統計的データ解析２０１３

(1)

統計的データ解析２０１３

2013.10.28 林田清

（大阪大学大学院理学研究科）

(2)

問題Ａ

1.

独立でない測定値

u,v

と、その関数ｘ

=f(u,v)

の具体例をひとつあげよ。この例において、誤差伝搬則で共分散を無視するか考慮するかで、

x

の誤差が過大評価されるか過少評価されるか、定性的に述べよ。（井上２）

2.

あるきめられた時間Ｔ

(s)

の間に、１個の放射線検出器を用いて放射線源の強さを測定する。ソースを測定しているときの（バックグランド込みの）カウントレートの期待値が

r(c/s),

ソースを外したときのカウントレートの期待

値が

b(c/s

）であるとき、時間Ｔのうちでソース測定の時間をいくらにとるの

が最適か？（吉田）

3.

ある

1

本の棒の長さに関して

x ₁ ,x ₂ ,…,x _n

の

n

回分の測定値がある。測定誤差は個々に異なる

s _i

と仮定して、この棒の長さを最尤法で推定せよ。

(

内田）

4.

独立な二つの測定量

x,y

が

s _x ,s _y

の誤差をもっているとき、

x+y

の誤差は誤差伝搬則を使うと

sqrt(s _x ² +s _y ² )

とかける。

x,y

が正規分布に従うことから出発して、これを証明せよ。（

Taylor

の本の

p.153

を参照；

5.53

式は

1/2

間違い？）（片多）

5.

あるコインの表が出る確率を

p

を評価したい。

10

回投げる実験をしたところ

4

回表が出た。最尤法により、

p

を推定せよ。（吉永）

(3)

データのモデル化、あてはめ (Fit) 、回帰



ばらつきのある測定値に適当なモデル（直線や曲線）であてはめること



モデル



直線の場合。。。線形回帰



多項式の場合



一般の関数の場合



データの誤差



各点共通の場合



各点で重みが異なる場合



モデル点のまわりのばらつき



正規分布の場合



それ以外の場合

0 5 10 15

0 2 4 6 8 10

X

-1 0 1 2 3 4 5

0 2 4 6 8 10

X

(4)

最小二乗フィット ( 例：直線モデル）１

0 0

0 0 0

0 ( )

,

, ( )

( )

i i

i i i

x y x y

y x ax b

a b

a b y x a x b

y y x s

 

測定値の組( , )があり、独立変数と従属変数の間の関係を　

で近似するとき　、に関する最も確からしい推定値はどうやって決められるか？

母集団における係数をとし、”真”の関係式を

さらに測定値は平均値、標準偏差の正規分布に従うと仮定する。

0 5 10 15

0 2 4 6 8 10

X

正規分布に従う

母集団から標本

を 1 個採ってくる

のが測定

(5)

最小二乗フィット ( 例：直線モデル）２

2 0

0 0

1 1 1

1 1 ( )

exp 2 2

( )

1 1

( , ) exp

2 2 , ( ,

i i

i

i i

i

n n n

i i

i

i i i i

i

y P

y y x P

n y

y y x

P a b P

a b y

P a b

s  s

s   s

 

    

 

   

   

 

 

      

   

                         

を観測する確率（密度）は

個の観測値の組を得る確率（密度）は

同様に任意の係数推定値に従うときに観測値の組を得る確率（密度）は

2 1 1

0 0

1 1 ( )

) exp

2 2 ( , )

( , ) ( , ) ( , )

n n

i i

i i i i

y y x

P a b

P a b a b a b

s   s



 

      

   

                       

観測は母集団から採取する操作。　

の最大値を与えるようながの最尤推定値。

最尤法の考え方

(6)

最小二乗フィット ( 例：直線モデル）３

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2

2 2 2

2 1 1

2

2 0, 0

,

1 1

1 1 ( )

( , )

i i i i

n n

i i i

i i i i i

i i i i

i i

i i i

i

i i i i

a b

x y x y

a

x y x x

y y

y

x y ax b

P a b

b

x x

 



s s s s

s s s

 s s

s

s s s



 

   

 

 

   

  

 

   

  

 

  

      

 

 

   

   

   

  

 



a b からを最小

を最大にする

にす

＝を最小にす

とし

ただ

る

るて

し

2  

 

二乗の和を最小にするので最小二乗フィットと呼ぶ。

 ² フィットともいう。

 

2

2 2 1

2 2

1 , )

,

, ) ( )

1 ,

1

n

i i

i i i

i

i i

i

i i i i i

i i

y ax b a b

x y x

a n x y x y

b x y x x y

n x b

x

ax a b

 ^ s

_

^

 



 

  







  

   



 

2

各点の誤差が同一のとき

を最小にする( を求めることは、各測定点とモデル点 ( の距離のニ乗和を最小にするを求める

ただ

価

し

ことと等

(7)

グラフの書き方、フィッティングの練習

 gnuplot

 インターネットで参照できる日本語のマニュアルもあり

 http://lagendra.s.kanazawa-u.ac.jp/ogurisu/manuals/gnuplot- intro/

 http://lagendra.s.kanazawa-u.ac.jp/ogurisu/manuals/gnuplot/

 qdp

 Excel を利用した最小二乗フィット

 サンプルのデータ



直線モデル用その１

xye.dat

直線モデル用

http://133.1.160.249/~hayasida/Class/Class2008/xsx_ysy.txt



ガウシアンモデル用

http://133.1.160.249/~hayasida/Class/Class2008/gaussian.txt

(8)

gnuplot の練習

 データファイル

（例えば）

xye.dat を用意する。

1.0 2.2 0.2 2.0 2.9 0.1 3.0 4.3 0.3 4.0 5.0 0.1 5.0 5.8 0.3

 端末で gnuplot とうつと起動する。続いて以下の操作を試してみる。

 plot "xye.dat" using 1:2:3 with yerrorbars

 set xrange[0.0:7.0]

 set yrange[0.0:7.0]

 f(x)=a*x+b

 fit f(x) "xye.dat" using 1:2:3 via a,b



（ここで表示されるフィット結果を理解せよ）

 replot f(x)



次に、各点の誤差を無視した（重みづけなしの）フィットを比較のためやってみると

 g(x)=c*x+d

 fit g(x) "xye.dat" using 1:2 via c,d

 replot f(x),g(x)

(9)

qdp によるグラフ表示、フィットの練習

 データの用意、 gnuplot 用の xye.dat を使用する。ただし、 3 列目が y のエラーであることを指定するために、ファイルの先頭に read serror 2という一行を追加する。

 端末で（常深研標準の設定している場合） headas とうつ

 qdp ファイル名でグラフ表示されるはず

 表示範囲を指定したい場合は r x 0.0 7.0 とか。詳しくはマニュアル参照のこと。（ xspec の plot コマンドとほとんど同じ）

 http://heasarc.gsfc.nasa.gov/ftools/others/qdp/qdp.html

 直線モデルによるフィットは

 model linr cons



パラメータの初期値入力

 fit

(10)

Excel を利用したフィティングの演習

 Excel でソルバーを利用して  ² の最小値を求める。

 サンプル Excel ファイル

 http://133.1.160.249/~hayasida/Class/Class2010/m1m2se

minar/20101117_fitting.xlsx

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