-mg-bv

直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動 Chapter 3-1:

＊＊＊

Chapter 3-1 ＊ : 直線上の運動直線上の運動直線上の運動直線上の運動

斜面に沿う運動斜面に沿う運動斜面に沿う運動斜面に沿う運動 Chapter 3-2:

フックの法則フックの法則フックの法則

フックの法則 (((( バネバネバネバネ ): ): ): ):

運動方程式：運動方程式：運動方程式：

md ² x/dt ² = -kx d ² x/dt

Chapter 3-3: ^: ^単振動 ^単振動 ^単振動 ^単振動

Chapter 3-3: ^: ^単振動 ^単振動 ^単振動 ^単振動

振り子振り子振り子 Chapter 3-3: 振り子

1/2 mV ²

1/2 mV ² ₊ + ₊ + mgh=

_x

mv dv/dt dt = f(x)dx (2) 1/2m d v ² = f(x)dx (3)

1/2mv ² = ∫∫∫∫ f(x)dx + 1/2mv

K=1/2mv ²

U(x)=- ∫∫∫∫ ^xf(x)dx

E = K+U = 1/2mv +U ²

1/2mv E = ² + mgx = mgh

_1/2mv ^{E =} ² ^{+ 1/2kx} ² ^{= 1/2ka} ²

E = 1/2kx 1/2mv ² ² +

² /(2E/k) + x v ² /(2E/m) = 1