[ 東京工業大学 1968 年 １ ]
不等式
ab 1 ≦ abc ≦ bc ca ab 1
を満たす自然数a b c , ,
のすべての組を求めよ。 ただし，a b cとする。
1
abc ≦ bc ca ab
において a b c であるから abcabababab4ab すなわち c4 であるから自然数cはc 1, 2, 3
のいずれかである。(ⅰ) c1のとき
1
ab ≦ abc
を満たさないので不適。(ⅱ) c2のとき
1
abc ≦ bc ca ab
より2 ab ≦ 2 b 2 a ab 1
⇔( a 2)( b 2) ≦ 5
2a b より
b ≧ 3, a ≧ 4
であるから b3，a 4, 5, 6, 7
である。
(ⅲ) c3のとき
abc ≦ bc ca ab 1
より3 ab ≦ 3 b 3 a ab 1
⇔2 ab 3 a 3 b 1 ≦ 0
⇔
(2 a 3)(2 b 3) ≦ 11
となるが，
b≧ 4
より2 b 3 ≧ 5
かつ2 a 3 ≧ 7
なので成り立たない。(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)より
