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例で学ぶ作用環入門

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例で学ぶ作用環入門

その他のタイトル Introduction to operator algebras by examples

著者 楠川 雅治

雑誌名 理工学と技術 : 関西大学理工学会誌 =

Engineering & technology

巻 24

ページ 1‑12

発行年 2017‑12‑20

URL http://hdl.handle.net/10112/12455

(2)

関 , , り大学

J!I

江 学 会 誌

.fll

工 学 と 技 術

24 (2 0 7

解 説

例で学ぶ作用環入門

ITI 

牙 伯

* 

>

Introduction to operator algebras by examples  Masaharu KU SUD A 

1. 

は じ め に

作) II 素閑論は 1児数解析学(古い Ii" い方では位~'I I 解析 学)の中の 一つの分野であり

.こ

こでいう羽とは多元 閑の

ことである.多元閑とはベクトル空間で あ っ て

梢が定義されていてその利

t

が双線)利であるものをい

. またここ

いう作

/ I I 素とは. ヒルベルト

<HIi

lI

 .

の 連続な線捌

'lj'.

像のことである . (これらの正確な定義 は後で述べる

)関数解析学では線型写像を線)利作

I I   索というのが一般的である.すなわち

m

索閑とは.

ヒルベルト空間

I.

の連続な線

1利作)

I I 索のつくる多

Jじ屎

である. (さら

に作)

I I 索の収束の議論ができるような 構造を定義する必災がある.)

作用索斑にはフォン

ノイマン環と

c‑‑

政じの

2

種 類 があり

.こ

の両者の迩いは.位相構造の辿い ( 大雑把 にいえば環の)じ に対する収束 のさせ方の方法の辿

い)

である

なおフォン ・

ノイ

マ ン と は

201

紀前

半から

"'

頃に活躍したハンガ

リー

のイ

i名な数学者の

名前 であ り . フォン

ノイマン瑛を蒋人してその基礎を築いた 人 で あ る こ の 解 説 で は . 位 相 の 定 義 は 述 べ な い が 位111 の定義

によりフォン ノイマン屈は C—斑である

ことを

fi1ilji. 

に知 ること

がで

きる

この

W(説ではc‑

について述べる

フォン ・

ノイマン政 !はc‑‑

屎である が 研 究 す る と き に は . フ ォ ン ・ ノイマン屎と

C

這ー翡

t'

はテクニックが大きく異なる

I I 索段

t'

は.数学専攻 で あ っ て も 大 学 学 部 で は 学 ぶ 機 会 が な い の で こ の

/1r

説では作) I

I

索 耽 の 碁 礎

レベルを終

えた人なら誰でも

っている

l

名 な い く つ

かの例を 通 し て 理 工 系 学 部

で微秘分と線煎

代数を学んだ学生諸れ

に.

c‑‑

環の定

J

以稿受付 平成2 9年 9 月 2 5 1 1

*システム只 H 」方碕

JI

数 学 科 教 授

義に馴染んでもらうことを 1 1

とする

§2ではこの解説を誠むのに必要となる), 日 本的な 概念の定義をも

れなく述べる

.

§3

以降で.定義が述 べられていない ( 位相に関する )砧

(l"J

川語が

/I',

てくる と こ ろ が あ る が そ こ は 無 視 し て も ら っ て も あ と の 理解に如節はないので気にしないでほしい ;J,~ 本的な

定義のあ

と. フォ

・ ノイマン屎と C ' ー印の雛型とも 言 え る も の で

泣 も 簡

単 な 例 で あ る 行 列 屈 と 可 換 な

C—環である 1及l 数炭について述べる

.行

列環は作

川索 閑の例としては

ri明す ぎ て 数 学的には1/ii

くないけ れども .

 r,:i

淡な例を構成するときや枯礎理論を構築す るときに利川するので

爪災であ

る ま

た甚本的

な定理 を証

l

l

なしに述べ るがその、意味は分かると

§3 では最近の C—環の

中心

テーマである分類理

論で泊蹄する具体な例の

Cuntz

閑を. §4では

.c

i

を非 叫 恕幾何学とみる

最近の流行において,iJi

要 な 役割 を呆たす 非

11]

ト ー ラスを述べる . §5で は 数

理物刑

特に絨了・ 統計力学の数学的枠組みで重要な役 割を果たす CAR 瑛 を 最 後 の §6 で は 秤 か ら 1 作の

研究にC'

ー屎が使われ.群と

C'

棗 の 関 係 が 深 い が それがわかるような

を述べる

2

基 本概念の定義

通常. I 刈数解析学ではベクトル空間 といえば.複索 数全体の集合

CJ. 

で考える . この解説を通してベクト ル空間ば常に

C 

!

.

で考える

また実数全

1

の集合を常 に沢で表すものとする.

まず

'lj'.f

象の定義を復洲する .

X, 

y を 1-1~ 合とする

T

X

から

Y

へ の 写像であるとは

.X

の各冗

X

に対 して

.i

・  の ) じ

yをただひとつ対応させる規則であるこ

とをいう

このとき

T:X E  X→ 

y と , I ¥

:

き 'y は

(3)

T(x)と表わされる.y

が数の集合であるときは

特に

T

のことを関数と呼ぶ任慈の功

:f:.X2

に対して,

T

( 打 )

:f:. T

( .   巧)がいつも成り 立 つとき

T は単射であ るという

また

(T

( x )

.r X} Y

が成り立つとき.

は全射であるという,

定義2.1.

X は 集 合 と す る.

( x

y) 

X→ 

d(y)

ERは1 対数で,次の条件

(1)(3)

を泌

i

たすとき

dを XI・.

の距離 ( d

i

stance

.metric

) という

(1ff

心 の X

.

y E  X に対して

.d(x,y

) ; ; ;  

0

であり

d

( x

,

y )  

<=⇒ .r y

(2ff

訟 の

x

, y 

E Xに対して. d(x,y) 

d

( y , x )

(3)

角不等式)任.なのX.yXに対し

て.

d

(

x, z)~d(x,y) + d()•,

z )

距離が与えらえると

集合上で収束の議論ができる

距離がりえられた染合Xは距離空間

(

m

e

lricspace

と呼ばれる

.このよ

う に 収 束 と

か連続などの議論が

できる構造が与

えられた狼合が位相空間

で あ る 距 離 空間は位相空間であ る.

定義2.2.

集合 X 上に距離 dが定義されているとする.

X の点ダ

IJ{

x , , ) は.

11111→ OO

とすると

,d(x,,,,x

, , )

→ 0

なるとき

, コーシー列

(Ca

u

c

h

ysequence)

または基 本列

という

.距離空1111X

の任意のコーシーダ

jl

が収束 するとき ( すなわち

,aE X

が存在して d ( x , , , a )

(11→ oo)

となるとき)

.X

は完 備 ( co

mpl

e l e ) であ るという.

ここで

1

敗梢分の授業で学んだ次の定理を、

1い出そう

定理2.3.(実数の完備性) R

を実数全体とする.その とき,

数列

!a,,lc

良 が

R

において収束←

IllII→ 00

すると

,lam —叫→ 0

例2.4.

良を尖数全体とする

.d(x,y) 

I x  ‑

yl

と定義す ると

,dは 区

この距離になる

この距離によ

って R は距離空間であり

,定理2.3

によって

R

は完備である

C も絶対値で距離空間になり ,定理

2.3から完備で

あ る こ と が わ か る 実 際,

C

の完備性は,似索数を実 部と

1

雑部の和で表し

.R

の元備性を使えば簡

i

  . , r に ~iE Iリl

できる

距 離 空 間 は 一 般 に 完 備 と は 限 ら な い が 距 離 空

Hi! X

の各コーシー

の極限になる

うな,

1

位を

X

に付け

え る こ と で 狛 合

X

を大きく

して完1,m

にすること ができる

これを X の完備化 という.例えば

1~

:)

を有 F

i

l 数全体の兆合とする

.Q

のコ

シー列は,

Q

中では板限をもつとは限

らないが,

R

の中では収束す る. しかしその極限は一般に布理数ではない

このと き

Q

の各コーシ

ー列

の極限全体の集合を

C

とかくと

これはQ

を含む集合で,

Q=R

となっている,

このQ

Q

の完備化である,

C I ・ .  の距離は絶対値でサえるの晋通である

この例 では

11明すぎるのであまり自明でない距離空間の例

を次にあげる.

2.5.

良 つ

[a,b]  I. 

の複索数値連続

1月数 f(x

) 全体の 集合を C[a

,b]で表す.C[a, b]

上でスカラー倍 と和を

c  E C , 

f(x),g(x) 

E  Cl a , b ] に対して

( c

f)(x

cf(x)

(f 

g ) (

x

f(x) 

g(x) 

と定義すると

.c/ECJa

,

bl

,  J+gEC

[a

,

bl

となり

C[a,bJ

C上の(無限次元) ベ ク ト ル 空 間 に な る こ のとき

11/

1

sup 

l f ( x )

(= 

max 1/

( x ) I )  

a;,,;,b a;,、•砂

と定義すると

この IIIIは一様収束ノルム

とよばれる)

(1)

任意の fE  C[a,b] に対して 11/11~O であ り . も

し1 1 / 1 1

Oならば f=0, 

( 2 ) 任なの cEC,

.

ECra,b

l

に対して l l c f l l

l c l

l l f

ll

( 3 ) 任江の f,gE

C[a

,

b]に対して llf

gll~llfll + 

l

lgl

り立つ.

C[a

,

b

」..の距離

cl(,)

d

( f ,g )  

I

I! ‑

g l

で定義する

ことがで

き る

こうして C[a,b]は距離空 1111

になる

.実 際 d(f

, g ) が距離になっているのは.

:l 

I. 

の絶対値の楊合と

1Ji様にして.

簡単に確かめる

こと

ができる

さらに cra,b

lが完備であることを示すの は難しくない

この例の

一様収束ノルムを抽象化して次の概念が禅 入される

定義2.6.

X を C上のペクトル空間とする. X I この関 数 1 1 ・ 1 1:

X→ 

が次

の条件 ( 1 )‑

(3)

を満たすとき

IIII

をX のノルム (nor

m)

という

(1)(正値性)任意の .r

E X に対して. llxll~

O

であり

さらに

llxll( =

、 r

0. 

(2)(同次性)任邸の CE

C , 、

1,EXに 対 し て

l i e . x i i  

lc

l

1 1 . r l l ‑

(3) (三角不等式)1i: 

慈のふ)

1E Xに対し

て.

11.r + YII~llxll + ll

y l l

また点 XEX に対して.

llxllをXのノルム

とい う

定義2.7.

ノルムが定義されたベクトル空間を

ノルム 空間

(

normedspa

ce ) という

一般にノルム空間は

無限次元のベクトル窄 1/IJ

である .

X が ノ ル ム 空

であるとき

.Xにd(x,

y )  

l

l x  ‑ y

l

で距離が

i

義できる.この距離でXは距離窄 1 /

IJ

になる

X

がこの距 離で完備であるとき

.Xはパナッハ空間

(

Ban

ac

space ) であるという.

2.5

Cla,b

]はバ ナ ッ ハ空間である

定義2.8.X

をC.

1

.

のベクトル空間とする( ・ ,

)がX

(4)

内 栢

(innerproduct)

で あ る と は .

iJ:: 

紅;の

x.y

に 対 し て 複 索 数 値

Cr.y)

が定まり . 次 の 条 件

(1)‑(3

が成り立つことである

(1

( 正値 性) 任 滋 の

.r

X に対して (x,x)~ 0 であ り . さら に

(x,x) 0::: 

⇒ 

0. 

(2

( 共 役 対 称 性)任慈の

x.yE X

に 対 し て

(x,y) 

=石百.

(3) 

( 準 双 線 型 性) 任 邸の

x,yE X

に 対 し て

(x.y)

は.

X

に つ い て 線 型

(y

に つ い て は 共 役 線

WI)

である.

ベ ク ト ル 空 間 に 内 梢 が 定 義 さ れ ると . ノルムが定 義できる .

定 義

2.9.

ベクトル空間

X

に内桔(・ , ・ )が定義されてい るとき .

!!xii= (x, 

(xEX)

でノルム

IIII

が 定 義 で きる .このノルムで

X

上に定義された距離に 関し て

X

が 完 備 に なるとき

.X

は ヒルベ ル ト 空 間

(1lilbcrl space)

であると い う. ヒルベル ト 空 間は バ ナ ッ ハ 空

!Ill

である .

定 義

2.10.X. Y

を ベ ク ト ル 窄

1/JJ

とする

.X

から

Y

へ の線型写像

T

を線型作用索

(linearoperator)

という.

すなわち .

T

T(cx) = cT(x)T(x y)=T(x) + T(>,) (c EC, .r,y EX) 

を満たす

'I

チ像である.

I

対 数 解 析 学 の 通常の・ 『

t

/ や にした がって.

.r

の像

T(x)

を混乱の生じない限り.今後は.

Tx

と魯くことにする .

A

を 集 合 と す る .

A I .

の 演算とは. 染 介 の

11'(,fj'tA X A

から

A

へ の 吋 像のことである .

f: A X  (x,y

→ ZEA

が写像であるとき .z  =J( x . 

y)を辿 'ii\•.\"

Y ま たは

X*Y

とか

xy

で 表 す こ こ で は

xy

JIJ

いること にする .

xy

X

y

の和 という .こ の表記を 川いると.

もし 浙符 が 結 合 法

l!IJ/(I(

y),z) 

/ ( ふ

f(),z1))

をみ たすとき . これは

(xy)zx(yz)

と 科 け て 視 槌 的に も わかりやすい.複数の柑 尊かを

IITJ

時 に 扱 う 場合. 混 乱 が 生じないかぎり.

iiif

J

が異なっていても.

(.ry)

を 表すのに 同 じ 、

ry

を 使 う こ と に 注 意 す る . また一般に

i:y

* 四 で あ る が

ff:.

近の 、

r,yEA

に対 して、 ¥ : )'=

yx

が 成り立つとき

.A

は可 換であると い う.

定 義

2.11.

ベクトル空

11¥JA I

で秘が定義さ れていて .

cE C,x,y,zEA

に対し て .

(cx)y=x(cy) c(

砂 ) ,

(x y)xy + yz x(y z)=xy + xz 

が成 り立つとき

.A

CL

の多元環

(algebra)

である という .

frill

素 閑 で は.結 合 法 則

(xy)z=x(y;:)

を満た す ことを仮定する . r l は梢に関して可換であ る と き

A

は可換 環

(abelianalgebra)

という .上の

3

つの式 が 成 り 立 つ こ と が s 

I

の中で

Cr.y)

→ 

xy

が双線型と

い った 、

,1

訊味である

. A

の あ る 元

1

が.

ff:

,1

はの

x E A

に 対 し て

Lr= .rl 

し.を満たすとき .

1

Wt

に関 する )単 位 元

(idenlily)

という

ここ では 単.位元の イ[在 を仮定しないことにする.この解説では .考えて いる多冗環の単位冗を (もし存在するなら )

1

で 常に 表わすことにする .

ここで C—環の定義をりi- える .

定義

2.12.A

C

」..の多冗屎とする . r l の共役線型写 像* : . し :

E A

→ バ

E A

は,次の条件

(1)‑(2)

を渦たす とき . 対 合

(invo.tion.*opera tion)

という. ここで

J

: し

1i

と利とは .

(ax+ by)

=訟 + 恥(a,bC,x,y  EA)

のことである .

(l)ff:.,j

の、

rEA

に対して.

(x')* 

=ぶ

(2)1fl

江の

x,yEA

に対 して .

(xy)* = >i‑

パ A が対合をも つとき. A は・‑ 環という.

定義

2.13.AC

」—.の·-環

とする

. A がバナッハ空間で.

l[xyll~11.rll·IIYII, llx' IIllx ll(x,y EA)

を満たすとき

.A

パナッハ

·—環 (Banach'-algebra) という

バナッ

ハ ・ー 環

A

が単位元]をもっときは

.11111I

を仮定する .

さらにバナッハ* ー 斑

A

の 対 合 が

llx'xllllxl

(xEA) 

をみたすとき .A を C'—

(C'-algebra) という

l

lx

1= 1 llxl

ドは C " 一 条件と 呼 ばれる . また C—条 件を 満たすノルムを

C

ー ノルムという .

今 後 は 常 に C "

J.J;J

の本ベクトルは

0

で 梢 に 関 す る単位)じは

1

で表す こ とを 北 えていてほしい.

C

1A

のベク トル部分

<i1;1111 

B が

A

の 秘 と 対 合 で

C'

屈になるとき

.B

A

C'

一 部分屎という .

s

を A の 部 分

U

と合とする .

s

を含む A の

C'

II

分我

t

の中 で蔽小の ものを .

sで生成されたC—斑という は S を含む A のすべての C—環部分閑の共辿集合といっ

ても 同 じである

定義

2.14.A

C

屯 ー 炭 と す る

.A

の ・ c 一部分斑

I

に対 して

XEA,

/ ならば

xyE l,yx 

/が成 り立つとき .

[を

A

のイ デ ア ル

(ideal)

という .

A

C')3;1

とする とき

.A

は少なくとも

2

つの自明 なイデアル (

0}

と A をも つ.

C'

現 A が自明なイデア ル以外 のイデアルをもたな い と き

A

は単純

(simple)

であると いう.

J

札 純な

C'J3;! 

は 重 要 で あ る 実 際.

J

IJ  1. 

現 れる多くの

C'

ー 屎 は 単 純 珠 で あ る こ と が多い.

イメ ージ 的には.

C'—

の積に関して非可換性が強け

れ ば 強 い ほ ど

C'

屎のイ デア ル の 数 は 少 な く な る 逆 説 的 に い え ば

C'X

虹が可換閑に近ければイデアル が多 くなると い うイメ ージである.

2.15.

(行列 環)

II

個 の 成 分 が 複 索 数 であ る よ う な

ベ ク ト ル全休 の な すベ ク トル空間を

IC"

で 表わす書こ

れは

C・.I

II

次元のベク ト ル空間であ る.成分が複索

数の

IIIi'E

方 行 列 は.

IC"

上 の 線 型 変 換 を り え る .そ

のような

11

次正方 行列令体を

M,,(C)

で表す. 線 型 代

(5)

数の授菜で学んだよう に 通 常 の 行 列の和 とスカラ ー 倍 ( 複 索 数 倍 ) で

M,,(C)

は ベ ク ト ル 窄

IIIJ

である

さらに行列の秘が定義され て い て そ の秘も

II

.JI.: )i

行列である.このとき

M,,(C)x,y,z,C a

に対して.

(ax)y = x(ay) = a(xy) (x y)z = 入1'+yz, 

.z) 

.¥)'+ .r

が成り立つ. こ うして

M,,(C)

は. 行列の手

II.

スカラー倍 秘で多 Jじ~! になっている. C"上の複索数値 内 枯(• , ・ ) を.

ff: 

訟のq=(ふ ,令,•..,品), 17 = 

(171'T/2, ...'17,,) C

に対して .

‑m 

5

︱  I I

▽ 

m  

︐ 

§ 

︑ ¥

i=I 

で定義する . このとき

IC"

のノルムが内梢(・ , ・ )によっ て

1§11

{(乞百で定義される.

llxlsup(IIr§III§EC"

11§11~ I I とおくと.

llxll

M11(C)

上でノルムの条件を満 た す こ れ を

X

の作用素ノルム

(operatornorm)

と い う こ の ノ ル ム で

Mn(IC)

は完備であることがぷせる . すなわち M11(C) はバナッハ空間である . 線 I\~ 代数で芹 んだ行列

X

の随伴行列

.I

・ *は.

(x§, I]

(ふぷ

I])

を満たす ことを思い出そう.このとき . 写像

*:XEA

→.ぐ

EA

は 次 の 性 質を もつ こ と が 容 易 に わ か る .

ff

、なの

ふ)1EA,a,bE C

に対して.

(ax+ by)● 

=訟+恥(共役線型

It), (x')'= x (xy)'=l‑

ぐ .

ここで爪災なのは

llx'.rl= ll lxll2

が成りヽ・,:つことである .

( 証明は難しくないので卯味のある)

j

はトライしてほ しい. ) こうして

M11(C)

c‑m

になる

2.16.H

を ヒ ル ベ ル ト 空 間 と す る .

.r

II

から

H

への辿統な線製作用 素とする . ここで

X

が連続である

とは .

11§11

II

0

ならば.

llx§" ‑x§II

→ 

0

がいつ も成り立つことである.このとき

,X

の作用素 ノルム を

llxllsup{II

III§e <C", 11§11~ I I

で 定 義 す る . ここ で

llxlloo

となることと .

X

が辿紐 であることが

1

け ] 値であることを注慈してお<.

llxll

はノルムの条件を 泌たす .B ( H)で H 上の述続な線)¥ 1作川索令体を表す と.作川索ノルムで B ( H)はパナッハ窄 1 / : J になる. ( 証 明は難しくない. )写像の合成で f i t が定義できて

.B (fl)は多元巧になる..r 

B ( H )の対介

X

・は.

(.r§, I]) = (5

17) (x E 

B(H) , 

5, 17 

H ) 

で定義されるこのとき Cー 条 件 II入:•xii=

llxll2

を沿

i

た す こ と は 行 列 環 の 場 合 と 同様である . こうして

B(J1)

C'

t

になる

これ は非可換である

もし

H

11

次元ならば.

B(I1)

M11(1C)

である

ここであとで 出て くる 作 川索の定義をりえておく .

II E 

8( /-/) は 11• 11

l を み た す と き 等 距 離 作 用 蒸

(isometry)

という . これは

llu§II= 11§1(q H)

1,iJ

値である .さらに

u

11'u1111• 1

をみたすならば.

ユニタリ作用 禁

(unitary)

とい う. これは等距離作

JI! 

索が令射 であるということである .

参考のためにフォン

ノイマン屎の定義を述べる . 定義は代数的に定義する)

j

法 位 相

(I

り に定義する)

j

法 バナ ッハ窄 I l l ! 的に定義する方法がある. ここでは代数 的な定義を述べる.B ( H ) でヒルベル ト 空 I I I J H

I. 

の述 統な線型作

JI]

索全体を表す.B ( H ) の部分染合

M

に対

して.

M'= 

B ( H) 

f

モ意の

yEM

対し て

xyyx l 

とお<.

M

が・ー閑で

(M)'=M

をみ たすとき

.ill

をフォ ン

ノイマン環

(vonNeumanalgebra)

という

フォ ン

ノイマン以

;tM

が B( H)におい てノ ル ム位相 で完 備で あることはすぐわかるので .M は C—殷にな っ ている .B ( H ) がフォン ・ ノイマ ン環であることが定 義よりすぐわかる. ( B ( H ) ' = 

C・1

に注烈せよ . ) B ( H) 

は C'— 閑としてはりt純でないがフォン ・ ノイマン閑

としてはり

t

純である . これは.

l

の定義からはわから ないが. ( 必

t11

の辿いが実は原因になっている

定 義

2.17.AB

は・ー肉とする

. A

か ら

B

へ の

'1If

俊 冗 が

CIC.  X. 

.‑¥に対して .

(ex)= rn(x),  ,r(y) ,r(x) + 1r(y), 

(xy)=万(x),r(y), ,r(x') 

=万(. 、

r)'

を満たすとき. r r は 準 同 型 写 像

(homomorphism)

であるという .

A. 

B が C'- 閑ならば II万(、r)II~ llxll が成り立つことが知られている .こ れより C—環の

準同型写像冗は辿続である .

また準

jii]I印 j'.

像が全射かつり

i̲

射 で あ る と き 同型写 像

(isomorphism)

であるという

. A

から

B

へ の同型 写 像 が イ ヂ 在 す る と き

. A

B

は 同 型

(isomorphic)

であるという .j

,i]J¥'! 

である Cー棗は C—閑として実質 的に

j,;J

じものである .

j,iJt¥(!'lj'.

(知は lln(x)II~llxll だから .

C'

ー猿の

!IllO)  1,;J

型写像はノルムを保存することが容易にわかる ( すな わち

lln(x)IIJlxll

が成り立つ) . こ れ は 代 数 的 な 条 件 だけから距離空間として 同 じである こ とを慈味する.

これは誘くぺきことである .ー)} .   フォン ・ ノイマン

閑では . 代数的に Jii] 型ならば C—閑として同型である

が フ ォ ン ・ ノイマン閑として同型であるとは限らな いこ とを注慈しておく.フォン ・ ノイマン環は.定義 よりヒルベルト 窄

1/IJ

上の作

JI]

索 の 多 元 閑 で あ る が.

C—閑もそうな っ ていることが次の有名な 定 狸より わかる.

定理

2.18.

( ゲルファント・ナイ

マル

クの定理 )

A

C'

ぷ 1 とする .そのとき

あ る ヒ ル ベ ル ト 窄

ll

l ! H と A から B(IJ ) へのり

t

射な準 I T T ]

J¥

虹写像冗が存在する.す

なわ ち

A

と冗

(A)

C'

閑として同型である .

(6)

行列現は有限次九で凩純であるが 一般に布限次

j

じ C—稔t は次の定理よりその構造がわかる

定 理

2.19.c‑

IA

が布限次元な ら ば

A

M,,(IC) EB M,,(IC) EB

・ ・ .

EB M,,l(IC)

J,iJ

邸 で あ る . す な わち

A

の 元 は 行 列 炭

M,,(C)

( i  

I2・ ・ k)

1

叩 な A のイデアルの元の和で一意的に表される .

次に可換な

c‑f.J;! 

の例を述べる .

2.20.

I

の複索数値述続

l¼J 数 f は. ff̲,: 

江の

f,

に対し て

{xlf(x)I~

司が R の

,•,':j

々イi 限個の有 界

1

JI

区間の 和 集 合 に な る と き

f

は無限遠点で消える

(vanishin

g  a

infini

t y ) という. この条 件は ,

i

い換え れ ば

x

岬 ! ̲ , f

(x

)

0

という ことであ る. 無 l 麟 、 し りで梢 える

R

の上の 連 続 関 数 全 体 を

Co(J.)

で表す.

Co(R

上にスカラー倍和. 梢を.

,C

/ ,  

Co(

:i

) に 対 し て

(;lj)(x) Af(x), 

(J g)(x) f(x) g(x),  (Jg)(

,)f(x)g(x) 

で定義すると .

Co(

良 )は

Cl.

の 多 元

JJ;'l

になる .対 合は

(x) = .f . (x)

で定義できる . さらにノルムを

11/lloo

s

up1/(x) I I

で定義すると .バ ナ ッ ハ 空 間 に な る.

c‑

条 件 は 明 ら か に 満 た す か ら .

Co(R

) は ( I p . 位 元をもたない)

11f

換な ・ c ー閑になる .

この例では

R・.I

の中垢索数値連続関数を考えたが. 洞 察力を働かすと ,

1

l

数 が定義されてい る窄間は

R

で なくてもよいことが容易に想像できる

.'k

際 位相空 間

Q

上 の複索数値でイ

i

界辿続関数を考えて.

 I.

の例と 同 様の設定を考えると可換な C—氏1

corn)

が得られ る 特 に位

tll

空間 Q としては.局}折コンパク ト ・ ハウ ス ド ル フ 空 間 と よ ば れ る も の を 考 え る と 都 合 が よ い 関数が定義されている空

lllJQ

がコンパクトとよばれる ものであれば. " [ 換 な

C

・ー屎

C

(Q)

lji.

位.)じをもつ

こ の 楊 合 は

.c

。 (Q) は Q 上 の 辿 続 関 数令休である こ とを注慈しておく .い くつかの定義は述べなかったが まとめると

2.21.

もし Q をコンパクト ・ ハウスドルフ空間なら ば

C

。 (Q) は Q の

L

の 連 続

1

月数全休になる. このと き C 。 (Q) の代わりに C(Q) で表す. C '

J

1C(Q) は任

:0

の 定 数 関 数 を 含 む こ と に 注 訟する .

qy

に 定 数

1

l

(w) 

1

は梢に関するり

1

位 元 に な る . 例 え ば.例

2.5

のバナッハ空 間

C[a

,

b]

において .

IYJ

数の積と対合を 例

2.20

に お い て 定 義 し た も の と

1,,J

様 に 定 義 す る と .

C[a

,h

]

c‑

珠 に な る . こ こ で 実 は . イ

i

1

1

lllJ [ab]

はコンパクト ・ ハウスドルフ空間にな っている.

実は この逆も成り立つ.すなわち次の定則が成 り立 つ.

定 理

2.22.

( ゲルフ ァン ト の 定 理 )

A

11f

換 な

c‑J.J;t 

とする .そのとき

A

は適当な空

lllJQ

をうまく選ぶと .

c-mA はら (Q) と jfijJf,~ である ,

ここでいう適り な空 間 Q とは ,

ii :

確には局所コン パク ト・ハ ウス ドルフ 空 間 とよばれる

1

立相空間 であ る‑

C/ 

Q) の

J

じ である

1m

数は,空 間の は る か遠 方 で 0 に 限 り な く 近 づ く よ う な 連 続 な 似 索 数 1 1 1 . i

I

関数であ る も し A がり

.l

位元をもつなら . Q はコンパク ト ・ ハ ウスドルフといわれる空間である .

3.  Cuntz

環(ク ンツ 環 )

定義

3.1..f!!rJH

次元ヒルベル ト 窄間において,

II 

S;s;

I (*) 

i=I 

を満たす

II

個 の 等 距 離 作 川 索 ( s 1 ,s 2 ,  

・ ・ 

s,,)

によって 生成される C—環を Cu ntz 環

(Cunl.z

a l g e b

r

a

)

といい.

0 ,,

で 表 す こ こで

JI

00

でもよい.( * ) に おける和は.

ll(I:~1 S;  I),;II(q H)

で走義している .

11 00

の 場 合 交換 関 係 (*)は イ 翌が式

v =  

. .

 

・1 

I0 0

11J

いる こ と が 多 い が 本 質 的 な 述 い は な い . この 定 義では,

01は1 I/

1 , ~, の等距離作)

IJ

索に依イ

y.

して いる が

実は次の定 郎 より依存しないことがわかる .

定 理

3.2.

( , ; , )の 関 係 式 を 満 た す )

,111

の 等 距 離作 用 索

lsr,. 

2,'", 

S11 } によって生成される C—閑を A とし同 様の関係式を満たす

II

個の等距離作川索( 「

I,12, 'I,,

によ って

1.1

・ :成される

c:‑I.lii

B

とする .そのとき

A

か ら

B

・.I

への同應り将ばで.7

r(

ふ )

I

( i  

l,2,,n

を満たすものがイ

f

在する .

この定理から容易に次の系を得る .証明は易しい.

3.3.

C

unlz翡to,,

は単純である .

C— 税の自山罰闘l房: 像全体を具休的に知る ことは 一般 に は 難 し い が

o"

については次のようにわかる . 実際.0

11

i'I

¥i

し同型写像汀と

011のユ

ニタリ

u

が次 のように対応している .

定 理

3.4.Cuntz

o"

の日己準

j,;JJ

利 り作ばと

o"

のユ ニタリ

II

は.次の式で

1

1

に対応する :

(s;)usj,  I2, ・ ・ , n; 

II 

u =

こ 凧) り・

j=

C —環のあるクラス (IE確には.純粋 J!!f,1恨で単位)じ をもち. " [分 . l札純 ・ 核型 であるような C—肉のク ラス)の分類が

1990

年代に

KK

狸論を使って完成し た が そ の と き 爪 要 な 役 割 を 呆 た し た の が

Cuntz

珠 で あ っ た

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(自分で感じられ得る[もの])という用例は注目に値する(脚注 24 ).接頭辞の sam は「正しい」と

現状と課題.. 3R・適正処理の促進と「持続可能な資源利用」の推進 自然豊かで多様な生きものと 共生できる都市環境の継承 快適な大気環境、良質な土壌と 水循環の確保 環 境 施 策 の 横